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@@ -1,38 +1,4 @@
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\chapter{Topologische Grundbegriffe}
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-\section{Vorgeplänkel}
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- Die Kugeloberfläche $S^2$ lässt sich durch strecken, stauchen
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- und umformen zur Würfeloberfläche oder
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- der Oberfläche einer Pyramide verformen, aber nicht zum $\mdr^2$
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- oder zu einem Torus. Für den $\mdr^2$ müsste man die Oberfläche
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- unendlich ausdehnen und für einen Torus müsste man ein Loch machen.
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-
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- \begin{figure}[ht]
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- \centering
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- \subfigure[$S^2$]{
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- \input{figures/s2.tex}
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- \label{fig:s2}
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- }%
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- \subfigure[Würfel]{
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- \input{figures/cube.tex}
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- \label{fig:cube}
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- }%
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- \subfigure[Pyramide]{
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- \input{figures/pyramid.tex}
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- \label{fig:pyramide}
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- }
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-
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- \subfigure[$\mdr^2$]{
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- \input{figures/plane-r2.tex}
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- \label{fig:plane-r2}
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- }%
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- \subfigure[Torus]{
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- \input{figures/torus.tex} \xindex{Torus}
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- \label{fig:torus}
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- }
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- \label{Formen}
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- \caption{Beispiele für verschiedene Formen}
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- \end{figure}
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-
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\section{Topologische Räume}
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\begin{definition} \xindex{Raum!topologischer} \xindex{offen} \xindex{abgeschlossen}
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Ein \textbf{topologischer Raum} ist ein Paar $(X, \fT)$ bestehend
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@@ -658,16 +624,173 @@ sodass $\pi$ stetig wird.
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\[\forall x \in X: \exists M \in T: x \in M\]
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\end{definition}
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-\begin{korollar}
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+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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+% Mitschrieb vom 05.11.2013 %
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+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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+
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+\begin{korollar}\label{abgeschlossen01IstKompakt}
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$I = [0, 1]$ ist kompakt bezüglich der euklidischen Topologie.
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\end{korollar}
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\begin{beweis}
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+\todo{Der Beweis ist komisch. Das würde ich gerne mit jemanden durchsprechen.}
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Sei $(U_i)_{i \in J}$ eine offene Überdeckung von $I$.
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- Es gibt ein $\delta > 0$, sodass jedes Teilintervall von $I$
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- in einem der $U_i$ enthalten ist. Dann überdecken endlich viele
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- ... \todo{das haben wir nicht mehr geschafft}
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+\underline{z.~Z.}: Es gibt ein $\delta > 0$, sodass jedes Teilintervall
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+ der Länge $\delta$ von $I$ in einem der $U_i$ enthalten ist.
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+
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+Angenommen, es gibt kein solches $\delta$. Dann gibt es für jedes
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+$n \in \mdn$ ein Intervall $I_n \subseteq [0,1]$ der Länge $\nicefrac{1}{n}$
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+sodass $I_n \not\subseteq U_i$ für alle $i \in I$.
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+
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+Sei $x_n$ der Mittelpunkt von $I_n$. Die Folge $(x_n)$ hat einen
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+Häufungspunkt $x \in [0,1]$. Dann gibt es $i \in I$ mit $x \in U_i$.
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+Da $U_i$ offen ist, gibt es ein $\varepsilon > 0$, sodass $(x - \varepsilon, x + \varepsilon) \subseteq U_i$.
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+Dann gibt es $n$ mit $\nicefrac{1}{n} < \nicefrac{\varepsilon}{2}$ und
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+$|x - x_n| < \nicefrac{\varepsilon}{2}$, also $I_n \subseteq (x - \varepsilon, x + \varepsilon) \subseteq U_i$
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+
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+$\Rightarrow$ Widerspruch
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+
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+Dann überdecke $[0,1]$ mit endlich vielen Intervallen $I_1, \dots, I_d$
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+der Länge $\delta$. Jedes $I_j$ ist in $U_{ij}$ enthalten.
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+
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+$\Rightarrow U_{j_1}, \dots, U_{j_d}$ ist endliche Teilüberdeckung von $U$
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+$\qed$
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+\end{beweis}
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+
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+\begin{beispiel}
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+ \begin{enumerate}[label=\arabic*)]
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+ \item $\mdr$ ist nicht kompakt
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+ \item $(0,1)$ ist nicht kompakt\\
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+ $U_n = (\nicefrac{1}{n}, 1-\nicefrac{1}{n}) \Rightarrow \bigcup_{n \in \mdn} U_n = (0,1)$
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+ \item $\mdr$ mit der Zariski-Topologie ist kompakt und jede
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+ Teilmenge von $\mdr$ ist es auch.\xindex{Topologie!Zariski}
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+ \end{enumerate}
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+\end{beispiel}
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+
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+\begin{korollar}\label{abgeschlossenInKomaktIstKompakt}
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+ Sei $X$ kompakter Raum, $A \subseteq X$ abgeschlossen. Dann ist
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+ $A$ kompakt.
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+\end{korollar}
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+
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+\begin{beweis}
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+ Sei $(V_i)_{i \in I}$ offene Teilmenge $U_i \subseteq X$ mit
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+ $V_i = U_i \cap A$\\
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+ \begin{align*}
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+ &\Rightarrow A \subseteq \bigcup_{i \in I} U_i\\
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+ &\Rightarrow \mathfrak{U} = \Set{U_i | i \in I} \cup \Set{X \setminus A} \text{ ist offene Überdeckung von } X\\
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+ &\stackrel{X \text{ kompakt}}{\Rightarrow} \text{ es gibt } i_1, \dots, i_n \in I\text{, sodass }\bigcup_{j=1}^n U_{i_j} \cup (X \setminus A) = X\\
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+ &\Rightarrow \left (\bigcup_{j=1}^n U_{i_j} \cup (X \setminus A)\right ) \cap A = A\\
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+ &\Rightarrow \bigcup_{j=1}^n \underbrace{(U_{i_j} \cap A)}_{= V_{i_j}} \cup \underbrace{((X \setminus A) \cap A)}_{= \emptyset}\\
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+ &\Rightarrow V_{i_1}, \dots, V_{i_n} \text{ Überdecken } A
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+ \end{align*}
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+ $\qed$
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+\end{beweis}
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+
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+\begin{korollar}\label{kompaktTimesKompaktIstKompakt}
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+ Seien $X, Y$ kompakte topologische Räume. Dann ist $X \times Y$
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+ mit der Produkttopologie kompakt.
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+\end{korollar}
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+
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+\begin{beweis}
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+ Sei $(W_i)_{i \in I}$ eine offene Überdeckung von $X \times Y$.
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+ Für jedes $(x,y) \in X \times Y$ gibt es offene Teilmengen
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+ $U_{x,y}$ von $X$ und $V_{x,y}$ von $Y$ sowie ein $i \in I$, sodass
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+ $U_{x,y} \times V_{x,y} \subseteq W_i$.
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+
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+ \begin{figure}[htp]
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+ \centering
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+ \input{figures/neighbourhood-topology-open}
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+ \caption{\todo[inline]{Beschreibung}}
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+ \end{figure}
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+
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+ Die offenen Mengen $U_{x_0, y} \times V_{x_0, y}$ für festes $x_0$
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+ und alle $y \in Y$ überdecken $\Set{x_0} \times y$. Da $Y$ kompakt
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+ ist, ist auch $\Set{x_0} \times Y$ kompakt. Also gibt es
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+ $y_1, \dots, y_{m(x_0)}$ mit
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+ $\bigcup_{i=1}^{m(x_0)} U_{x_0, y_i} \times V_{x_0, y_i} \supseteq \Set{x_0} \times Y$
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+ Sei ${\color{blue} U_{x_0}} := \bigcap_{i=1}^{m(x)} U_{x_0, y_i}$.
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+ Da $X$ kompakt ist, gibt es $x_1, \dots, x_n \in X$ mit
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+ $\bigcup_{j=1}^n U_{x_j} = X \Rightarrow \bigcup_{j=1}^k \bigcup_{i=1}^{m(x_j)} \underbrace{\left ( U_{x_j, y_i} \times V_{x_j, y_i} \right)}_{\text{Ein grün-oranges Kästchen}} \supseteq X \times Y$\\
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+ $\Rightarrow U_j U_i W_i (x_j, y_i) = X \times Y \qed$
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+\end{beweis}
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+
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+\begin{korollar}\label{hausdorffraumKompakteTeilmengeAbgeschlossen}
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+ Sei $X$ ein Hausdorffraum und $K \subseteq X$ kompakt.
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+ Dann ist $K$ abgeschlossen.
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+\end{korollar}
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+
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+\begin{beweis}
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+ \underline{z.~Z.: Komplement ist offen}
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+
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+ Ist $X = K$, so ist $K$ abgeschlossen in $X$. Andernfalls sei
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+ $y \in X \setminus K$. Für jedes $x \in K$ seien $U_x$ bzw. $V_y$
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+ Umgebungen von $x$ bzw. von $y$, sodass $U_x \cap V_x = \emptyset$.
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+
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+ \begin{figure}[htp]
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+ \centering
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+ \input{figures/topology-1}
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+ \end{figure}
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+
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+ Da $K$ kompakt ist, gibt es endlich viele $x_1, \dots, x_n \in K$,
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+ sodass $\bigcup_{i=1}^m U_{x_i} \supseteq K$.
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+
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+ \begin{align*}
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+ &\text{Sei } V := \bigcap_{i=1}^n V_{x_i}
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+ &\Rightarrow V \cap (\bigcup_{i=1}^n U_{x_i} = \emptyset)\\
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+ &\Rightarrow V \cap K = \emptyset\\
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+ &\Rightarrow V \text{ ist Überdeckung von } y\text{, die ganz in } X \setminus K \text{ enthalten ist}.\\
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+ &\Rightarrow X \setminus K \text{ ist offen}\\
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+ &\Rightarrow K \text{ ist abgeschlossen} \qed
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+ \end{align*}
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+\end{beweis}
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+
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+\begin{korollar}
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+ Seien $X, Y$ topologische Räume, $f: X \rightarrow Y$ stetig.
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+ Ist $K \subseteq X$ kompakt, so ist $f(K) \subseteq Y$ kompakt.
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+\end{korollar}
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+
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+\begin{beweis}
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+ Sei $(V_i)_{i \in I}$ offene Überdeckung von $f(K)$
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+ $\Rightarrow (f^{-1}(V_i))_{i \in I}$ ist offene Überdeckung von $K$\\
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+ $\stackrel{\text{Kompakt}}{\Rightarrow}$ es gibt $i_1, \dots, i_n$,
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+ sodass $f^{-1}(V_{i_1}), \dots, f^{-1}(V_{i_n})$ Überdeckung von
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+ $K$ ist.\\
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+ $\Rightarrow f(f^{-1}( V_{i_1})), \dots, f(f^{-1}(V_{i_n}))$
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+ überdecken $f(K)$.
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+
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+ Es gilt: $f(f^{-1}(V)) = V \cap f(X) \qed$
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+\end{beweis}
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+
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+\begin{korollar}[Heine-Borel]
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+ Eine Teilmenge von $\mdr^n$ oder $\mdc^n$ ist genau dann kompakt,
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+ wenn sie beschränkt und abgeschlossen ist.
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+\end{korollar}
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+
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+\begin{beweis}
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+ \enquote{$\Rightarrow$}: Sei $K \subseteq \mdr^n$ (oder $\mdc^n$)
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+ kompakt.
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+
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+ Da $\mdr^n$ und $\mdc^n$ hausdorffsch sind, ist $K$ nach Korollar
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+ \ref{hausdorffraumKompakteTeilmengeAbgeschlossen} abgeschlossen.
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+ Nach Voraussetzung kann $K$ mit endlich vielen offenen Kugeln von
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+ Radien 1 überdeckt werden $\Rightarrow K$ ist beschränkt.
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+
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+ \enquote{$\Leftarrow$} Sei $A \subseteq \mdr^n$ (oder $\mdc^n$)
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+ beschränkt und abgeschlossen.
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+
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+ Dann gibt es einen Würfel $W = \underbrace{[-N, N] \times \dots \times [-N, N]}_{n \text{ mal}}$
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+ mit $A \subseteq W$ bzw. \enquote{Polyzylinder}\xindex{Polyzylinder}
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+ $Z = \Set{(z_1, \dots, z_n) \in \mdc^n | z_i \leq N \text{ für } i= 1, \dots, n}$
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+
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+ Nach Korollar \ref{kompaktTimesKompaktIstKompakt} und Korollar
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+ \ref{abgeschlossen01IstKompakt} ist $W$ kompakt, also ist $A$
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+ nach Korollar \ref{abgeschlossenInKomaktIstKompakt} auch kompakt.
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+ Genauso ist $Z$ kompakt, weil
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+ \[\Set{z \in \mdc | |z| \leq 1}\]
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+ homöomorph zu
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+ \[\Set{(x,y) \in \mdr^2 | \|(x,y)\| \leq 1}\]
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+ ist. $\qed$
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\end{beweis}
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% Die Übungsaufgaben sollen ganz am Ende des Kapitels sein.
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Martin Thoma