Ideen zu Aufgabe 2 hinzugefügt

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@@ -26,3 +26,52 @@ Nullstelle der Funktion $f$. Also hat $f$ genau eine Nullstelle
 und diese liegt in $[0,1]$.
 
 \subsection*{Teilaufgabe ii}
+    \begin{align}
+        2x - e^{-x} &= 0\\
+    \Leftrightarrow 2x &= e^{-x}\\
+    \Leftrightarrow x &= \frac{1}{2} \cdot e^{-x} = F_1(x) \label{a2iif1}\\
+    \stackrel{x \in \mathbb{R}^+}{\Rightarrow} \ln(2x) &= -x\\
+    \Leftrightarrow x &= - \ln(2x) = F_2(x)\label{a2iif2}
+    \end{align}
+
+Gleichung \ref{a2iif1} zeigt, dass der Fixpunkt von $F_1$ mit der 
+Nullstelle von $f$ übereinstimmt.
+
+Gleichung \ref{a2iif2} zeigt, dass der Fixpunkt von $F_1$ mit der 
+Nullstelle von $f$ übereinstimmt. Da es nur in $[0,1]$ eine Nullstelle
+gibt (vgl. Teilaufgabe i), ist die Einschränkung von $x$ auf $\mathbb{R}^+$
+irrelevant.
+
+TODO: Ich vermute, man soll die Kontraktionszahlen ermitteln.
+Die Funktion mit der niedrigern Kontraktionszahl ist besser, da man
+bessere Abschätzungen machen kann.
+
+$F_1$ ist auf $[0,1]$ eine Kontraktion mit Kontraktionszahl $\theta = \frac{1}{2}$:
+\begin{align}
+    \|\frac{1}{2} e^{-x} - \frac{1}{2} e^{-y}\| &\leq \frac{1}{2} \cdot \|x-y\|\\
+    \Leftrightarrow \frac{1}{2} \cdot \| e^{-x} - e^{-y}\| &\leq \frac{1}{2} \cdot \|x-y\|\\
+    \Leftrightarrow \| e^{-x} - e^{-y}\| &\leq \|x-y\|\\
+    \Leftrightarrow \| -e^{-x-y}(e^{x} - e^{y})\| &\leq \|x-y\|\\
+    \Leftrightarrow \|-e^{-x-y} \| \cdot \|e^{x} - e^{y}\| &\leq \|x-y\|\\
+    \Leftrightarrow \underbrace{e^{-(x+y)}}_{\leq 1} \cdot \|e^{x} - e^{y}\| &\leq \|x-y\|
+\end{align}
+
+TODO: Beweis ist noch nicht fertig
+
+$F_2$ ist auf $(0,1]$ eine Kontraktion mit Kontraktionszahl $\theta$:
+\begin{align}
+    \|- \ln (2x) + \ln(2y) \| &\leq \theta \cdot \|x-y\|\\
+    \Leftrightarrow \| \ln(\frac{2y}{2x}) \| &\leq \theta \cdot \|x-y\|\\
+    \Leftrightarrow \| \ln(\frac{y}{x}) \| &\leq \theta \cdot \|x-y\|
+\end{align}
+
+TODO: Beweis ist nicht mal wirklich angefangen
+
+Gegen $F_2$ spricht auch, dass $\log$ nur auf $\mathbb{R}^+$ definiert
+ist. Das kann bei Rundungsfehlern eventuell zu einem Fehler führen.
+(vgl. Python-Skript)
+
+\subsection*{Teilaufgabe iii}
+\[x_{k+1} = x_k - \frac{2x_k - e^{-x_k}}{2 + e^{-x_k}}\]
+
+Laut \href{http://www.wolframalpha.com/input/?i=2x-e%5E(-x)%3D0}{Wolfram|Alpha} ist die Lösung etwa 0.35173371124919582602

documents/Numerik/Klausur6/Klausur6.tex

@@ -18,6 +18,7 @@
 \usepackage{parskip}
 \usepackage{lastpage}
 \usepackage{gauss}
+\usepackage{units}
 \allowdisplaybreaks
 
 \newcommand{\cmark}{\ding{51}}%

documents/Numerik/Klausur6/aufgabe2.py

@@ -0,0 +1,11 @@
+from math import exp, log
+
+def iterate(x):
+    #return x - (2.0*x - exp(-x))/(2.0+exp(-x)) #Newton
+    #return 0.5*exp(-x) #F_1
+    return (-1)*log(2.0*x) #F_2
+
+x = 0.9
+for i in range(10):
+    print (i, x)
+    x = iterate(x)