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@@ -1,3 +1,4 @@
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+%!TEX root = GeoTopo.tex
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% Mitschrieb vom 30.01.2014 %
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@@ -370,3 +371,138 @@ Im folgenden werden diese Begriffe jedoch synonym benutzt.
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beide Seiten von $T_s S + s$.
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\end{bemenum}
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\end{bemerkung}
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+
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+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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+% Mitschrieb vom 11.02.2014 %
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+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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+\section{Erste und zweite Fundamentalform}%In Vorlesung: §19
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+Sei $S \subseteq \mdr^3$ eine reguläre Fläche, $s \in S$, $T_s S$ die Tangentialebene
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+an $S$ in $s$.
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+
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+\begin{bemerkung}%In Vorlesung: Bem.+Def. 19.1
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+ \begin{bemenum}
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+ \item \label{bem:19.1a} Die Einschränkung des Standardskalarproduktes des $\mdr^3$ auf
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+ $T_s S$ macht $T_s S$ zu einem euklidischen Vektorraum.
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+ \item Sei $F: U \rightarrow V$ eine lokale Parametrisierung von $S$ um
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+ $s$ und $p := F^{-1}(s)$.
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+
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+ Dann ist $\Set{D_P F(e_1), D_P F(e_2)}$ eine Basis von $T_s S$.
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+ \item Bzgl. der Basis $\Set{D_P F(e_1), D_P F(e_2)}$ hat das
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+ Standardskalarprodukt aus \cref{bem:19.1a} die Darstellungsmatrix
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+ \[ I_S = \begin{pmatrix}
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+ g_{1,1}(s) & g_{1,2}(s)\\
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+ g_{1,2}(s) & g_{2,2}(s)
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+ \end{pmatrix} =
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+ \begin{pmatrix}
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+ E(s) & F(s) \\
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+ F(s) & G(s)
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+ \end{pmatrix}\]
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+ mit $\begin{aligned}
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+ g_{i,j} &= g_s(D_P F(e_i), D_P F(e_j))\\
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+ &= \langle \frac{\partial F}{\partial u_i} (p), \frac{\partial F}{\partial u_j} (p) \rangle \;\;\; i,j \in \Set{1,2}
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+ \end{aligned}$.\\
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+ Die Matrix $I_S$ heißt \textbf{erste Fundamentalform}\xindex{Fundamentalform!erste}
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+ von $S$ bzgl. der Parametrisierung $F$.
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+ \item $g_{i,j}(s)$ ist eine differenzierbare Funktion von $s$.
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+ \end{bemenum}
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+\end{bemerkung}
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+
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+\begin{bemerkung}
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+ \[\det(I_S) = \| \frac{\partial F}{\partial u_1}(p) \times \frac{\partial F}{\partial u_2}(p)\|^2\]
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+\end{bemerkung}
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+
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+\begin{beweis}
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+ Sei $\frac{\partial F}{\partial u_1}(p) = \begin{pmatrix}
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+ x_1\\ x_2 \\ x_3
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+ \end{pmatrix}, \;\;\; \frac{\partial F}{\partial u_2}(p) = \begin{pmatrix}
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+ y_1\\ y_2 \\ y3
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+ \end{pmatrix}$
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+
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+ Dann ist $\frac{\partial F}{\partial u_1}(p) \times \frac{\partial F}{\partial u_2}(p) = \begin{pmatrix}
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+ z_1 \\ z_2 \\ z_3
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+ \end{pmatrix}$ mit
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+ \begin{align*}
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+ z_1 &= x_2 y_3 - x_3 - y_2\\
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+ z_2 &= x_3 y_1 - x_1 y_3\\
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+ z_3 &= x_1 y_2 - x_2 y_1
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+ \end{align*}
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+ $\Rightarrow \|\frac{\partial F}{\partial u_1} (p) \times \frac{\partial F}{\partial u_2} (p)\| = z_1^2 + z_2^2 + z_3^2$\\
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+ \begin{align*}
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+ \det(I_S) &= g_{1,1} g_{2,2} - g_{1,2}^2\\
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+ &= \langle \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}\rangle \langle \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix}\rangle - \langle \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix}\rangle^2\\
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+ &= (x_1^2 + x_2^2 + x_3^2) (y_1^2 + y_2^2 + y_3^2) - (x_1 y_1 + x_2 y_2 + x_3 y_3)^2
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+ \end{align*}
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+\end{beweis}
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+
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+\begin{definition}\xindex{Flächenelement}%In Vorlesung: Def.+Bem. 19.3 / Erinnerung
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+ \begin{defenum}
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+ \item Das Differential
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+ \[\mathrm{d} A = \sqrt{\det (I)} \mathrm{d} u_1 \mathrm{d} u_2\]
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+ heißt \textbf{Flächenelement} von $S$ bzgl. der Parametrisierung $F$.
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+ \item \label{def:berechenbares-integral}Für eine Funktion $f: V \rightarrow \mdr$ heißt
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+ \[\int_V f \mathrm{d} A := \int_U f(\underbrace{F(u_1, u_2)}_{=: s}) \sqrt{\det I(s)} \mathrm{d} u_1 \mathrm{d} u_2\]
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+ der \textbf{Wert des Integrals} von $f$ über $V$, falls das Integral rechts
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+ existiert.
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+ \end{defenum}
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+
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+\end{definition}
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+
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+\begin{bemerkung}
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+ \begin{bemenum}
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+ \item $\int_V f \mathrm{d} A$ ist unabhänig von der gewählten Parametrisierung.
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+ \item Sei $f: S \rightarrow \mdr$ eine Funktion, die im Sinne von
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+ \cref{def:berechenbares-integral} lokal integrierbar ist.
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+
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+ Dann ist $\int_S f \mathrm{d} A$ wohldefiniert, falls (z.~B.) $S$
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+ kompakt ist.
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+
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+ Etwa: $\int_S f \mathrm{d} A = \sum_{i=1}^n \int_{V_i} f \mathrm{d} A - \sum_{i \neq j} \int_{V_i \cap V_j} f \mathrm{d} A + \sum_{i,j,k} \int_{V_i \cap V_j \cap V_k} - \dots$
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+ \end{bemenum}
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+\end{bemerkung}
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+
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+\begin{beweis}
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+ \begin{enumerate}[label=\alph*)]
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+ \item Mit Transformationsformel
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+ \item Ist dem Leser überlassen
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+ \end{enumerate}
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+\end{beweis}
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+
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+\begin{proposition}
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+ Sei $S \subseteq \mdr^3$ eine reguläre, orientierbare Fläche mit glatten
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+ Normalenfeld $n: S \rightarrow S^2$.
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+
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+ \begin{propenum}
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+ \item $n$ induziert für jedes $s \in S$ eine lineare Abbildung $d_S n: T_s S \rightarrow T_{n(s)} S^2$
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+ durch
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+ \[d_s n(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} n (\underbrace{s \text{\enquote{+}} tx}_{\mathclap{\text{Soll auf Fläche $S$ bleiben}}}) \Bigr |_{t=0}\]
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+ \item $T_{n(s)} S^2 = T_s S$
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+ \item $d_S n$ ist ein Endomorphismus von $T_s S$
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+ \item $d_S n$ ist selbstadjungiert bzgl. des Skalarproduktes $I_S$
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+ \end{propenum}
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+\end{proposition}
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+
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+\begin{beweis}\leavevmode
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+ \begin{enumerate}[label=\alph*)]
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+ \item TODO
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+ \item $T_{n(S)} S^2 = \langle n(s) \rangle^\bot = T_s S$
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+ \item TODO
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+ \item Zu zeigen: $\forall x,y \in I_s S: \langle x, d_s n (y) \rangle = \langle d_s n(x), y \rangle$
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+
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+ Aufgrund der Bilinearität des Skalarproduktes genügt es diese Eigenschaft
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+ für die Basisvektoren zu zeigen.
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+
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+ Sei $x_i = D_P F(e_i) = \frac{\partial F}{\partial u_i} (p)\;\;\; i = 1,2$
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+
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+ \underline{Beh.:} $\langle x_i, d_s n(x_j) \rangle = \langle \frac{\partial^2 F}{\partial u_i \partial u_j} (p), d_s n (x_i) \rangle$
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+
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+ $\Rightarrow \langle \frac{\partial^2 F}{\partial u_i \partial u_j} (p), d_s n (x_i) \rangle = \langle x_j, d_s n (x_i) \rangle$
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+
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+ \underline{Bew.:}
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+
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+ \begin{align*}
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+ 0 &= \hphantom{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left (\right.} \langle \frac{\partial F}{\partial u} (p + t e_j), n(p + t e_j) \rangle\\
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+\Rightarrow 0 &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left (\langle \frac{\partial F}{\partial u} (p + t e_j), n(p + t e_j) \rangle \right) \Bigr |_{t=0}\\
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+ &= \langle \underbrace{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial F}{\partial u_i} (p + t e_j)}_{\frac{\partial^2 F}{\partial u_j \partial u_i} (p)} \Bigr |_{t=0}, n(s) \rangle + \langle x_i, d_s n \underbrace{D_P F (e_j)}_{x_j}\rangle
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+ \end{align*}
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+ \end{enumerate}
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+\end{beweis}
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Martin Thoma