%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Henriekes Mitschrieb vom 07.11.2013                               %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter{Mannigfaltigkeiten und Simpizidkomplexe}
\section{Topologische Mannigfaltigkeiten}
\begin{definition}
    Sei $X$ ein topologischer Raum und $n \in \mdn$.
    \begin{enumerate}[label=\alph*)]
        \item Eine $n$-dimensionale \textbf{Karte}\xindex{Karte} auf
              $X$ ist ein Paar $(U, \varphi)$, wobei $U \subseteq X$
              offen und $\varphi: U \rightarrow V$ Homöomorphismus
              von $U$ auf eine offene Teilmenge $V \subseteq \mdr^n$.
        \item Ein $n$-dimensionaler \textbf{Atlas}\xindex{Atlas} $\atlas$ auf $X$ ist eine
              Familie $(U_i, \varphi_i)_{i \in I}$ von Karten auf $X$,
              sodass $\bigcup_{i \in I} U_i = X$.
        \item $X$ heißt (topologische) $n$-dimensionale \textbf{Mannigfaltigkeit}\xindex{Mannigfaltigkeit},
              wenn $X$ hausdorffsch ist, eine abzählbare Basis der 
              Topologie hat und ein $n$-dimensionalen Atlas besitzt.
    \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{bemerkung}
    \begin{enumerate}[label=(\alph*)]
        \item Es gibt surjektive, stetige Abbildungen $[0,1] \rightarrow [0,1] \times [0,1]$
        \item Für $n \neq m$ sind $\mdr^n$ und $\mdr^m$ nicht homöomorph.
              Zum Beweis benutzt man den \enquote{Satz von der Gebietstreue} (Brouwer):

              Ist $U \subseteq \mdr^n$ offen und $f: U \rightarrow \mdr^n$
              stetig und injektiv, so ist $f(U)$ offen.

              Ist $n < m$ und $\mdr^m$ homöomorph zu $\mdr^n$, so wäre
              \[f:\mdr^n \rightarrow \mdr^m \rightarrow \mdr^n, \;\;\; (x_1, \dots, x_n) \mapsto (x_1, x_2, \dots, x_n, 0, \dots, 0)\]
              eine stetige injektive Abbildung. Also müsste $f(\mdr^n)$
              offen sein $\Rightarrow$ Widerspruch
    \end{enumerate}
\end{bemerkung}

\begin{beispiel}
    \begin{enumerate}[label=\arabic*)]
        \item Jede offene Teilmenge $U \subseteq \mdr^n$ ist eine 
              $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit mit einem Atlas aus 
              einer Karte.
        \item $\mdc^n$ ist eine $2n$-dimensionale Mannigfaltigkeit
              mit einem Atlas aus einer Karte:
              \[(z_1, \dots, z_n) \mapsto (\operatorname{Re} z_1, \operatorname{Im}z_1, \dots, \operatorname{Re}z_n, \operatorname{Im}z_n)\]
        \item $\praum^n(\mdr) = (\mdr^{n+1} \setminus \Set{0})/_\sim = S^n /_\sim$ und $\praum^n(\mdc)$ sind Mannigfaltigkeiten \todo{besser aufschreiben}
              der Dimension $n$ bzw. $2n$.

              $\praum^n(\mdr) = \bigcup_{i=0}^n U_i,$
              \begin{align*}
U_i = \Set{(x_0: \dots : x_n) \in \praum^n(\mdr) | x_i \neq 0} &\rightarrow \mdr^n\\
                (x_0 : \dots : x_n) &\mapsto \left (\frac{x_0}{x_i}, \dots, \frac{x_i}{x_i}, \dots, \frac{x_n}{x_i} \right )\\
                (y_1 : \dots : y_{i-1} : 1 : y_i : \dots : y_n) &\mapsfrom (y_1, \dots, y_n)
              \end{align*}
              ist bijektiv.

              Die $U_i,\; i = 0, \dots, n$ bilden einen $n$-dimensionalen Atals.
              \begin{align*}
                      x &= (1:0:0)            &y &= (0:1:1) \in U_2 \rightarrow \mdr^2\\
                \in U_0 &\rightarrow \mdr^2   &y &\mapsto (0,1)\\
                      x &\mapsto (0,0)        &&\text{Umgebung: } \fB_1 (0,1) \rightarrow \Set{(w:z:1) | w^2 + z^2 < 1} = V_2
              \end{align*}
              Umgebung $\fB_1(0,1) \rightarrow \Set{(1:u:v) | \|(u,v)\| < 1} = v_1$

              $V_1 \cap V_2 = \emptyset$?

              $(a:b:c) \in V_1 \cap V_2$\\
              $\Rightarrow a \neq 0$ und $(\frac{b}{a})^2 + (\frac{c}{a})^2 < 1 \Rightarrow \frac{c}{a} < 1$\\
              $\Rightarrow c \neq 0$ und $(\frac{a}{c})^2 + (\frac{b}{c})^2 < 1 \Rightarrow \frac{a}{c} < 1$\\
              $\Rightarrow$ Widerspruch
        \item $S^n = \Set{x \in \mdr^{n+1} | \|x\| = 1}$ ist $n$-dimensionale
              Mannigfaltigkeit.

              Karten: $O_i := \Set{(x_1, \dots, x_{n+1}) \in S^n | x_i > 0} \rightarrow \fB_1 (\underbrace{0, \dots, 0}_{\in \mdr^n})$\\
              $(x_1, \dots, x_{n+1}) \mapsto (x_1, \dots, x_i, \dots, x_{n+1})$\\
              $(x_1, \dots, x_{i-1}, \sqrt{1-\sum_{k=1}^n x_k^2}, x_i, \cdots, x_n)\mapsfrom (x_1, \dots, x_n)$\\
              $S^n = \bigcup_{i=1}^{n+1} (C_i \cup D_i)$
        \item $[0,1]$ ist keine Mannigfaltigkeit, denn:\\
              Es gibt keine Umgebung von $0$ in $[0,1]$, die homöomorph
              zu einem offenem Intervall ist.
        \item $V_1 = \Set{(x,y) \in \mdr^2 | x \cdot y = 0}$ ist
              keine Mannigfaltigkeit. 

              Das Problem ist $(0,0)$. Wenn man diesen Punkt entfernt,
              zerfällt der Raum in 4 Zusammenhangskomponenten.
              Jeder $\mdr^n$ zerfällt jedoch in höchstens zwei
              Zusammenhangskomponenten, wenn man einen Punkt entfernt.
        \item $V_2 = \Set{(x,y) \in \mdr^2 | x^3 = y^2}$ ist eine
              Mannigfaltigkeit.
        \item $X = (\mdr \setminus \Set{0}) \cup (0_1, 0_2)$ \label{bsp:mannigfaltigkeit8}

              \[U \subseteq X \text{ offen } \gdw 
                \begin{cases}
                    U \text{ offen in } \mdr \setminus \Set{0}, &\text{falls } 0_1 \notin U, 0_2 \in U\\
                    \exists \varepsilon > 0 \text{ mit } (-\varepsilon, \varepsilon) \subseteq U &\text{falls } 0_1 \in U, 0_2 \in U
                \end{cases}\]
              Insbesondere sind $(\mdr \setminus \Set{0}) \cup \Set{0_1}$
              und $(\mdr \setminus \Set{0}) \cup \Set{0_2}$ offen und
              homöomorph zu $\mdr$.

              \underline{Aber:} $X$ ist nicht hausdorffsch!
              Denn es gibt keine disjunkten Umgebungen von $0_1$ und
              $0_2$.
        \item $\GL_n(\mdr)$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension 
              $n^2$, weil offene Teilmengen von $\mdr^{n^2}$ eine
              Mannigfaltigkeit bilden.
    \end{enumerate}
\end{beispiel}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Mitschrieb vom 14.11.2013                                         %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{definition}\xindex{Verklebung}
    Seien $X, Y$ $n$-dimensionale Mannigfaltigkeiten, $U \subseteq X$
    und $V \subseteq Y$ offen, $\Phi: U \rightarrow V$ ein Homöomorphismus
    $Z = (X \dcup Y) /_\sim$ mit der von $u \sim \Phi(u) \forall{u \in U}$
    erzeugten Äquivalenzrelation und der von $\sim$ induzierten 
    Quotiententopologie.

    $Z$ heißt \textbf{Verklebung} von $X$ und $Y$ längs $U$ und $V$.
    $Z$ besitzt einen Atlas aus $n$-dimensionalen Karten.
    Falls $Z$ hausdoffsch ist, ist $Z$ eine $n$-dimensionale 
    Mannigfaltigkeit.
\end{definition}

\begin{korollar}
    Sind $X, Y$ Mannigfaltigkeiten der Dimension $n$ bzw. $m$, so ist
    $X \times Y$ eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n+m$.
\end{korollar}

\begin{beweis}
    Produkte von Karten sind Karten. $\qed$
\end{beweis}

\begin{beispiel}
    Mannigfaltigkeiten mit Dimension 1:
    \begin{enumerate}[label=\arabic*)]
        \item Offene Intervalle, $\mdr$, $(0,1)$ sind alle homöomorph
        \item $S^1$
    \end{enumerate}

    Mannigfaltigkeiten mit Dimension 2:
    \begin{enumerate}[label=\arabic*)]
        \item $\mdr^2$
        \item $S^2$ (0 Henkel)
        \item $T^2$ (1 Henkel)
        \item oder mehr Henkel, wie z.B. der Zweifachtorus in Abb. \ref{fig:double-torus}
    \end{enumerate}

    \begin{figure}
        \centering
        \includegraphics[width=0.2\linewidth, keepaspectratio]{figures/Double-torus-illustration.png}
        \caption{Zweifachtorus}
        \label{fig:double-torus}
    \end{figure}
\end{beispiel}

\begin{korollar}
    Sei $n \in \mdn, F:\mdr^n \rightarrow \mdr$ stetig differenzierbar
    und $X = V(F) := \Set{x \in \mdr^n | F(x) = 0}$ das \enquote{vanishing set}.

    Dann gilt:
    \begin{enumerate}[label=\alph*),ref=\theplaindefinition.\alph*]
        \item $X$ ist abgeschlossen in $\mdr^n$
        \item Ist $\text{grad}(F)(X) \neq 0 \;\;\;\forall{x \in X}$, so ist
              $X$ eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.  \label{Mannigfaltigkeitskriterium}
    \end{enumerate}
\end{korollar}

\begin{beweis}\leavevmode
    \begin{enumerate}[label=\alph*),ref=\theplaindefinition.\alph*]
        \item Sei $y \in \mdr^n \setminus V(F)$. Weil $F$ stetig ist,
              gibt es $\delta > 0$, sodass $F(\fB_\delta(y)) \subseteq \fB_\varepsilon(F(y))$
              mit $\varepsilon = \frac{1}{2} \|F(y)\|$. Folgt
              $\fB_\delta(y) \cap V(F) = \emptyset \Rightarrow \mdr^n \setminus V(F)$
              ist offen.
        \item Sei $x \in X$ mit $\text{grad}(F)(x) \neq 0$, also
              \obda $\frac{\partial F}{\partial X_1} (x) \neq 0$,
              $x = (x_1, \dots, x_n)$, $x' := (x_2, \dots, x_n) \in \mdr^{n-1}$.
              Der Satz von der impliziten Funktion liefert nun:
              Es gibt Umgebungen $U$ von $x'$ und differenzierbare
              Funktionen $g: U \rightarrow \mdr$, sodass
              $G: U \rightarrow \mdr^n, \; u \mapsto (g(u), u)$
              eine stetige Abbildung auf eine offene Umgebung $V$ von
              $x$ in $X$ ist.
    \end{enumerate}  
    $\qed$
\end{beweis}

\begin{beispiel}\xindex{Neilsche Parabel}
    \begin{enumerate}[label=\alph*)]
        \item $F: \mdr^3 \rightarrow \mdr,\;\;\; (x, y, z) \mapsto x^2 + y^2 + z^2 - 1$,
              $V(F) = S^2$, $\text{grad}(F) = (2x, 2y, 2z) \xRightarrow{\ref{Mannigfaltigkeitskriterium}} S^n$
              ist $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit in $\mdr^{n+1}$
        \item $F: \mdr^2 \rightarrow \mdr, \;\;\; (x,y) \mapsto y^2 - x^3$
            \begin{figure}[ht]
                \centering
                \subfloat[$F(x,y) = y^2 - x^3$]{
                    \input{figures/3d-function-semicubical-parabola.tex}
                    \label{fig:semicubical-parabola-2d}
                }%
                \subfloat[$y^2 - ax^3 = 0$]{
                    \input{figures/2d-semicubical-parabola.tex}
                    \label{fig:semicubical-parabola-3d}
                }%
                \label{Neilsche-Parabel}
                \caption{Rechts ist die Neilsche Parabel für verschiedene Parameter $a$.}
            \end{figure}
              Es gilt: $\text{grad}(F) = (-3x^2, 2y)$. Also: $\text{grad}(0,0) = (0,0)$.
              Daher ist Korollar \ref{Mannigfaltigkeitskriterium}
              nicht anwendbar, aber $V(F)$ ist trotzdem
              eine 1-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit.
    \end{enumerate}
\end{beispiel}

\begin{definition}\xindex{Mannigfaltigkeit!mit Rand}
    Sei $X$ ein Hausdorffraum mit abzählbarer Basis der Topologie.
    $X$ heißt $n$-dimensionale \textbf{Mannigfaltigkeit mit Rand},
    wenn es einen Atlas $(U_i, \varphi_i)$ gibt, wobei $U_i \subseteq X_i$
    offen und $\varphi_i$ ein Homöomorphismus auf eine offene 
    Teilmenge von 
    \[R_{+,0}^n := \Set{(x_1, \dots, x_n) \in \mdr^n | x_m \geq 0}\]
    ist. $R_{+,0}^n$ ist ein \enquote{Halbraum}.
\end{definition}

\begin{figure}[ht]
    \centering
    \subfloat[Halbraum]{
        \input{figures/topology-halfspace.tex}
        \label{fig:half-space}
    }%

    \subfloat[Pair of pants]{
        \input{figures/topology-pair-of-pants.tex}
        \label{fig:pair-of-pants}
    }%
    \subfloat[Sphäre mit einem Loch]{
        \input{figures/topology-sphere-with-hole.tex}
        \label{fig:sphere-with-hole}
    }%
    \label{Mannigfaltigkeiten mit Rand}
    \caption{Beispiele für Mannigfaltigkeiten mit Rand}
\end{figure}

\begin{definition}\xindex{Rand}
    Sei $X$ eine $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit mit Rand und
    Atlas $(U_i, \varphi_i)$. Dann heißt 
    \[\partial X := \bigcup_{i\in I} \Set{x \in U_i | \varphi_i (x)_n = 0}\]
    \textbf{Rand} von $X$.
\end{definition}

$\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.

\begin{definition}\xindex{Kartenwechsel}\xindex{bergangsfunktion}
    Sei $X$ eine $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit mit Atlas
    $(U_i, \varphi_i)_{i \in I}$

    Für $i, j \in I$ mit $U_i, U_j \neq \emptyset$ heißt
              \begin{align*}
                \varphi_{ij} &:= \varphi_j \circ \varphi_i^{-1}\\
                \varphi_i (U_i \cap U_j) &\rightarrow \varphi_j (U_i \cap U_j)
              \end{align*}
              \textbf{Kartenwechsel} oder \textbf{Übergangsfunktion}.
\end{definition}

\begin{figure}[htp]
    \centering
    \input{figures/topology-kartenwechsel.tex}
    \caption{Kartenwechsel}
    \label{fig:kartenwechsel}
\end{figure}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Mitschrieb vom 19.11.2013                                         %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Differenzierbare Mannigfaltigkeiten}
\begin{definition}
    Sei $X$ eine $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit mit Atlas $(U_i, \varphi_i)_{i \in I}$.

    \begin{enumerate}[label=\alph*)]
        \item $X$ heißt \textbf{differenzierbare Mannigfaltigkeit der Klasse $C^k$}\xindex{Mannigfaltigkeit!differenzierbare},
              wenn jede Kartenwechselabbildung $\varphi_{ij},\;i,j \in I$
              $k$-mal stetig differenzierbar ist.
        \item $X$ heißt \textbf{differenzierbare Mannigfaltigkeit}\xindex{Mannigfaltigkeit!glatte},
              wenn $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der
              Klasse $C^\infty$ ist.
    \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{definition}
    Sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Klasse $C^k$ 
    ($k \in \mdn \cup \Set{\infty}$) mit Atlas $(U_i, \varphi_i)_{i \in I}$.

    \begin{enumerate}[label=\alph*)]
        \item Eine Karte $(U, \varphi)$ auf $X$ heißt \textbf{verträglich}\xindex{verträglich}
              mit $\atlas$, wenn alle Kartenwechsel $\varphi \circ \varphi_i^{-1}$
              und $\varphi_i \circ \varphi^{-1}$ ($i \in I$ mit $U_i \cap U \neq \emptyset$)
              differenzierbar von Klasse $C^k$ sind.
        \item Die Menge aller mit $\atlas$ verträglichen Karten auf 
              $X$ bildet einen maximalen Atlas von Klasse $C^k$. Er
              heißt \textbf{$C^k$-Struktur}\xindex{$C^k$-Struktur} auf $X$.
            
              Eine $C^\infty$-Struktur heißt auch \textbf{differenzierbare Struktur}\xindex{Struktur!differenzierbare}
              auf $X$.
    \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{bemerkung}
    Für $n \geq 4$ gibt es auf $S^n$ mehrere verschiedene differenzierbare
    Strukturen, die sog. \enquote{exotische Sphären}\xindex{Sphäre!exotische}.
\end{bemerkung}

\begin{definition}
    Seien $X, Y$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Dimension
    $n$ bzw. $m$, $x \in X$.

    \begin{enumerate}[label=\alph*),ref=\theplaindefinition.\alph*]
        \item Eine stetige Abbildung $f:X \rightarrow Y$ heißt\label{def:stetigeAbbildungDiffbar}
              \textbf{differenzierbar}\xindex{Abbildung!differenzierbare}
              in $x$ (von Klasse $C^k$),
              wenn es Karten $(U, \varphi)$ von $X$ mit
              $x \in U$ und $(V, \psi)$ von $Y$ mit $f(U) \subseteq V$
              gibt, sodass $\psi \circ f \circ \varphi^{-1}$ stetig
              differenzierbar von Klasse $C^k$ in $\varphi(x)$ ist.
        \item $f$ heißt \textbf{differenzierbar}
              (von Klasse $C^k$), wenn $f$ in jedem $x \in X$ 
              differenzierbar ist.
        \item $f$ heißt \textbf{Diffeomorphismus}\xindex{Diffeomorphismus},
              wenn $f$ differenzierbar von Klasse $C^\infty$ ist und
              es eine differenzierbare Abbildung $g: Y \rightarrow X$
              von Klasse $C^\infty$ gibt mit $g \circ f = \text{id}_X$
              und $f \circ g = \text{id}_Y$.
    \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{korollar}
    Die Bedingung in Definition \ref{def:stetigeAbbildungDiffbar} hängt nicht
    von den gewählten Karten ab.
\end{korollar}

\begin{beweis}
    Seien $(U', \varphi')$ und $(V', \psi')$ Karten von $X$ bzw. $Y$
    um $x$ bzw. $f(x)$ mit $f(U') \subseteq V'$.
    
    $\Rightarrow \psi' \circ f \circ (\varphi')^{-1}$\\
    $= \psi' \circ ( \psi^{-1} \circ \psi) \circ f \circ (\varphi^{-1} \circ \varphi ) \circ (\varphi')^{-1}$

    ist genau dann differenzierbar, wenn $\psi \circ f \circ \varphi^{-1}$
    differenzierbar ist.
\end{beweis}

\begin{beispiel}
    $f: \mdr \rightarrow \mdr, \;\;\; x \mapsto x^3$ ist kein
    Diffeomorphismis, aber Homöomorphismus, da mit $g(x) := \sqrt[3]{x}$
    gilt: $f \circ g = \text{id}_\mdr, \;\;\; g \circ f = \text{id}_\text{\mdr}$
\end{beispiel}

\begin{bemerkung}
    Sei $X$ eine glatte Mannigfaltigkeit. Dann ist
    \[\text{Diffeo}(X) := \Set{f:X \rightarrow X | f \text{ ist Diffeomorphismus}}\]
    eine Untergruppe von $\text{Homöo}(X)$.
\end{bemerkung}

\begin{definition}
    $S \subseteq \mdr^3$ heißt \textbf{reguläre Fläche}\xindex{Fläche!reguläre} $:\gdw$
    $\forall s \in S\;\exists $ Umgebung $V(s) \subseteq \mdr^3$ $\exists U \subseteq \mdr^2$ offen: $\exists$ differenzierbare Abbildung
    $F: U \rightarrow V \cap S$: $\text{Rg}(J_F(u)) = 2\;\;\;\forall u \in U$.

    $F$ heißt (lokale) reguläre Parametrisierung von $S$.

    \begin{align*}
        F(u,v) &= \left (x(u,v), y(u,v), z(u,v) \right )\\
        J_F(u,v) &= \begin{pmatrix}
            \frac{\partial x}{\partial u} (p) & \frac{\partial x}{\partial v} (p)\\
            \frac{\partial y}{\partial u} (p) & \frac{\partial y}{\partial v} (p)\\
            \frac{\partial z}{\partial u} (p) & \frac{\partial z}{\partial v} (p)
        \end{pmatrix}
    \end{align*}
\end{definition}

\begin{beispiel}
    \begin{enumerate}[label=\arabic*)]
        \item Rotationsflächen: Sei $r:\mdr \rightarrow \mdr_{> 0}$
              eine differenzierbare Funktion.

              $F: \mdr^2 \rightarrow \mdr^3 \;\;\; (u,v) \mapsto (r(u) \cos (u), r(v) \sin(u), v)$


            \begin{figure}
                \centering
                \subfloat[Kugelkooridnaten]{
                    \includegraphics[width=0.4\linewidth, keepaspectratio]{figures/spherical-coordinates.pdf}
                    \label{fig:spherical-coordinates}
                }%
                \subfloat[Rotationskörper]{
                    \input{figures/solid-of-revolution.tex}
                    \label{fig:solid-of-revolution}
                }%

                \subfloat[Sinus und Cosinus haben keine gemeinsamme Nullstelle]{
                    \includegraphics[width=0.8\linewidth, keepaspectratio]{figures/sin-cos.pdf}
                    \label{fig:sin-cos}
                }%
                \label{Formen}
                %\caption{}
            \end{figure}

            \[J_F(u,v) = 
            \begin{pmatrix}
                -r(v) \sin u & r'(v) \cos u\\
                r(v) \cos u  & r'(v) \sin u\\
                 0           & 1
            \end{pmatrix}\]
            hat Rang 2 für alle $(u,v) \in \mdr^2$.
        \item Kugelkoordinaten: $F: \mdr^2 \rightarrow \mdr^3, \;\;\; (u, v) \mapsto (R \cos v \cos u, R \cos v \sin u, R \sin v)$
              $F(u,v) \in S_R^2$, denn 
                \begin{align*}
                    & R^2 \cos^2(v) \cos^2(u) + R^2 \cos^2(v) \sin^2(u) + R^2 \sin^2(v)\\
                    =& R^2 (\cos^2(v) \cos^2(u) + \cos^2(v) \sin^2(u) + \sin^2(v))\\
                    =& R^2 \left (\cos^2(v) (\cos^2(u) + \sin^2(u)) + \sin^2(v) \right)\\
                    =& R^2 \left (\cos^2(v) + \sin^2(v) \right)\\
                    =&R^2
                \end{align*}

                Die Jacobi-Matrix
                \[J_F(u,v) = 
                \begin{pmatrix}
                    -R \cos v \sin u & -R \sin v \cos u\\
                    R \cos v \cos u  & -R \sin v \sin u\\
                    0                & R \cos v
                \end{pmatrix}\]
                hat Rang 2 für $\cos v \neq 0$. In $N$ und $S$ ist
                $\cos v = 0$.
    \end{enumerate}
\end{beispiel}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Mitschrieb vom 21.11.2013                                         %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{korollar}\label{kor:regular-surface-mannigfaltigkeit}
    Jede reguläre Fläche $S \subseteq \mdr^3$ ist eine 2-dimensionale,
    differenzierbare Mannigfaltigkeit.
\end{korollar}

\begin{beweis}
    \todo{Hier muss ich nochmals drüberlesen.}
    \underline{z.Z.:} $F_j^{-1} \circ F_i$ ist Diffeomorphismus

    \begin{figure}[htp]
        \centering
        \input{figures/topology-parametric-surface-mapping.tex}
        \caption{Reguläre Fläche $S$ zum Beweis von Korollar~\ref{kor:regular-surface-mannigfaltigkeit}}
        \label{fig:parametric-surface-mapping}
    \end{figure}
    

    \underline{Idee:} Finde differenzierbare Funktion $\tilde{F_j^{-1}}$
    in Umgebung $W$ von $s$, sodass $\tilde{F_j^{-1}}|_{S \cap W} = F_j^{-1}$.

    \underline{Ausführung:} Sei $u_0 \in U_i$ mit $F_i(u_0) = s = F_j(v_0), v_0 \in U_j$.

    Da $\rang{J_{F_j}(v_0)} = 2$ ist, ist \obda 
    \[\det 
        \begin{pmatrix}
            \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\
            \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}
        \end{pmatrix} (v_0) \neq 0
    \]

    und $F_j(u,v) = \left ( x(u,v), y(u,v), z(u,v) \right)$.

    Definiere $\tilde{F_j}: U_j \times \mdr \rightarrow \mdr^3$ durch
    \[\tilde{F_j} (u, v, t) = \left(x(u,v), y(u,v), z(u,v)+t \right )\]
    
    Offensichtlich: $\tilde{F_j} |_{U_j \times \Set{0}} = F_j$

    \[J_{\tilde{F_j}} = 
    \begin{pmatrix}
        \frac{\partial x}{\partial u}   & \frac{\partial x}{\partial v} & 0\\
        \frac{\partial y}{\partial u}   & \frac{\partial y}{\partial v} & 0\\
        \frac{\partial z}{\partial u}   & \frac{\partial z}{\partial v} & 1
    \end{pmatrix} \Rightarrow \det J_{\tilde{F_j}} (v_0, 0) \neq  0\]

    $\xRightarrow{\text{Analysis II}}$ Es gibt Umgebungen $W$ von
    $F_j$ von $\tilde{F_j}(v_0, 0) = F_j(v_0) = s$, sodass $\tilde{F_j}$
    auf $W$ eine differenzierbar Inverse $F_j^{-1}$ hat.

    Weiter ist $\tilde{F_j}^{-1}|_{W \cap S} = F_j^{-1} |_{W \cap S}$
    $\Rightarrow F_j^{-1} \circ F_i |_{F_i^{-1} (W \cap S)} = F_j^{-1} \circ F_i |_{F_i^{-1} (W \cap S)}$
    ist differenzierbar.
\end{beweis}

\begin{definition}
    Sei $G$ eine Mannigfaltigkeit, $\circ: G \times G \rightarrow G$
    eine Abbildung, $(g,h) \mapsto g \cdot h$, sodass $(G, \circ)$
    eine Gruppe ist.

    \begin{enumerate}[label=(\alph*)]
        \item $G$ heißt \textbf{topologische Gruppe}\xindex{Gruppe!topologische},
              wenn die Abbildungen $\circ: G \times G \rightarrow G$
              und $\iota: G \rightarrow G$.
              \[(g, h) \mapsto g \cdot h\;\;\; g \mapsto g^{-1}\]
              stetig sind.
        \item Ist $G$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, so heißt
              $G$ \textbf{Lie-Gruppe}\xindex{Lie-Gruppe}, wenn
              $(G, \circ)$ und $(G, \iota)$ differenzierbar sind.
    \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{beispiel}
    \begin{enumerate}[label=\arabic*)]
        \item Alle endlichen Gruppen sind 0-dimensionale Lie-Gruppen.
        \item $\text{GL}_n(\mdr)$
        \item $(\mdr^\times, \cdot)$
        \item $(\mdr_{>0}, \cdot)$
        \item $(\mdr^n, +)$, denn $A \cdot B (i,j) = \sum_{k=1}^n a_{ik} b_{kj}$ ist
              nach allen Variablen differenzierbar

              $(A^{-1}) (i,j) = \frac{\det(A_{ij})}{\det A}$

              \[A_{ij} = \begin{pmatrix}
                a_{i1} & \dots  & a_{in}\\
                \vdots & \ddots & \vdots\\
                a_{n1} & \dots  & a_{nn}
              \end{pmatrix} \in \mdr^{(n-1) \times (n-1)}\]

            ist diffbar.

            $\det A_{ij}$ kann $0$ werden, da:
            \[\begin{pmatrix}1 & 1\\-1&0\end{pmatrix}\]
        \item $\text{SL}_n(\mdr) = \Set{A \in \text{GL}_n(\mdr) | \text{det}(A) = 1} $ \todo{Besser strukturieren}

              $\text{grad}(\det-1)(A) = 0$?

              $\frac{\partial}{\partial a_{11}} (\det -1) = 1 \cdot \det A_{11}$

              Es gibt $i \in \Set{1, \dots, n}$ mit $\frac{\partial}{\partial a_{1i}} (\det -1) A \neq 0$
    \end{enumerate}
\end{beispiel}

\begin{bemerkung}
    Ist $G$ eine Lie-Gruppe, $g \in G$, so ist die Abbildung
    \begin{align*}
        l_g &: G \rightarrow G\\
        h  &\mapsto g \cdot h
    \end{align*}

    ein Diffeomorphismus.
\end{bemerkung}

\section{Simplizialkomplex}
\begin{definition}
    $v_0, \dots, v_k$
    \begin{enumerate}[label=\alph*),ref=\theplaindefinition.\alph*]
        \item in allgemeiner Lage $\gdw$ es gibt keinen $(k-1)$-dimensionalen
              affinen Untervektorraum, der $v_0, \dots, v_k$ enthält
              \gdw $v_1 - v_0, \dots, v_k - v_0$ sind linear abhängig.
        \item $\text{conv}(v_0, \dots, v_k) = \Set{\sum_{i=0}^k \lambda_i v_i | \lambda_i \geq 0, \sum_{i=0}^k \lambda_i = 1} $
    \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{definition}
    \begin{enumerate}[label=\alph*),ref=\theplaindefinition.\alph*]
        \item Sei $\Delta^n = \text{conv}(e_0, \dots, e_k) \subseteq \mdr^{n+1}$ \todo{stimmen die indizes?}
              die konvexe Hülle der Standard-Basisvektoren $e_0, \dots, e_k$.
              $\Delta^k$ heißt Standard-Simplex.
        \item Für Punkte $v_0, \dots, v_k$ im $\mdr^n$ in allgemeiner
              Lage heißt $\delta (v_0, \dots, v_k) = \text{conv}(v_0, \dots, v_k)$
              ein \textbf{$k$-Simplex}\xindex{Simplex} in $\mdr^n$.
        \item Ist $\Delta (v_0, \dots, v_k)$ ein $k$-Simplex und
              $I = \Set{i_0, \dots, i_r} \subseteq \Set{0, \dots, k}$,
              so heißt $s_{i_0} \dots i_r := \text{conv}(v_{i_0}, \dots, v_{i_r})$
              \textbf{Teilsimplex}\xindex{Teilsimplex} oder \textbf{Seite}\xindex{Seite}
              von $\Delta$. $s_{i_0} \dots i_r$ ist $r$-Simplex.
    \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{figure}[ht]
    \centering
    \subfloat[0-Simplex $\Delta^0$]{
        \parbox{5cm}{\centering\input{figures/topology-simplex-0.tex}}
        \label{fig:simplex-0}
    }

    \subfloat[1-Simplex $\Delta^1$]{
        \input{figures/topology-simplex-1.tex}
        \label{fig:simplex-1}
    }%
    \subfloat[2-Simplex $\Delta^2$]{
        \input{figures/topology-simplex-2.tex}
        \label{fig:simplex-2}
    }%
    \subfloat[3-Simplex $\Delta^3$]{
        \input{figures/topology-simplex-3.tex}
        \label{fig:simplex-3}
    }%
    \label{fig:k-simplexe}
    \caption{Beispiele für $k$-Simplexe}
\end{figure}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Mitschrieb vom 21.11.2013                                         %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{definition}
    \begin{enumerate}[label=\alph*),ref=\theplaindefinition.\alph*]
        \item Eine endliche Menge $K$ von Simplizes im $\mdr^n$
              heißt (endlicher) \textbf{Simplizialkomplex}\xindex{Simplizialkomplex},
              wenn gilt:
            \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
                \item Für $\Delta \in K$ und $S \subseteq \Delta$ Teilsimplex
                      ist $S \in K$
                \item Für $\Delta_1, \Delta_2 \in K$ ist 
                      $\Delta_1 \cap \Delta_2$ leer
                      oder ein Teilsimplex von $\Delta_1$ und von 
                      $\Delta_2$
            \end{enumerate}
        \item $|K| := \bigcup_{\Delta \in K} \Delta$ (mit Spurtoplogie)
              heißt \textbf{geometrische Realisierung}\xindex{Realisierung!geometrische}
              von $K$.
        \item Ist $d = \max \Set{ k | K \text{ enthält } k-\text{Simplex}}$,
              so heißt $d$ \textbf{Dimension}\xindex{Dimension} von
              $K$.
    \end{enumerate}
\end{definition}

\xindex{Oktaeder}\xindex{Würfel}
\begin{figure}[ht]
    \centering
    \subfloat[1D Simplizialkomplex]{
        \parbox[c][4cm]{4cm}{\centering\input{figures/topology-1-d-simplizialkomplex}}
        \label{fig:simplizialkomplex-1-d}
    }%
    \subfloat[2D Simplizialkomplex (ohne untere Fläche!)]{
        \parbox[c][4cm]{4cm}{\centering\input{figures/topology-pyramid.tex}}
        \label{fig:simplizialkomplex-2-d}
    }%
    \subfloat[2D Simplizialkomplex]{
        \parbox[c][4cm]{5cm}{\centering\input{figures/topology-oktaeder.tex}}
        \label{fig:simplizialkomplex-2-d-okateder}
    }%

    \subfloat[1D Simplizialkomplex]{
        \parbox[c][4cm]{5cm}{\centering\input{figures/topology-cube.tex}}
        \label{fig:simplizialkomplex-cube}
    }%
    \subfloat[2D Simplizialkomplex]{
        \parbox[c][4cm]{5cm}{\centering\input{figures/topology-cube-divided.tex}}
        \label{fig:simplizialkomplex-cube-divided}
    }

    \subfloat[$P$ ist kein Teilsimplex, da Eigenschaft (ii) verletzt ist]{
        \parbox[c][4cm]{5cm}{\centering\input{figures/topology-triangle-no-simplicial-complex.tex}}
        \label{fig:no-simplizialkomplex-triangles}
    }%
    \subfloat[Simplizialkomplex]{
        \parbox[c][4cm]{5cm}{\centering\input{figures/topology-triangle-simplicial-complex.tex}}
        \label{fig:simplizialkomplex-triangles}
    }%
    \label{fig:simplizialkomplexe}
    \caption{Beispiele für Simplizialkomplexe}
\end{figure}

\begin{definition}
    Seien $K, L$ Simplizialkomplexe. Eine stetige Abbildung
    \[f:|K| \rightarrow |L|\]
    heißt \textbf{simplizial}\xindex{Abbildung!simpliziale}, wenn für
    jedes $\Delta \in K$ gilt:
    \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
        \item $f(\Delta) \in L$
        \item $f|_{\Delta} : \Delta \rightarrow f(\Delta)$ ist eine
              affine Abbildung.
    \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{beispiel}
    \begin{enumerate}[label=\arabic*)]
        \item $\varphi(e_1) := b_1$, $\varphi(e_2) := b_2$\\
              $\varphi$ ist eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

              \input{figures/topology-linear-mapping.tex}

        \item Folgende Abbildung $\Delta^n \rightarrow \Delta^{n-1}$ 
              ist simplizial:

              \input{figures/topology-triangle-to-line.tex}
        \item \todo[inline]{Wozu dient das Beispiel?}

            \input{figures/topology-2.tex}
    \end{enumerate}
\end{beispiel}

\begin{definition}
    Sei $K$ ein endlicher Simplizialkomplex. Für $n \geq 0$ sei
    $a_n(K)$ die Anzahl der $n$-Simplizes in $K$.

    Dann heißt 
    \[\chi(K) := \sum_{k=0}^{\dim K} (-1)^n a_n(K)\]
    \textbf{Eulerzahl}\xindex{Eulerzahl} (oder Euler-Charakteristik\index{Euler-Charakteristik|see{Eulerzahl}})
    von $K$.
\end{definition}

\begin{beispiel}
    \begin{enumerate}[label=\arabic*)]
        \item $\chi(\Delta^1) = 2 - 1 = 1$\\
              $\chi(\Delta^2) = 3 - 3 + 1 = 1$\\
              $\chi(\Delta^3) = 4 - 6 + 4 - 1 = 1$
        \item $\chi(\text{Oktaeder-Oberfläche}) = 6 - 12 + 8 = 2$\\
              $\chi(\text{Rand des Tetraeders}) = 2$\\
              $\chi(\text{Ikosaeder}) = 12 - 30 + 20 = 2$
        \item $\chi(\text{Würfel}) = 8 - 12 + 6 = 2$\\
              $\chi(\text{Würfel, unterteilt in Dreiecksflächen}) = 8 - (12 + 6) + (6 \cdot 2) = 2$
    \end{enumerate}
\end{beispiel}

\begin{korollar}
    $\chi(\Delta^n) = 1$ für jedes $n \in \mdn_0$
\end{korollar}

\begin{beweis}
    $\Delta^n$ ist die konvexe Hülle von $(e_0, \dots, e_n)$ in $\mdr^{n+1}$.
    Jede $(k+1)$-elementige Teilmenge von $\Set{e_0, \dots, e_n}$
    definiert ein $k$-Simplex.\\
    $\Rightarrow a_k(\Delta^n) = \binom{n+1}{k+1}, \;\;\; k = 0, \dots, n$\\
    $\Rightarrow \chi(\Delta^n) = \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n+1}{k+1}$\\
    $f(x) = (x+1)^{n+1} \stackrel{\substack{\tiny\text{Binomischer}\\\text{Lehrsatz}}}{=} \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} x^k$\\
    $\Rightarrow 0 = \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} (-1)^k = \chi(\Delta^n) -1$\\
    $\Rightarrow \chi(\Delta^n) = 1 \qed$
\end{beweis}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Mitschrieb vom 28.11.2013                                         %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{definition}
    \begin{enumerate}[label=\alph*),ref=\theplaindefinition.\alph*]
        \item Ein 1D-Simplizialkomplex heißt \textbf{Graph}\xindex{Graph}.
        \item Ein Graph, der homöomorph zu $S^1$ ist, heißt \textbf{Kreis}\xindex{Kreis}.
        \item Ein zusammenhängender Graph heißt \textbf{Baum}\xindex{Baum},
              wenn er keinen Kreis enthält.
    \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{figure}[ht]
    \centering
    \subfloat[Dies wird häufig auch als Multigraph bezeichnet.]{
        \parbox[c][3cm]{4cm}{\centering\input{figures/topology-graph-simple.tex}}
        \label{fig:topology-graph-simple}
    }%
    \subfloat[Planare Einbettung des Tetraeders]{
        \parbox[c][3cm]{4cm}{\centering\input{figures/topology-graph-tetraeder.tex}}
        \label{fig:topology-graph-tetraeder}
    }

    \subfloat[$K_5$]{
        \parbox[c][3cm]{4cm}{\centering\input{figures/topology-graph-k-5.tex}}
        \label{fig:k-5}
    }%
    \subfloat[$K_{3,3}$]{
        \parbox[c][3cm]{4cm}{\centering\input{figures/topology-graph-k-3-3.tex}}
        \label{fig:k-3-3}
    }%
    \label{fig:graphen-beispiele}
    \caption{Beispiele für Graphen}
\end{figure}

\begin{korollar}
    Für jeden Baum $T$ gilt $\gamma(T) = 1$.
\end{korollar}

\begin{beweis}
    Induktion über die Anzahl der Ecken.
\end{beweis}

\begin{korollar}
    \begin{enumerate}[label=\alph*),ref=\theplaindefinition.\alph*]
        \item Jeder zusammenhängende Graph $\Gamma$ enthält einen
              Teilbaum $T$, der alle Ecken von $\Gamma$ enthält.%
              \footnote{$T$ wird \enquote{Spannbaum} genannt.}
        \item Ist $n = a_1(\Gamma) = a_1(T)$, so ist $\chi(\Gamma) = 1 - n$.
    \end{enumerate}
\end{korollar}

\begin{beweis}\leavevmode
    \begin{enumerate}[label=\alph*),ref=\theplaindefinition.\alph*]
        \item Siehe \enquote{Algorithmus von Kruskal}.
        \item $\begin{aligned}[t]\chi(\Gamma) &= a_0(\Gamma) - a_1(\Gamma)\\
                                        &= a_0(\Gamma) - (n+a_1(T))\\
                                        &= a_0(T) - a_1(T) - n\\
                                        &= \chi(T) - n\\
                                        &= 1-n
              \end{aligned}$
    \end{enumerate}
\end{beweis}

\begin{korollar}\label{kor:simplex-unterteilung}
    Sei $\Delta$ ein $n$-Simplex und $x \in \Delta^\circ \subseteq \mdr^n$.
    Sei $K$ der Simplizialkomplex, der aus $\Delta$ durch 
    \enquote{Unterteilung} in $x$ entsteht. Dann ist $\chi(K) = \chi(\Delta) = 1$.
\end{korollar}

\begin{figure}[ht]
    \centering
    \subfloat[$K$]{
        \parbox{4cm}{\centering\input{figures/topology-graph-tetraeder-area.tex}}
        \label{fig:topology-simplizial-complex-k}
    }%
    \subfloat[$\Delta$, das aus $K$ durch Unterteilung entsteht]{
        \parbox{4cm}{\centering\input{figures/topology-graph-tetraeder-area-2.tex}}
        \label{fig:topology-simplizial-complex-k-division}
    }%
    \label{fig:korollar-beispiel}
    \caption{Beispiel für Korollar~\ref{kor:simplex-unterteilung}.}
\end{figure}

\begin{beweis}
    $\chi(K) = \chi(\Delta) - \underbrace{\underbrace{(-1)^n}_{n-\text{Simplex}} + \sum_{k=0}^n (-1)^k}_{(1+(-1))^{n+1}} = \chi(\Delta) \qed$
\end{beweis}

\begin{satz}[Eulersche Polyederformel]\xindex{Eulersche Polyederformel}
    Sei $P$ ein konvexes Polyeder in $\mdr^3$, d.~h. $\partial P$ ist
    ein 2-dimensionaler Simplizialkomplex, sodass gilt:
    \[\forall x,y \in \partial P: [x,y] \subseteq P\]

    Dann ist $\chi(\partial P) = 2$.
\end{satz}

\begin{beweis}\leavevmode
    \begin{enumerate}[label=\arabic*)]
        \item Die Aussage ist richtig für den Tetraeder.
        \item \Obda{} sei $0 \in P$ und $P \subseteq \fB_1(0)$. Projeziere
              $0P$ von $0$ aus auf $\partial \fB_1(0) = S^2$.
              Erhalte Triangulierung von $S^2$.
        \item Sind $P_1$ und $P_2$ konvexe Polygone und $T_1, T_2$
              die zugehörigen Triangulierungen von $S^2$, so gibt es 
              eine eine Triangulierungen $T$, die sowohl um $T_1$ als
              auch um $T_2$ Verfeinerung ist.

              \begin{center}
                  \input{figures/topology-3.tex}\todo{Was bedeutet diese Zeichnung?}
              \end{center}

              Nach Korollar~\ref{kor:simplex-unterteilung} ist
              $\chi(\partial P_1) = \chi(T_1) = \chi(T) = \chi(T_2) = \chi(\partial P_2) = 2$,
              weil \obda{} $P_2$ ein Tetraeder ist.
    \end{enumerate}
\end{beweis}

\begin{korollar}[Der Rand vom Rand ist 0]\label{kor:9.11}
    Sei $K$ ein \todo{Warum in Klammern?}{(endlicher)} Simplizialkomplex mit Eckenmenge $V$
    und $<$ eine Totalordnung auf $V$.

    Sei $A_n$ die Menge der $n$-Simplizes in $K$, d.~h.
    \[A_n(K) := \Set{ \sigma \in K | \dim(\sigma) = n}\;\;\; \text{für } n=0, \dots, d=\dim(K)\]

    und $C_n(K)$ der $\mdr$-Vektorraum mit Basis $A_n(K)$, d.~h.
    \[C_n(K) = \Set{\sum_{\sigma \in A_n(K)} c_\sigma \cdot \sigma | c_\sigma \in \mdr}\]

    Sei $\sigma = \Delta(x_0, \dots, x_n) \in A_n(K)$, sodass 
    $x_0 < x_1 < \dots < x_n$.

    Für $i = 0, \dots, n$ sei $\partial_i \sigma := \Delta(x_0, \dots, \hat{x_i}, \dots, x_n)$
    die $i$-te Seite von $\sigma$ und $d_\sigma = d_n \sigma := \sum_{i=0} (-1)^i \partial_i \sigma \in C_{n-1} (K)$
    und $d: C_n(K) \rightarrow C_{n-1}(K)$ die dadurch definierte lineare
    Abbildung.

    Dann gilt: $d_{n-1} \circ d_n = 0$
\end{korollar}

\begin{beispiel}
    \begin{figure}[h!]
        \input{figures/topology-oriented-triangle.tex}
    \end{figure}

    $a < b < c$

    $d_2 \sigma = e_1 - e_2 + e_3 = (c - b) - (c-a) + (b - a) = 0$

    \todo[inline]{Beispiel auf Tetraeder übertragen}
\end{beispiel}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Mitschrieb vom 03.12.2013                                         %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{beweis}
    Sei $\sigma \in A_n$. Dann gilt:

    \begin{align*}
        d_{n-1}(d_n \sigma) &= d_{n-1} (\sum_{i=0}^n (-1)^i \partial_i \sigma)\\
        &= \sum_{i=0}^n (-1)^i d_{n-1} (\partial_i \sigma)\\
        &= \sum_{i=0}^n (-1)^i \sum_{j=0}^{n-1} \partial_i (\partial_j \sigma) (-1)^j\\
        &= \sum_{0 \leq i \leq j \leq n-1} (-1)^{i+j} \partial_j (\partial_j (\sigma)) + \sum_{0 \leq j < i \leq n} (-1)^{i+j} \partial_{i-1} (\partial_j \sigma)\\
        &= 0
    \end{align*}
    weil jeder Summand aus der ersten Summe auch in der zweiten
    Summe vorkommt, aber mit umgekehrten Vorzeichen. $\qed$
\end{beweis}

\begin{definition}
    $Z_n := \text{Kern}(d_n) \subseteq C_n, \;\;\; B_n := \text{Bild}(d_{n+1}) \subseteq C_n$

    Nach Korollar~\ref{kor:9.11} ist $B_n \subseteq Z_n$, denn \todo{Muss das hier stehen?}
    $d_{n+1}(C) \in \text{Kern}(d_n)$ für $C \in C_{n+1}$.

    \begin{enumerate}[label=\alph*)]
        \item $H_n = H_n(K, \mdr) := Z_n / B_n$ heißt $n$-te 
              \textbf{Homotopiegruppe}\xindex{Homotopiegruppe} von $K$.
        \item $b_n(K) := \dim_{\mdr} H_n$ heißt $n$-te 
              \textbf{Belti-Zahl}\xindex{Belit-Zahl} von $K$.
    \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{minipage}{\textwidth}%don't break this theorem!
\begin{satz}
    Für jeden endlichen Simplizialkomplex $K$ der Dimension $d$ gilt:

    \[\sum_{k=0}^d (-1)^k b_k (K) = \sum_{k=0}^d (-1)^k a_k(K) = \chi(K) \]
\end{satz}
\end{minipage}

\begin{bemerkung}
    Es gilt \underline{nicht} $a_k = b_k\;\forall k \in \mdn_0$.
\end{bemerkung}

\begin{beweis}\leavevmode
    \begin{itemize}
        \item Dimensionsformel für $d_n$: $a_n = \dim Z_n + \dim B_{n-1}$ für $n \geq 1$
        \item Dimensionsformel für $Z_n \rightarrow H_n = Z_n / B_n: \dim Z_n = b_n + \dim B_n$
    \end{itemize}

    \begin{align}
        \Rightarrow \sum_{k=0}^d (-1)^k a_k &= a_0 + \sum_{k=1}^d (-1)^k (\dim Z_k + \dim B_{k-1})\\
        &= a_0 + \sum_{k=1}^d (-1)^k \dim Z_k + \sum_{k=0}^d (-1)^{k+1}  \dim B_{k-1}\\
        &= a_0 + \sum_{k=1}^d (-1)^k \dim Z_k - \sum_{k=0}^d (-1)^k  \dim B_{k-1}\\
        &= a_0 + \sum_{k=1}^{d-1} (-1)^k b_k + (-1)^d  \underbrace{\dim Z_d}_{= b_d} - \dim B_0\\
        &= b_0 + \sum_{k=1}^{d-1} (-1)^k b_k + (-1)^d b_d\\
        &= \sum_{k=0}^d (-1)^k b_k
    \end{align}
\end{beweis}

% Die Übungsaufgaben sollen ganz am Ende des Kapitels sein.
\input{Kapitel2-UB}
