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@@ -23,7 +23,7 @@
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\subfigure[$\mdr^2$]{
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\input{figures/plane-r2.tex}
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- \label{fig:pyramide}
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+ \label{fig:plane-r2}
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}%
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\subfigure[Torus]{
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\input{figures/torus.tex} \xindex{Torus}
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@@ -60,14 +60,16 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
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Es gilt: $X \in \fT$ und $\emptyset \in \fT$, d.~h. $X$ und $\emptyset$
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sind offen. Außerdem $X^C = X \setminus X = \emptyset \in \fT$
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und $X \setminus \emptyset = X \in \fT$, d.~h. $X$ und $\emptyset$
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- sind als Komplement offener Mengen abgeschlossen.$\qedwhite$
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+ sind als Komplement offener Mengen abgeschlossen.$\qed$
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\end{korollar}
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\begin{beispiel}
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\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
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- \item $X = \mdr^n$ mit der euklidischen Metrik.\\ \xindex{Topologie!euklidische}
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- $U \subseteq \mdr^n$ offen $\gdw$ für jedes $x \in U$
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- gibt es $r > 0$, sodass $B_r(x) = \Set{y \in \mdr^n | d(x,y) < r} \subseteq U$\\
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+ \item $X = \mdr^n$ mit der euklidischen Metrik. \xindex{Topologie!euklidische}
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+ \begin{align*}
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+ U \subseteq \mdr^n \text{ offen} \gdw &\text{ für jedes } x \in U \text{ gibt es } r > 0,\\
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+ &\text{ sodass } \fB_r(x) = \Set{y \in \mdr^n | d(x,y) < r} \subseteq U
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+ \end{align*}
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Also: $\fT = \Set{M \subseteq X | M \text{ ist offene Kugel}}$
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\item Allgemeiner: $(X, d)$ metrischer Raum
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\item $X$ Menge, $\fT = \powerset{X}$ heißt \enquote{diskrete Topologie} \xindex{Topologie!diskrete}
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@@ -183,10 +185,11 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
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\begin{definition} \xindex{Quotiententopologie}
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Sei $X$ topologischer Raum, $\sim$ eine Äquivalenzrelation auf $X$,
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$\overline{X} = X /_\sim$ sei die Menge der Äquivalenzklassen,
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- $\pi: x \rightarrow \overline{x}, \;\;\; x \mapsto [x]_\sim$,
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- $U \subseteq \overline{X}$ heißt offen, wenn $\pi^{-1} (U) \subseteq X$
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- offen ist. Dadurch wird eine Topologie auf $\overline{X}$ definiert.
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- Diese Topologie heißt \textbf{Quotiententopologie}.
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+ $\pi: x \rightarrow \overline{x}, \;\;\; x \mapsto [x]_\sim$.
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+
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+ \[\fT_{\overline{X}} := \Set{U \subseteq \overline{X} | \pi^{-1}(U) \in \fT_X}\]
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+
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+ $(\overline{X}, \fT_{\overline{X}})$ heißt \textbf{Quotiententopologie}.
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\end{definition}
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\begin{beispiel}
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@@ -217,13 +220,13 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
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\section{Metrische Räume}
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\begin{definition} \xindex{Metrik} \xindex{Raum!metrischer}
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- Sei $X$ eine Menge. Eine Abbildung $d:X\times X \rightarrow \mdr$
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+ Sei $X$ eine Menge. Eine Abbildung $d:X\times X \rightarrow \mdr_0^+$
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heißt \textbf{Metrik}, wenn gilt:
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+
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\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
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- \item $\forall x, y \in X: d(x,y) \geq 0$
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- \item $d(x,y) = 0 \gdw x = y$
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- \item $d(x,y) = d(y,x)$
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- \item $d(x,z) \leq d(x,y) + d(x+z)$
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+ \item Definitheit: \tabto{4cm} $d(x,y) = 0 \gdw x = y$
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+ \item Symmetrie: \tabto{4cm} $d(x,y) = d(y,x)$
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+ \item Dreiecksungleichung: \tabto{4cm} $d(x,z) \leq d(x,y) + d(x+z)$
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\end{enumerate}
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Das Paar $(X, d)$ heißt ein \textbf{metrischer Raum}.
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@@ -267,7 +270,7 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
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\input{figures/quadrat-in-kreis-in-dots}
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\label{fig:quadrat-in-kreis-in-dots}
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}%
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- \label{Formen}
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+ \label{fig:metrik}
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\caption{Veranschaulichungen zur Metrik $d$}
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\end{figure}
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