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% Mitschrieb vom 03.12.2013                                         %
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\chapter{Fundamentalgruppe und Überlagerungen}
\section{Homotopie von Wegen}
\begin{figure}[ht]
    \centering
    \subfloat[$\gamma_1$ und $\gamma_2$ sind homotop, da man sie 
             \enquote{zueinander verschieben} kann.]{
        \input{figures/topology-homotop-paths.tex}
        \label{fig:homotope-wege-anschaulich}
    }\hspace{1em}%
    \subfloat[$\gamma_1$ und $\gamma_2$ sind wegen dem Hindernis nicht homotop.]{
        \input{figures/topology-non-homotop-paths.tex}
        \label{fig:nicht-homotope-wege-anschaulich}
    }
    \label{Formen}
    \caption{Beispiele für Wege $\gamma_1$ und $\gamma_2$}
\end{figure}

\begin{definition}
    Sei $X$ ein topologischer Raum, $a, b \in X$, 
    $\gamma_1, \gamma_2: [0,1] \rightarrow X$ Wege von $a$ nach $b$,
    d.~h. $\gamma_1(0) = \gamma_2(0) = a$, $\gamma_1(1) = \gamma_2(1) = b$

    \begin{enumerate}[label=\alph*)]
        \item $\gamma_1$ und $\gamma_2$ heißen \textbf{homotop}\xindex{homotop},
              wenn es eine stetige Abbildung
              \[H(t,0) = \gamma_1(t), H(t,1) = \gamma_2(t) \;\;\; \forall t \in [0,1] =: I \]
              und $H(0,s) = a$ und $H(1,s) = b$ für alle $s \in I$ gibt.
              Dann schreibt man: $\gamma_1 \sim \gamma_2$

              $H$ heißt \textbf{Homotopie}\xindex{Homotopie} zwischen
              $\gamma_1$ und $\gamma_2$.
        \item $\gamma_s: I \rightarrow X, \gamma_s(t) = H(t,s)$ ist
              Weg in $X$ von $a$ nach $b$ für jedes $s \in I$.
    \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{korollar}
    \enquote{Homotop} ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge aller
    Wege in $X$ von $a$ nach $b$.
\end{korollar}

\begin{beweis}\leavevmode
    \begin{itemize}
        \item reflexiv: $H(t,s) = \gamma(t)$ für alle $t,s \in I \times I$
        \item symmetrisch: $H'(t,s) = H(t,1-s)$ für alle $t,s \in I \times I$
        \item transitiv: Seien $H'$ bzw. $H''$ Homotopien von $\gamma_1$
              nach $\gamma_2$ bzw. von $\gamma_2$ nach $\gamma_3$.

              Dann sei $H(t,s) := \begin{cases}
              H'(t, 2s)    &\text{falls } 0 \leq s \leq \frac{1}{2}\\
              H''(t, 2s-1) &\text{falls } \frac{1}{2} \leq s \leq 1\end{cases}$

              $\Rightarrow$ $H$ ist stetig und Homotopie von $\gamma_1$ nach 
              $\gamma_2$
    \end{itemize}
    $\qed$
\end{beweis}

\begin{beispiel}
    \begin{enumerate}[label=\arabic*)]
        \item Sei $X = S^1$. $\gamma_1$ und $\gamma_2$ aus 
              Abb.~\ref{fig:circle-two-paths} nicht homöotop.
              \begin{figure}
                \centering
                \input{figures/topology-circle-two-paths.tex}
                \caption{Kreis mit zwei Wegen}
                \label{fig:circle-two-paths}
              \end{figure}
        \item Sei $X = T^2$. $\gamma_1, \gamma_2$ und $\gamma_3$
              aus Abb.~\ref{fig:torus-three-paths} sind paarweise
              nicht homöotop.
              \begin{figure}
                \centering
                \includegraphics[width=0.5\linewidth, keepaspectratio]{figures/todo/torus-three-paths.jpg}
                \caption{Torus mit drei Wegen}
                \label{fig:torus-three-paths}
              \end{figure}
        \item Sei $X = \mdr^2$ und $a=b=(0,0)$. 

              Je zwei Wege im $\mdr^2$ mit Anfangs- und Enpunkt $(0,0)$
              sind homöotop.

              \begin{figure}
                \centering
                \input{figures/topology-paths-in-r2.tex}
                \caption{Zwei Wege im $\mdr^2$ mit Anfangs- und Enpunkt $(0,0)$}
                \label{fig:torus-three-paths}
              \end{figure}

              Sei $\gamma_0: I \rightarrow \mdr^2$ der konstante Weg
              $\gamma_0(t) = 0 \; \forall t \in I$. Sei
              $\gamma(0) = \gamma(1) = 0$.

              $H(t,s) := (1-s) \gamma(t)$ ist stetig, 
              $H(t,0) = \gamma(t)\; \forall t \in I$ und
              $H(t,1) = 0 \; \forall t \in I$
    \end{enumerate}
\end{beispiel}

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% Mitschrieb vom 05.12.2013                                         %
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\begin{korollar}\label{kor:homotope-wege}
    Sei $X$ ein topologischer Raum, $\gamma: I \rightarrow X$ ein 
    Weg und $\varphi: I \rightarrow I$ stetig mit $\varphi(0) = 0$,
    $\varphi(1) = 1$. Dann sind $\gamma$ und $\gamma \circ \varphi$
    homotop.
\end{korollar}

\begin{beweis}
    Sei $H (t,s) = \gamma ((1-s) t + s \cdot \varphi(t))$.

    Dann ist $H$ stetig, $H(t,0) = \gamma(t),\;\;\; H(t,1) = \gamma ( \varphi(t)),\;\;\;$
    $H(0,s) = \gamma(0)$ und $H(1,s) = \gamma(1-s+s) = \gamma(1)$\\
    $\Rightarrow H$ ist Homotopie. $\qed$
\end{beweis}

\begin{definition}\xindex{Weg!zusammengesetzter}
    Seien $\gamma_1, \gamma_2$ Wege in $X$ mit $\gamma_1(1) = \gamma_2(0)$.
    Dann ist 
    \[\gamma (t) = \begin{cases}
        \gamma_1(2t)   &\text{falls} 0 \leq t < \frac{1}{2}\\
        \gamma_2(2t-1) &\text{falls} \frac{1}{2} \leq t \leq 1
      \end{cases}\]
    ein Weg in $X$. Er heißt \textbf{zusammengesetzter Weg} und man
    schreibt $\gamma = \gamma_1 * \gamma_2$.
\end{definition}

\begin{korollar}\label{kor:assoziativitaet-von-zusammensetzen-von-wegen}
    Das zusammensetzen von Wegen ist nur bis auf 
    Homotopie assoziativ, d.~h.:
    \begin{align*}
        \gamma_1 * (\gamma_2 * \gamma_3) &\neq (\gamma_1 * \gamma_2) * \gamma_3\\
        \gamma_1 * (\gamma_2 * \gamma_3) &\sim (\gamma_1 * \gamma_2) * \gamma_3
    \end{align*}
    mit $\gamma_1(1)=\gamma_2(0)$ und $\gamma_2(1) = \gamma_3(0)$.
\end{korollar}

\begin{beweis}
    \begin{figure}[ht]
        \centering
        \subfloat[$\gamma_1 * (\gamma_2 * \gamma_3)$]{
            \includegraphics[width=0.5\linewidth, keepaspectratio]{figures/todo/zusammensetzen-von-wegen-nicht-assoziativ-1.jpg}
            \label{fig:assotiativitaet-von-wegen-a}
        }

        \subfloat[$(\gamma_1 * \gamma_2) * \gamma_3$]{
            \includegraphics[width=0.5\linewidth, keepaspectratio]{figures/todo/zusammensetzen-von-wegen-nicht-assoziativ-2.jpg}
            \label{fig:assotiativitaet-von-wegen-b}
        }%
        \label{fig:assoziativitaet-von-wegen}
        \caption{Das Zusammensetzen von Wegen ist nicht assoziativ}
    \end{figure}

    Das Zusammensetzen von Wegen ist wegen Korollar~\ref{kor:homotope-wege}
    bis auf Homotopie assoziativ, da

    \[\gamma(t) = \begin{cases}
            \frac{1}{2} t   &\text{falls } 0 \leq t < \frac{1}{2}\\
            t - \frac{1}{4} &\text{falls } \frac{1}{2} \leq t < \frac{3}{4}\\
            2t - 1          &\text{falls } \frac{3}{4} \leq t \leq 1
        \end{cases}\]
\end{beweis}

\begin{korollar}\label{kor:bemerkung-10-6}
    Sei $X$ ein topologischer Raum, $a,b,c \in X$, $\gamma_1, \gamma_1'$
    Wege von $a$ nach $b$ und $\gamma_2, \gamma_2'$ Wege von $b$ nach $c$.

    Sind $\gamma_1 \sim \gamma_1'$ und $\gamma_2 \sim \gamma_2'$, so
    ist $\gamma_1 * \gamma_2 \sim \gamma_1 ' * \gamma_2'$.
\end{korollar}

\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width=0.5\linewidth, keepaspectratio]{figures/todo/skizze-bemerkung-10-6.jpg}
    \caption{Situation aus Korollar~\ref{kor:bemerkung-10-6}}.
    \label{fig:situation-bemerkung-10-6}
\end{figure}

\begin{beweis}
    Sei $H_i$ eine Homotopie zwischen $\gamma_i$ und $\gamma_i'$,
    $i=1,2$.

    Dann ist 
    \[H(t,s) := \begin{cases}
        H_1(2t, s)  &\text{falls } 0 \leq t \leq \frac{1}{2}\;\;\;\forall s \in I\\
        H_2(2t-1,s) &\text{falls } \frac{1}{2} \leq t \leq 1
    \end{cases}\]

    Homotopie zwischen $\gamma_1 * \gamma_2$ und $\gamma_1' * \gamma_2 '$ (!)
    \todo[inline]{Hier fehlt noch was}
\end{beweis}

\section{Fundamentalgruppe}
Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Homotopieklasse}.

\begin{definition}
    Sei $X$ ein topologischer Raum und $x \in X$. Sei außerdem
    \[\pi_1(X,x) := \Set{[\gamma] | \gamma \text{ ist Weg in } X \text{ mit } \gamma(0) = \gamma(1) = x}\]

    Durch $[\gamma_1] *_G [\gamma_2] : = [\gamma_1 * \gamma_2]$ wird
    $\pi_1(X,x)$ zu einer Gruppe. Diese Gruppe heißt \textbf{Fundamentalgruppe}\xindex{Fundamentalgruppe}
    in $X$ im Basispunkt $x$.
\end{definition}

\begin{bemerkung}
    Im $\mdr^2$ gibt es nur eine Homotopieklasse.
\end{bemerkung}

\begin{beweis}[Fundamentalgruppe ist eine Gruppe]\leavevmode
    \begin{enumerate}[label=\alph*)]
        \item Abgeschlossenheit folgt direkt aus der Definition von $*_G$
        \item Assoziativität folgt aus Korollar~\ref{kor:assoziativitaet-von-zusammensetzen-von-wegen}
        \item Neutrales Element $e = [\gamma_0], \gamma_0(t) = x \;\;\; \forall t \in I$.

        $e * [\gamma] = [\gamma] = [\gamma] * e$, da $\gamma_0 * \gamma \sim \gamma$

        \begin{figure}
            \centering
            \input{figures/todo.tex}
            \caption{Bis auf Parametrisierung sind $\gamma_0 * \gamma$ und $\gamma$ das selbe}.
            \label{fig:weg-zusammengesetzt-mit-neutralem-weg}
        \end{figure}
        \item Inverses Element  $[\gamma]^{-1} = [\overline{\gamma}] = [\gamma(1-t)]$, 
            denn $\overline{\gamma} * \gamma \sim \gamma_0 \sim \gamma * \overline{\gamma}$
    \end{enumerate}
\end{beweis}

\begin{beispiel}
    \begin{enumerate}[label=\arabic*)]
        \item $S^1 = \Set{z \in \mdc | {|z|} = 1} = \Set{(\cos \varphi, \sin \varphi) \in \mdr^2 | 0 \leq \varphi \leq 2 \pi}$

              $\pi_1 (S^1, 1) = \Set{[\gamma^k] | k \in \mdz} \cong \mdz$

              $[\gamma^k] \mapsto k$
        \item $\pi_1 (\mdr^2, 0) = \pi_1 (\mdr^2, x) = \Set{e}$ für jedes $x \in \mdr^2$
        \item $\pi_1 (\mdr^n, x) = \Set{e}$ für jedes $x \in \mdr^n$
        \item $G \subseteq \mdr^n$ heißt \textbf{sternförmig}\xindex{sternförmig} bzgl. $x \in G$, 
            wenn für jedes $y \in G$ auch die Strecke $[x, y] \subseteq G$
            ist.

            Für jedes sternförmige $G \subseteq \mdr^n$ ist
            $\pi_1(G,x) = \Set{e}$

            \begin{figure}
                \centering
                \input{figures/star-shaped-domain.tex}
                \caption{Sternförmiges Gebiet}.
                \label{fig:sternfoermiges-gebiet}
            \end{figure}
        \item $\pi_1(S^2, x_0) = \Set{e}$, da im $\mdr^2$ alle Wege
              homotop zu $\Set{e}$ sind. Mithilfe der stereographischen
              Projektion kann von $S^2$ auf den $\mdr^2$ abgebildet
              werden.

              Dieses Argument funktioniert nicht mehr bei flächendeckenden
              Wegen!
    \end{enumerate}
\end{beispiel}

\begin{korollar}\label{kor:gruppenisomorphismus-wege}
    Sei $X$ ein topologischer Raum, $a,b \in X$, $\delta: I \rightarrow X$
    ein Weg von $a$ nach $b$.

    Dann ist die Abbildung
    \[\alpha: \pi_1 (X, a) \rightarrow \pi_1(X,b)\;\;\;[\gamma] \mapsto [\overline{\delta} * \gamma * \delta]\]
    ein Gruppenisomorphismus.
\end{korollar}

\begin{figure}
    \centering
    \input{figures/todo.tex}
    \caption{Situation aus Korollar~\ref{kor:gruppenisomorphismus-wege}}.
    \label{fig:situation-gruppenisomorphismus-wege}
\end{figure}

\begin{beweis}
    \begin{align*}
        \alpha([\gamma_1] * [\gamma_2]) &= [\overline{\delta} * (\gamma_1 \gamma_2) * \delta]\\
        &= [\overline{\delta} * \gamma_1 * \delta * \overline{\delta} * \gamma_2 * \delta]
        &= [\overline{\delta} * \gamma_1 * \delta] * [\overline{\delta} * \gamma_2 * \delta]\\
        &= \alpha([\gamma_1]) * \alpha([\gamma_2])
    \end{align*}
\end{beweis}

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% Tânias Mitschrieb vom 10.12.2013                                  %
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\begin{definition}\xindex{einfach zusammenhängend}%11.4
    Ein wegzusammenhängender topologischer Raum $X$ heißt
    \textbf{einfach zusammenhängend}, wenn $\pi_1(X,x) = \Set{e}$
    für ein \todo{was denn nun?}{(jedes)} $x \in X$.
\end{definition}

\begin{korollar}\label{korr:11.5}
    Es seien $X, Y$ topologische Räume, $f:X \rightarrow Y$ eine
    stetige Abbildung, $x \in X, y := f(x) \in Y$.

    \begin{enumerate}[label=\alph*)]
        \item Dann ist die Abbildung $f_* : \pi_1(X,x) \rightarrow \pi_1(Y, y),
        [y] \rightarrow [f \circ y]$ ein Gruppenhomomorphismus.
        \item Ist $Z$ ein weiterer topologischer Raum und $g: Y \rightarrow Z$
              eine stetige Abbildung $z:= g(y)$. Dann ist
              $(g \circ f)_* = g_* \circ f_*: \pi_1(X,x) \rightarrow \pi_1(Z,z)$
    \end{enumerate}
\end{korollar}

\begin{figure}
    \centering
    \input{figures/todo.tex}
    \caption{Situation aus Korollar~\ref{korr:11.5}}
    \label{fig:kor-bem-11.5}
\end{figure}

\begin{beweis}
    \begin{enumerate}[label=\alph*)]
        \item $f_*$ ist wohldefiniert: Seien $\gamma_1, \gamma_2$ homotope
              Wege von $x$. z.Z.: $f \circ \gamma_1 \sim f \circ \gamma_2$:
              Nach Voraussetzung gibt es stetige Abbildungen $H:I\times I \rightarrow X$
              mit $H(t,0) = \gamma_1(t), H(t,1) = \gamma_2(t), H(0,S) = H(1, S) = x$.
              Dann ist $f \circ H: I \times I \rightarrow Y$ mit
              \todo{Warum die Punkte?}{\dots} $(f \circ H)(t,0) = f(H(t,0)) = f(\gamma_1(t)) = (f \circ \gamma_1)(t)$
              etc. $\Rightarrow f \circ \gamma_1 \sim f \circ \gamma_2$.

              $f_*([\gamma_1] * [\gamma_2]) = [f \circ (\gamma_1 * \gamma_2)] = [(f \circ \gamma_1)] * [(f \circ \gamma_2)] = f_*([\gamma_1]) * f_*([\gamma_2])$
        \item $(g \circ f)_* ([\gamma]) = [(g \circ f) \circ \gamma] = [g \circ (f \circ \gamma)] = g_* ([f \circ \gamma]) = g_* (f_* ([\gamma])) = (g_* \circ f_*)([\gamma])$
    \end{enumerate}
\end{beweis}

\begin{beispiel}
    \begin{enumerate}[label=\arabic*)]
        \item $f:S^1 \hookrightarrow \mdr^2$ ist injektiv, aber 
              $f_*:\pi_1(S^1, 1) \cong \mdz \rightarrow \pi_1(\mdr^2, 1) -0 \Set{e}$
              ist nicht injektiv
        \item $f: \mdr \rightarrow S^1, t \mapsto (\cos 2 \pi t, \sin 2 \pi t)$
              ist surjektiv, aber $f_*: \pi_1(\mdr, 0) = \Set{e} \rightarrow \pi_1(S^2, 1) \cong \mdz$
              ist nicht surjektiv
    \end{enumerate}
\end{beispiel}

\begin{korollar}%Folgerung 11.6
    Sei $f:X \rightarrow Y$ ein Homöomorphismus zwischen topologischen
    Räumen $X, Y$. Dann gilt:

    \[f_*: \pi_1(X,x) \rightarrow \pi_1(Y, f(x))\]
    ist ein Isomorphismus für jedes $x \in X$.
\end{korollar}

\begin{beweis}
    Sei $g: Y \rightarrow X$ die Umkehrabbildung, d.~h. $g$ ist stetig
    und $f \circ g = \text{id}_Y$, $g \circ f = \text{id}_X$

    $\Rightarrow f_* \circ g_* = (f \circ g)_* = (\text{id}_Y)_* = \text{id}_{\pi_1 (Y, f(X)}$
    und $g_* \circ f_* = \text{id}_{\pi_1(X,x)}$.
\end{beweis}

\begin{definition}\xindex{homotop}
    Seien $X, Y$ topologische Räume, $x_0 \in X, y_0 \in Y, f, g: X \rightarrow Y$
    stetig mit $f(x_0) = y_0 = g(x_0)$.

    $f$ und $g$ heißen \textbf{homotop} ($f \sim g$), wenn es eine stetige
    Abbildung $H: X \times I \rightarrow Y$ gibt mit $H(X,0) = f(X), H(X,1)=g(x)$
    für alle $x \in X$ und $H(x_0, S) = y_0$ für alle $s \in I$.
\end{definition}

\begin{korollar}
    Sind $f$ und $g$ homotop, so ist $f_* = g_*: \pi_1 (X, x_0) \rightarrow \pi_1(Y, y_0)$.
\end{korollar}

\begin{beweis}
    Sei $\gamma$ ein geschlossener Weg in $X$ um $x_0$, d.~h.
    $[\gamma] \in \pi_1 (X, x_0)$.

    Z.~Z.: $f \circ \gamma \sim g \circ \gamma$

    Sei dazu $H_\gamma: I \times I \rightarrow Y, (t,s) \mapsto H(\gamma(t), S)$.
    Dann gilt: $H_\gamma (t,0) = H(\gamma(t), 0) = (g \circ \gamma)(t)$,
    $H_\gamma(1,s) = H(\gamma(1), s) = H(x_0, s) = y_0$ für alle $s$.
\end{beweis}

\begin{beispiel}
    $f:X \rightarrow Y, g: Y \rightarrow X$ mit $g \circ f \sim \text{id}_X,$
    $f \circ g \sim \text{id}_Y$

    $\Rightarrow f_*$ ist Isomorphismus. Konkret: $f: \mdr^2 \rightarrow \Set{0},$
    $g:\Set{0} \rightarrow \mdr^2$

    $\Rightarrow f \circ g = \text{id}_{\Set{0}}$, $g \circ f: \mdr^2 \rightarrow \mdr^2$,
    $x \mapsto 0$ für alle $x$.

    $g \circ f \sim \text{id}_{\mdr^2}$ mit Homotopie: $H: \mdr^2 \times I \rightarrow \mdr^2, H(x,S) = (1-s) x$ (stetig!)

    $\Rightarrow H(X,0) = X = \text{id}_{\mdr^2} (X), H(X, 1) = 0, H(0, s) = 0$ für alle $s \in I$
\end{beispiel}

\begin{satz}[Satz von Seifert und van Kampen \enquote{light}]\label{thm:seifert-van-kampen}
    Sei $X$ ein topologischer Raum, $U, V \subseteq X$ offen mit 
    $U \cup V = X$ und $U \cap V$ wegzusammenhängend.

    Dann wird $\pi_1(X,x)$ für $x \in U \cap V$ erzeugt von geschlossenen
    Wegen um $x$, die ganz in $U$ oder ganz in $V$ verlaufen.
\end{satz}

\begin{figure}
    \centering
    \input{figures/todo.tex}
    \caption{Situation aus Satz~\ref{thm:seifert-van-kampen}}
    \label{fig:satz-seifert-van-kampen}
\end{figure}

\begin{beweis}
    Sei $\gamma: I \rightarrow X$ ein geschlossener Weg von $x$.
    Überdecke $I$ mit endlich vielen offenen Intervallen, die ganz in 
    $\gamma^{-1}(U)$ oder ganz in $\gamma^{-1}(V)$ liegen.

    \begin{figure}
        \centering
        \input{figures/todo.tex}
        \caption{Situationsskizze}
        \label{fig:intervalle-auf-01}
    \end{figure}

    \Obda sei $\gamma(I_1) \subseteq U, \gamma(I_2) \subseteq V$, etc.

    Wähle $t_i \in I_i \cap I_{i+1}$, also $\gamma(t_i) \in U \cap V$.
    Sei $\sigma_i$ Weg in $U \cap V$ von $x_0$ nach $\gamma(t_i) \Rightarrow \gamma$
    ist homotop zu 
    \[\underbrace{\gamma_1 * \overline{\sigma_1}}_{\text{in } U} * \underbrace{\sigma_1 * \gamma_2 * \overline{\sigma_2}}_{\text{in } V} * \dots * \sigma_{n-1} * \gamma_2\]
\end{beweis}

\begin{beispiel}
    \begin{enumerate}[label=\arabic*)]
        \item
            \begin{figure}
                \centering
                \input{figures/todo.tex}
                \caption{Topologischer Raum $X$}
                \label{fig:top-raum-kreise}
            \end{figure}

            $\pi_1(X,x)$ wird \enquote{frei} erzeugt von $a$ und $b$, weil
            $\pi_1(U,x) = <a> \cong \mdz, \pi_1(V,x) = <b> \cong \mdz$,
            insbesondere ist $a*b$ nicht homotop zu $b*a$.
        \item Torus: $\pi_1(T^2, X)$ wird erzeugt von $a$ und $b$.
            \begin{figure}
                \centering
                \input{figures/todo.tex}
                \caption{$a*b = b*a \Leftrightarrow a * b * \overline{a} * \overline{b} \sim e$}
                \label{fig:torous-a-b}
            \end{figure}
            \end{enumerate}
\end{beispiel}

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% Mitschrieb vom 12.12.2013                                         %
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\section{Überlagerungen}
\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width=4cm, keepaspectratio]{figures/topology-r-spiral-covering-s.pdf}
    \caption{$\mdr \rightarrow S^1$,\\$t \mapsto (\cos 2 \pi t, \sin 2 \pi t)$}
    \label{fig:ueberlappung-r1-spirale-s1}
\end{figure}
\begin{definition}\xindex{Überlagerung}\label{def:12.1}%Definition 12.1 der Vorlesung
    Es seien $X, Y$ zusammenhängende topologische Räume und
    $p: Y \rightarrow X$ eine stetige, surjektive Abbildung.

    $p$ heißt \textbf{Überlagerung}, wenn jedes $x \in X$ eine offene
    Umgebung $U = U_X$ besitzt, sodass $p^{-1}(U)$ disjunkte Vereinigung
    von offenen Teilmengen $V_j$ von $Y$ ist $(j \in I_X)$ und
    $p|_{V_j}: V_j \rightarrow U$ ein Homöomorphismus ist.
\end{definition}

\begin{beispiel}
    \begin{enumerate}[label=\arabic*)]
        \item siehe Abbildung~\ref{fig:ueberlappung-r1-spirale-s1}
        \item siehe Abbildung~\ref{fig:ueberlappung-kaestchen-torus}
        \item $\mdr^n \rightarrow T^n = \mdr^n / \mdz^n$
        \item $S^n \rightarrow \praum^n(\mdr)$
        \item $S^1 \rightarrow S^1$, $z \mapsto z^2$, siehe Abbildung~\ref{fig:liftung-s1-s1}
    \end{enumerate}

    \begin{figure}[ht]
        \centering
        \subfloat[$\mdr^2 \rightarrow T^2 = \mdr^2 / \mdz^2$]{
            \includegraphics[width=0.6\linewidth, keepaspectratio]{figures/todo/ueberlappung-kaestchen-torus.jpg}
            \label{fig:ueberlappung-kaestchen-torus}
        }%
        \subfloat[$t \mapsto (\cos 4 \pi t, \sin 4 \pi t)$]{
            \includegraphics[width=0.3\linewidth, keepaspectratio]{figures/todo/liftung-s-s.jpg}
            \label{fig:liftung-s1-s1}
        }%
        \label{Formen}
        \caption{Beispiele für Überlagerungen}
    \end{figure}
\end{beispiel}

\begin{definition}
    Seien $X, Y$ topologische Räume und $f:X \rightarrow Y$ eine 
    Abbildung.

    $f$ heißt offen $:\gdw \forall V \subseteq X$ offen: $f(V)$ ist offen in $Y$.
\end{definition}

\begin{korollar} % Bemerkung 12.2 der Vorlesung
    Überlappungen sind offene Abbildungen.
\end{korollar}

\begin{beweis}
    Sei $y \in V$ und $x \in p(V)$, sodass $x=p(y)$ gilt.
    Sei weiter $U = U_x$ die offene Umgebung von $x$ wie in Definition~\ref{def:12.1}
    und $V_j$ die Komponente von $p^{-1}(U)$, die $y$ enthält.

    Dann ist $V \cap V_j$ offene Umgebung von $y$.

    $\Rightarrow p(V \cap V_j)$ ist offen in $p(V_j)$, also auch offen
    in $X$. Außerdem ist $p(y) = x \in p(V \cap V_j)$ und
    $p(V \cap V_j) \subseteq p(V)$.

    $\Rightarrow p(V)$ ist offen.
\end{beweis}

\todo[inline]{Die Definition von Diskret habe ich mir überlegt. Hatten wir das schon mal? 
Haben wir Häufungspunkt definiert?}
\begin{definition}\xindex{diskret}
    Sei $M$ eine Menge und $X$ ein topologischer Raum.

    $M$ heißt \textbf{diskret} in $X$, wenn $M$ in $X$ keinen 
    Häufungspunkt hat.
\end{definition}

\begin{korollar} % Bemerkung 12.3 der Vorlesung
    Sei $p: Y \rightarrow X$ Überlagerung, $x \in X$.
    \begin{enumerate}[label=\alph*)]
        \item $X$ hausdorffsch $\Rightarrow Y$ hausdorffsch
        \item $p^{-1}(X)$ ist diskret in $Y$
    \end{enumerate}
\end{korollar}

\begin{beweis}
    \begin{enumerate}[label=\alph*)]
        \item Seien $y_1, y_2 \in Y$.

        \underline{1. Fall}: $p(y_1) = p(y_2) = x$.

        Sei $U$ Umgebung von $x$ wie in Definition~\ref{def:12.1},
        $V_{j_1}$ bzw. $V_{j_2}$ die Komponente von $p^{-1}(U)$, die
        $y_1$ bzw. $y_2$ enthält.

        Dann ist $V_{j_1} \neq V_{j_2}$, weil beide \todo{Was steht hier?}{} Element $p^{-1}(x)$
        enthält.

        $\Rightarrow V_{j_1} \cap V_{j_2} = \emptyset$ nach Voraussetzung.

        \underline{2. Fall}: $p(y_1) \neq p(y_2)$.
        
        Dann seien $U_1$ und $U_2$ disjunkte Umbebungen von $p(y_1)$
        und $p(y_2)$.

        $\Rightarrow p^{-1}(U_1)$ und $p^{-1}(U_2)$ sind Umgebungen von
        $y_1$ und $y_2$.

        \item Sei $y \in Y$

        \underline{1. Fall}: $y \in p^{-1}(x)$

        Finde $v_j$, sodass kein \dots \todo{...}

        \underline{2. Fall}: $y \notin p^{-1}(x)$

        \todo{...}
    \end{enumerate}
\end{beweis}

\begin{korollar}%Bemerkung 12.4 der Vorlesung
    Sei $p: Y \rightarrow X$ Überlagerung, $x_1, x_2 \in X$.

    Dann ist $|p^{-1} (x_1)| = |p^{-1}(x_2)|$.\footnote{$|p^{-1} (x_1)| = \infty$ ist erlaubt!}
\end{korollar}

\begin{beweis}
    Sei $U$ Umgebung von $x_1$ wie in Definition~\ref{def:12.1}, $x \in U$.
    Dann enthält jedes $V_j, j \in I_X$ genau ein Element von
    $p^{-1}(x)$

    $\Rightarrow |p^{-1} (x)|$ ist konstant auf $U$

    $\xRightarrow{X \text{zhgd.}} |p^{-1}(x)|$  ist konstant auf $X$
\end{beweis}

\begin{definition}\xindex{Liftung}
    Sei $p: Y \rightarrow X$ Überlagerung, $Z$ ein weiterer topologischer
    Raum, $f:Z \rightarrow X$ stetig.

    Eine stetige Abbildung $\tilde{f}: Z \rightarrow Y$ heißt
    \textbf{Liftung} von $f$, wenn $p \circ \tilde{f} = f$ ist.
\end{definition}

\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width=\linewidth, keepaspectratio]{figures/todo/liftung-torus-r.jpg}
    \caption{Beim liften eines Weges bleiben geschlossene Wege im allgemeinen nicht geschlossen}
    \label{fig:satz-seifert-van-kampen}
\end{figure}

\begin{korollar}\label{kor:12.5}%Bemerkung 12.5 aus Vorlesung
    Sei $Z$ zusammenhängend und $f_0, \dots, f_1: Z \rightarrow Y$
    Liftungen von $f$.

    $\exists z_0 \in Z: f_0(z) = f_1(z) \Rightarrow f_0 = f_1$
\end{korollar}

\begin{figure}
    \centering
    \input{figures/commutative-diagram-2.tex}
    \caption{Situation aus Korollar~\ref{kor:12.5}}
    \label{fig:situation-kor-12.5}
\end{figure}

\begin{beweis}
    Sei $T = \Set{z \in Z | f_0(z) = f_1(z)}$.

    \underline{Z.~Z.}: $T$ ist offen und $Z \setminus T$ ist auch offen.

    Sei $z \in T, x = f(z), U$ Umgebung von $x$ wie in Definition~\ref{def:12.1},
    $V$ die Komponente von $p^{-1}(U)$, die $y:=f_0(z) = f_1(z)$.\todo{deutsch?}

    Sei $q:U \rightarrow V$ die Umkehrabbildung zu $p|_V$.

    Sei $W:= f^{-1}(U) \cap f_0^{-1}(V) \cap f_1^{-1}(V)$. $W$ ist 
    offene Umgebung in $Z$ von $z$.

    \underline{Behauptung:} $B \subseteq T$

    Denn für $w \in W$ ist $q(f(w)) = q((p \circ f_0))(w) = ((q \circ p) \circ f_0) (w) = f_0(w) = q(f(w)) = f_1(w)$

    $\Rightarrow T$ ist offen.

    Analog: $Z \setminus T$ ist offen.
\end{beweis}

\begin{satz}\label{thm:ueberlagerung-weg-satz-12.6}
    Sei $p: Y \rightarrow X$ Überlagerung, $\gamma: I \rightarrow X$
    ein Weg, $y \in Y$ mit $p(y) = \gamma(0) =: x$.

    Dann gibt es genau einen Weg $\tilde{\gamma}: I \rightarrow Y$
    mit $\tilde{\gamma}(0)=y$ und $p \circ \tilde{\gamma} = \gamma$.
\end{satz}

\begin{beweis}
Existenz: Siehe Skizze (Abbildung~\ref{fig:satz-12.6}).
    \begin{figure}
        \centering
        \includegraphics[width=0.6\linewidth, keepaspectratio]{figures/todo/skizze-1.jpg}
        \caption{Skizze für den Beweis von Satz~\ref{thm:ueberlagerung-weg-satz-12.6}}
        \label{fig:satz-12.6}
    \end{figure}
\end{beweis}

% Die Übungsaufgaben sollen ganz am Ende des Kapitels sein.
\input{Kapitel3-UB}
