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@@ -587,16 +587,15 @@ Wenn $\pi_1(X,x) = \Set{e}$ für ein $x \in X$ gilt, dann wegen
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$\Rightarrow p^{-1}(U_1)$ und $p^{-1}(U_2)$ sind disjunkte
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Umgebungen von $y_1$ und $y_2$.
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- \item Sei $y \in Y$
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+ \item Sei $x \in X$ beliebig, aber fest.
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- \underline{1. Fall}: $y \in p^{-1}(x)$
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+ \underline{Zu zeigen}: $\forall y_i \in p^{-1}(x): \exists V_i \in \fT_Y \text{ mit } y_i \in V_i \text{, sodass gilt:} i \neq j \Rightarrow V_i \cap V_j = \emptyset$.
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- Finde $v_j$, sodass kein \dots
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- \todo[inline]{...}
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- \underline{2. Fall}: $y \notin p^{-1}(x)$
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- \todo[inline]{...}
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+ Die $V_i$ existieren wegen der Definition einer Überlagerung:
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+ $p$ heißt Überlagerung $:\gdw \forall x \in X \exists U=U(x) \in \fT_X: p^{-1}(U) = \Dcup_{V_i \in \fT_Y} V_i \text{ und } p|_{V_i} \text{ ist Homöomorphismus}$.\\
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+ $\Rightarrow (p|_{V_i})^{-1}(x) = \Set{y_i}$\\
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+ $\Rightarrow$ Alle $y_i$ liegen diskret in $Y$, da Häufungspunkte unendlich
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+ viele Elemente in jeder Umgebung benötigen. $\qed$
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\end{enumerate}
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\end{beweis}
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@@ -716,7 +715,7 @@ $p|_{V_j}: V_j \rightarrow U$ Homöomorphismus.
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Dann gilt:
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\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
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\item $\tilde{H}$ ist stetig (Beweis wie für \cref{kor:12.5})
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- \item $\tilde{H}(t,0) = \tilde{\gamma_0}(t) = \tilde{H}(t,1) = \tilde{\gamma_1}(t)$
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+ \item $\tilde{H}(t,0) = \tilde{\gamma_0}(t), \;\;\; \tilde{H}(t,1) = \tilde{\gamma_1}(t)$
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\item $\tilde{H}(0,s) = \tilde{\gamma_s}(0) = \tilde{a}$
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\item $\tilde{H}(1,s) \in p^{-1}(b)$
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\end{enumerate}
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@@ -973,7 +972,7 @@ der folgende Satz:
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Zu $i \in \Set{0, \dots, d-1}$ gibt es höchstens ein
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$f \in \Deck(Y/X)$ mit $f(y_0) = y_1$, denn ist
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- $f(y_0) = g(y_0)$, so ist \todo{Was steht hier?}{$(g^{-1} - f) y_0 = y_0$},
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+ $f(y_0) = g(y_0)$, so ist $(g^{-1} \circ f)(y_0) = y_0$,
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also nach \cref{kor:12.14c} $g^{-1} \circ f = \id_Y$.
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\end{enumerate}
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\end{beweis}
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@@ -1104,8 +1103,8 @@ und der Fundamentalgruppe herstellen:
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\begin{bemerkung}%In Vorlesung: Bemerkung 13.2
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Jede stetige Gruppenoperation ist eine Gruppenoperation durch Homöomorphismen.
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\end{bemerkung}
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-\begin{beweis}
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- Nach Voraussetzung ist $\circ |_{\Set{g} \times X} : X \rightarrow X, x \mapsto g \circ x$ stetig.
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+\begin{beweis}\leavevmode
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+ Nach Voraussetzung ist $m_g := \circ |_{\Set{g} \times X} : X \rightarrow X, x \mapsto g \circ x$ stetig.
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Die Umkehrabbildung zu $m_g$ ist $m_{g^{-1}}$:
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\begin{align*}
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Martin Thoma