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documents/GeoTopo/Kapitel2.tex

@@ -22,7 +22,7 @@
 
 Anschaulich ist also ein $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit lokal dem $\mdr^n$ ähnlich.
 
-\begin{bemerkung}
+\begin{bemerkung}[Mächtigkeit von Mannigfaltigkeiten]
     Jede Mannigfaltigkeit ist mindestens so mächtig wie $\mdr$.
 \end{bemerkung}
 
@@ -31,14 +31,11 @@ Anschaulich ist also ein $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit lokal dem $\mdr^n$ ä
     und $\varphi:U \rightarrow V \subseteq \mdr^n$,
     wobei $V$ offen und $\varphi$ ein Homöomorphismus ist, eine Karte auf $X$.
 
-    Es gilt:
-    \begin{itemize}
-        \item Jede offene Teilmenge des $\mdr^n$ ist genauso mächtig wie der $\mdr^n$.
-        \item Als Homöomorphismus muss $\varphi$ insbesondere bijektiv sein.
-        \item Mengen, zwischen denen eine Bijektion existiert, sind gleich mächtig.
-        \item[$\Rightarrow$] $U$ ist genauso mächtig wie der $\mdr^n$
-        \item[$\Rightarrow$] $X$ ist mindestens so mächtig wie der $\mdr^n \qed$
-    \end{itemize}
+    Da jede offene Teilmenge des $\mdr^n$ genauso mächtig ist wie der $\mdr^n$,
+    $\varphi$ als Homöomorphismus insbesondere bijektiv ist und Mengen, zwischen 
+    denen eine Bijektion existiert, gleich mächtig sind, ist $U$ genauso mächtig 
+    wie der $\mdr^n$. Da jede Mannigfaltigkeit mindestens eine Karte hat, muss
+    jede Mannigfaltigkeit $X$ mindestens so mächtig sein wie der $\mdr^n$. $\qed$
 \end{beweis}
 
 \begin{bemerkung}

documents/GeoTopo/Kapitel4.tex

@@ -295,7 +295,7 @@ schneiden sich.
         &\overset{\mathclap{\varphi \in \Iso(X)}}{\Rightarrow}\hspace{4 mm} d(\varphi(P),\varphi(Q)) = d(\varphi(P),\varphi(S)) + d(\varphi(S),\varphi(Q))\\
         &\overset{\mathclap{P, Q \in \Fix(\varphi)}}{\Rightarrow}\hspace{4 mm} d(P, Q) = d(P,\varphi(S)) + d(\varphi(S), Q)\\
         &\Rightarrow \varphi(S) \text{ liegt zwischen } P \text{ und } Q\\
-        &\Rightarrow d(P,S) \overset{\mathclap{\varphi \in \Iso(X)}}{=}\hspace{4 mm} d(\varphi(P), \varphi(S)) \overset{\mathclap{P \in \Fix(\varphi)}}{=}\hspace{4 mm} d(P, \varphi(S)) = \\
+        &\Rightarrow d(P,S) = d(\varphi(P), \varphi(S)) = d(P, \varphi(S))\\
         &\overset{\mathclap{\ref{axiom:3.1}}}{\Rightarrow} \varphi(S) = S
     \end{align*}