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\chapter{Topologische Grundbegriffe}
\section{Topologische Räume}
\begin{definition}\xindex{Raum!topologischer}\xindex{Menge!offene}\xindex{Menge!abgeschlossene}%
    Ein \textbf{topologischer Raum} ist ein Paar $(X, \fT)$ bestehend
    aus einer Menge $X$ und $\fT \subseteq \powerset{X}$ mit
    folgenden Eigenschaften
    \begin{defenumprops}
        \item $\emptyset, X \in \fT$
        \item \label{def:topologie.ii} Sind $U_1, U_2 \in \fT$, so ist $U_1 \cap U_2 \in \fT$
        \item Ist $I$ eine Menge und $U_i \in \fT$ für jedes $i \in I$,
              so ist $\displaystyle \bigcup_{i \in I} U_i \in \fT$
    \end{defenumprops}
    Die Elemente von $\fT$ heißen \textbf{offene Teilmengen} von $X$. 

    $A \subseteq X$ heißt \textbf{abgeschlossen}, wenn $X \setminus A$ offen ist.
\end{definition}

Es gibt auch Mengen, die weder abgeschlossen, noch offen sind wie z.~B. $[0,1)$.
Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.

\begin{bemerkung}[Mengen, die offen \& abgeschlossen sind, ex.]%
    Betrachte $\emptyset$ und $X$ mit der \textbf{trivialen Topologie}
    \xindex{Topologie!triviale}\index{Klumpentopologie|see{triviale Topologie}} $\fT_{\ts{triv}} = \Set{\emptyset, X}$.

    Es gilt: $X \in \fT$ und $\emptyset \in \fT$, d.~h. $X$ und $\emptyset$
    sind offen. Außerdem $X^C = X \setminus X = \emptyset \in \fT$
    und $X \setminus \emptyset = X \in \fT$, d.~h. $X$ und $\emptyset$
    sind als Komplement offener Mengen abgeschlossen.$\qed$
\end{bemerkung}

\begin{beispiel}[Topologien]
    \begin{enumerate}[label=\arabic*)]
        \item $X = \mdr^n$ mit der von der euklidischen Metrik erzeugten
              Topologie $\fT_{\ts{Euklid}}$: \xindex{Topologie!euklidische}
              \begin{align*}
                U \subseteq \mdr^n \text{ offen} \gdw\;&\text{für jedes $x \in U$ gibt es $r > 0$,}\\
                                                       &\text{sodass $\fB_r(x) = \Set{y \in \mdr^n | d(x,y) < r} \subseteq U$}
              \end{align*}
              Diese Topologie wird auch \enquote{Standardtopologie des $\mdr^n$}\xindex{Standardtopologie} genannt.
              Sie beinhaltet unter anderem alle offenen Kugeln, aber
              z.~B. auch Schnitte zweier Kugeln mit unterschiedlichem
              Mittelpunkt (vgl. \cref{def:topologie.ii}).
        \item Jeder metrische Raum $(X, d)$ ist auch ein topologischer Raum.
        \item Für eine Menge $X$ heißt $\fT_{\ts{Diskret}} = \powerset{X}$ \textbf{diskrete Topologie}\xindex{Topologie!diskrete}.
        \item $X :=\mdr, \fT_Z := \Set{U \subseteq \mdr | \mdr \setminus U \text{ endlich}} \cup \Set{\emptyset}$ heißt \textbf{Zariski-Topologie} \xindex{Topologie!Zariski}\\
              Beobachtungen: 
            \begin{itemize}
                \item $U \in \fT_Z \gdw \exists f \in \mdr[X]$, sodass $\mdr \setminus U = V(f) = \Set{x \in \mdr | f(x) = 0}$
                \item Es gibt keine disjunkten offenen Mengen in $\fT_Z$.
            \end{itemize}
        \item $X := \mdr^n, \fT_Z = \{U \subseteq \mdr^n | \text{Es gibt Polynome } f_1, \dots, f_r \in \mdr[X_1, \dots, X_n] \text{ sodass }\\\mdr^n \setminus U = V(f_1, \dots, f_r)\}$
        \item $X := \Set{0,1}, \fT = \Set{\emptyset, \Set{0,1}, \Set{0}}$ heißt \textbf{Sierpińskiraum}.\xindex{Sierpińskiraum}\\
              $\emptyset, \Set{0,1}, \Set{1}$ sind dort alle abgeschlossenen Mengen.
    \end{enumerate}
\end{beispiel}

\begin{definition}\xindex{Umgebung}%
    Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum und $x \in X$.

    Eine Teilmenge $U \subseteq X$ heißt \textbf{Umgebung} von $x$,
    wenn es ein $U_0 \in \fT$ gibt mit $x \in U_0$ und $U_0 \subseteq U$.

    Gilt eine Eigenschaft in einer Umgebung, so sagt man, dass die Eigenschaft
    \textbf{lokal}\xindex{lokal} gilt.
\end{definition}

\begin{definition}%
    Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum und $M \subseteq X$ eine Teilmenge.
    \begin{defenum}
        \item $\displaystyle M^\circ := \Set{x \in M | M \text{ ist Umgebung von } x} = \bigcup_{\overset{U \subseteq M} {U \in \fT}} U $ heißt \textbf{Inneres} oder \textbf{ offener Kern} von $M$. \xindex{Inneres} \xindex{Kern!offener}
        \item $\displaystyle \overline{M} := \bigcap_{\mathclap{\overset{M \subseteq A}{A \text{ abgeschlossen}}}} A$ heißt \textbf{abgeschlossene Hülle} oder \textbf{Abschluss} von $M$. \xindex{Abschluss}
        \item $\partial M := \overline{M} \setminus M^\circ$ heißt \textbf{Rand} von $M$. \xindex{Rand}
        \item $M$ heißt \textbf{dicht} in $X$, wenn $\overline{M} = X$ ist. \xindex{dicht}
    \end{defenum}
\end{definition}

\begin{beispiel}
    \begin{bspenum}
        \item Sei $X = \mdr$ mit euklidischer Topologie und 
              $M = \mdq$. Dann gilt: $\overline{M} = \mdr$ und 
              $M^\circ = \emptyset$
        \item Sei $X = \mdr$ und $M=(a,b)$. Dann gilt: 
              $\overline{M} = [a,b]$
        \item Sei $X = \mdr, \fT = \fT_Z$ und $M = (a,b)$. Dann gilt:
              $\overline{M} = \mdr$
    \end{bspenum}
\end{beispiel}

\begin{definition}\xindex{Basis}\xindex{Subbasis}%
    Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum.
    \begin{defenum}
        \item $\fB \subseteq \fT$ heißt \textbf{Basis} der Topologie $\fT$,
              wenn jedes $U \in \fT$ Vereinigung von Elementen aus $\fB$
              ist.
        \item $\calS \subseteq \fT$ heißt \textbf{Subbasis} der Topologie $\fT$, wenn jedes
              $U \in \fT$ Vereinigung von endlichen Durchschnitten
              von Elementen aus $\calS$ ist.
    \end{defenum}
\end{definition}

\begin{beispiel}[Basis und Subbasis]
    \begin{bspenum}
        \item Jede Basis ist auch eine Subbasis, z.B.\\
              $S=\Set{ (a,b) | a,b \in \mdr, a<b }$ ist für $\mdr$ mit der 
              Standardtopologie sowohl Basis als auch Subbasis.
        \item Gegeben sei $X = \mdr^n$ mit euklidischer Topologie $\fT$. Dann ist
              \[\fB = \Set{B_r(x) | r \in \mdq_{> 0}, x \in \mdq^n}\]
              ist eine abzählbare Basis von $\fT$.
        \item Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum mit 
              $X = \Set{0,1,2}$ und $\fT = \Set{\emptyset, \Set{0}, \Set{0,1}, \Set{0,2}, X}$.\\
              Dann ist $\calS = \Set{\emptyset, \Set{0,1}, \Set{0,2}}$ eine Subbasis von 
              $\fT$, da gilt:
              \begin{itemize}
                \item $\calS \subseteq \fT$
                \item $\emptyset,\Set{0,1} \text{ und } \Set{0,2} \in \calS$
                \item $\Set{0} = \Set{0, 1} \cap \Set{0,2}$
                \item $X = \Set{0,1} \cup \Set{0,2}$
              \end{itemize}
              Allerings ist $\calS$ keine Basis von $(X, \fT)$, da
              $\Set{0}$ nicht als Vereinigung von Elementen aus $\calS$
              erzeugt werden kann.
    \end{bspenum}
\end{beispiel}

\begin{bemerkung}
    Sei $X$ eine Menge und $\calS \subseteq \powerset{X}$. Dann gibt es
    genau eine Topologie $\fT$ auf $X$, für die $\calS$ Subbasis ist.
\end{bemerkung}

\begin{definition}\xindex{Spurtopologie|see{Teilraumtopologie}}\xindex{Teilraum}\xindex{Teilraumtopologie}\xindex{Unterraumtopologie|see{Teilraumtopologie}}%
    Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum und $Y \subseteq X$.\\
    $\fT_Y := \Set{U \cap Y | U \in \fT}$ ist eine Topologie auf $Y$.

    $\fT_Y$ heißt \textbf{Teilraumtopologie} und $(Y, \fT_Y)$ heißt ein 
    \textbf{Teilraum} von $(X, \fT)$.
\end{definition}

Die Teilraumtopologie wird auch \textit{Spurtopologie} oder 
\textit{Unterraumtopologie} genannt.

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% Mitschrieb vom 24.10.2013                                         %
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\begin{definition}\xindex{Produkttopologie}%
    Seien $X_1, X_2$ topologische Räume.\\
    $U \subseteq X_1 \times X_2$ sei offen, wenn es zu jedem $x = (x_1, x_2) \in U$
    Umgebungen $U_i$ um $x_i$  mit $i=1,2$ gibt, sodass $U_1 \times U_2 \subseteq U$
    gilt.

    $\fT = \Set{U \subseteq X_1 \times X_2 | U \text{ offen}}$
    ist eine Topologie auf $X_1 \times X_2$. Sie heißt \textbf{Produkttopologie}.
    $\fB = \Set{U_1 \times U_2 | U_i \text{ offen in } X_i, i=1,2}$
    ist eine Basis von $\fT$.
\end{definition}

\begin{figure}[htp]
    \centering
    \input{figures/neighbourhood-topology}
    \caption{Zu $x=(x_1, x_2)$ gibt es Umgebungen $U_1, U_2$ mit $U_1 \times U_2 \subseteq U$}
\end{figure}

\begin{beispiel}[Produkttopologien]
    \begin{bspenum}
        \item $X_1 = X_2 = \mdr$ mit euklidischer Topologie.\\
              $\Rightarrow$ Die Produkttopologie auf $\mdr \times \mdr = \mdr^2$
              stimmt mit der euklidischen Topologie auf $\mdr^2$ überein.
        \item $X_1 = X_2 = \mdr$ mit Zariski-Topologie.
              $\fT$ Produkttopologie auf $\mdr^2$: $U_1 \times U_2$\\
              (Siehe \cref{fig:zariski-topologie})
    \end{bspenum}

    \begin{figure}[htp]
        \centering
        \input{figures/zariski-topology}
        \caption{Zariski-Topologie auf $\mdr^2$}
        \label{fig:zariski-topologie}
    \end{figure}
\end{beispiel}

\begin{definition}\xindex{Quotiententopologie}%
    Sei $X$ ein topologischer Raum, $\sim$ eine Äquivalenzrelation auf $X$,
    $\overline{X} = X /_\sim$ sei die Menge der Äquivalenzklassen,
    $\pi: X \rightarrow \overline{X}, \;\;\; x \mapsto [x]_\sim$.

    \[\fT_{\overline{X}} := \Set{U \subseteq \overline{X} | \pi^{-1}(U) \in \fT_X}\]

    $(\overline{X}, \fT_{\overline{X}})$ heißt \textbf{Quotiententopologie}.
\end{definition}

\begin{beispiel}
    $X = \mdr, a \sim b :\Leftrightarrow a-b \in \mdz$
    
    \input{figures/number-ray-circle-topology}

    $0 \sim 1$, d.~h. $[0] = [1]$
\end{beispiel}

\begin{beispiel}\xindex{Torus}%
    Sei $X = \mdr^2$ und $(x_1, y_1) \sim (x_2, y_2) \gdw x_1 - x_2 \in \mdz$ 
    und $y_1 - y_2 \in \mdz$. Dann ist $X /_\sim$ ein Torus.
\end{beispiel}

\begin{beispiel}[Projektiver Raum]\xindex{Raum!projektiver}%
    \begin{align*}
        X= \mdr^{n+1} \setminus \Set{0},\;\;\; x \sim y &\gdw \exists \lambda \in \mdr^\times \text{ mit } y = \lambda x\\
            &\gdw x \text{ und } y \text{ liegen auf der gleichen}\\
            &\hphantom{\gdw} \text{Ursprungsgerade}
    \end{align*}
    \[\overline{X} = \praum^n(\mdr)\]
    Also für $n=1$:\nopagebreak\\
    \input{figures/ursprungsgeraden}
\end{beispiel}

\section{Metrische Räume}
\begin{definition}\xindex{Metrik}\xindex{Raum!metrischer}%
    Sei $X$ eine Menge. Eine Abbildung $d:X\times X \rightarrow \mdr_0^+$
    heißt \textbf{Metrik}, wenn gilt:

    \begin{defenumprops}
        \item Definitheit:         \tabto{4cm} $d(x,y) = 0 \gdw x = y \;\;\; \forall x, y \in X$
        \item Symmetrie:           \tabto{4cm} $d(x,y) = d(y,x) \;\;\; \forall x, y \in X$
        \item Dreiecksungleichung: \tabto{4cm} $d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z) \;\;\; \forall x, y, z \in X$
    \end{defenumprops}

    Das Paar $(X, d)$ heißt ein \textbf{metrischer Raum}.
\end{definition}

\begin{bemerkung}
    Sei $(X, d)$ ein metrischer Raum und
    \[\fB_r(x) := \Set{y \in X | d(x,y) < r} \text{ für } x \in X, r \in \mdr^+\]
    $\fB = \Set{\fB_r(x) \subseteq \powerset{X} | x \in X, r \in \mdr^+}$ ist Basis einer Topologie auf $X$.
\end{bemerkung}

\begin{definition}\xindex{Isometrie}\label{def:Isometrie}%
    Seien $(X, d_X)$ und $(Y, d_Y)$ metrische Räume und $\varphi: X \rightarrow Y$
    eine Abbildung mit 
    \[\forall x_1, x_2 \in X: d_X(x_1, x_2) = d_Y(\varphi(x_1), \varphi(x_2)) \]

    Dann heißt $\varphi$ eine \textbf{Isometrie} von $X$ nach $Y$.
\end{definition}

\begin{beispiel}[Skalarprodukt erzeugt Metrik]
    Sei $V$ ein euklidischer oder hermitescher Vektorraum mit Skalarprodukt
    $\langle \cdot , \cdot \rangle$.
    Dann wird $V$ durch $d(x,y) := \sqrt{\langle x-y, x-y \rangle}$ zum metrischen Raum.
\end{beispiel}

\begin{beispiel}[diskrete Metrik]\xindex{Metrik!diskrete}\xindex{Topologie!diskrete}%
    Sei $X$ eine Menge. Dann heißt
    \[d(x,y) = \begin{cases}
    0 & \text{falls } x=y\\
    1 & \text{falls } x \neq y
    \end{cases}\]
    die \textbf{diskrete Metrik}. Die Metrik $d$ induziert die 
    \textbf{diskrete Topologie}.
\end{beispiel}
\clearpage

\begin{beispiel}\label{bsp:metrik}
    $X = \mdr^2$ und $d\left ((x_1, y_1), (x_2, y_2)\right ) := \max(\|x_1 - x_2\|, \|y_1 - y_2\|)$
    ist Metrik.

    \emph{Beobachtung:} $d$ erzeugt die euklidische Topologie.

    \begin{figure}[ht]
        \centering
        \subfloat[$\fB_r(0)$]{
            \input{figures/open-square}
            \label{fig:open-square}
        }%
        \subfloat[Euklidische Topologie]{
            \input{figures/quadrat-in-kreis-in-dots}
            \label{fig:quadrat-in-kreis-in-dots}
        }%
        \label{fig:metrik}
        \caption{Veranschaulichungen zur Metrik $d$ aus \cref{bsp:metrik}}
    \end{figure}

\end{beispiel}
\clearpage
\begin{beispiel}[SNCF-Metrik\footnotemark]\xindex{Metrik!SNCF}
    $X = \mdr^2$ 

    \input{figures/sncf-metrik}
\end{beispiel}
\footnotetext{Diese Metrik wird auch \enquote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Franz\%C3\%B6sische_Eisenbahnmetrik}{französische Eisenbahnmetrik}} genannt.}

\begin{definition}\xindex{Raum!hausdorffscher}%
    Ein topologischer Raum $X$ heißt \textbf{hausdorffsch}, wenn es
    für je zwei Punkte $x \neq y$ in $X$ Umgebungen $U_x$ um $x$
    und $U_y$ um $y$ gibt, sodass $U_x \cap U_y = \emptyset$.
\end{definition}

\begin{bemerkung}[Trennungseigenschaft]\label{Trennungseigenschaft}
    Metrische Räume sind hausdorffsch, wegen 
    \[d(x, y) > 0 \Rightarrow \exists \varepsilon > 0: \fB_\varepsilon(x) \cap \fB_\varepsilon(y) = \emptyset\]
\end{bemerkung}

\begin{beispiel}[Topologische Räume und Hausdorff-Räume]
    \begin{bspenum}
        \item $(\mdr, \fT_Z)$ ist ein topologischer Raum, der nicht hausdorffsch ist.
        \item $(\mdr, \fT_{\ts{Euklid}})$ ist ein topologischer Hausdorff-Raum.
    \end{bspenum}
\end{beispiel}

\begin{bemerkung}[Eigenschaften von Hausdorff-Räumen]
    Seien $X, X_1, X_2$ Hausdorff-Räume.
    \begin{bemenum}
        \item Jeder Teilraum von $X$ ist hausdorffsch.
        \item $X_1 \times X_2$ ist hausdorffsch (vgl. \cref{fig:kreuzprodukt-ist-hausdorffsch}).
    \end{bemenum}
    \begin{figure}[htp]
        \centering
        \input{figures/topology-metric-hausdorff}
        \caption{Wenn $X_1, X_2$ hausdorffsch sind, dann auch $X_1 \times X_2$}
        \label{fig:kreuzprodukt-ist-hausdorffsch}
    \end{figure}
\end{bemerkung}

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% Mitschrieb vom 24.10.2013                                         %
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\begin{definition}\xindex{Grenzwert}\xindex{Limes}%
    Sei $X$ ein topologischer Raum und $(x)_{n \in \mdn}$ eine Folge
    in $X$. $x \in X$ heißt \textbf{Grenzwert} oder \textbf{Limes}
    von $(x_n)$, wenn es für jede Umgebung $U$ von $x$ ein $n_0$ gibt,
    sodass $x_n \in U$ für alle $n \geq n_0$.
\end{definition}

\begin{bemerkung}
    Ist $X$ hausdorffsch, so hat jede Folge in $X$ höchstens einen
    Grenzwert.
\end{bemerkung}

\begin{beweis}
    Sei $(x_n)$ eine konvergierende Folge und $x$ und $y$ Grenzwerte der Folge.

    Da $X$ hausdorffsch ist, gibt es Umgebungen $U_x$ von $x$ und $U_y$
    von $y$ mit $U_x \cap U_y = \emptyset$ falls $x \neq y$. Da 
    $(x_n)$ gegen $x$ und $y$ konvergiert, existiert ein
    $n_0$ mit $x_n \in U_x \cap U_y$ für alle $n \geq n_0$
    $\Rightarrow x = y \qed$
\end{beweis}

\section{Stetigkeit}\index{Stetigkeit|(}
\begin{definition}
    Seien $(X, \fT_X), (Y, \fT_Y)$ topologische Räume und 
    $f:X \rightarrow Y$ eine Abbildung.

    \begin{defenum}
        \item \label{def:stetigkeit} $f$ heißt \textbf{stetig}\xindex{Abbildung!stetige}
              $:\gdw \forall U \in \fT_Y: f^{-1} (U) \in \fT_X$.
        \item \label{def:homoeomorphismus} $f$ heißt \textbf{Homöomorphismus}\xindex{Homöomorphismus}, wenn $f$ stetig ist
              und es eine 
              stetige Abbildung  $g: Y \rightarrow X$ gibt, sodass
              $g \circ f = \id_X$ und $f \circ g = \id_Y$.
    \end{defenum}
\end{definition}

\begingroup
\renewcommand{\thmfoot}{\footnotemark}
\begin{bemerkung}
  \footnotetext[\thefootnote]{Es wird die Äquivalenz
  von Stetigkeit im Sinne der Analysis und Topologie auf metrischen
  Räumen gezeigt.}
  Seien $X, Y$ metrische Räume und $f\colon X \rightarrow Y$ eine
  Abbildung.

  Dann gilt: $f$ ist stetig $\Leftrightarrow$ zu jedem $x \in X$ und
  jedem $\varepsilon > 0$ gibt es $\delta(x, \varepsilon) > 0$, sodass
  für alle $y \in X$ mit $d(x,y) < \delta $ gilt $d_Y(f(x), f(y)) <
  \varepsilon$.
\end{bemerkung}
\endgroup

\begin{beweis}
    \enquote{$\Rightarrow$}: Sei $x \in X, \varepsilon > 0$ gegeben
    und $U := \fB_\varepsilon(f(x))$.\\
    Dann ist $U$ offen in $Y$.\\
    $\xRightarrow{\crefabbr{def:stetigkeit}} f^{-1}(U)$  ist 
    offen in $X$. Dann ist $x \in f^{-1}(U)$.\\
    $\Rightarrow \exists \delta > 0$, sodass 
    $\fB_\delta(x) \subseteq f^{-1} (U)$\\
    $\Rightarrow f(\fB_\delta(x)) \subseteq U$\\
    $\Rightarrow \Set{y \in X | d_X(x,y) < \delta} \Rightarrow$ Beh.

    \enquote{$\Leftarrow$}: Sei $U \subseteq Y$ offen, $X \in f^{-1}(U)$.\\
    Dann gibt es $\varepsilon > 0$, sodass $\fB_\varepsilon(f(x)) \subseteq U$\\
    $\xRightarrow{\text{Vor.}}$ Es gibt $\delta > 0$, sodass
    $f(\fB_\delta(x)) \subseteq \fB_\varepsilon (f(x)))$\\
    $\Rightarrow \fB_\delta(x) \subseteq f^{-1}(\fB_\varepsilon(f(x))) \subseteq f^{-1}(U)$
    $\qed$
\end{beweis}

\begin{bemerkung}
    Seien $X, Y$ topologische Räume und $f:X \rightarrow Y$ eine
    Abbildung. Dann gilt:

    $f \text{ ist stetig}$\\
    $\gdw \text{für jede abgeschlossene Teilmenge } A \subseteq Y \text{ gilt}: f^{-1}(A) \subseteq X \text{ ist abgeschlossen.}$
\end{bemerkung}

\begin{beispiel}[Stetige Abbildungen und Homöomorphismen]
    \begin{bspenum}
        \item Für jeden topologischen Raum $X$ gilt: $\id_X : X \rightarrow X$
              ist Homöomorphismus.
        \item Ist $(Y, \fT_Y)$ trivialer topologischer Raum, d.~h. $\fT_Y = \fT_\text{triv}$,
              so ist jede Abbildung $f:X \rightarrow Y$ stetig.
        \item Ist $X$ diskreter topologischer Raum, so ist $f:X \rightarrow Y$
              stetig für jeden topologischen Raum $Y$ und jede Abbildung $f$.
        \item Sei $X = [0, 1), Y = S^1 = \Set{z \in \mdc | \|z\| = 1}$
              und $f(t) = e^{2 \pi i t}$.

              \begin{figure}[htp]
                \centering
                \input{figures/topology-continuous-mapping}
                \caption{Beispiel einer stetigen Funktion $f$, deren 
                         Umkehrabbildung $g$ nicht stetig ist.}
                \label{fig:nicht-stetige-umkehrabbildung}
              \end{figure}
              
              Die Umkehrabbildung $g$ ist nicht stetig, da $g^{-1}(U)$
              nicht offen ist (vgl. \cref{fig:nicht-stetige-umkehrabbildung}).
    \end{bspenum}
\end{beispiel}

\begin{bemerkung}[Verkettungen stetiger Abbildungen sind stetig]
    Seien $X, Y, Z$ topologische Räume, $f:X \rightarrow Y$ und 
    $g:Y \rightarrow Z$ stetige Abbildungen.

    Dann ist $g \circ f: X \rightarrow Z$ stetig.

    \centerline{
        \begin{xy}
          \xymatrix{
              X \ar[rr]^f \ar[rd]_{g \circ f}  &     &  Y \ar[dl]^g  \\
                                               &  Z  &
          }
        \end{xy}
    }
\end{bemerkung}

\begin{beweis}
    Sei $U \subseteq Z$ offen $\Rightarrow (g \circ f)^{-1} (U) = f^{-1} (g^{-1}(U))$.
    $g^{-1}(U)$ ist offen in $Y$ weil $g$ stetig ist, $f^{-1}(g^{-1}(U))$
    ist offen in $X$, weil $f$ stetig ist. $\qed$
\end{beweis}

\begin{bemerkung}
    \begin{bemenum}
        \item \xindex{Homöomorphismengruppe}Für jeden topologischen Raum $X$ ist 
              \[\Homoo(X) := \Set{f: X \rightarrow X | f \text{ ist Homöomorphismus}}\]
              eine Gruppe.
        \item \xindex{Isometrie}Jede Isometrie $f:X \rightarrow Y$ zwischen metrischen 
              Räumen ist ein Homöomorphismus.
        \item \xindex{Isometriegruppe}$\Iso(X) := \Set{f:X \rightarrow X | f \text{ ist Isometrie}}$ ist
              eine Untergruppe von $\Homoo(X)$ für jeden
              metrischen Raum $X$.
    \end{bemenum}
\end{bemerkung}

\begin{bemerkung}[Projektionen sind stetig]
    Seien $X, Y$ topologische Räume. $\pi_X: X \times Y \rightarrow X$
    und $\pi_Y: X \times Y \rightarrow Y$ die Projektionen 
    \[\pi_X: (x,y) \mapsto x \text{ und } \pi_Y: (x,y) \mapsto y\]
    Wird $X \times Y$ mit der Produkttopologie versehen, so sind $\pi_X$
    und $\pi_Y$ stetig.
\end{bemerkung}

\begin{beweis}
    Sei $U \subseteq X$ offen\\
    $\Rightarrow \pi_X^{-1} (U) = U \times Y$ ist offen in $X \times Y$. $\qed$
\end{beweis}

\begin{bemerkung}\xindex{Quotiententopologie}%
    Sei $X$ ein topologischer Raum, $\sim$ eine Äquivalenzrelation auf
    $X$, $\overline{X} = X /_\sim$ der Bahnenraum versehen mit der
    Quotiententopologie, $\pi:X \rightarrow \overline{X}$, $x \mapsto [x]_\sim$.

    Dann ist $\pi$ stetig.
\end{bemerkung}

\begin{beweis}
    Nach Definition ist 
    $U \subseteq \overline{X}$ offen $\gdw \pi^{-1}(U) \subseteq X$ 
    offen. $\qed$
\end{beweis}

\xindex{Topologie!feinste}\xindex{Quotiententopologie}\emph{Beobachtung:} Die Quotiententopologie ist die feinste Topologie,
sodass $\pi$ stetig wird.

\begin{beispiel}[Stereographische Projektion]\xindex{Projektion!stereographische}%
    $\mdr^n$ und $S^n \setminus \Set{N}$ sind homöomorph für
    beliebiges $N \in S^n$. Es gilt:

    \begin{align*}
        S^n &= \Set{x \in \mdr^{n+1} | \|x\| = 1}\\
            &= \Set{x \in \mdr^{n+1} | \sum_{i=1}^{n+1} x_i^2 = 1}
    \end{align*}
    
    \Obda sei $N = \begin{pmatrix}0\\ \vdots\\ 0\\1\end{pmatrix}$. Die
    Gerade durch $N$ und $P$ schneidet die Ebene $H$ in genau einem
    Punkt $\hat{P}$. $P$ wird auf $\hat{P}$ abgebildet.

    \begin{align*}
        f: &S^n \setminus \Set{N} \rightarrow \mdr^n\\
        P  &\mapsto \overbrace{L_P \cap H}^\text{genau ein Punkt}
    \end{align*}

    wobei $\mdr^n = H = \Set{\begin{pmatrix}x_1\\ \vdots \\ x_{n+1}\end{pmatrix} \in \mdr^{n+1} | x_{n+1} = 0}$
    und $L_P$ die Gerade in $\mdr^{n+1}$ durch $N$ und $P$ ist.

    \begin{figure}[htp]
        \centering
        \resizebox{0.9\linewidth}{!}{\input{figures/stereographic-projection}}
        \caption{Visualisierung der stereographischen Projektion}
        \label{fig:stereographic-projection}
    \end{figure}

    Sei $P = \begin{pmatrix}x_1\\ \vdots \\ x_{n+1}\end{pmatrix}$, so
    ist $x_{n+1} < 1$, also ist $L_P$ nicht parallel zu $H$. Also
    schneiden sich $L_P$ und $H$ in genau einem Punkt $\hat{P}$.

    Es gilt: $f$ ist bijektiv und die Umkehrabbildung ist ebenfalls
    stetig.    
\end{beispiel}
\index{Stetigkeit|)}
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% Mitschrieb vom 31.10.2013                                         %
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\section{Zusammenhang}\index{Zusammenhang|(}
\begin{definition}\xindex{Raum!zusammenhaengender@zusammenhängender}\xindex{Menge!zusammenhaengende@zusammenhängende}%
    \begin{defenum}
        \item Ein Raum $X$ heißt \textbf{zusammenhängend}, wenn es keine offenen,
              nichtleeren Teilmengen $U_1, U_2$ von $X$ gibt mit 
              $U_1 \cap U_2 = \emptyset$ und $U_1 \cup U_2 = X$.
        \item Eine Teilmenge $Y \subseteq X$ heißt zusammenhängend, wenn $Y$
              als topologischer Raum mit der Teilraumtopologie zusammenhängend ist.
    \end{defenum}
\end{definition}

\begin{bemerkung}
    $X$ ist zusammenhängend $\gdw$ Es gibt keine abgeschlossenen,
    nichtleeren Teilmengen $A_1, A_2$ mit $A_1 \cap A_2 = \emptyset$ 
    und $A_1 \cup A_2 = X$.
\end{bemerkung}

\begin{beispiel}[Zusammenhang von Räumen]
    \begin{bspenum}
        \item $(\mdr^n, \fT_{\ts{Euklid}})$ ist zusammenhängend, denn:

            \underline{Annahme}: $\mdr^n = U_1 \dcup U_2$ mit $\emptyset \neq U_1, U_2 \in \fT_{\ts{Euklid}}$ existieren.

            Sei $x \in U_1, y \in U_2$ und $[x,y]$ die Strecke zwischen $x$
            und $y$. Sei $V = [x,y]$. Nun betrachten wir $V \subsetneq \mdr^n$ als 
            (metrischen) Teilraum mit der Teilraumtopologie $\fT_V$.
            Somit gilt $U_1 \cap [x,y] \in \fT_V$ wegen der Definition der 
            Teilraumtopologie.

            Dann gibt es $z \in [x,y]$ mit $z \in \partial (U_1 \cap [x,y])$,
            aber $z \notin U_1 \Rightarrow z \in U_2$. In jeder Umgebung von 
            $z$ liegt ein Punkt von $U_1 \Rightarrow$ Widerspruch zu $U_2$ offen.
        \item $\mdr \setminus \Set{0}$ ist nicht zusammenhängend, denn
              $\mdr \setminus \Set{0} = \mdr_{< 0} \cup \mdr_{> 0}$
        \item $\mdr^2 \setminus \Set{0}$ ist zusammenhängend.
        \item $\mdq \subsetneq \mdr$ ist nicht zusammenhängend, da 
              $(\mdq \cap \mdr_{< \sqrt{2}}) \cup (\mdq \cap \mdr_{> \sqrt{2}}) = \mdq$
        \item $\Set{x}$ ist zusammenhängend für jedes $x \in X$, 
              wobei $X$ ein topologischer Raum ist.
        \item $\mdr$ mit Zariski-Topologie ist zusammenhängend.\xindex{Topologie!Zariski}
    \end{bspenum}
\end{beispiel}

\begin{bemerkung}\label{zusammenhangAbschluss}
    Sei $X$ ein topologischer Raum und $A \subseteq X$ zusammenhängend.
    Dann ist auch $\overline{A}$ zusammenhängend.
\end{bemerkung}

\begin{beweis} durch Widerspruch\\
    \underline{Annahme}: $\overline{A} = A_1 \cup A_2,\; A_i$ abgeschlossen, $A_i \neq \emptyset$,
    $\;A_1 \cap A_2 = \emptyset$
    \begin{align*}
        &\Rightarrow A = \underbrace{\underbrace{(A \cap A_1)}_\text{abgeschlossen} \dcup \underbrace{(A \cap A_2)}_\text{abgeschlossen}}_\text{disjunkt}\\
    \end{align*}

    Wäre $A \cap A_1 = \emptyset$\\
    $\Rightarrow A \subseteq \overline{A} = A_1 \dcup A_2$\\
    $\Rightarrow A \subseteq A_2$
    $\Rightarrow \overline{A} \subseteq A_2$\\
    $\Rightarrow A_1 = \emptyset$\\
    $\Rightarrow$ Widerspruch zu $A_1 \neq \emptyset$\\
    $\Rightarrow A \cap A_1 \neq \emptyset$ und analog 
                $A \cap A_2 \neq \emptyset$\\
    $\Rightarrow$ Widerspruch zu $A$ ist zusammenhängend. $ \qed$
\end{beweis}

\begin{bemerkung}\label{bem:zusammenhangVereinigung}
    Sei $X$ ein topologischer Raum und $A, B \subseteq X$ zusammenhängend.

    Ist $A \cap B \neq \emptyset$, dann ist $A \cup B$ zusammenhängend.
\end{bemerkung}

\begin{beweis}
    Sei $A \cup B = U_1 \dcup U_2, U_i \neq \emptyset$ offen
    \begin{align*}
        &\xRightarrow{\text{\obda}} A = (A \cap U_1) \dcup (A \cap U_2) \text{ offen}\\
        &\xRightarrow{A \text{ zhgd.}} A \cap U_1 = \emptyset\\
        &\xRightarrow{A \cap B \neq \emptyset} U_1 \subseteq B\\
        &B = \underbrace{(B \cap U_1)}_{= U_1} \cup \underbrace{(B \cap U_2)}_{= \emptyset} \text{ ist unerlaubte Zerlegung.}
    \end{align*}
    $\qed$
\end{beweis}

\begin{definition}\xindex{Zusammenhangskomponente}%
    Sei $X$ ein topologischer Raum.
    
    Für $x \in X$ sei $Z(x) \subseteq X$ definiert durch
    \[Z(x) := \bigcup_{\mathclap{\substack{A \subseteq X \text{zhgd.}\\ x \in A}}} A\]

     $Z(x)$ heißt \textbf{Zusammenhangskomponente}.
\end{definition}

\begin{bemerkung}[Eigenschaften von Zusammenhangskomponenten]
    Sei $X$ ein topologischer Raum. Dann gilt:
    \begin{bemenum}
        \item $Z(x)$ ist die größte zusammenhängende Teilmenge von $X$,
              die $x$ enthält.
        \item $Z(x)$ ist abgeschlossen.
        \item $X$ ist disjunkte Vereinigung von Zusammenhangskomponenten.
    \end{bemenum}
\end{bemerkung}

\begin{beweis}\leavevmode
    \begin{enumerate}[label=\alph*)]
        \item Sei $Z(x) = A_1 \dcup A_2$ mit $A_i \neq \emptyset$ abgeschlossen.

            \Obda sei $x \in A_1$ und $y \in A_2$. $y$ liegt in einer zusammehängenden
            Teilmenge $A$, die auch $x$ enthält.
            $\Rightarrow A = \underbrace{(A \cap A_1)}_{\ni x} \cup \underbrace{(A \cap A_2)}_{\ni y}$
            ist unerlaubte Zerlegung.
        \item Nach \cref{zusammenhangAbschluss} ist $\overline{Z(x)}$
              zusammenhängend $\Rightarrow \overline{Z(x)} \subseteq Z(x)$
              $\Rightarrow Z(x) = \overline{Z(x)}$
        \item Ist $Z(y) \cap Z(x) \neq \emptyset \xRightarrow{\crefabbr{bem:zusammenhangVereinigung}} Z(y) \cup Z(x)$
              ist zusammenhängend. \\
              \begin{align*}
                \Rightarrow Z(x) \cup Z(y) &\subseteq Z(x) \Rightarrow Z(y) \subseteq Z(x)\\
                                           &\subseteq Z(y) \Rightarrow Z(x) \subseteq Z(y)
              \end{align*} 
    \end{enumerate}

    $\qed$
\end{beweis}

\begin{bemerkung}
    Sei $f:X \rightarrow Y$ stetig. Ist $A \subseteq X$ zusammenhängend,
    so ist $f(A) \subseteq Y$ zusammenhängend.
\end{bemerkung}

\begin{beweis}
    Sei $f(A) = U_1 \cup U_2, U_i \neq \emptyset,$ offen, disjunkt.

    $\Rightarrow f^{-1} (f(A)) = f^{-1}(U_1) \cup f^{-1}(U_2)$

    $\Rightarrow A = \underbrace{(A \cap f^{-1}(U_1))}_{\neq \emptyset} \cup \underbrace{(A \cap f^{-1}(U_2))}_{\neq \emptyset} \qed$
\end{beweis}\index{Zusammenhang|)}

\section{Kompaktheit}
\begin{definition}\xindex{Ueberdeckung@""Uberdeckung}%
    Sei $X$ eine Menge und $\fU \subseteq \powerset{X}$.

    $\fU$ heißt eine \textbf{Überdeckung} von $X$, wenn gilt:
    \[\forall x \in X: \exists M \in \fU: x \in M\]
\end{definition}

\begin{definition}\xindex{Raum!kompakter}%
    Ein topologischer Raum $X$ heißt \textbf{kompakt}, wenn jede
    offene Überdeckung von $X$
    \[\fU = \Set{U_i}_{i \in I} \text{ mit } U_i \text{ offen in } X\]
    eine endliche Teilüberdeckung 
    \[\bigcup_{\mathclap{i \in J \subseteq I}} U_i = X \text{ mit } |J| \in \mdn\]
    besitzt.
\end{definition}

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% Mitschrieb vom 05.11.2013                                         %
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\begin{bemerkung}\label{abgeschlossen01IstKompakt}
    Das Einheitsintervall $I := [0,1]$ ist kompakt bezüglich der 
    euklidischen Topologie.
\end{bemerkung}

\begin{beweis}
Sei $(U_i)_{i \in J}$ eine offene Überdeckung von $I$.

Es genügt zu zeigen, dass es ein $\delta > 0$ gibt, sodass jedes 
Teilintervall der Länge $\delta$ von $I$ in einem der $U_i$ enthalten ist.
Wenn es ein solches $\delta$ gibt, kann man $I$ in endlich viele 
Intervalle der Länge $\delta$ unterteilen und alle $U_i$ in die endliche
Überdeckung aufnehmen, die Teilintervalle enthalten.

Angenommen, es gibt kein solches $\delta$. Dann gibt es für jedes 
$n \in \mdn$ ein Intervall $I_n \subseteq [0,1]$ der Länge $\nicefrac{1}{n}$
sodass $I_n \subsetneq U_i$ für alle $i \in J$.

Sei $x_n$ der Mittelpunkt von $I_n$. Die Folge $(x_n)$ hat einen 
Häufungspunkt $x \in [0,1]$. Dann gibt es $i \in J$ mit $x \in U_i$.
Da $U_i$ offen ist, gibt es ein $\varepsilon > 0$, sodass $(x - \varepsilon, x + \varepsilon) \subseteq U_i$.
Dann gibt es $n_0$, sodass gilt:
$\nicefrac{1}{n_0} < \nicefrac{\varepsilon}{2}$ und für unendlich viele\footnote{Dies gilt nicht für alle $n \geq n_0$, da ein Häufungspunkt nur eine konvergente Teilfolge impliziert.}
$n\geq n_0: |x - x_n| < \nicefrac{\varepsilon}{2}$, also $I_n \subseteq (x - \varepsilon, x + \varepsilon) \subseteq U_i$
für mindestens ein $n \in \mdn$.\footnote{Sogar für unendlich viele.}

$\Rightarrow$ Widerspruch 

Dann überdecke $[0,1]$ mit endlich vielen Intervallen $I_1, \dots, I_d$
der Länge $\delta$. Jedes $I_j$ ist in $U_{ij}$ enthalten.

$\Rightarrow U_{j_1}, \dots, U_{j_d}$ ist endliche Teilüberdeckung von $U$.
$\qed$
\end{beweis}

\begin{beispiel}[Kompakte Räume]
    \begin{bspenum}
        \item $\mdr$ ist nicht kompakt.
        \item $(0,1)$ ist nicht kompakt.\\
              $U_n = (\nicefrac{1}{n}, 1-\nicefrac{1}{n}) \Rightarrow \bigcup_{n \in \mdn} U_n = (0,1)$
        \item $\mdr$ mit der Zariski-Topologie ist kompakt und jede 
              Teilmenge von $\mdr$ ist es auch.\xindex{Topologie!Zariski}
    \end{bspenum}
\end{beispiel}

\begin{bemerkung}\label{abgeschlossenInKomaktIstKompakt}
    Sei $X$ kompakter Raum, $A \subseteq X$ abgeschlossen. Dann ist
    $A$ kompakt.
\end{bemerkung}

\begin{beweis}
    Sei $(V_{i})_{i \in I}$ offene Überdeckung von A.\\
    Dann gibt es für jedes $i \in I$ eine offene Teilmenge $U_{i} \subseteq X$ mit $V_{i}=U_{i} \cap A$.
    \begin{align*}
        &\Rightarrow A \subseteq \bigcup_{i \in I} U_i\\
        &\Rightarrow \mathfrak{U} = \Set{U_i | i \in I} \cup \Set{X \setminus A} \text{ ist offene Überdeckung von } X\\
        &\xRightarrow{X \text{ kompakt}} \text{ es gibt } i_1, \dots, i_n \in I\text{, sodass }\bigcup_{j=1}^n U_{i_j} \cup (X \setminus A) = X\\
        &\Rightarrow \left (\bigcup_{j=1}^n U_{i_j} \cup (X \setminus A)\right ) \cap A = A\\
        &\Rightarrow \bigcup_{j=1}^n \underbrace{(U_{i_j} \cap A)}_{= V_{i_j}} \cup \underbrace{((X \setminus A) \cap A)}_{= \emptyset} = A\\
        &\Rightarrow V_{i_1}, \dots, V_{i_n} \text{ überdecken } A\text{.}
    \end{align*}
    $\qed$
\end{beweis}

\begin{bemerkung}\label{kompaktTimesKompaktIstKompakt}
    Seien $X, Y$ kompakte topologische Räume. Dann ist $X \times Y$
    mit der Produkttopologie kompakt.
\end{bemerkung}

\begin{beweis}
    Sei $(W_i)_{i \in I}$ eine offene Überdeckung von $X \times Y$.
    Für jedes $(x,y) \in X \times Y$ gibt es offene Teilmengen
    $U_{x,y}$ von $X$ und $V_{x,y}$ von $Y$ sowie ein $i \in I$, sodass
    $U_{x,y} \times V_{x,y} \subseteq W_i$.

    \begin{figure}[htp]
        \centering
        \input{figures/neighbourhood-topology-open}
        \caption{Die blaue Umgebung ist Schnitt vieler Umgebungen}
    \end{figure}

    Die offenen Mengen $U_{x_0, y} \times V_{x_0, y}$ für festes $x_0$
    und alle $y \in Y$ überdecken $\Set{x_0} \times y$. Da $Y$ kompakt
    ist, ist auch $\Set{x_0} \times Y$ kompakt. Also gibt es 
    $y_1, \dots, y_{m(x_0)}$ mit 
    $\bigcup_{i=1}^{m(x_0)} U_{x_0, y_i} \times V_{x_0, y_i} \supseteq \Set{x_0} \times Y$.

    Sei ${\color{blue} U_{x_0}} := \bigcap_{i=1}^{m(x)} U_{x_0, y_i}$.
    Da $X$ kompakt ist, gibt es $x_1, \dots, x_n \in X$ mit 
    $\bigcup_{j=1}^n U_{x_j} = X$\\
    $\Rightarrow \bigcup_{j=1}^k \bigcup_{i=1}^{m(x_j)} \underbrace{\left ( U_{x_j, y_i} \times V_{x_j, y_i} \right)}_{\mathclap{\text{Ein grün-oranges Kästchen}}} \supseteq X \times Y$\\
    $\Rightarrow \bigcup_j \bigcup_i W_i (x_j, y_i) = X \times Y \qed$
\end{beweis}

\begin{bemerkung}\label{hausdorffraumKompakteTeilmengeAbgeschlossen}
    Sei $X$ ein Hausdorffraum und $K \subseteq X$ kompakt.
    Dann ist $K$ abgeschlossen.
\end{bemerkung}

\begin{beweis}
    \underline{z.~Z.:} Komplement ist offen

    Ist $X = K$, so ist $K$ abgeschlossen in $X$. Andernfalls sei 
    $y \in X \setminus K$. Für jedes $x \in K$ seien $U_x$ bzw. $V_y$
    Umgebungen von $x$ bzw. von $y$, sodass $U_x \cap V_y = \emptyset$.

    \begin{figure}[htp]
        \centering
        \input{figures/topology-1}
    \end{figure}

    Da $K$ kompakt ist, gibt es endlich viele $x_1, \dots, x_n \in K$,
    sodass $\bigcup_{i=1}^m U_{x_i} \supseteq K$.

    \begin{align*}
        &\text{Sei } V := \bigcap_{i=1}^n V_{x_i}\\
        &\Rightarrow V \cap \left (\bigcup_{i=1}^n U_{x_i} \right) = \emptyset \\
        &\Rightarrow V \cap K = \emptyset\\
        &\Rightarrow V \text{ ist Überdeckung von } y\text{, die ganz in } X \setminus K \text{ enthalten ist}.\\
        &\Rightarrow X \setminus K \text{ ist offen}
    \end{align*}
    Damit ist $K$ abgeschlossen. $\qed$
\end{beweis}

\begin{bemerkung}\label{kor:5.6}%In Vorlesung: Bemerkung 5.6
    Seien $X, Y$ topologische Räume, $f: X \rightarrow Y$ stetig.\\
    Ist $K \subseteq X$ kompakt, so ist $f(K) \subseteq Y$ kompakt.
\end{bemerkung}

\begin{beweis}
    Sei $(V_i)_{i \in I}$ offene Überdeckung von $f(K)$\\
    $\xRightarrow{f \text{ stetig}} (f^{-1}(V_i))_{i \in I}$ ist offene Überdeckung von $K$\\
    $\xRightarrow{\text{Kompakt}}$ es gibt $i_1, \dots, i_n$, 
    sodass $f^{-1}(V_{i_1}), \dots, f^{-1}(V_{i_n})$ Überdeckung von
    $K$ ist.\\
    $\Rightarrow f(f^{-1}( V_{i_1})), \dots, f(f^{-1}(V_{i_n}))$ 
    überdecken $f(K)$.

    Es gilt: $f(f^{-1}(V)) = V \cap f(X) \qed$
\end{beweis}

\begin{satz}[Heine-Borel]\label{satz:heine-borel}%In Vorlesung: Proposition 5.7
    Eine Teilmenge von $\mdr^n$ oder $\mdc^n$ ist genau dann kompakt,
    wenn sie beschränkt und abgeschlossen ist.
\end{satz}

\begin{beweis}\leavevmode
    \enquote{$\Rightarrow$}: Sei $K \subseteq \mdr^n$ (oder $\mdc^n$)
    kompakt.

    Da $\mdr^n$ und $\mdc^n$ hausdorffsch sind, ist $K$ nach
    \cref{hausdorffraumKompakteTeilmengeAbgeschlossen} abgeschlossen.
    Nach Voraussetzung kann $K$ mit endlich vielen offenen Kugeln von 
    Radien 1 überdeckt werden $\Rightarrow K$ ist beschränkt.

    \enquote{$\Leftarrow$} Sei $A \subseteq \mdr^n$ (oder $\mdc^n$)
    beschränkt und abgeschlossen.

    Dann gibt es einen Würfel $W = \underbrace{[-N, N] \times \dots \times [-N, N]}_{n \text{ mal}}$
    mit $A \subseteq W$ bzw. \enquote{Polyzylinder}\xindex{Polyzylinder}
    \[Z = \Set{(z_1, \dots, z_n) \in \mdc^n | z_i \leq N \text{ für } i= 1, \dots, n}\]

    Nach \cref{kompaktTimesKompaktIstKompakt} und
    \cref{abgeschlossen01IstKompakt} ist $W$ kompakt, also ist $A$
    nach \cref{abgeschlossenInKomaktIstKompakt} auch kompakt.
    Genauso ist $Z$ kompakt, weil 
    \[\Set{z \in \mdc | |z| \leq 1}\]
    homöomorph zu
    \[\Set{(x,y) \in \mdr^2 | \|(x,y)\| \leq 1}\]
    ist. $\qed$
\end{beweis}

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% Mitschrieb vom 07.11.2013                                         %
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\section{Wege und Knoten}\index{Knoten|(}
\begin{definition}\xindex{Weg}\xindex{Weg!geschlossener}\xindex{Weg!einfacher}%
    Sei $X$ ein topologischer Raum. 
    \begin{defenum}
        \item Ein \textbf{Weg} in $X$ ist eine stetige Abbildung $\gamma:[0,1] \rightarrow X$.
        \item $\gamma$ heißt \textbf{geschlossen}, wenn $\gamma(1) = \gamma(0)$ gilt.
        \item $\gamma$ heißt \textbf{einfach}, wenn $\gamma|_{[0,1)}$ 
              injektiv ist.
    \end{defenum}
\end{definition}

\begin{beispiel}
    Ist $X$ diskret, so ist jeder Weg konstant, d.~h. von der Form
    \[\forall x \in [0,1]: \gamma(x) = c, \;\;\; c \in X\]
    Denn $\gamma([0,1])$ ist zusammenhängend für jeden Weg $\gamma$.
\end{beispiel}

\begin{definition}\xindex{Wegzusammenhang}%
    Ein topologischer Raum $X$ heißt \textbf{wegzusammenhängend},
    wenn es zu je zwei Punkten $x,y \in X$ einen Weg $\gamma:[0,1] \rightarrow X$
    gibt mit $\gamma(0)=x$ und $\gamma(1)=y$.
\end{definition}

\begin{bemerkung}\label{kor:wegzusammehang-impliziert-zusammenhang}
    Sei $X$ ein topologischer Raum.

    \begin{bemenum}
        \item $X$ ist wegzusammenhängend $\Rightarrow X$ ist zusammenhängend
        \item $X$ ist wegzusammenhängend $\not\Leftarrow X$ ist zusammenhängend
    \end{bemenum}
\end{bemerkung}
\goodbreak
\begin{beweis}\leavevmode
    \begin{enumerate}[label=\alph*)]
    \item Sei $X$ ein wegzusammenhängender topologischer Raum, $A_1, A_2$
    nichtleere, disjunkte, abgeschlossene Teilmengen von $X$ mit
    $A_1 \cup A_2 = X$. Sei $x \in A_1, y \in A_2, \gamma:[0,1] \rightarrow X$
    ein Weg von $x$ nach $y$.

    Dann ist $C:= \gamma([0,1]) \subseteq X$ zusammenhängend, weil 
    $\gamma$ stetig ist.
    \[C = \underbrace{(C \cap A_1)}_{\ni x} \cup \underbrace{(C \cap A_2)}_{\ni y}\]
    ist Zerlegung in nichtleere, disjunkte, abgeschlossene Teilmengen
    $\Rightarrow$ Widerspruch 

    \item Sei $X = \Set{(x,y) \in \mdr^2| x^2 + y^2 = 1 \lor y = 1 +2\cdot e^{-\frac{1}{10} x}}$.

        \Cref{fig:topology-spiral} veranschaulicht diesen Raum.

        \begin{figure}[htp]
            \centering
            \subfloat[Spirale $S$ mit Kreis $C$]{
                \resizebox{0.25\linewidth}{!}{\input{figures/topology-spiral}}
                \label{fig:topology-spiral}
            }%
            \subfloat[Sinus]{
                \resizebox{0.65\linewidth}{!}{\input{figures/topology-sinx.tex}}
                \label{fig:sinx}
            }%

            \caption{Beispiele für Räume, die zusammenhängend, aber nicht wegzusammenhängend sind.}
            \label{fig:zusammenhang-beispiele}
        \end{figure}

          Sei $U_1 \cup U_2 = X, U_1 \neq U_2 = \emptyset, U_i$ offen.
          $X = C \cup S$. Dann ist $C \subseteq U_1$ oder $C \subseteq U_2$,
          weil $C$ und $S$ zusammenhängend sind.

          Also ist $C = U_1$ und $S = U_2$ (oder umgekehrt).

          Sei $y \in C = U_1, \varepsilon > 0$ und $\fB_\varepsilon (y) \subseteq U_1$
          eine Umgebung von $y$, die in $U_1$ enthalten ist.

          Aber: $\fB_\varepsilon(y) \cap S \neq \emptyset \Rightarrow$
          Widerspruch $\Rightarrow X \cup S$ ist zusammenhängend, aber
          nicht wegzusammenhängend.
$\qed$
    \end{enumerate}
\end{beweis}

\begin{beispiel}[Hilbert-Kurve]\xindex{Hilbert-Kurve}%
    Es gibt stetige, surjektive Abbildungen 
    $[0,1] \rightarrow [0,1] \times [0,1]$. Ein Beispiel ist die
    in \cref{fig:hilbert-curve} dargestellte Hilbert-Kurve.

    \input{figures/hilbert-curve}
\end{beispiel}

\begin{definition}\xindex{Jordankurve}\xindex{Jordankurve!geschlossene}%
    Sei $X$ ein topologischer Raum. Eine
    \textbf{Jordankurve} in $X$ ist ein Homöomorphismus 
    $\gamma: [0,1] \rightarrow C \subseteq X$ bzw.
    $\gamma: S^1 \rightarrow C \subseteq X$, wobei $C := \Bild{\gamma}$.
\end{definition}

Jede Jordankurve ist also ein einfacher Weg.

\begin{satz}[Jordanscher Kurvensatz]
    Ist $C=\gamma([0,1])$ eine geschlossene Jordankurve in $\mdr^2$,
    so hat $\mdr^2 \setminus C$ genau zwei Zusammenhangskomponenten,
    von denen eine beschränkt ist und eine unbeschränkt.
\end{satz}

\begin{figure}[htp]
    \centering
    \input{figures/topology-jordan} 
    \label{fig:jordan-kurvensatz}
    \caption{Die unbeschränkte Zusammenhangskomponente wird häufig inneres, die beschränkte äußeres genannt.}
\end{figure}

\begin{beweis}
    ist technisch mühsam und wird hier nicht geführt. Er kann
    in \enquote{Algebraische Topologie: Eine Einführung} von R.~Stöcker
    und H.~Zieschang auf S. 301f (ISBN 978-3519122265) nachgelesen werden.

    Idee: Ersetze Weg $C$ durch Polygonzug.
\end{beweis}

\begin{definition}\xindex{Knoten}%
    Eine geschlossene Jordankurve in $\mdr^3$ heißt \textbf{Knoten}.
\end{definition}

\begin{beispiel}[Knoten]
    \xindex{Kleeblattknoten}\xindex{Achterknoten}\xindex{Knoten!trivialer}
    \begin{figure}[htp]
        \centering
        \subfloat[Trivialer Knoten]{
            \includegraphics[width=0.2\linewidth, keepaspectratio]{figures/blue-unknot.png}
            \label{fig:knot-unknot}
        }%
        \subfloat[Kleeblattknoten]{
            \includegraphics[width=0.2\linewidth, keepaspectratio]{figures/blue-trefoil-knot.png} 
            \label{fig:knot-trefoil}
        }%
        \subfloat[Achterknoten]{
            \includegraphics[width=0.2\linewidth, keepaspectratio]{figures/blue-eight-knot.png} 
            \label{fig:knot-eight-knot}
        }%
        \subfloat[$6_2$-Knoten]{
            \includegraphics[width=0.2\linewidth, keepaspectratio]{figures/blue-6-2-knot.png} 
            \label{fig:knot-6-2}
        }

        \caption{Beispiele für verschiedene Knoten}
        \label{fig:Knoten}
    \end{figure}
\end{beispiel}

\begin{definition}\xindex{Knoten!äquivalente}\xindex{Isotopie}\label{def:Isotopie}%
    Zwei Knoten $\gamma_1, \gamma_2: S^1 \rightarrow \mdr^3$ heißen
    \textbf{äquivalent}, wenn es eine stetige Abbildung
    \[H: S^1 \times [0,1] \rightarrow \mdr^3\]
    gibt mit 
    \begin{align*}
        H(z,0) &= \gamma_1(z) \;\;\;\forall z \in S^1\\
        H(z,1) &= \gamma_2(z) \;\;\;\forall z \in S^1
    \end{align*}
    und für jedes
    feste $t \in [0,1]$ ist 
    \[H_z: S^1 \rightarrow \mdr^3, z \mapsto H(z,t)\]
    ein Knoten. Die Abbildung $H$ heißt \textbf{Isotopie} zwischen
    $\gamma_1$ und $\gamma_2$.
\end{definition}

\begin{definition}\xindex{Knotendiagramm}%
    Sei $\gamma: [0,1] \rightarrow \mdr^3$ ein Knoten, $E$ eine Ebene und 
    $\pi: \mdr^3 \rightarrow E$ eine Projektion auf $E$.

    $\pi$ heißt \textbf{Knotendiagramm} von $\gamma$, wenn gilt:
    \[\left | \pi^{-1}(x) \right | \leq 2 \;\;\; \forall x \in \pi(\gamma)\]

    Ist $(\pi|_{\gamma([0,1])})^{-1}(x) = \Set{y_1, y_2}$, so \textbf{liegt $y_1$ über $y_2$},
    wenn gilt:
    \[\exists \lambda > 1: (y_1-x) = \lambda (y_2 - x)\]
\end{definition}

\begin{satz}[Satz von Reidemeister]
    Zwei endliche Knotendiagramme gehören genau dann zu äquivalenten
    Knoten, wenn sie durch endlich viele \enquote{Reidemeister-Züge}
    ineinander überführt werden können.
\end{satz}

\begin{figure}[htp]
    \centering
    \subfloat[$\Omega_1$]{
        \includegraphics[height=0.2\linewidth, keepaspectratio]{figures/reidemeister-move-1.png} 
        \label{fig:reidemeister-1}
    }\qquad\qquad%
    \subfloat[$\Omega_2$]{
        \includegraphics[height=0.2\linewidth, keepaspectratio]{figures/reidemeister-move-2.png} 
        \label{fig:reidemeister-2}
    }

    \subfloat[$\Omega_3$]{
        \includegraphics[height=0.2\linewidth, keepaspectratio]{figures/reidemeister-move-3.png} 
        \label{fig:reidemeister-3}
    }

    \caption{Reidemeister-Züge}
    \label{fig:reidemeister-zuege}
\end{figure}

\begin{beweis}
    Durch sorgfältige Fallunterscheidung.\footnote{Siehe \enquote{Knot Theory and Its Applications} von Kunio Murasugi. ISBN 978-0817638177.}
\end{beweis}

\begin{definition}\xindex{Färbbarkeit}%
    Ein Knotendiagramm heißt \textbf{3-färbbar}, 
    wenn jeder Bogen von $D$ so mit einer Farbe gefärbt werden kann, 
    dass an jeder Kreuzung eine oder 3 Farben auftreten und alle 3 
    Farben auftreten.
\end{definition}

\begin{figure}[htp]
    \centering
    \includegraphics[height=0.3\linewidth, keepaspectratio]{figures/tricoloring.png} 

    \caption{Ein 3-gefärber Kleeblattknoten}
    \label{fig:treefoil-knot-three-colors}
\end{figure}
\index{Knoten|)}

% Die Übungsaufgaben sollen ganz am Ende des Kapitels sein.
\input{Kapitel1-UB}
