%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Mitschrieb vom 03.12.2013 % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \chapter{Fundamentalgruppe und Überlagerungen} \section{Homotopie von Wegen} \begin{figure}[ht] \centering \subfloat[$\gamma_1$ und $\gamma_2$ sind homotop, da man sie \enquote{zueinander verschieben} kann.]{ \input{figures/topology-homotop-paths.tex} \label{fig:homotope-wege-anschaulich} }\hspace{1em}% \subfloat[$\gamma_1$ und $\gamma_2$ sind wegen dem Hindernis nicht homotop.]{ \input{figures/topology-non-homotop-paths.tex} \label{fig:nicht-homotope-wege-anschaulich} } \label{Formen} \caption{Beispiele für Wege $\gamma_1$ und $\gamma_2$} \end{figure} \begin{definition} Sei $X$ ein topologischer Raum, $a, b \in X$, $\gamma_1, \gamma_2: [0,1] \rightarrow X$ Wege von $a$ nach $b$, d.~h. $\gamma_1(0) = \gamma_2(0) = a$, $\gamma_1(1) = \gamma_2(1) = b$ \begin{enumerate}[label=\alph*)] \item $\gamma_1$ und $\gamma_2$ heißen \textbf{homotop}\xindex{homotop}, wenn es eine stetige Abbildung \[H(t,0) = \gamma_1(t), H(t,1) = \gamma_2(t) \;\;\; \forall t \in [0,1] =: I \] und $H(0,s) = a$ und $H(1,s) = b$ für alle $s \in I$ gibt. Dann schreibt man: $\gamma_1 \sim \gamma_2$ $H$ heißt \textbf{Homotopie}\xindex{Homotopie} zwischen $\gamma_1$ und $\gamma_2$. \item $\gamma_s: I \rightarrow X, \gamma_s(t) = H(t,s)$ ist Weg in $X$ von $a$ nach $b$ für jedes $s \in I$. \end{enumerate} \end{definition} \begin{korollar} \enquote{Homotop} ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge aller Wege in $X$ von $a$ nach $b$. \end{korollar} \begin{beweis}\leavevmode \begin{itemize} \item reflexiv: $H(t,s) = \gamma(t)$ für alle $t,s \in I \times I$ \item symmetrisch: $H'(t,s) = H(t,1-s)$ für alle $t,s \in I \times I$ \item transitiv: Seien $H'$ bzw. $H''$ Homotopien von $\gamma_1$ nach $\gamma_2$ bzw. von $\gamma_2$ nach $\gamma_3$. Dann sei $H(t,s) := \begin{cases} H'(t, 2s) &\text{falls } 0 \leq s \leq \frac{1}{2}\\ H''(t, 2s-1) &\text{falls } \frac{1}{2} \leq s \leq 1\end{cases}$ $\Rightarrow$ $H$ ist stetig und Homotopie von $\gamma_1$ nach $\gamma_2$ \end{itemize} $\qed$ \end{beweis} \begin{beispiel} \begin{enumerate}[label=\arabic*)] \item Sei $X = S^1$. $\gamma_1$ und $\gamma_2$ aus Abb.~\ref{fig:circle-two-paths} nicht homöotop. \begin{figure} \centering \input{figures/topology-circle-two-paths.tex} \caption{Kreis mit zwei Wegen} \label{fig:circle-two-paths} \end{figure} \item Sei $X = T^2$. $\gamma_1, \gamma_2$ und $\gamma_3$ aus Abb.~\ref{fig:torus-three-paths} sind paarweise nicht homöotop. \begin{figure} \centering \input{figures/todo.tex} \caption{Torus mit drei Wegen} \label{fig:torus-three-paths} \end{figure} \item Sei $X = \mdr^2$ und $a=b=(0,0)$. Je zwei Wege im $\mdr^2$ mit Anfangs- und Enpunkt $(0,0)$ sind homöotop. \begin{figure} \centering \input{figures/topology-paths-in-r2.tex} \caption{Zwei Wege im $\mdr^2$ mit Anfangs- und Enpunkt $(0,0)$} \label{fig:torus-three-paths} \end{figure} Sei $\gamma_0: I \rightarrow \mdr^2$ der konstante Weg $\gamma_0(t) = 0 \; \forall t \in I$. Sei $\gamma(0) = \gamma(1) = 0$. $H(t,s) := (1-s) \gamma(t)$ ist stetig, $H(t,0) = \gamma(t)\; \forall t \in I$ und $H(t,1) = 0 \; \forall t \in I$ \end{enumerate} \end{beispiel} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Mitschrieb vom 05.12.2013 % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{korollar}\label{kor:homotope-wege} Sei $X$ ein topologischer Raum, $\gamma: I \rightarrow X$ ein Weg und $\varphi: I \rightarrow I$ stetig mit $\varphi(0) = 0$, $\varphi(1) = 1$. Dann sind $\gamma$ und $\gamma \circ \varphi$ homotop. \end{korollar} \begin{beweis} Sei $H (t,s) = \gamma ((1-s) t + s \cdot \varphi(t))$. $H$ ist stetig, $H(t,0) = \gamma(t)\;\;\; H(t,1) = \gamma ( \varphi(t))$, $H(0,s) = \gamma(0),\;\;\; H(1,s) = \gamma(1-s+s) = \gamma(1)$\\ $\Rightarrow H$ ist Homotopie. \end{beweis} \begin{definition}\xindex{Weg!zusammengesetzter} Seien $\gamma_1, \gamma_2$ Wege in $X$ mit $\gamma_1(1) = \gamma_2(0)$. Dann ist \[\gamma (t) = \begin{cases} \gamma_1(2t) &\text{falls} 0 \leq t < \frac{1}{2}\\ \gamma_2(2t-1) &\text{falls} \frac{1}{2} \leq t \leq 1 \end{cases}\] ein Weg in $X$. Er heißt \textbf{zusammengesetzter Weg} und man schreibt $\gamma = \gamma_1 * \gamma_2$. \end{definition} \begin{korollar}\label{kor:assoziativitaet-von-zusammensetzen-von-wegen} Das zusammensetzen von Wegen ist nur bis auf Homotopie assoziativ, d.~h.: \begin{align*} \gamma_1 * (\gamma_2 * \gamma_3) &\neq (\gamma_1 * \gamma_2) * \gamma_3\\ \gamma_1 * (\gamma_2 * \gamma_3) &\sim (\gamma_1 * \gamma_2) * \gamma_3 \end{align*} mit $\gamma_1(1)=\gamma_2(0)$ und $\gamma_2(1) = \gamma_3(0)$. \end{korollar} \begin{beweis} \begin{figure}[ht] \centering \subfloat[$\gamma_1 * (\gamma_2 * \gamma_3)$]{ \input{figures/todo.tex} \label{fig:assotiativitaet-von-wegen-a} }% \subfloat[$(\gamma_1 * \gamma_2) * \gamma_3$]{ \input{figures/todo.tex} \label{fig:assotiativitaet-von-wegen-b} }% \label{fig:assoziativitaet-von-wegen} \caption{Das Zusammensetzen von Wegen ist nicht assoziativ} \end{figure} Das Zusammensetzen von Wegen ist wegen Korollar~\ref{kor:homotope-wege} bis auf Homotopie assoziativ, da \[\gamma(t) = \begin{cases} \frac{1}{2} t &\text{falls } 0 \leq t < \frac{1}{2}\\ t - \frac{1}{4} &\text{falls } \frac{1}{2} \leq t < \frac{3}{4}\\ 2t - 1 &\text{falls } \frac{3}{4} \leq t \leq 1 \end{cases}\] \end{beweis} \begin{korollar}\label{kor:bemerkung-10-6} Sei $X$ ein topologischer Raum, $a,b,c \in X$, $\gamma_1, \gamma_1'$ Wege von $a$ nach $b$, $\gamma_2, \gamma_2'$ Wege von $b$ nach $c$. Sind $\gamma_1 \sim \gamma_1'$ und $\gamma_2 \sim \gamma_2'$, so ist $\gamma_1 * \gamma_2 \sim \gamma_1 ' * \gamma_2'$. \end{korollar} \begin{figure} \centering \input{figures/todo.tex} \caption{Situation aus Korollar~\ref{kor:bemerkung-10-6}}. \label{fig:situation-bemerkung-10-6} \end{figure} \begin{beweis} Sei $H_i$ eine Homotopie zwischen $\gamma_i$ und $\gamma_i'$, $i=1,2$. Dann ist \[H(t,s) := \begin{cases} H_1(2t, s) &\text{falls } 0 \leq t \leq \frac{1}{2}\;\;\;\forall s \in I\\ H_2(2t-1,s) &\text{falls } \frac{1}{2} \leq t \leq 1 \end{cases}\] Homotopie zwischen $\gamma_1 * \gamma_2$ und $\gamma_1' * \gamma_2 '$ (!) \todo[inline]{Hier fehlt noch was} \end{beweis} \section{Fundamentalgruppe} Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Homotopieklasse}. \begin{definition} Sei $X$ ein topologischer Raum und $x \in X$. Sei außerdem \[\pi_1(X,x) := \Set{[\gamma] | \gamma \text{ ist Weg in } X \text{ mit } \gamma(0) = \gamma(1) = x}\] Durch $[\gamma_1] * [\gamma_2] : = [\gamma_1 * \gamma_2]$ wird $\pi_1(X,x)$ zu einer Gruppe. Diese Gruppe heißt \textbf{Fundamentalgruppe}\xindex{Fundamentalgruppe} in $X$ im Basispunkt $x$. \end{definition} \begin{bemerkung} Im $\mdr^2$ gibt es nur eine Homotopieklasse. \end{bemerkung} \begin{beweis}{Fundamentalgruppe ist eine Gruppe} \begin{enumerate}[label=\alph*)] \item Abgeschlossenheit folgt aus \todo{?} \item Assoziativität folgt aus Korollar~\ref{kor:assoziativitaet-von-zusammensetzen-von-wegen} \item Neutrales Element $e = [\gamma_0], \gamma_0(t) = x \;\;\; \forall t \in I$. $e * [\gamma] = [\gamma] = [\gamma] * e$, da $\gamma_0 * \gamma \sim \gamma$ \begin{figure} \centering \input{figures/todo.tex} \caption{Bis auf Parametrisierung sind $\gamma_0 * \gamma$ und $\gamma$ das selbe}. \label{fig:weg-zusammengesetzt-mit-neutralem-weg} \end{figure} \item Inverses Element $[\gamma]^{-1} = [\overline{\gamma}] = [\gamma(1-t)]$, denn $\overline{\gamma} * \gamma \sim \gamma_0 \sim \gamma * \overline{\gamma}$ \end{enumerate} \end{beweis} \begin{beispiel} \begin{enumerate}[label=\arabic*)] \item $S^1 = \Set{z \in \mdc | |z| = 1} = \Set{(\cos \varphi, \sin \varphi) \in \mdr^2 | 0 \leq \varphi \leq 2 \pi}$ $\pi_1 (S^1, 1) = \Set{[\gamma^k] | k \in \mdz} \cong \mdz$ $[\gamma^k] \mapsto k$ \item $\pi_1 (\mdr^2, 0) = \pi_1 (\mdr^2, x) = \Set{e}$ für jedes $x \in \mdr^2$ \item $\pi_1 (\mdr^n, x) = \Set{e}$ für jedes $x \in \mdr^n$ \item $G \subseteq \mdr^n$ \todo{hier fehlt was}heißt bzgl. $x \in G$, wenn für jedes $y \in G$ auch die Strecke $[x, y] \subseteq G$ ist. Für jedes sternförmige $G \subseteq \mdr^n$ ist $\pi_1(G,x) = \Set{e}$ \begin{figure}[ht] \centering \subfloat[TODO]{ \input{figures/todo.tex} \label{fig:wege-zueinander-zusammenziehen} }\hspace{1em}% \subfloat[Sternförmiges Gebiet]{ \input{figures/todo.tex} \label{fig:sternfoermiges-gebiet} } \label{fig:Gebiete} \caption{TODO} \end{figure} \item $\pi_1(S^2, x_0) = \Set{e}$, da im $\mdr^2$ alle Wege homotop zu $\Set{e}$ sind. Mithilfe der stereographischen Projektion kann von $S^2$ auf den $\mdr^2$ abgebildet werden. Dieses Argument funktioniert nicht mehr bei flächendeckenden Wegen! \end{enumerate} \end{beispiel} \begin{korollar}\label{kor:gruppenisomorphismus-wege} Sei $X$ ein topologischer Raum, $a,b \in X$, $\delta: I \rightarrow X$ ein Weg von $a$ nach $b$. Dann ist die Abbildung \[\alpha: \pi_1 (X, a) \rightarrow \pi_1(X,b)\;\;\;[\gamma] \mapsto [\overline{\delta} * \gamma * \delta]\] ein Gruppenisomorphismus. \end{korollar} \begin{figure} \centering \input{figures/todo.tex} \caption{Situation aus Korollar~\ref{kor:gruppenisomorphismus-wege}}. \label{fig:situation-gruppenisomorphismus-wege} \end{figure} \begin{beweis} \begin{align*} \alpha([\gamma_1] * [\gamma_2]) &= [\overline{\delta} * (\gamma_1 \gamma_2) * \delta]\\ &= [\overline{\delta} * \gamma_1 * \delta * \overline{\delta} * \gamma_2 * \delta] &= [\overline{\delta} * \gamma_1 * \delta] * [\overline{\delta} * \gamma_2 * \delta]\\ &= \alpha([\gamma_1]) * \alpha([\gamma_2]) \end{align*} \end{beweis} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Tânias Mitschrieb vom 10.12.2013 % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{definition}\xindex{einfach zusammenhängend}%11.4 Ein wegzusammenhängender topologischer Raum $X$ heißt \textbf{einfach zusammenhängend}, wenn $\pi_1(X,x) = \Set{e}$ für ein \todo{was denn nun?}{(jedes)} $x \in X$. \end{definition} \begin{korollar}\label{korr:11.5} Es seien $X, Y$ topologische Räume, $f:X \rightarrow Y$ eine stetige Abbildung, $x \in X, y := f(x) \in Y$. \begin{enumerate}[label=\alph*)] \item Dann ist die Abbildung $f_* : \pi_1(X,x) \rightarrow \pi_1(Y, y), [y] \rightarrow [f \circ y]$ ein Gruppenhomomorphismus. \item Ist $Z$ ein weiterer topologischer Raum und $g: Y \rightarrow Z$ eine stetige Abbildung $z:= g(y)$. Dann ist $(g \circ f)_* = g_* \circ f_*: \pi_1(X,x) \rightarrow \pi_1(Z,z)$ \end{enumerate} \end{korollar} \begin{figure} \centering \input{figures/todo.tex} \caption{Situation aus Korollar~\ref{korr:11.5}} \label{fig:kor-bem-11.5} \end{figure} \begin{beweis} \begin{enumerate}[label=\alph*)] \item $f_*$ ist wohldefiniert: Seien $\gamma_1, \gamma_2$ homotope Wege von $x$. z.Z.: $f \circ \gamma_1 \sim f \circ \gamma_2$: Nach Voraussetzung gibt es stetige Abbildungen $H:I\times I \rightarrow X$ mit $H(t,0) = \gamma_1(t), H(t,1) = \gamma_2(t), H(0,S) = H(1, S) = x$. Dann ist $f \circ H: I \times I \rightarrow Y$ mit \todo{Warum die Punkte?}{\dots} $(f \circ H)(t,0) = f(H(t,0)) = f(\gamma_1(t)) = (f \circ \gamma_1)(t)$ etc. $\Rightarrow f \circ \gamma_1 \sim f \circ \gamma_2$. $f_*([\gamma_1] * [\gamma_2]) = [f \circ (\gamma_1 * \gamma_2)] = [(f \circ \gamma_1)] * [(f \circ \gamma_2)] = f_*([\gamma_1]) * f_*([\gamma_2])$ \item $(g \circ f)_* ([\gamma]) = [(g \circ f) \circ \gamma] = [g \circ (f \circ \gamma)] = g_* ([f \circ \gamma]) = g_* (f_* ([\gamma])) = (g_* \circ f_*)([\gamma])$ \end{enumerate} \end{beweis} \begin{beispiel} \begin{enumerate}[label=\arabic*)] \item $f:S^1 \hookrightarrow \mdr^2$ ist injektiv, aber $f_*:\pi_1(S^1, 1) \cong \mdz \rightarrow \pi_1(\mdr^2, 1) -0 \Set{e}$ ist nicht injektiv \item $f: \mdr \rightarrow S^1, t \mapsto (\cos 2 \pi t, \sin 2 \pi t)$ ist surjektiv, aber $f_*: \pi_1(\mdr, 0) = \Set{e} \rightarrow \pi_1(S^2, 1) \cong \mdz$ ist nicht surjektiv \end{enumerate} \end{beispiel} \begin{korollar}%Folgerung 11.6 Ist $f:X \rightarrow Y$ ein Homöomorphismus zwischen topologischen Räumen $X, Y$, so ist $f_*: \pi_1(X,x) \rightarrow \pi_1(Y, f(x))$ ein Isomorphismus für jedes $x \in X$. \end{korollar} \begin{beweis} Sei $g: Y \rightarrow X$ die Umkehrabbildung, d.~h. $g$ ist stetig und $f \circ g = \text{id}_Y$, $g \circ f = \text{id}_X$ $\Rightarrow f_* \circ g_* = (f \circ g)_* = (\text{id}_Y)_* = \text{id}_{\pi_1 (Y, f(X)}$ und $g_* \circ f_* = \text{id}_{\pi_1(X,x)}$. \end{beweis} \begin{definition}\xindex{homotop} Seien $X, Y$ topologische Räume, $x_0 \in X, y_0 \in Y, f, g: X \rightarrow Y$ stetig mit $f(x_0) = y_0 = g(x_0)$. $f$ und $g$ heißen \textbf{homotop} ($f \sim g$), wenn es eine stetige Abbildung $H: X \times I \rightarrow Y$ gibt mit $H(X,0) = f(X), H(X,1)=g(x)$ für alle $x \in X$ und $H(x_0, S) = y_0$ für alle $s \in I$. \end{definition} \begin{korollar} Sind $f$ und $g$ homotop, so ist $f_* = g_*: \pi_1 (X, x_0) \rightarrow \pi_1(Y, y_0)$. \end{korollar} \begin{beweis} Sei $\gamma$ ein geschlossener Weg in $X$ um $x_0$, d.~h. $[\gamma] \in \pi_1 (X, x_0)$. Z.~Z.: $f \circ \gamma \sim g \circ \gamma$ Sei dazu $H_\gamma: I \times I \rightarrow Y, (t,s) \mapsto H(\gamma(t), S)$. Dann gilt: $H_\gamma (t,0) = H(\gamma(t), 0) = (g \circ \gamma)(t)$, $H_\gamma(1,s) = H(\gamma(1), s) = H(x_0, s) = y_0$ für alle $s$. \end{beweis} \begin{beispiel} $f:X \rightarrow Y, g: Y \rightarrow X$ mit $g \circ f \sim \text{id}_X,$ $f \circ g \sim \text{id}_Y$ $\Rightarrow f_*$ ist Isomorphismus. Konkret: $f: \mdr^2 \rightarrow \Set{0},$ $g:\Set{0} \rightarrow \mdr^2$ $\Rightarrow f \circ g = \text{id}_{\Set{0}}$, $g \circ f: \mdr^2 \rightarrow \mdr^2$, $x \mapsto 0$ für alle $x$. $g \circ f \sim \text{id}_{\mdr^2}$ mit Homotopie: $H: \mdr^2 \times I \rightarrow \mdr^2, H(x,S) = (1-s) x$ (stetig!) $\Rightarrow H(X,0) = X = \text{id}_{\mdr^2} (X), H(X, 1) = 0, H(0, s) = 0$ für alle $s \in I$ \end{beispiel} \begin{satz}[Satz von Seifert und van Kampen \enquote{light}]\label{thm:seifert-van-kampen} Sei $X$ ein topologischer Raum, $U, V \subseteq X$ offen mit $U \cup V = X$ und $U \cap V$ wegzusammenhängend. Dann wird $\pi_1(X,x)$ für $x \in U \cap V$ erzeugt von geschlossenen Wegen um $x$, die ganz in $U$ oder ganz in $V$ verlaufen. \end{satz} \begin{figure} \centering \input{figures/todo.tex} \caption{Situation aus Satz~\ref{thm:seifert-van-kampen}} \label{fig:satz-seifert-van-kampen} \end{figure} \begin{beweis} Sei $\gamma: I \rightarrow X$ ein geschlossener Weg von $x$. Überdecke $I$ mit endlich vielen offenen Intervallen, die ganz in $\gamma^{-1}(U)$ oder ganz in $\gamma^{-1}(V)$ liegen. \begin{figure} \centering \input{figures/todo.tex} \caption{Situationsskizze} \label{fig:intervalle-auf-01} \end{figure} \Obda sei $\gamma(I_1) \subseteq U, \gamma(I_2) \subseteq V$, etc. Wähle $t_i \in I_i \cap I_{i+1}$, also $\gamma(t_i) \in U \cap V$. Sei $\sigma_i$ Weg in $U \cap V$ von $x_0$ nach $\gamma(t_i) \Rightarrow \gamma$ ist homotop zu \[\underbrace{\gamma_1 * \overline{\sigma_1}}_{\text{in } U} * \underbrace{\sigma_1 * \gamma_2 * \overline{\sigma_2}}_{\text{in } V} * \dots * \sigma_{n-1} * \gamma_2\] \end{beweis} \begin{beispiel} \begin{enumerate}[label=\arabic*)] \item \begin{figure} \centering \input{figures/todo.tex} \caption{Topologischer Raum $X$} \label{fig:top-raum-kreise} \end{figure} $\pi_1(X,x)$ wird \enquote{frei} erzeugt von $a$ und $b$, weil $\pi_1(U,x) = \cong \mdz, \pi_1(V,x) = \cong \mdz$, insbesondere ist $a*b$ nicht homotop zu $b*a$. \item Torus: $\pi_1(T^2, X)$ wird erzeugt von $a$ und $b$. \begin{figure} \centering \input{figures/todo.tex} \caption{$a*b = b*a \Leftrightarrow a * b * \overline{a} * \overline{b} \sim e$} \label{fig:torous-a-b} \end{figure} \end{enumerate} \end{beispiel} % Die Übungsaufgaben sollen ganz am Ende des Kapitels sein. \input{Kapitel3-UB}