\documentclass[a4paper,9pt]{scrartcl}
\usepackage{amssymb, amsmath} % needed for math
\usepackage[utf8]{inputenc} % this is needed for umlauts
\usepackage[ngerman]{babel} % this is needed for umlauts
\usepackage[T1]{fontenc}    % this is needed for correct output of umlauts in pdf
\usepackage[margin=2.5cm]{geometry} %layout
\usepackage{hyperref}   % links im text
\usepackage{color}
\usepackage{framed}
\usepackage{enumerate}  % for advanced numbering of lists
\usepackage{braket}  % needed for Set
\clubpenalty  = 10000   % Schusterjungen verhindern
\widowpenalty = 10000   % Hurenkinder verhindern

\hypersetup{ 
  pdfauthor   = {Martin Thoma}, 
  pdfkeywords = {EAZ}, 
  pdftitle    = {Einführung in die Algebra und Zahlentheorie} 
} 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Custom definition style, by                                       %
% http://mathoverflow.net/questions/46583/what-is-a-satisfactory-way-to-format-definitions-in-latex/58164#58164
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\makeatletter
\newdimen\errorsize \errorsize=0.2pt
% Frame with a label at top
\newcommand\LabFrame[2]{%
    \fboxrule=\FrameRule
    \fboxsep=-\errorsize
    \textcolor{FrameColor}{%
    \fbox{%
      \vbox{\nobreak
      \advance\FrameSep\errorsize
      \begingroup
        \advance\baselineskip\FrameSep
        \hrule height \baselineskip
        \nobreak
        \vskip-\baselineskip
      \endgroup
      \vskip 0.5\FrameSep
      \hbox{\hskip\FrameSep \strut
        \textcolor{TitleColor}{\textbf{#1}}}%
      \nobreak \nointerlineskip
      \vskip 1.3\FrameSep
      \hbox{\hskip\FrameSep
        {\normalcolor#2}%
        \hskip\FrameSep}%
      \vskip\FrameSep
    }}%
}}
\definecolor{FrameColor}{rgb}{0.25,0.25,1.0}
\definecolor{TitleColor}{rgb}{1.0,1.0,1.0}

\newenvironment{contlabelframe}[2][\Frame@Lab\ (cont.)]{% 
  % Optional continuation label defaults to the first label plus
  \def\Frame@Lab{#2}%
  \def\FrameCommand{\LabFrame{#2}}%
  \def\FirstFrameCommand{\LabFrame{#2}}%
  \def\MidFrameCommand{\LabFrame{#1}}%
  \def\LastFrameCommand{\LabFrame{#1}}%
  \MakeFramed{\advance\hsize-\width \FrameRestore} 
}{\endMakeFramed} 
\newcounter{definition}
\newenvironment{definition}[1]{%
  \par
  \refstepcounter{definition}%
  \begin{contlabelframe}{Definition \thedefinition:\quad #1}
 \noindent\ignorespaces}
{\end{contlabelframe}} 
\makeatother
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% NPC-Box                                                           %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\makeatletter
\newdimen\errorsize \errorsize=0.2pt
% Frame with a label at top
\newcommand\LabFrameNPC[2]{%
    \fboxrule=\FrameRule
    \fboxsep=-\errorsize
    \textcolor{FrameColorNPC}{%
    \fbox{%
      \vbox{\nobreak
      \advance\FrameSep\errorsize
      \begingroup
        \advance\baselineskip\FrameSep
        \hrule height \baselineskip
        \nobreak
        \vskip-\baselineskip
      \endgroup
      \vskip 0.5\FrameSep
      \hbox{\hskip\FrameSep \strut
        \textcolor{TitleColor}{\textbf{#1}}}%
      \nobreak \nointerlineskip
      \vskip 1.3\FrameSep
      \hbox{\hskip\FrameSep
        {\normalcolor#2}%
        \hskip\FrameSep}%
      \vskip\FrameSep
    }}%
}}
\definecolor{FrameColorNPC}{rgb}{0.25,0.25,0.25}
\definecolor{TitleColor}{rgb}{1.0,1.0,1.0}

\newenvironment{contlabelframenpc}[2][\Frame@Lab\ (cont.)]{% 
  % Optional continuation label defaults to the first label plus
  \def\Frame@Lab{#2}%
  \def\FrameCommand{\LabFrameNPC{#2}}%
  \def\FirstFrameCommand{\LabFrameNPC{#2}}%
  \def\MidFrameCommand{\LabFrameNPC{#1}}%
  \def\LastFrameCommand{\LabFrameNPC{#1}}%
  \MakeFramed{\advance\hsize-\width \FrameRestore} 
}{\endMakeFramed} 
\newcounter{npcproblem}
\newenvironment{satz}[2]{%
  \par
  \refstepcounter{npcproblem}%
  \begin{contlabelframenpc}{Satz \thenpcproblem:\quad {#1}}
 \noindent\ignorespaces}
{\end{contlabelframenpc}} 
\makeatother

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Begin document                                                    %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\section*{Unendlich viele Primzahlen}
\begin{satz}{Euklid}{}
Es sein $n \in \mathbb{N}$. Die Zahl $m := n! + 1$ hat einen Primteiler,
aber dieser kann nicht $\leq n$ sein, denn sonst müsste er mit $n!$
auch $1=m-n!$ teilen. Also gibt es eine Primzahl $> n \blacksquare$
\end{satz}

\begin{satz}{Euler}
\underline{Annahme:} Es gibt nur endlich viele Primzahlen $\Set{p_1, \dots, p_k}$
mit $p_1 < \dots < p_k$

Es gilt:

\begin{align*}
	\prod_{i=1}^k \frac{1}{1-p_i^{-1}} &= \prod_{i=1}^k \left ( \sum_{i=1}^\infty p_i^{j_i} \right )\\
	&= \sum_{j_1 = 0}^\infty \sum_{j_2=0}^\infty \dots \sum_{j_k = 0}^\infty p_1^{-j_1} \cdot p_2^{-j_2} \cdot \dots \cdot p_k^{-j_k}\\
	&= \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}
\end{align*}
\end{satz}

\begin{satz}{Dirichlets Primzahlsatz}{}
Es sei $n \in \mathbb{N}$ beliebig. Dann gibt es unendlich viele
Primzahlen $p \cong 1 \mod n$.
\end{satz}

\section*{Sylowsätze}
\begin{satz}{Erster Sylowsatz}
	Es seien $G$ eine endliche Gruppe und $p$ eine Primzahl. Dann existiert in $G$
	mindestens eine $p$-Sylowgruppe.
\end{satz}

\begin{satz}{Zweiter Sylowsatz}
	Es seien $G$ eine endliche Gruppe und $p$ eine Primzahl. Weiter sei $\#G = p^e \cdot f$
	die Zerlegung von $\#G$ in eine $p$-Potenz und eine Zahl $f$, die kein Vielfaches
	von $p$ ist.

	Dann gelten die folgenden Aussagen:

	\begin{enumerate}
		\item Jede $p$-Untergruppe $H$ von $G$ ist in einer $p$-Sylowgruppe von $G$ enthalten.
		\item Je zwei $p$-Sylowgruppen von $G$ sind zueinander konjugiert.
		\item Die Anzahl der $p$-Sylowgruppen ist ein Teiler von $f$.
		\item Die Anzahl der $p$-Sylowgruppen von $G$ lässt bei Division durch $p$ Rest $1$.
	\end{enumerate}
\end{satz}

\section*{Endliche Körper}
\begin{definition}{Legendre-Symbol}
Es sein $p \geq 3$ eine Primzahl. Für $a \in \mathbb{Z}$ sei

\[\left(\frac{a}{p}\right) := \begin{cases}
1 & \mbox{wenn } a \mbox{ quadratischer Rest modulo } p \mbox{ ist} \\
-1 & \mbox{wenn } a \mbox{ quadratischer Nichtrest modulo } p \mbox{ ist} \\
0 & \mbox{wenn } a \mbox{ ein Vielfaches von } p \mbox{ ist}
\end{cases} \]
\end{definition}

\subsection*{Rechenregeln und Beispiele für das Legendre-Symbol}
\begin{itemize}
	\item[(I)] Eulers Kriterium: $\left(\frac{a}{p}\right) = a^\frac{p-1}{2} \mod p$
	\item[(II)] Strikt multiplikativ im Zähler: $\left(\frac{a \cdot b}{p}\right) = \left(\frac{a}{p}\right) \cdot \left(\frac{b}{p}\right)$
	\item[(III)] $a \equiv b \mod p \Rightarrow \left(\frac{a}{p}\right) = \left(\frac{b}{p}\right)$
	\item[(IV)] $\left(\frac{a}{3}\right) = a \mod 3$
	\item[(V)] Quadratische Reziprozitätsgesetz: Es seinen $p \neq l$ zwei ungerade Primzahlen. Dann gilt:\\
		$\left(\frac{p}{l}\right) \cdot \left(\frac{l}{p}\right) = 
				(-1)^{\frac{p-1}{2} \cdot \frac{l-1}{2}}
				$
	\item[(VI)] Erste Ergänzung: $\left(\frac{-1}{p}\right) = 
				\begin{cases}
					1 	& \text{, falls } p \equiv 1 \mod 4\\
				   -1	& \text{, falls } p \equiv 3 \mod 4
				\end{cases}
				$
	\item[(VII)] Zweite Ergänzung: $\left(\frac{2}{p}\right) = 
				\begin{cases}
					1 	& \text{, falls } p \equiv \pm 1 \mod 8\\
				   -1	& \text{, falls } p \equiv \pm 3 \mod 8
				\end{cases}
				$
	\item 2 ist quadratischer Rest modulo 7, da: $2 \equiv 3^2 \mod 7$
\end{itemize}

\subsection*{Weiteres}
\begin{itemize}
	\item Die Charakteristik eines endlichen Körpers $F$ ist eine Primzahl 
          $p$ und $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ ist ein Teilring von $F$.
	\item Die Kardinalität von $F$ ist eine Potenz vom $p$.
	\item $F^\times$ ist zyklisch.
	\item $F$ ist ein Restklassenkörper des Polynomrings $\mathbb{F}_p [X]$
\end{itemize}

\section*{Elementarteiler}
Will man die Elementarteiler einer Matrix $M$ berechnen, so gilt:
\begin{itemize}
	\item $e_1$ ist ggT aller Matrixeinträge
	\item $\prod_{i=1}^r e_i = |\det(M)|$
\end{itemize}

\section*{Weiteres}
In alten Klausuren begegnen uns desöfteren Ringe der Form $Z[\sqrt{d}]$. 
In diesem Zusammenhang begegnet uns die Normabbildung. 
(Ein Beispiel, das in der Vorlesung gesehen wurde, waren die gauß'schen Zahlen.)

Wie können wir die Norm dafür benutzen, um Zerlegungen von Elementen zu finden oder deren Unzerlegbarkeit zu zeigen?
\end{document}
