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|
@@ -147,9 +147,9 @@ aufgestellt.
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\item \label{axiom:4}\textbf{Bewegungsaxiom}\xindex{Bewegungsaxiom}:
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Zu $P, Q, P', Q' \in X$
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mit $d(P,Q) = d(P', Q')$ gibt es mindestens 2 Isometrien $\varphi_1, \varphi_2$
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- mit $\varphi_i (P) = P'$ und $\varphi_i(Q) = Q', i=1,2$\footnote{Die \enquote{Verschiebung} von $P'Q'$ nach $PQ$ und die Isometrie, die zusätzlich an der Gerade durch $P$ und $Q$ spiegelt.}
|
|
|
+ mit $\varphi_i (P) = P'$ und $\varphi_i(Q) = Q'$ mit $i=1,2$.\footnote{Die \enquote{Verschiebung} von $P'Q'$ nach $PQ$ und die Isometrie, die zusätzlich an der Gerade durch $P$ und $Q$ spiegelt.}
|
|
|
\item \label{axiom:5}\textbf{Parallelenaxiom}\xindex{Parallele}:
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- Für jedes $g \in G$ und jedes
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+ Zu jeder Geraden $g \in G$ und jedem Punkt
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$P \in X \setminus g$ gibt es höchstens ein $h \in G$ mit $P \in h$ und
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$h \cap g = \emptyset$. $h$ heißt \textbf{Parallele zu $g$ durch $P$}.
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\end{enumerate}
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@@ -200,7 +200,7 @@ schneiden sich.
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\begin{beweis}%In Vorlesung: Behauptung 3
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Sei $P' \in PQ^-, P' \neq P$
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- $\overset{\cref{satz:pasch}}{\Rightarrow} PB$ schneidet
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+ $\xRightarrow{\cref{satz:pasch}} PB$ schneidet
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$\overline{AP'} \cup \overline{AQ}$
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Sei $C$ der Schnittpunkt. Dann gilt:
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@@ -283,96 +283,87 @@ schneiden sich.
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\begin{bemerkung}\label{kor:beh2'}
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Sei $(X, d, G)$ eine Geometrie, die \ref{axiom:1}~-~\ref{axiom:3}
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- erfüllt und $\varphi$ eine Isometrie mit $\varphi(P) = P$ und $\varphi(Q) = Q$.
|
|
|
+ erfüllt, $P, Q \in X$ mit $P \neq Q$ und $\varphi$ eine Isometrie mit
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|
|
+ $\varphi(P) = P$ und $\varphi(Q) = Q$.
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Dann gilt $\varphi(S) = S\;\;\;\forall S \in PQ$.
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\end{bemerkung}
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\begin{beweis}
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\begin{align*}
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- \text{\Obda sei } S \in \overline{PQ} &\Leftrightarrow d(P,Q) = d(P,S) + d(S,Q)\\
|
|
|
+ \text{\Obda sei } S \in \overline{PQ} &\overset{\mathclap{\ref{axiom:2}}}{\Leftrightarrow} d(P,Q) = d(P,S) + d(S,Q)\\
|
|
|
&\overset{\mathclap{\varphi \in \Iso(X)}}{\Rightarrow}\hspace{4 mm} d(\varphi(P),\varphi(Q)) = d(\varphi(P),\varphi(S)) + d(\varphi(S),\varphi(Q))\\
|
|
|
&\overset{\mathclap{P, Q \in \Fix(\varphi)}}{\Rightarrow}\hspace{4 mm} d(P, Q) = d(P,\varphi(S)) + d(\varphi(S), Q)\\
|
|
|
&\Rightarrow \varphi(S) \text{ liegt zwischen } P \text{ und } Q\\
|
|
|
- &\Rightarrow d(P, \varphi(S)) = d(P,S)\\
|
|
|
+ &\Rightarrow d(P,S) \overset{\mathclap{\varphi \in \Iso(X)}}{=}\hspace{4 mm} d(\varphi(P), \varphi(S)) \overset{\mathclap{P \in \Fix(\varphi)}}{=}\hspace{4 mm} d(P, \varphi(S)) = \\
|
|
|
&\overset{\mathclap{\ref{axiom:3.1}}}{\Rightarrow} \varphi(S) = S
|
|
|
\end{align*}
|
|
|
|
|
|
$\qed$
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|
\end{beweis}
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|
|
|
-\begin{proposition}%In Vorlesung: Satz 14.4
|
|
|
+\begin{proposition}\label{satz:14.4}%In Vorlesung: Satz 14.4
|
|
|
In einer Geometrie, die \ref{axiom:1}~-~\ref{axiom:3} erfüllt,
|
|
|
gibt es zu $P, P', Q, Q'$ mit $d(P, Q) = d(P', Q')$ höchstens
|
|
|
zwei Isometrien mit $\varphi(P) = P'$ und $\varphi(Q) = Q'$
|
|
|
|
|
|
Aus den Axiomen folgt, dass es in
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|
- den Situation \ref{axiom:4} höchstens zwei Isometrien mit
|
|
|
+ der Situation von \ref{axiom:4} höchstens zwei Isometrien mit
|
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|
$\varphi_i(P) = P'$ und $\varphi_i(Q) = Q'$ gibt.
|
|
|
\end{proposition}
|
|
|
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
|
Seien $\varphi_1, \varphi_2, \varphi_3$ Isometrien mit
|
|
|
- $\varphi_i(P) = P'$, $\varphi_i(Q) = Q'$, $i=1,2,3$
|
|
|
+ $\varphi_i(P) = P'$, $\varphi_i(Q) = Q'$ mit $i=1,2,3$.
|
|
|
|
|
|
- \begin{behauptung}[1]
|
|
|
- $\exists R \in X \setminus PQ$ mit $\varphi_{1} (R) = \varphi_{2} (R)$.
|
|
|
- \end{behauptung}
|
|
|
- \begin{behauptung}[2]
|
|
|
- Hat $\varphi$ 3 Fixpunkte, die nicht kollinear sind,
|
|
|
- so ist $\varphi = \id_X$.
|
|
|
- \end{behauptung}
|
|
|
+ Der Beweis von \cref{satz:14.4} erfolgt über zwei Teilaussagen:
|
|
|
|
|
|
- Aus Beh.~1 und Beh.~2 folgt, dass $\varphi_2^{-1} \circ \varphi_1 = \id_X$,
|
|
|
+ \begin{enumerate}[label=(Teil \roman*),ref=(Teil \roman*)]
|
|
|
+ \item \label{bew:teil1} $\exists R \in X \setminus PQ$ mit $\varphi_{1} (R) = \varphi_{2} (R)$.
|
|
|
+ \item \label{bew:teil2} Hat $\varphi$ 3 Fixpunkte, die nicht kollinear sind, so ist $\varphi = \id_X$.
|
|
|
+ \end{enumerate}
|
|
|
+
|
|
|
+ Aus \ref{bew:teil1} und \ref{bew:teil2} folgt, dass $\varphi_2^{-1} \circ \varphi_1 = \id_X$,
|
|
|
also $\varphi_2 = \varphi_1$, da $P$, $Q$ und $R$ in diesem Fall
|
|
|
Fixpunkte sind.
|
|
|
|
|
|
- \begin{beweis}\leavevmode
|
|
|
- \begin{behauptung}
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|
- Sind $P \neq Q$ Fixpunkte einer Isometrie, so ist
|
|
|
- $\varphi(R) = R$ für jedes $R \in PQ$.
|
|
|
- \end{behauptung}
|
|
|
- \begin{beweis}[von Beh. 2 mit \cref{kor:beh2'}]
|
|
|
- Seien $P$, $Q$ und $R$ Fixpunkte von $\varphi$, $R \in PG$
|
|
|
- und $A \notin \overline{PQ} \cup \overline{PR} \cup \overline{QR}$.
|
|
|
- Sei $B \in \overline{PQ} \setminus \Set{P, Q}$. Dann ist
|
|
|
- $\varphi(B) = B$ wegen \cref{kor:beh2'}.
|
|
|
-
|
|
|
- Ist $R \in AB$, so enthält $AB$ 2 Fixpunkte von $\varphi$
|
|
|
- $\overset{\cref{kor:beh2'}}{\Rightarrow} \varphi(A) = A$.
|
|
|
-
|
|
|
- \begin{figure}[htp]
|
|
|
- \centering
|
|
|
- \input{figures/geometry-1.tex}
|
|
|
- \caption{$P, Q, R$ sind Fixpunkte, $B \in \overline{PQ} \setminus \Set{P,Q}$, $A \notin PQ \cup PR \cup QR$}
|
|
|
- \label{fig:geometry-1}
|
|
|
- \end{figure}
|
|
|
-
|
|
|
- Ist $R \notin AB$, so ist $AB \cap \overline{PR} \neq \emptyset$
|
|
|
- oder $AB \in \overline{RQ} \neq \emptyset$ nach \cref{satz:pasch}.
|
|
|
- Der Schnittpunkt $C$ ist dann Fixpunkt von $\varphi'$
|
|
|
- nach \cref{kor:beh2'} $\Rightarrow \varphi(A) = A$.
|
|
|
- \end{beweis}
|
|
|
-
|
|
|
- \begin{beweis}[von Beh. 1]
|
|
|
- Sei $R \in X \setminus PQ$. Von den drei Punkten
|
|
|
+ Nun zu den Beweisen der Teilaussagen:
|
|
|
+ \begin{enumerate}[label=(Teil \roman*),ref=(Teil \roman*)]
|
|
|
+ \item Sei $R \in X \setminus PQ$. Von den drei Punkten
|
|
|
$\varphi_1(R), \varphi_2(R), \varphi_3(R)$ liegen zwei
|
|
|
in der selben Halbebene bzgl. $P'Q' = \varphi_i(PQ)$.
|
|
|
|
|
|
\Obda seien $\varphi_1(R)$ und $\varphi_2(R)$ in der
|
|
|
selben Halbebene.
|
|
|
|
|
|
- Es gilt:
|
|
|
- \begin{align*}
|
|
|
+ Es gilt: $\begin{aligned}[t]
|
|
|
d(P', \varphi_1(R)) &= d(\varphi_1(P), \varphi_1(R))\\
|
|
|
&= d(P, R)\\
|
|
|
&= d(\varphi_2(P), \varphi_2(R))\\
|
|
|
&= d(P', \varphi_2(R))\\
|
|
|
&= d(Q', \varphi_2(R))
|
|
|
- \end{align*}
|
|
|
+ \end{aligned}$\\
|
|
|
und analog $d(Q', \varphi_1(R)) = d(Q', \varphi_2(R))$
|
|
|
- \end{beweis}
|
|
|
- \end{beweis}
|
|
|
+ \item Seien $P$, $Q$ und $R$ Fixpunkte von $\varphi$, $R \in PG$
|
|
|
+ und $A \notin \overline{PQ} \cup \overline{PR} \cup \overline{QR}$.
|
|
|
+ Sei $B \in \overline{PQ} \setminus \Set{P, Q}$. Dann ist
|
|
|
+ $\varphi(B) = B$ wegen \cref{kor:beh2'}.
|
|
|
+
|
|
|
+ Ist $R \in AB$, so enthält $AB$ 2 Fixpunkte von $\varphi$
|
|
|
+ $\xRightarrow{\crefabbr{kor:beh2'}} \varphi(A) = A$.
|
|
|
+
|
|
|
+ \begin{figure}[htp]
|
|
|
+ \centering
|
|
|
+ \input{figures/geometry-1.tex}
|
|
|
+ \caption{$P, Q, R$ sind Fixpunkte, $B \in \overline{PQ} \setminus \Set{P,Q}$, $A \notin PQ \cup PR \cup QR$}
|
|
|
+ \label{fig:geometry-1}
|
|
|
+ \end{figure}
|
|
|
+
|
|
|
+ Ist $R \notin AB$, so ist $AB \cap \overline{PR} \neq \emptyset$
|
|
|
+ oder $AB \in \overline{RQ} \neq \emptyset$ nach \cref{satz:pasch}.
|
|
|
+ Der Schnittpunkt $C$ ist dann Fixpunkt von $\varphi'$
|
|
|
+ nach \cref{kor:beh2'} $\Rightarrow \varphi(A) = A$.
|
|
|
+ \end{enumerate}
|
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
|
|
\begin{bemerkung}
|
|
|
@@ -380,62 +371,9 @@ schneiden sich.
|
|
|
wie man sie aus der Schule kennt, beweisen.
|
|
|
\end{bemerkung}
|
|
|
|
|
|
-\begin{proposition}\label{prop:14.7}%In Vorlesung: Proposition 14.7
|
|
|
- Sei $(X, d, G)$ eine Geometrie mit den Axiomen \ref{axiom:1}~-~\ref{axiom:4}.
|
|
|
-
|
|
|
- Dann gibt es zu jedem $g \in G$ und jedem $P \in X \setminus g$ ein
|
|
|
- $h \in G$ mit $P \in h$ und $g \cap h = \emptyset$.
|
|
|
-\end{proposition}
|
|
|
-
|
|
|
-\begin{figure}[htp]
|
|
|
- \centering
|
|
|
- \input{figures/geometry-6.tex}
|
|
|
- \caption{Situation aus \cref{prop:14.7}}
|
|
|
- \label{fig:geometry-6}
|
|
|
-\end{figure}
|
|
|
-
|
|
|
-\begin{beweis}
|
|
|
- Sei $f \in G$ mit $P \in f$. Ist $f \cap g = \emptyset$, so setze
|
|
|
- $h := f$. Andernfalls sei $\Set{Q} : = f \cap g$.
|
|
|
-
|
|
|
- Sei $\varphi$ die eindeutige Isometrie mit $\varphi(Q) = P$,
|
|
|
- $\varphi(P) = P'$, die die Halbebenen bzgl. $f$ nicht vertauscht.
|
|
|
-
|
|
|
- Setze $h := \varphi(g)$.
|
|
|
-
|
|
|
- \underline{Z.~Z.:} $h \cap g = \emptyset$.
|
|
|
-
|
|
|
- Andernfalls sei $\Set{R} = h \cap g$.
|
|
|
-\end{beweis}
|
|
|
-
|
|
|
-\begin{bemerkung}
|
|
|
- Jeder Innenwinkel eines Dreiecks ist kleiner als alle nicht-anliegenden
|
|
|
- Außenwinkel.
|
|
|
-\end{bemerkung}
|
|
|
-
|
|
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
|
% Mitschrieb vom 16.01.2014 %
|
|
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
|
-\begin{beweis}
|
|
|
- Sei $\varphi$ die Isometrie, die $Q$ auf $P$ und $P$ auf $P'$
|
|
|
- mit $P' \in f, d(P,P') = d(P, Q)$ abbildet und die Halbebenen
|
|
|
- bzgl. $f$ erhält.
|
|
|
-\end{beweis}
|
|
|
-
|
|
|
-\begin{behauptung}[Herz]\label{beh:herz}
|
|
|
- $\varphi(g) \cap g = \emptyset$
|
|
|
-\end{behauptung}
|
|
|
-
|
|
|
-\begin{beweis}
|
|
|
- Ist $\varphi(g) \cap g \neq \emptyset$, so ist $R$ der Schnittpunkt.
|
|
|
-\end{beweis}
|
|
|
-
|
|
|
-\begin{figure}[htp]
|
|
|
- \centering
|
|
|
- \input{figures/geometry-7.tex}
|
|
|
- \caption{Skizze zu \cref{beh:herz}}
|
|
|
- \label{fig:geometry-7}
|
|
|
-\end{figure}
|
|
|
|
|
|
\begin{definition}\label{def:14.8}%In Vorlesung: 14.8
|
|
|
\begin{defenum}
|
|
|
@@ -474,19 +412,28 @@ schneiden sich.
|
|
|
anliegende Außenwinkel.
|
|
|
\end{bemerkung}
|
|
|
|
|
|
-\begin{figure}[htp]
|
|
|
- \centering
|
|
|
- \input{figures/geometry-9.tex}
|
|
|
- \caption{Situation aus \cref{bem:14.9}}
|
|
|
- \label{fig:bem:14.9}
|
|
|
-\end{figure}
|
|
|
-
|
|
|
\begin{beweis}
|
|
|
Zeige $\angle PRQ < \angle RQP'$.
|
|
|
|
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|
Sei $M$ der Mittelpunkt der Strecke $\overline{QR}$. Sei
|
|
|
$A \in MP^-$ mit $d(P,M) = d(M,A)$.
|
|
|
|
|
|
+
|
|
|
+ \begin{figure}[ht]
|
|
|
+ \centering
|
|
|
+ \subfloat[Parallelogramm AQPR]{
|
|
|
+ \input{figures/geometry-9.tex}
|
|
|
+ \label{fig:bem:14.9}
|
|
|
+ }%
|
|
|
+ \subfloat[Innen- und Außenwinkel von $\triangle PQR$]{
|
|
|
+ \input{figures/geometry-7.tex}
|
|
|
+ \label{fig:geometry-7}
|
|
|
+ }%
|
|
|
+
|
|
|
+ \label{fig:formen}
|
|
|
+ \caption{Situation aus \cref{bem:14.9}}
|
|
|
+ \end{figure}
|
|
|
+
|
|
|
Es gilt: $d(Q,M) = d(M,R)$ und $d(P,M) = d(M,A)$ sowie
|
|
|
$\angle PMR = \angle AMQ \Rightarrow \triangle MRQ$ ist
|
|
|
kongruent zu $\triangle AMQ$, denn eine der beiden Isometrien, die
|
|
|
@@ -499,11 +446,33 @@ schneiden sich.
|
|
|
selben Halbebene bzgl. $PQ$ wie $M$.
|
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
|
|
+\begin{proposition}[Existenz der Parallelen]\label{prop:14.7}%In Vorlesung: Proposition 14.7
|
|
|
+ Sei $(X, d, G)$ eine Geometrie mit den Axiomen \ref{axiom:1}~-~\ref{axiom:4}.
|
|
|
+
|
|
|
+ Dann gibt es zu jeder Geraden $g \in G$ und jedem Punkt $P \in X \setminus g$
|
|
|
+ mindestens eine Parallele $h \in G$ mit $P \in h$ und $g \cap h = \emptyset$.
|
|
|
+\end{proposition}
|
|
|
+
|
|
|
+\begin{figure}[htp]
|
|
|
+ \centering
|
|
|
+ \input{figures/geometry-6.tex}
|
|
|
+ \caption{Situation aus \cref{prop:14.7}}
|
|
|
+ \label{fig:geometry-6}
|
|
|
+\end{figure}
|
|
|
+
|
|
|
\begin{beweis}[von \cref{prop:14.7}]
|
|
|
- Wäre $\varphi(g)$ nicht parallel zu $g$, so gäbe es einen
|
|
|
- Schnittpunkt $R$. Dann ist $\angle QPR < \angle RQP^-$ nach
|
|
|
+ Seien $P, Q, R \in X$ mit $P, Q \in f \in G$.
|
|
|
+
|
|
|
+ Sei $\varphi$ die Isometrie, die $Q$ auf $P$ und $P$ auf $P' \in f$
|
|
|
+ mit $d(P,P') = d(P, Q)$ abbildet und die Halbebenen bzgl. $f$ erhält.
|
|
|
+
|
|
|
+ \underline{Annahme:} $\varphi(g) \cap g \neq \emptyset$\\
|
|
|
+ $\Rightarrow$ Es gibt einen Schnittpunkt $\Set{R} = \varphi(g) \cap g$.\\
|
|
|
+ Dann ist $\angle QPR < \angle RQP^-$ nach
|
|
|
\cref{bem:14.9} und $\angle QPR = \angle RQP^-$, weil
|
|
|
- $\varphi(\angle RQP') = \angle RPQ$
|
|
|
+ $\varphi(\angle RQP') = \angle RPQ$.\\
|
|
|
+ $\Rightarrow$ Widerspruch\\
|
|
|
+ $\Rightarrow \varphi(g) \cap g = \emptyset$
|
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
|
|
\begin{folgerung}\label{folgerung:14.10}%In Vorlesung: Folgerung 14.10
|
|
|
@@ -667,7 +636,7 @@ Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist $\nicefrac{1}{2} \cdot \text{Grundseite} \
|
|
|
\label{fig:flaechenberechnung-dreieck-2}
|
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
|
|
-$\overset{\text{Strahlensatz}}{\Rightarrow} \frac{a}{h_c} = \frac{c}{h_a} \rightarrow a \cdot h_a = c \cdot h_c$
|
|
|
+$\xRightarrow{\text{Strahlensatz}} \frac{a}{h_c} = \frac{c}{h_a} \rightarrow a \cdot h_a = c \cdot h_c$
|
|
|
|
|
|
\begin{satz}[Satz des Pythagoras]
|
|
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Im rechtwinkligen Dreieck gilt $a^2 + b^2 = c^2$, wobei $c$ die
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Martin Thoma