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@@ -821,7 +821,7 @@ $\overset{\text{Strahlensatz}}{\Rightarrow} \frac{a}{h_c} = \frac{c}{h_a} \right
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\item Es ist $\sigma(z) = (-\sigma)(z)$ für alle $\sigma \in \SL_2(\mdr)$
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und $z \in \mdh$. Daher operiert $\PSL_2(\mdr) = \SL_2(\mdr) /_{(\pm I)}$
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auf $\mdh$.
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- \item $\PSL_2(\mdr)$ operiert auf $\mdr \cup \Set{\infty}$.
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+ \item \label{prop:15.2c} $\PSL_2(\mdr)$ operiert auf $\mdr \cup \Set{\infty}$.
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Diese Gruppenoperation ist 3-fach transitiv, d.~h. zu
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$x_0 < x_1 < x_\infty \in \mdr$ gibt es genau ein
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$\sigma \in \PSL_2(\mdr)$ mit $\sigma(x_0) = 0$,
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@@ -890,5 +890,107 @@ $\overset{\text{Strahlensatz}}{\Rightarrow} \frac{a}{h_c} = \frac{c}{h_a} \right
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\end{enumerate}
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\end{beweis}
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+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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+% Mitschrieb vom 28.01.2014 %
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+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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+\begin{bemerkung}%In Vorlesung: Bemerkung 15.3
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+ Zu hyperbolischen Geraden $g_1, g_2$ gibt es $\sigma \in \PSL_2(\mdr)$
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+ mit $\sigma(g_1) = g_2$.
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+\end{bemerkung}
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+\begin{beweis}
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+ Nach \cref{prop:15.2c} gibt es $\sigma$ mit $\sigma(a_1) = b_1$
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+ und $\sigma(a_2) = b_2$. Dann existiert $\sigma(g_1) := g_2$
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+ wegen dem Inzidenzaxiom \ref{axiom:1} und ist eindeutig bestimmt.
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+\end{beweis}
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+
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+\begin{definition}%In Vorlesung: Def+Prop 15.4
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+ Seien $z_1, z_2, z_3, z_4 \in \mdc$ paarweise verschieden.
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+
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+ Dann heißt
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+ \[\DV(z_1, z_2, z_3, z_4) := \frac{\frac{z_1 - z_4}{z_1 - z_2}}{\frac{z_3 - z_4}{z_3 - z_2}} = \frac{(z_1 - z_4) \cdot (z_3 - z_2)}{(z_1 - z_2) \cdot (z_3 - z_4)}\]
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+ \textbf{Doppelverhältnis}\xindex{Doppelverhältnis} von
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+ $z_1, \dots, z_4$.
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+\end{definition}
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+
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+\begin{bemerkung}[Eigenschaften des Doppelverhältnisses]
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+ \begin{bemenum}
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+ \item $\DV(z_1, \dots, z_4) \in \mdc \setminus \Set{0,1}$
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+ \item \label{bem:15.4b.ii} $\DV(z_1, z_4, z_3, z_2) = \frac{1}{\DV(z_1, z_2, z_3, z_4)}$
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+ \item $\DV(z_3, z_2, z_1, z_4) = \frac{1}{\DV(z_1, z_2, z_3, z_4)}$
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+ \item $\DV$ ist auch wohldefiniert, wenn eines der $z_i = \infty$
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+ oder wenn zwei der $z_i$ gleich sind.
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+ \item $\DV(0, 1, \infty, z_4) = z_4$ (Der Fall $z_4 \in \Set{0, 1, \infty}$ ist zugelassen).
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+ \item \label{bem:15.4d} Für $\sigma \in \PSL_2(\mdc)$ und $z_1, \dots, z_4 \in \mdc \cup \Set{\infty}$
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+ ist $\DV(\sigma(z_1), \sigma(z_2), \sigma(z_3), \sigma(z_4)) = \DV(z_1, z_2, z_3, z_4)$.
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+ und für $\sigma(z) = \frac{1}{\overline{z}}$ gilt
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+ \[\DV(\sigma(z_1), \sigma(z_2), \sigma(z_3), \sigma(z_4)) = \overline{\DV(z_1, z_2, z_3, z_4)}\]
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+ \item \label{bem:15.4e} $\DV(z_1, z_2, z_3, z_4) \in \mdr \in \Set{\infty} \Leftrightarrow z_1, \dots, z_4$
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+ liegen auf einem Kreis
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+ \end{bemenum}
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+\end{bemerkung}
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+
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+\begin{beweis}
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+ von \cref{bem:15.4e}
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+
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+ Sei $\sigma \in \PSL_2(\mdc)$ mit $\sigma(z_1) = 0$, $\sigma(z_2) = 1$,
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+ $\sigma(z_3) = \infty$ (gibt es?)
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+
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+ $\overset{\crefabbr{bem:15.4d}}{\Rightarrow} \DV(z_1, \dots, z_4) = \DV(0, 1, \infty, \sigma(z_4))$\\
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+ $\Rightarrow \DV(z_1, \dots, z_4) \in \mdr \cup \Set{\infty} \Leftrightarrow \sigma(z_4) \in \mdr \cup \Set{infty}$
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+
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+ Behauptung folgt, weil $\sigma(\mdr \cup \infty)$ ein Kreis oder
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+ eine Gerade in $\mdc$ ist.
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+\end{beweis}
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+
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+\begin{definition}
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+ Für $z_1, z_2 \in \mdh$ sei $g_{z_1, z_2}$ die eindeutige hyperbolische
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+ Gerade durch $z_1$ und $z_2$ und $a_1, a_2$ die
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+ \enquote{Schnittpunkte} von $g_{z_1, z_2}$ mit $\mdr \cup \Set{\infty}$.
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+
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+ Dann sei $d(z_1, z_2) := \frac{1}{2} \ln(\DV(a_1, z_4, a_2, z_2))$
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+ und heiße \textbf{hyperbolische Metrik}\xindex{Metrik!hyperbolische}.
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+\end{definition}
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+
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+\begin{behauptung}
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+ Die hyperbolische Metrik ist eine Metrik auf $\mdh$.
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+\end{behauptung}
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+
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+\begin{beweis}
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+ Wegen \cref{bem:15.4d} ist
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+ \[d(z_1, z_2) := d(\sigma(z_1), \sigma(z_2)) \text{ mit } \sigma(a_1) = 0,\; \sigma(a_2) = \infty\]
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+ d.~h. $\sigma(g_{z_1, z_2}) = \iu \mdr$ (imaginäre Achse).
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+
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+ also gilt \obda $z_1 = \iu a$ und $z_2 = \iu b$ mit $a,b \in \mdr$ und $a < b$.
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+ \begin{align*}
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+ 2d(\iu a, \iu b) &= \ln(\DV(0, \iu a, \infty, \iu b))\\
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+ &= \ln \frac{(0 - \iu b) (\infty - \iu a)}{(0 - \iu a)(\infty - \iu b)}\\
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+ &= \ln \frac{b}{a}\\
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+ &= \ln b - \ln a
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+ \end{align*}
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+
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+ Also: $d(z_1, z_2) \geq 0$, $d(z_1, z_2) = 0 \gdw z_1 = z_2$
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+
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+ \begin{align*}
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+ 2 d(z_2, z_1) &= \ln \DV(a_2, z_2, a_1, z_1)\\
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+ &= \ln \DV(\infty, \iu b, 0, \iu a)\\
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+ &\overset{\crefabbr{bem:15.4b.ii}}{=} \ln \DV(0, \iu b, \infty, \iu a)\\
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+ &= 2 d(z_1, z_2)
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|
+ \end{align*}
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+
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+ Liegen drei Punkte $z_1, z_2, z_3 \in mdc$ auf einer hyperbolischen
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+ Geraden, so gilt $d(z_1, z_3) = d(z_1, z_2) + d(z_2, z_3)$
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+ (wenn $z_2$ zwischen $z_1$ und $z_3$ liegt).
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+
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+ Dreiecksungleichung: Beweis ist umständlich und wird hier nicht geführt. Es sei auf die Vorlesung \enquote{Hyperbolische Geometrie}
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+ verwiesen.
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+\end{beweis}
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+
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+\begin{satz}%In Vorlesung: Satz 15.6
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+ Die hyperbolische Ebene $\mdh$ mit der hyperbolischen Metrik $d$
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+ und den hyperbolischen Geraden bildet eine \enquote{nichteuklidische Geometrie},
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+ d.~h. die Axiome~\ref{axiom:1}~-~\ref{axiom:4} sind erfüllt,
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+ aber Axiiom~\ref{axiom:5} ist verletzt.
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+\end{satz}
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+
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% Die Übungsaufgaben sollen ganz am Ende des Kapitels sein.
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\input{Kapitel4-UB}
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Martin Thoma