%!TEX root = Sommerakademie-2015-Forschung.tex
\section{Einleitung}
\subsection{Was ist On-Line Recognition?}

\begin{frame}{Demo}
    \begin{figure}[h]
        \centering
        \includegraphics*[width=0.7\linewidth, keepaspectratio]{images/Classification.png}
    \end{figure}

    \href{http://write-math.com}{write-math.com}
\end{frame}

\begin{frame}{Was ist On-Line Recognition?}
\medskip
\begin{columns}[t,onlytextwidth]
\begin{column}{.5\textwidth}
{\Large Off-line Recognition}
\begin{figure}[h]
    \centering
    \includegraphics*[width=0.7\linewidth, keepaspectratio]{images/A-pixel.png}
\end{figure}
\end{column}
\begin{column}{.5\textwidth}
{\Large On-line Recognition}
\begin{figure}[h]
    \centering
    \includegraphics*[width=0.7\linewidth, keepaspectratio]{images/A-vektor.png}
\end{figure}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}{Was wollen wir?}
    \[f(\text{Merkmale}) = \begin{pmatrix}0.7\\ 0.1\\ 0.2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathbb{P}(\gamma)\\ \mathbb{P}(\text{ö})\\ \mathbb{P}(\heartsuit) \end{pmatrix}\]
    \medskip
    \visible<2->{
        \begin{center}
        {\Large Gesucht: Funktion $f$}\\
        (und Merkmalsextraktion)
    }
    \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Merkmalsextraktion}
    \begin{figure}[h]
        \centering
        \includegraphics*[width=0.7\linewidth, keepaspectratio]{images/A-vektor-merkmalsbildung.png}
    \end{figure}

    Merkmalsvektor fester Länge ist praktisch
\end{frame}

\section{Funktionen}
\subsection{Funktionen}

\begin{frame}{Funktionen}
\begin{figure}[h]
    \centering
    \includegraphics*[width=0.7\linewidth, keepaspectratio]{images/function-machine.png}
\end{figure}
\end{frame}
\begin{frame}{Funktionen}
    \medskip
    \begin{columns}[t,onlytextwidth]
    \begin{column}{.5\textwidth}{
        \begin{itemize}[<+->]
            \item $f(x) = x^2$ ist $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$
            \item $f(x, y) = x^2 + y^2$ ist $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$
            \item $f(x, y) = (x^2 + y^2, x \cdot y)$ ist $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$
        \end{itemize}
    }
    \end{column}
    \begin{column}{.4\textwidth}
    \only<1>{
        \begin{tikzpicture}
            \begin{axis}[
                legend pos=south west,
                axis x line=middle,
                axis y line=middle,
                grid = major,
                width=6.5cm,
                height=6.5cm,
                grid style={dashed, gray!30},
                xmin=-2,     % start the diagram at this x-coordinate
                xmax= 2,     % end   the diagram at this x-coordinate
                ymin=-0.25,  % start the diagram at this y-coordinate
                ymax= 4.25,  % end   the diagram at this y-coordinate
                axis background/.style={fill=white},
                xlabel=$x \in \mathbb{R}$,
                ylabel=$f(x) \in \mathbb{R}$,
                %xticklabels={-2,-1.6,...,7},
                %yticklabels={-8,-7,...,8},
                tick align=outside,
                minor tick num=-3,
                enlargelimits=true,
                tension=0.08]
              \addplot[domain=-2:2, red, thick,samples=40] {x*x};
            \end{axis}
        \end{tikzpicture}
    }
    \only<2->{
        \pgfplotsset{
            colormap={whitered}{
                color(0cm)=(white);
                color(1cm)=(orange!75!red)
            }
        }
        \begin{tikzpicture}
            \begin{axis}[
            colormap name=whitered,
            width=5.5cm,
            height=5.5cm,
            view={340}{25},
            enlargelimits=false,
            grid=major,
            domain=-3:3,
            y domain=-3:3,
            samples=56, %57 : TeX capacity exceeded, sorry [main memory size=3000000].
                        % see also http://tex.stackexchange.com/a/7954/5645
            xlabel=$x$,
            ylabel=$y$,
            zlabel={$f(x,y)$},
            ]
              \addplot3[surf] {x^2 + y^2};
            \end{axis}
        \end{tikzpicture}
    }
    \end{column}
    \end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}{Funktionen mit Parametern}
    \begin{columns}
    \begin{column}{.5\textwidth}
        {\Large Mit Parametern}
        \begin{itemize}[<+->]
            \item $f(x) = x^2$
            \item $f(x) = 2 \cdot x^2$
            \item $f(x) = \nicefrac{1}{2} \cdot x^2$
            \item $f(x) = a \cdot x^2$
            \item $f(x_1, \dots, x_{166}) = \sum_{i=1}^{166} a_i \cdot x_i$\\
                  $\mathbb{R}^{166} \rightarrow \mathbb{R}$
            \item $f(x_1, \dots, x_{166}) = (\sum_{i=1}^{166} a_i \cdot x_i, \dots, \sum_{i=1}^{166} z_i \cdot x_i)$\\
                  $\mathbb{R}^{166} \rightarrow \mathbb{R}^{\text(\# Klassen)}$
        \end{itemize}
    \end{column}
    \begin{column}{.4\textwidth}
        \begin{tikzpicture}
            \begin{axis}[
                legend pos=south west,
                axis x line=middle,
                axis y line=middle,
                grid = major,
                width=6.5cm,
                height=6.5cm,
                grid style={dashed, gray!30},
                xmin=-2,     % start the diagram at this x-coordinate
                xmax= 2,     % end   the diagram at this x-coordinate
                ymin=-0.25,  % start the diagram at this y-coordinate
                ymax= 4.25,  % end   the diagram at this y-coordinate
                axis background/.style={fill=white},
                xlabel=$x \in \mathbb{R}$,
                ylabel=$f(x) \in \mathbb{R}$,
                %xticklabels={-2,-1.6,...,7},
                %yticklabels={-8,-7,...,8},
                tick align=outside,
                minor tick num=-3,
                enlargelimits=true,
                tension=0.08]
              \only<1->{\addplot[domain=-2:2, red, thick,samples=40] {x*x};}
              \only<2->{\addplot[domain=-2:2, blue, thick,samples=40] {2*x*x};}
              \only<3->{\addplot[domain=-2:2, green, thick,samples=40] {0.5*x*x};}
            \end{axis}
        \end{tikzpicture}
    \end{column}
    \end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}{Fehlerfunktion}
    \begin{itemize}[<+->]
        \item \textbf{Daten $(x_{i,1}, \dots, x_{i,n}, y_{i,1}, \dots, y_{i,\text{\# Klassen}})$}: Beispiele für den Computer
        \item \textbf{Aktuelles Modell $f$}: Funktion mit vielen Parametern
        \item \textbf{Fehlerfunktion}: Wie gut ist $f$ für die vorhandenen
              Daten?
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Fehlerfunktion}
    Abbildung von \textbf{Parameterraum} auf den Fehler ($\mathbb{R}_0^+$)
\end{frame}

\begin{frame}{Minimieren mit Ableitungen}
    \begin{figure}[h]
        \centering
        \includegraphics*[width=0.7\linewidth, keepaspectratio]{images/derivative-function.png}
    \end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}{Gradientenabstieg}
    \begin{figure}[h]
        \centering
        \includegraphics*[width=0.7\linewidth, keepaspectratio]{images/gradient-descent.png}
    \end{figure}
\end{frame}


\section{Neuronale Netze}
\subsection{Neuronale Netze}
\begin{frame}{Neuronale Netze}{}
    \begin{itemize}[<+->]
        \item Menge von parametrisierten Funktionen
              $\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^{\text(\# Klassen)}$
        \item $\mathbb{R}^n$: Eingabe,\\z.B. Farbe von Pixel~1, Farbe von Pixel~2, \dots
        \item $\mathbb{R}^{\text(\# Klassen)}$: Ausgabe,\\Wahrscheinlichkeit der Klasse (z.B. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
        \item Ableitbar
    \end{itemize}
\end{frame}

\section{Ausblick}
\subsection{Ausblick}
\begin{frame}{Ausblick}
    Erkennung von Formeln
    \begin{itemize}[<+->]
        \item Aufbau eines Sprachmodells der Mathematik
        \item Erweiterung der Symboldatenbank
        \item Segmentierung
    \end{itemize}
\end{frame}

