Teil 1 der Änderungen aufgrund der Email von Jérôme Urhausen (10.02.2014); Anhang mit Definitionen hinzugefügt

documents/GeoTopo/Definitionen.tex

@@ -0,0 +1,36 @@
+%!TEX root = GeoTopo.tex
+\markboth{Anhang: Definitionen}{Anhang: Definitionen}
+\chapter*{Anhang: Definitionen}
+\addcontentsline{toc}{chapter}{Anhang: Definitionen}
+
+Da dieses Skript in die Geometrie und Topologie einführen soll, sollten soweit
+wie möglich alle benötigten Begriffe definiert und erklärt werden. Die folgenden
+Begriffe wurden zwar verwendet, aber nicht erklärt, da sie Bestandteil der
+Vorlesungen \enquote{Analysis I und II} sowie \enquote{Lineare Algebra und analytische Geometrie I und II}
+sind. Jedoch will ich zumindest die Definitionen bereitstellen.
+
+\begin{definition}\xindex{Häufungspunkt}
+	Sei $D \subseteq \mdr$ und $x_0 \in \mdr$. $x_0$ heißt ein \textbf{Häufungspunkt}
+	von $D :\gdw \exists$ Folge $x_n$ in $D \setminus \Set{x_0}$ mit $x_n \rightarrow x_0$.
+\end{definition}
+
+Folgende Definition wurde dem Skript von Herrn Prof. Dr. Leuzinger für
+Lineare Algebra entnommen:
+
+\begin{definition}\xindex{Abbildung!affine}
+	Es seien $V$ und $W$ $\mdk$-Vektorräume und $\mda(V)$ und $\mda(W)$ die 
+	zugehörigen affinen Räume. Eine Abbildung $f:V \rightarrow W$ heißt \textbf{affin},
+	falls für alle $a, b \in V$ und alle $\lambda, \mu \in \mdk$ mit $\lambda + \mu = 1$ gilt:
+	\[f(\lambda a + \mu b) = \lambda f(a) + \mu f(b)\]
+\end{definition}
+
+\begin{definition}\xindex{Orthonormalbasis}
+	Sei $V$ ein Vektorraum und $S \subseteq V$ eine Teilmenge.
+
+	$S$ heißt eine \textbf{Orthonormalbasis} von $V$, wenn gilt:
+	\begin{defenumprops}
+		\item $S$ ist eine Basis von $V$
+		\item $\forall v \in S: \|v\| = 1$
+		\item $\forall v_1, v_2 \in S: v_1 \neq v_2 \Rightarrow \langle v_1, v_2 \rangle = 0$
+	\end{defenumprops}
+\end{definition}

documents/GeoTopo/Fragen/Fragen.tex

@@ -242,4 +242,24 @@ Gibt es 0-Dimensionale Simplizes?
 \end{definition}
 
 Soll hier wirklich \enquote{mindestens} stehen? Wie beweist man, dass es genau eine gibt?
+
+\section{15.) Simpliziale Abbildungen}
+Wenn man Simpliziale Abbildungen wie folgt definiert
+
+\begin{definition}\xindex{Abbildung!simpliziale}%
+    Seien $K, L$ Simplizialkomplexe. Eine stetige Abbildung
+    \[f:|K| \rightarrow |L|\]
+    heißt \textbf{simplizial}, wenn für
+    jedes $\Delta \in K$ gilt:
+    \begin{defenum}
+        \item $f(\Delta) \in L$
+        \item $f|_{\Delta} : \Delta \rightarrow f(\Delta)$ ist eine
+              affine Abbildung.
+    \end{defenum}
+\end{definition}
+
+dann ist die Forderung \enquote{$f(\Delta) \in L$} doch immer erfüllt, oder?
+Gibt es eine Abbildung
+\[f:|K| \rightarrow |L|\]
+mit $f(\Delta) \notin L$?
 \end{document}

documents/GeoTopo/GeoTopo.sublime-project

@@ -2,7 +2,8 @@
 	"folders":
 	[
 		{
-			"path": "/home/moose/Downloads/LaTeX-examples/documents/GeoTopo"
+			"path": "/home/moose/Downloads/LaTeX-examples/documents/GeoTopo",
+			"file_exclude_patterns": ["*.aux", "*.fdb_latexmk"]
 		}
 	],
 	"settings":

documents/GeoTopo/GeoTopo.tex

@@ -100,6 +100,8 @@
 \clearpage
 \input{Abkuerzungen}
 \clearpage
+\input{Definitionen} 
+\clearpage
 \input{Symbolverzeichnis} 
 \clearpage
 \addcontentsline{toc}{chapter}{Stichwortverzeichnis}

documents/GeoTopo/Kapitel2.tex

@@ -546,13 +546,7 @@ Differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Klasse $C^\infty$ werden auch
 
             $\det A_{ij}$ kann $0$ werden, da:
             \[\begin{pmatrix}1 & 1\\-1&0\end{pmatrix}\]
-        \item $\SL_n(\mdr) = \Set{A \in \GL_n(\mdr) | \det(A) = 1} $ \todo{Was soll das '?'}
-
-              $\grad(\det-1)(A) = 0$?
-
-              $\frac{\partial}{\partial a_{11}} (\det -1) = 1 \cdot \det A_{11}$
-
-              Es gibt $i \in \Set{1, \dots, n}$ mit $\frac{\partial}{\partial a_{1i}} (\det -1) A \neq 0$
+        \item $\SL_n(\mdr) = \Set{A \in \GL_n(\mdr) | \det(A) = 1}$
     \end{bspenum}
 \end{beispiel}
 
@@ -706,8 +700,8 @@ Differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Klasse $C^\infty$ werden auch
               ist simplizial:
 
               \input{figures/topology-triangle-to-line.tex}
-        \item \todo[inline]{Wozu dient das Beispiel?}
-
+        \item Tori können simplizial auf Sphären abgebildet werden:
+        
             \resizebox{0.9\linewidth}{!}{\input{figures/topology-2.tex}}
     \end{bspenum}
 \end{beispiel}

documents/GeoTopo/shortcuts.sty

@@ -58,8 +58,10 @@
 \newcommand{\qedwhite}{\hfill \ensuremath{\Box}}
 \newcommand{\powerset}[1]{\mathcal{P}(#1)}
 \def\praum{\ensuremath{\mathcal{P}}}
+\def\mda{\ensuremath{\mathbb{A}}}
 \def\mdp{\ensuremath{\mathbb{P}}}
 \def\mdc{\ensuremath{\mathbb{C}}}
+\def\mdk{\ensuremath{\mathbb{K}}}
 \def\mdr{\ensuremath{\mathbb{R}}}
 \def\mdq{\ensuremath{\mathbb{Q}}}
 \def\mdz{\ensuremath{\mathbb{Z}}}