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@@ -548,7 +548,7 @@ Haben wir Häufungspunkt definiert?}
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\end{enumerate}
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\end{beweis}
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-\begin{korollar}%Bemerkung 12.4 der Vorlesung
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+\begin{korollar}[Eindeutigkeit der Liftung]\label{kor:12.4}%Bemerkung 12.4 der Vorlesung
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Sei $p: Y \rightarrow X$ Überlagerung, $x_1, x_2 \in X$.
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Dann ist $|p^{-1} (x_1)| = |p^{-1}(x_2)|$.\footnote{$|p^{-1} (x_1)| = \infty$ ist erlaubt!}
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@@ -686,7 +686,7 @@ $p|V_j: V_j \rightarrow U$ Homöomorphismus.
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\begin{korollar}%In Vorlesung: "Folgerung 12.8"
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Sei $p: Y \rightarrow X$ eine Überlagerung, $x_0 \in X, y_0 \in p^{-1}(x_0)$
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- \begin{enumerate}[label=\alph*)]
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+ \begin{enumerate}[label=\alph*),ref=\theplaindefinition.\alph*]
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\item $p_1: \pi_1(Y, y_0) \rightarrow \pi_1(X, x_0)$ ist injektiv\label{kor:12.8a}
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\item $[\pi_1(X, x_0): p_* (\pi_1(Y, y_0))] = \deg(p)$\label{kor:12.8b}
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\end{enumerate}
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@@ -753,8 +753,8 @@ $p|V_j: V_j \rightarrow U$ Homöomorphismus.
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$S^n \rightarrow \praum^n(\mdr)$ für $n \geq 2$
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\end{beispiel}
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-\begin{satz}%In Vorlesung: Satz 12.11
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- Sei $p: \tilde{X} \rightarrow X$ universelle Überlagerung,
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+\begin{satz}\label{thm:12.11}%In Vorlesung: Satz 12.11
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+ Sei $p: \tilde{X} \rightarrow X$ eine universelle Überlagerung,
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$q:Y \rightarrow X$ weitere Überlagerung.
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Sei $x_0 \in X, \tilde{x_0} \in \tilde{X}, y_0 \in Y$ mit
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@@ -798,6 +798,212 @@ $p|V_j: V_j \rightarrow U$ Homöomorphismus.
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$\Rightarrow \tilde{p}$ ist stetig
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\end{beweis}
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+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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+% Mitschrieb vom 19.12.2013 %
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+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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+\begin{korollar}%Vorlesung: Folgerung 12.12
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+ \todo{Hier stimmt was mit den Tilden nicht}
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+ Sind $p:X \rightarrow X$ und $y: \tilde{Y} \rightarrow X$
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+ universelle Überlagerungen, so sind $\tilde{X}$ und $\tilde{Y}$
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+ homöomorph.
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+\end{korollar}
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+
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+\begin{beweis}
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+ Seien $x_0 \in X, \tilde{x_0} \in \tilde{X}$ mit
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+ $p(\tilde{x_0}) = x_0$ und
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+ $\tilde{y_0} \in q^{-1}(x_0) \subseteq \tilde{Y}$.
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+
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+ Nach Satz~\ref{thm:12.11} gibt es genau eine Überlagerung
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+ \[f:\tilde{X} \rightarrow \tilde{Y} \text{ mit } f(x_0) = \tilde{Y_0} \text{ und } q \circ f = p\]
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|
|
+ und genau eine Überlagerung
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|
+ \[g: \tilde{Y} \rightarrow \tilde{X} \text{ mit } g(\tilde{y_0}) = \tilde{x_0} \text{ und } p \circ g = q\]
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|
+
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+ Damit gilt: $p \circ q \circ f = q \circ f = p$, $q \circ f \circ g = p \circ g = q$.
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|
|
+ Also ist $g \circ f: \tilde{X} \rightarrow \tilde{X}$ Lift von
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+ $p:\tilde{X} \rightarrow X$ mit $(g \circ f) (\tilde{x_0}) = \tilde{x_0}$.
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|
|
+
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|
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+ Da auch $\text{id}_{\tilde{x}}$ diese Eigenschaft hat, folgt mit
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|
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+ Korollar~\ref{kor:12.4}: $g \circ f = \text{id}_{\tilde{X}}$.
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|
|
+ Analog $f \circ g = \text{id}_{\tilde{Y}}$. $\qed$
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+\end{beweis}
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|
+
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+Die Frage, wann es eine universelle Überlagerung gibt, beantwortet
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+der folgende Satz:
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+
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+\begin{satz}%In Vorlesung: Satz 12.13
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+ Es sei $X$ ein wegzusammenhängender topologischer Raum in dem
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+ jeder Punkt eine Umgebungsbasis aus einfach zusammenhängenden
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+ Mengen hat.
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+
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+ Dann gibt es eine universelle Überlagerung.
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+\end{satz}
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+
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+\begin{beweis}
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+ Sei $x_0 \in X$ und $\tilde{X} := \Set{(x, [\gamma]) | x \in X, \gamma \text{ Weg von } x_o \text{ nach } x}$
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+ und $p: \tilde{X} \rightarrow X, (x, [\gamma]) \mapsto x$.
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|
|
+
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|
+ Die Topologie auf $\tilde{X}$ ist folgende:
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+ Definiere eine Umgebungsbasis von $(x, [\gamma])$ wie folgt:
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|
+ Es sei $U$ eine einfach zusammenhängende Umgebung von $x$ und
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|
|
+ $\tilde{U} = \tilde{U}(x, [\gamma]) := \Set{(y, [\gamma * \alpha]) | y \in U, \alpha \text{ Weg in } U \text{ von } x} \text{ nach } y$.
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|
|
+
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|
|
+ $p$ ist Überlagerung: $p|_{\tilde{U}} : \tilde{U} \rightarrow U$
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+ bijektiv. $p$ ist stetig und damit $p|_{\tilde{U}}$ ein
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|
+ Homöomorphismus.
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|
|
+
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|
+ Sind $\gamma_1, \gamma_2$ Wege von $x_0$ nach $x$ und $\gamma_1 \sim \gamma_2$,
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|
|
+ so ist $\tilde{U}(x, [\gamma_1]) \cap \tilde{U}(x, [\gamma_2]) = \emptyset$,
|
|
|
+ denn: Ist $\gamma_1 * \alpha \sim \gamma_2 * \alpha$, so ist auch
|
|
|
+ $\gamma_1 \sim \gamma_2$. Also ist $p$ eine Überlagerung.
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|
|
+
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|
|
+ $\tilde{X}$ ist einfach zusammenhängend: Es sei $\tilde{x_0} := (x_0, e)$
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|
|
+ und $\tilde{\gamma}: I \rightarrow \tilde{X}$ ein geschlossener
|
|
|
+ Weg um $\tilde{x_0}$.
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|
|
+
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|
|
+ Sei $\gamma := p(\tilde{\gamma})$.
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|
+
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|
+ \underline{Annahme}: $[\tilde{\gamma}] \neq e$
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|
+
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|
+ Mit Korollar~\ref{kor:12.8a} folgt dann: $[\gamma] \neq e$.
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|
|
+
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|
|
+ Dann ist der Lift von $\gamma$ nach $\tilde{x}$ mit Anfangspunkt
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|
|
+ $\tilde{x_0}$ ein Weg von $\tilde{x_0}$ nach $(x_0, [\gamma])$.
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|
|
+ Widerspruch.
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|
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+\end{beweis}
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|
|
+
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|
+\begin{definition}\xindex{Decktransformation}%In Vorlesung: Def+Bem 12.14
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+ Es sei $p:Y \rightarrow X$ eine Überlagerung und $f:Y \rightarrow Y$
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|
|
+ ein Homöomorphismus.
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+
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|
|
+ $f$ heißt \textbf{Decktransformation} von $p :\gdw p \circ f = p$.
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|
|
+
|
|
|
+ Ist $p$ eine Decktransformation und $|\text{Deck}(Y/X)| = \deg{p}$,
|
|
|
+ so heißt $p$ \textbf{regulär}.\xindex{Decktransformation!reguläre}
|
|
|
+\end{definition}
|
|
|
+
|
|
|
+\begin{korollar}%In Vorlesung:12.14
|
|
|
+ \begin{enumerate}[label=\alph*),ref=\theplaindefinition.\alph*]
|
|
|
+ \item Die Decktransformationen von $p$ bilden eine Gruppe,
|
|
|
+ die sog. \textbf{Decktransformationsgruppe}\xindex{Decktransformationsgruppe}
|
|
|
+ $\text{Deck}(p) = \text{Deck}(Y/X) = \text{Deck}(Y \rightarrow X)$
|
|
|
+ \item Ist $f \in \text{Deck}(Y/X)$ und $f \neq \id$, dann hat
|
|
|
+ $f$ keinen Fixpunkt.
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|
|
+ \item $|\text{Deck}(Y/X)| \leq \deg{p}$\label{kor:12.14c}
|
|
|
+ \item Ist $p$ eine reguläre Decktransformation, dann gilt:
|
|
|
+ $\forall x \in X: \text{Deck}(Y/X)$ operiert transitiv
|
|
|
+ auf der Menge der Urbilder $p^{-1}(x)$.
|
|
|
+ \end{enumerate}
|
|
|
+\end{korollar}
|
|
|
+
|
|
|
+\begin{beweis}\leavevmode
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|
|
+ \begin{enumerate}[label=\alph*)]
|
|
|
+ \item Es gilt:
|
|
|
+ \begin{itemize}
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|
+ \item $\id_Y \in \Deck{Y/X}$,
|
|
|
+ \item $f,g \in \Deck{Y/X} \Rightarrow p \circ (f \circ g) = (p \circ f) \circ g = p \circ g \Rightarrow f \circ g \in \Deck{Y/X}$
|
|
|
+ \item $f \in \Deck{Y/X} \Rightarrow p \circ f =$
|
|
|
+ $p \Rightarrow p \circ f^{-1} =$
|
|
|
+ $(p \circ f) \circ f^{-1} =$
|
|
|
+ $p \circ (f \circ f^{-1}) = p \Rightarrow f^{-1} \in \Deck{Y/X}$
|
|
|
+ \end{itemize}
|
|
|
+ \item Die Menge
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|
+ \[\Fix(f) = \Set{y \in Y | f(y) = y}\]
|
|
|
+ ist abgeschlossen als Urbild der Diagonale
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|
+ $\Delta \subseteq Y \times Y$ unter der stetigen
|
|
|
+ Abbildung $y \mapsto (f(y),y)$. Außerdem ist $\Fix(f)$
|
|
|
+ offen, denn ist $y \in \Fix(f)$, so sei $U$ eine
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|
|
+ Umgebung von $p(y) \in X$ wie in Definition~\ref{def:12.1}
|
|
|
+ und $U \subseteq p^{-1}(U)$ die Komponente, die $y$
|
|
|
+ enthält; also $p:V \rightarrow U$ ein Homöomorphismus.
|
|
|
+ Dann ist $W := f^{-1}(V) \cap V$ offene Umgebung von $y$.
|
|
|
+
|
|
|
+ Für $z \in W$ ist $f(z) \in V$ und $p(f(z)) = p(z)$.
|
|
|
+ Da $p$ injektiv auf $V$ ist, folgt $f(z) = z$, d.~h.
|
|
|
+ $\Fix(f) \neq \emptyset$.
|
|
|
+
|
|
|
+ Da $Y$ zusammenhängend ist, folgt aus $\Fix(\tilde{f}) \neq \emptyset$
|
|
|
+ schon $\Fix(f) = Y$, also $f = \id_Y$.
|
|
|
+ \item Es sei $x_0 \in X$, $\deg(p) = d$ und $p^{-1}(x_0) = \Set{y_0, \dots, y_{d-1}}$.
|
|
|
+ Für $f \in \Deck(Y/X)$ ist $f(y_0)= \Set{y_0, \dots, y_{d-1}}$.
|
|
|
+
|
|
|
+ Zu $i \in \Set{0, \dots, d-1}$ gibt es höchstens ein
|
|
|
+ $f \in \Deck(Y/X)$ mit $f(y_0) = y_1$, denn ist
|
|
|
+ $f(y_0) = g(y_0)$, so ist \todo{Was steht hier?}{$(g^{-1} - f) y_0 = y_0$},
|
|
|
+ also nach \ref{kor:12.14c} $g^{-1} \circ f = \id_Y$.
|
|
|
+ \end{enumerate}
|
|
|
+\end{beweis}
|
|
|
+
|
|
|
+\begin{beispiel}
|
|
|
+ \begin{enumerate}[label=\arabic*)]
|
|
|
+ \item $p: \mdr \rightarrow S^1: \Deck(\mdr / S^1) = \Set{t \mapsto t + n | n \in \mdz} \cong \mdz$
|
|
|
+ \item $p: \mdr^2 \rightarrow T^2: \Deck(\mdr^2 / T^2) \cong \mdz \times \mdz = \mdz^2$
|
|
|
+ \item $p: S^n \rightarrow \praum^n(\mdr): \Deck(g^n / \praum^n(\mdr)) = \Set{x \mapsto \pm x} \cong \mdz / 2 \mdz$
|
|
|
+ \end{enumerate}
|
|
|
+\end{beispiel}
|
|
|
+
|
|
|
+Nun werden wir eine Verbindung zwischen der Decktransformationsgruppe
|
|
|
+und der Fundamentalgruppe herstellen:
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|
|
+
|
|
|
+\begin{satz}\label{thm:12.15}%In Vorlesung: Satz 12.15
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|
+ Ist $p: \tilde{X} \rightarrow X$ eine universelle Überlagerung,
|
|
|
+ so gilt:
|
|
|
+ \[\Deck(\tilde{X}/X) \cong \pi_1(X, x_0)\;\;\;\forall x_0 \in X\]
|
|
|
+\end{satz}
|
|
|
+
|
|
|
+\begin{beweis}
|
|
|
+ Wähle $\tilde{x_0} \in p^{-1}(x_0)$. Es sei $\rho: \Deck(\tilde{x}/x) \rightarrow \pi_1(X, x_0)$
|
|
|
+ die Abbildung, die $f$ auf $[p(\gamma_f)]$ abbildet, wobei $\gamma_f$
|
|
|
+ ein Weg von $\tilde{x_0}$ nach $f(\tilde{x_0})$ sei. Da $\tilde{x}$
|
|
|
+ einfach zusammenhängend ist, ist $\gamma_f$ bis auf Homotopie
|
|
|
+ eindeutig bestimmt und damit auch $\rho$ wohldefiniert.
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|
|
+
|
|
|
+ \begin{itemize}
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|
|
+ \item \underline{$\rho$ ist Gruppenhomomorphismus}: Seien
|
|
|
+ $f, g \in \Deck(\tilde{X}/ X) \Rightarrow \gamma_{g \circ f} = \gamma_g * g(\gamma_f)$
|
|
|
+ $\Rightarrow p(\gamma_{g \circ f}) = p(\gamma_g) * \underbrace{(p \circ g)}_{=p} (\gamma_f) = \rho(g) \neq \rho(f)$
|
|
|
+ \item \underline{$\rho$ ist injektiv}: $\rho(f) = e \Rightarrow p (\gamma_f) \sim \gamma_{x_0}$
|
|
|
+ $\xRightarrow{\ref{thm:ueberlagerung-weg-satz-12.6}} \gamma_f \sim \gamma_{\tilde{x_0}}$
|
|
|
+ $\Rightarrow f(x_0) = \tilde{x_0} \xRightarrow{\ref{kor:12.14c}} f = \id_{\tilde{x}}$.
|
|
|
+ \item \underline{$\rho$ ist surjektiv}: Sei $[\gamma] \in \pi_1(X, x_0)$,
|
|
|
+ $\tilde{\gamma}$ Lift von $\gamma$ nach $\tilde{x}$ mit
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|
|
+ Anfangspunkt $\tilde{x_0}$. Der Endpunkt von $\tilde{\gamma}$
|
|
|
+ sei $\tilde{x_1}$.
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|
|
+
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|
|
+ \underline{$p$ ist reguläre Überlagerung}: Seien
|
|
|
+ $\tilde{x_0}, \tilde{x_1} \in \tilde{X}$ mit
|
|
|
+ $p(\tilde{x_0}) = p(\tilde{x_1})$. Nach Satz~\ref{thm:12.11}
|
|
|
+ gibt es genau eine Überlagerung $\tilde{p}: \tilde{X} \rightarrow X$
|
|
|
+ mit $p=p \circ \tilde{p}$ und $\tilde{p}(\tilde{x_0}) = \tilde{x_1}$.
|
|
|
+ Somit ist $\tilde{p}$ eine Decktransformation und damit
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|
|
+ $p$ eine reguläre Überlagerung.
|
|
|
+
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|
|
+ Da $p$ reguläre Überlagerung ist, gibt es ein $f \in \Deck(\tilde{X}/X)$
|
|
|
+ mit $f(\tilde{x_0}) = \tilde{x_1}$.
|
|
|
+
|
|
|
+ Aus der Definition von $\rho$ folgt: $\rho(f) = p (\gamma_f) = \gamma$
|
|
|
+ \end{itemize}
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|
|
+ $\qed$
|
|
|
+\end{beweis}
|
|
|
+
|
|
|
+\begin{beispiel}[Bestimmung von $\pi_1(S^1)$]
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|
+ $p: \mdr \rightarrow S^1$, $t \mapsto (\cos 2 \pi t, \sin 2 \pi t)$
|
|
|
+ ist universelle Überlagerung, da $\mdr$ zusammenhängend ist.
|
|
|
+
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|
|
+ Für $n \in \mdz$ sei $f_n: \mdr \rightarrow \mdr, t \mapsto t + n$
|
|
|
+ die Translation um $n$.
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|
|
+
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|
+ Es gilt: $(p \circ f_n)(t) = p(f_n(t)) = p(t) \;\;\; \forall t \in \mdr$,
|
|
|
+ d.~h. $f_n$ ist Decktransformation.
|
|
|
+
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|
|
+ Ist umgekehrt $g$ irgendeine Decktransformation, so gilt insbesondere
|
|
|
+ für $t=0$:
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|
+ \[(\cos(2 \pi g(0)), \sin(2 \pi g(0))) = (p \circ g)(0) = p(0) = (1,0)\]
|
|
|
+
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|
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+ Es existiert $n \in \mdz$ mit $g(0) = n$. Da auch $f_n(0) = 0 + n = n$
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+ gilt, folg mit Korollar~\ref{kor:12.14c} $g = f_n$. Damit folgt:
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+ \[\Deck(\mdr/S^1) = \Set{f_n | n \in \mdz} \cong \mdz\]
|
|
|
+ Nach Satz~\ref{thm:12.15} also $\pi_1(S^1) \cong \Deck(\mdr/S^1) \cong \mdz$
|
|
|
+\end{beispiel}
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|
\index{Ueberlagerung@""Uberlagerung|)}
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|
% Die Übungsaufgaben sollen ganz am Ende des Kapitels sein.
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\input{Kapitel3-UB}
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Martin Thoma