\documentclass[a4paper,9pt]{scrartcl}
\usepackage{amssymb, amsmath} % needed for math
\usepackage[utf8]{inputenc} % this is needed for umlauts
\usepackage[ngerman]{babel} % this is needed for umlauts
\usepackage[T1]{fontenc}    % this is needed for correct output of umlauts in pdf
\usepackage[margin=2.5cm]{geometry} %layout
\usepackage{hyperref}   % links im text
\usepackage{color}
\usepackage{framed}
\usepackage{enumerate}  % for advanced numbering of lists
\usepackage{braket}  % needed for Set
\clubpenalty  = 10000   % Schusterjungen verhindern
\widowpenalty = 10000   % Hurenkinder verhindern

\hypersetup{
  pdfauthor   = {Martin Thoma},
  pdfkeywords = {EAZ},
  pdftitle    = {Einführung in die Algebra und Zahlentheorie}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Custom definition style, by                                       %
% http://mathoverflow.net/questions/46583/what-is-a-satisfactory-way-to-format-definitions-in-latex/58164#58164
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\makeatletter
\newdimen\errorsize \errorsize=0.2pt
% Frame with a label at top
\newcommand\LabFrame[2]{%
    \fboxrule=\FrameRule
    \fboxsep=-\errorsize
    \textcolor{FrameColor}{%
    \fbox{%
      \vbox{\nobreak
      \advance\FrameSep\errorsize
      \begingroup
        \advance\baselineskip\FrameSep
        \hrule height \baselineskip
        \nobreak
        \vskip-\baselineskip
      \endgroup
      \vskip 0.5\FrameSep
      \hbox{\hskip\FrameSep \strut
        \textcolor{TitleColor}{\textbf{#1}}}%
      \nobreak \nointerlineskip
      \vskip 1.3\FrameSep
      \hbox{\hskip\FrameSep
        {\normalcolor#2}%
        \hskip\FrameSep}%
      \vskip\FrameSep
    }}%
}}
\definecolor{FrameColor}{rgb}{0.25,0.25,1.0}
\definecolor{TitleColor}{rgb}{1.0,1.0,1.0}

\newenvironment{contlabelframe}[2][\Frame@Lab\ (cont.)]{%
  % Optional continuation label defaults to the first label plus
  \def\Frame@Lab{#2}%
  \def\FrameCommand{\LabFrame{#2}}%
  \def\FirstFrameCommand{\LabFrame{#2}}%
  \def\MidFrameCommand{\LabFrame{#1}}%
  \def\LastFrameCommand{\LabFrame{#1}}%
  \MakeFramed{\advance\hsize-\width \FrameRestore}
}{\endMakeFramed}
\newcounter{definition}
\newenvironment{definition}[1]{%
  \par
  \refstepcounter{definition}%
  \begin{contlabelframe}{Definition \thedefinition:\quad #1}
 \noindent\ignorespaces}
{\end{contlabelframe}}
\makeatother
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% NPC-Box                                                           %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\makeatletter
\newdimen\errorsize \errorsize=0.2pt
% Frame with a label at top
\newcommand\LabFrameNPC[2]{%
    \fboxrule=\FrameRule
    \fboxsep=-\errorsize
    \textcolor{FrameColorNPC}{%
    \fbox{%
      \vbox{\nobreak
      \advance\FrameSep\errorsize
      \begingroup
        \advance\baselineskip\FrameSep
        \hrule height \baselineskip
        \nobreak
        \vskip-\baselineskip
      \endgroup
      \vskip 0.5\FrameSep
      \hbox{\hskip\FrameSep \strut
        \textcolor{TitleColor}{\textbf{#1}}}%
      \nobreak \nointerlineskip
      \vskip 1.3\FrameSep
      \hbox{\hskip\FrameSep
        {\normalcolor#2}%
        \hskip\FrameSep}%
      \vskip\FrameSep
    }}%
}}
\definecolor{FrameColorNPC}{rgb}{0.25,0.25,0.25}
\definecolor{TitleColor}{rgb}{1.0,1.0,1.0}

\newenvironment{contlabelframenpc}[2][\Frame@Lab\ (cont.)]{%
  % Optional continuation label defaults to the first label plus
  \def\Frame@Lab{#2}%
  \def\FrameCommand{\LabFrameNPC{#2}}%
  \def\FirstFrameCommand{\LabFrameNPC{#2}}%
  \def\MidFrameCommand{\LabFrameNPC{#1}}%
  \def\LastFrameCommand{\LabFrameNPC{#1}}%
  \MakeFramed{\advance\hsize-\width \FrameRestore}
}{\endMakeFramed}
\newcounter{npcproblem}
\newenvironment{satz}[2]{%
  \par
  \refstepcounter{npcproblem}%
  \begin{contlabelframenpc}{Satz \thenpcproblem:\quad {#1}}
 \noindent\ignorespaces}
{\end{contlabelframenpc}}
\makeatother

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Begin document                                                    %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\section*{Unendlich viele Primzahlen}
\begin{satz}{Euklid}{}
Es sein $n \in \mathbb{N}$. Die Zahl $m := n! + 1$ hat einen Primteiler,
aber dieser kann nicht $\leq n$ sein, denn sonst müsste er wegen
$p|m$ und $p|n!$ auch $1=m-n!$ teilen.
Also gibt es eine Primzahl $> n \blacksquare$
\end{satz}

\begin{satz}{Euler}
\underline{Annahme:} Es gibt nur endlich viele Primzahlen $\Set{p_1, \dots, p_k}$
mit $p_1 < \dots < p_k$

Es gilt:

\begin{align*}
	\prod_{i=1}^k \frac{1}{1-p_i^{-1}} &= \prod_{i=1}^k \left ( \sum_{i=1}^\infty p_i^{j_i} \right )\\
	&= \sum_{j_1 = 0}^\infty \sum_{j_2=0}^\infty \dots \sum_{j_k = 0}^\infty p_1^{-j_1} \cdot p_2^{-j_2} \cdot \dots \cdot p_k^{-j_k}\\
	&= \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}
\end{align*}
\end{satz}

\begin{satz}{Dirichlets Primzahlsatz}{}
Es sei $n \in \mathbb{N}$ beliebig. Dann gibt es unendlich viele
Primzahlen $p \equiv 1 \mod n$.
\end{satz}

\section*{Sylowsätze}
\begin{satz}{Erster Sylowsatz}{}
	Es seien $G$ eine endliche Gruppe und $p$ eine Primzahl. Dann existiert in $G$
	mindestens eine $p$-Sylowgruppe.
\end{satz}

\begin{satz}{Zweiter Sylowsatz}{}
	Es seien $G$ eine endliche Gruppe und $p$ eine Primzahl. Weiter sei $\#G = p^e \cdot f$
	die Zerlegung von $\#G$ in eine $p$-Potenz und eine Zahl $f$, die kein Vielfaches
	von $p$ ist.

	Dann gelten die folgenden Aussagen:

	\begin{enumerate}
		\item Jede $p$-Untergruppe $H$ von $G$ ist in einer $p$-Sylowgruppe von $G$ enthalten.
		\item Je zwei $p$-Sylowgruppen von $G$ sind zueinander konjugiert.
		\item Die Anzahl der $p$-Sylowgruppen ist ein Teiler von $f$.
		\item Die Anzahl der $p$-Sylowgruppen von $G$ lässt bei Division durch $p$ Rest $1$.
	\end{enumerate}
\end{satz}

\section*{Endliche Körper}
\begin{definition}{Legendre-Symbol}
Es sein $p \geq 3$ eine Primzahl. Für $a \in \mathbb{Z}$ sei

\[\left(\frac{a}{p}\right) := \begin{cases}
1 & \mbox{wenn } a \mbox{ quadratischer Rest modulo } p \mbox{ ist} \\
-1 & \mbox{wenn } a \mbox{ quadratischer Nichtrest modulo } p \mbox{ ist} \\
0 & \mbox{wenn } a \mbox{ ein Vielfaches von } p \mbox{ ist}
\end{cases} \]
\end{definition}

\subsection*{Rechenregeln und Beispiele für das Legendre-Symbol}
\begin{itemize}
	\item[(I)] Eulers Kriterium: $\left(\frac{a}{p}\right) = a^\frac{p-1}{2} \mod p$
	\item[(II)] Strikt multiplikativ im Zähler: $\left(\frac{a \cdot b}{p}\right) = \left(\frac{a}{p}\right) \cdot \left(\frac{b}{p}\right)$
	\item[(III)] $a \equiv b \mod p \Rightarrow \left(\frac{a}{p}\right) = \left(\frac{b}{p}\right)$
	\item[(IV)] $\left(\frac{a}{3}\right) = a \mod 3$
	\item[(V)] Quadratische Reziprozitätsgesetz: Es seinen $p \neq l$ zwei ungerade Primzahlen. Dann gilt:\\
		$\left(\frac{p}{l}\right) \cdot \left(\frac{l}{p}\right) =
				(-1)^{\frac{p-1}{2} \cdot \frac{l-1}{2}}
				$
	\item[(VI)] Erste Ergänzung: $\left(\frac{-1}{p}\right) =
				\begin{cases}
					1 	& \text{, falls } p \equiv 1 \mod 4\\
				   -1	& \text{, falls } p \equiv 3 \mod 4
				\end{cases}
				$
	\item[(VII)] Zweite Ergänzung: $\left(\frac{2}{p}\right) =
				\begin{cases}
					1 	& \text{, falls } p \equiv \pm 1 \mod 8\\
				   -1	& \text{, falls } p \equiv \pm 3 \mod 8
				\end{cases}
				$
	\item 2 ist quadratischer Rest modulo 7, da: $2 \equiv 3^2 \mod 7$
\end{itemize}

\section*{Elementarteiler}
Will man die Elementarteiler einer Matrix $M$ berechnen, so gilt:
\begin{itemize}
	\item $e_1$ ist ggT aller Matrixeinträge
	\item $\prod_{i=1}^r e_i = |\det(M)|$
\end{itemize}

\section*{Weiteres}
Finden von Zerlegungen von Elementen im Ring $\mathbb{Z}[\sqrt{d}] := \Set{a + b \sqrt{d} | a, b \in \mathbb{Z}}$:

\begin{align*}
	N:   \mathbb{Z}[\sqrt{d}] &\rightarrow \mathbb{N}_0\\
	N(a+b \sqrt{d}) :&= |(a+b\sqrt{d})(a-b \sqrt{d})|\\
			&= |a^2-b^2 d|
\end{align*}

$a$ ist irreduzibel $\Leftrightarrow N(a)$ ist prim
\end{document}
