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documents/GeoTopo/Arbeitszeit.txt

@@ -12,4 +12,4 @@ Datum      | Uhrzeit
 16.12.2013 | 15:00 - 15:30
 17.12.2013 | 07:30 - 07:45, 14:30 - 15:40, 16:30 - 18:00, 22:00 - 23:00
 20.12.2013 | 09:00 - 09:15
-22.12.2013 | 14:00 - 14:45
+22.12.2013 | 14:00 - 14:45, 17:00 - 18:20

documents/GeoTopo/Kapitel1-UB.tex

@@ -36,8 +36,8 @@
 
 \begin{aufgabe}[Kompaktheit]\label{ub3:aufg1}
     \begin{enumerate}[label=(\alph*)]
-        \item Ist $\text{GL}_n(\mdr) = \Set{A \in \mdr^{n \times n} | \det(A) \neq 0}$ kompakt?
-        \item Ist $\text{SL}_n(\mdr) = \Set{A \in \mdr^{n \times n} | \det(A) = 1}$ kompakt?
+        \item Ist $\GL_n(\mdr) = \Set{A \in \mdr^{n \times n} | \det(A) \neq 0}$ kompakt?
+        \item Ist $\SL_n(\mdr) = \Set{A \in \mdr^{n \times n} | \det(A) = 1}$ kompakt?
         \item Ist $\praum(\mdr)$ kompakt?
     \end{enumerate}
 \end{aufgabe}

documents/GeoTopo/Kapitel1.tex

@@ -21,7 +21,7 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
 
 \begin{korollar}[Mengen, die offen und abgeschlossen sind, existieren]
     Betrachte $\emptyset$ und $X$ mit der \enquote{trivialen Topologie}
-    \xindex{Topologie!triviale}\index{Klumpentopologie|see{triviale Topologie}} $\fT_\text{triv} = \Set{\emptyset, X}$.
+    \xindex{Topologie!triviale}\index{Klumpentopologie|see{triviale Topologie}} $\fT_{\ts{triv}} = \Set{\emptyset, X}$.
 
     Es gilt: $X \in \fT$ und $\emptyset \in \fT$, d.~h. $X$ und $\emptyset$
     sind offen. Außerdem $X^C = X \setminus X = \emptyset \in \fT$
@@ -33,8 +33,8 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
     \begin{enumerate}[label=\arabic*)]
         \item $X = \mdr^n$ mit der euklidischen Metrik. \xindex{Topologie!euklidische}
               \begin{align*}
-                U \subseteq \mdr^n \text{ offen} \gdw &\text{ für jedes } x \in U \text{ gibt es } r > 0,\\
-                                                      &\text{ sodass } \fB_r(x) = \Set{y \in \mdr^n | d(x,y) < r} \subseteq U
+                U \subseteq \mdr^n \text{ offen} \gdw &\text{ für jedes $x \in U$ gibt es $r > 0$,}\\
+                                                      &\text{ sodass $\fB_r(x) = \Set{y \in \mdr^n | d(x,y) < r} \subseteq U$}
               \end{align*}
               Also: $\fT = \Set{M \subseteq X | M \text{ ist offene Kugel}}$. 
               Diese Topolgie wird auch \enquote{Standardtopologie des $\mdr^n$}\xindex{Standardtopologie} genannt.
@@ -310,7 +310,7 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
         \item $f$ heißt \textbf{Homöomorphismus}\xindex{Homöomorphismus}, wenn $f$ stetig ist
               und es eine 
               stetige Abbildung  $g: Y \rightarrow X$ gibt, sodass
-              $g \circ f = \text{id}_X$ und $f \circ g = \text{id}_Y$.
+              $g \circ f = \id_X$ und $f \circ g = \id_Y$.
     \end{enumerate}
 \end{definition}
 
@@ -357,7 +357,7 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
 
 \begin{beispiel}
     \begin{enumerate}[label=\arabic*)]
-        \item Für jeden topologischen Raum $X$ gilt: $\text{Id}_X : X \rightarrow X$
+        \item Für jeden topologischen Raum $X$ gilt: $\id_X : X \rightarrow X$
               ist Homöomorphismus.
         \item Ist $Y$ trivialer topologischer Raum, d.~h. $\fT = \fT_\text{triv}$,
               so ist jede Abbildung $f:X \rightarrow Y$ stetig.
@@ -406,7 +406,7 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
               eine Gruppe.\xindex{Homöomorphismengruppe}
         \item Jede Isometrie $f:X \rightarrow Y$ zwischen metrischen 
               Räumen ist ein Homöomorphismus.
-        \item $\text{Isom}(X) := \Set{f:X \rightarrow X | f \text{ ist Isometrie}}$ ist
+        \item $\Iso(X) := \Set{f:X \rightarrow X | f \text{ ist Isometrie}}$ ist
               eine Untergruppe von $\text{Homöo}(X)$ für jeden
               metrischen Raum $X$.
     \end{enumerate}
@@ -936,7 +936,7 @@ $\qed$
         \centering
         \subfloat[Trivialer Knoten]{
             \includegraphics[width=0.2\linewidth, keepaspectratio]{figures/blue-unknot.png} 
-            \label{fig:knot-trefoil}
+            \label{fig:knot-unknot}
         }%
         \subfloat[Kleeblattknoten]{
             \includegraphics[width=0.2\linewidth, keepaspectratio]{figures/blue-trefoil-knot.png} 
@@ -944,7 +944,7 @@ $\qed$
         }%
         \subfloat[Achterknoten]{
             \includegraphics[width=0.2\linewidth, keepaspectratio]{figures/blue-eight-knot.png} 
-            \label{fig:knot-trefoil}
+            \label{fig:knot-eight-knot}
         }%
         \subfloat[$6_2$-Knoten]{
             \includegraphics[width=0.2\linewidth, keepaspectratio]{figures/blue-6-2-knot.png} 

documents/GeoTopo/Kapitel2.tex

@@ -162,7 +162,7 @@ U_i = \Set{(x_0: \dots : x_n) \in \praum^n(\mdr) | x_i \neq 0} &\rightarrow \mdr
     Dann gilt:
     \begin{enumerate}[label=\alph*),ref=\theplaindefinition.\alph*]
         \item $X$ ist abgeschlossen in $\mdr^n$
-        \item Ist $\text{grad}(F)(X) \neq 0 \;\;\;\forall{x \in X}$, so ist
+        \item Ist $\grad(F)(X) \neq 0 \;\;\;\forall{x \in X}$, so ist
               $X$ eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.  \label{Mannigfaltigkeitskriterium}
     \end{enumerate}
 \end{korollar}
@@ -174,7 +174,7 @@ U_i = \Set{(x_0: \dots : x_n) \in \praum^n(\mdr) | x_i \neq 0} &\rightarrow \mdr
               mit $\varepsilon = \frac{1}{2} \|F(y)\|$. Folgt
               $\fB_\delta(y) \cap V(F) = \emptyset \Rightarrow \mdr^n \setminus V(F)$
               ist offen.
-        \item Sei $x \in X$ mit $\text{grad}(F)(x) \neq 0$, also
+        \item Sei $x \in X$ mit $\grad(F)(x) \neq 0$, also
               \obda $\frac{\partial F}{\partial X_1} (x) \neq 0$,
               $x = (x_1, \dots, x_n)$, $x' := (x_2, \dots, x_n) \in \mdr^{n-1}$.
               Der Satz von der impliziten Funktion liefert nun:
@@ -190,7 +190,7 @@ U_i = \Set{(x_0: \dots : x_n) \in \praum^n(\mdr) | x_i \neq 0} &\rightarrow \mdr
 \begin{beispiel}\xindex{Neilsche Parabel}
     \begin{enumerate}[label=\alph*)]
         \item $F: \mdr^3 \rightarrow \mdr,\;\;\; (x, y, z) \mapsto x^2 + y^2 + z^2 - 1$,
-              $V(F) = S^2$, $\text{grad}(F) = (2x, 2y, 2z) \xRightarrow{\ref{Mannigfaltigkeitskriterium}} S^n$
+              $V(F) = S^2$, $\grad(F) = (2x, 2y, 2z) \xRightarrow{\ref{Mannigfaltigkeitskriterium}} S^n$
               ist $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit in $\mdr^{n+1}$
         \item $F: \mdr^2 \rightarrow \mdr, \;\;\; (x,y) \mapsto y^2 - x^3$
             \begin{figure}[ht]
@@ -206,7 +206,7 @@ U_i = \Set{(x_0: \dots : x_n) \in \praum^n(\mdr) | x_i \neq 0} &\rightarrow \mdr
                 \label{Neilsche-Parabel}
                 \caption{Rechts ist die Neilsche Parabel für verschiedene Parameter $a$.}
             \end{figure}
-              Es gilt: $\text{grad}(F) = (-3x^2, 2y)$. Also: $\text{grad}(0,0) = (0,0)$.
+              Es gilt: $\grad(F) = (-3x^2, 2y)$. Also: $\grad(0,0) = (0,0)$.
               Daher ist Korollar \ref{Mannigfaltigkeitskriterium}
               nicht anwendbar, aber $V(F)$ ist trotzdem
               eine 1-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit.
@@ -328,8 +328,8 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
         \item $f$ heißt \textbf{Diffeomorphismus}\xindex{Diffeomorphismus},
               wenn $f$ differenzierbar von Klasse $C^\infty$ ist und
               es eine differenzierbare Abbildung $g: Y \rightarrow X$
-              von Klasse $C^\infty$ gibt mit $g \circ f = \text{id}_X$
-              und $f \circ g = \text{id}_Y$.
+              von Klasse $C^\infty$ gibt mit $g \circ f = \id_X$
+              und $f \circ g = \id_Y$.
     \end{enumerate}
 \end{definition}
 
@@ -352,7 +352,7 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
 \begin{beispiel}
     $f: \mdr \rightarrow \mdr, \;\;\; x \mapsto x^3$ ist kein
     Diffeomorphismis, aber Homöomorphismus, da mit $g(x) := \sqrt[3]{x}$
-    gilt: $f \circ g = \text{id}_\mdr, \;\;\; g \circ f = \text{id}_\text{\mdr}$
+    gilt: $f \circ g = \id_\mdr, \;\;\; g \circ f = \id_\text{\mdr}$
 \end{beispiel}
 
 \begin{bemerkung}
@@ -401,7 +401,7 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
                     \includegraphics[width=0.8\linewidth, keepaspectratio]{figures/sin-cos.pdf}
                     \label{fig:sin-cos}
                 }%
-                \label{Formen}
+                \label{fig:example-image-gallery-1}
                 %\caption{}
             \end{figure}
 
@@ -510,7 +510,7 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
 \begin{beispiel}
     \begin{enumerate}[label=\arabic*)]
         \item Alle endlichen Gruppen sind 0-dimensionale Lie-Gruppen.
-        \item $\text{GL}_n(\mdr)$
+        \item $\GL_n(\mdr)$
         \item $(\mdr^\times, \cdot)$
         \item $(\mdr_{>0}, \cdot)$
         \item $(\mdr^n, +)$, denn $A \cdot B (i,j) = \sum_{k=1}^n a_{ik} b_{kj}$ ist
@@ -528,9 +528,9 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
 
             $\det A_{ij}$ kann $0$ werden, da:
             \[\begin{pmatrix}1 & 1\\-1&0\end{pmatrix}\]
-        \item $\text{SL}_n(\mdr) = \Set{A \in \text{GL}_n(\mdr) | \text{det}(A) = 1} $ \todo{Besser strukturieren}
+        \item $\SL_n(\mdr) = \Set{A \in \GL_n(\mdr) | \text{det}(A) = 1} $ \todo{Besser strukturieren}
 
-              $\text{grad}(\det-1)(A) = 0$?
+              $\grad(\det-1)(A) = 0$?
 
               $\frac{\partial}{\partial a_{11}} (\det -1) = 1 \cdot \det A_{11}$
 
@@ -727,7 +727,7 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
     definiert ein $k$-Simplex.\\
     $\Rightarrow a_k(\Delta^n) = \binom{n+1}{k+1}, \;\;\; k = 0, \dots, n$\\
     $\Rightarrow \chi(\Delta^n) = \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n+1}{k+1}$\\
-    $f(x) = (x+1)^{n+1} \stackrel{\substack{\tiny\text{Binomischer}\\\text{Lehrsatz}}}{=} \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} x^k$\\
+    $f(x) = (x+1)^{n+1} \stackrel{\substack{\text{\tiny{Binomischer}}\\\text{\tiny{Lehrsatz}}}}{=} \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} x^k$\\
     $\Rightarrow 0 = \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} (-1)^k = \chi(\Delta^n) -1$\\
     $\Rightarrow \chi(\Delta^n) = 1 \qed$
 \end{beweis}

documents/GeoTopo/Kapitel3.tex

@@ -14,7 +14,7 @@
         \input{figures/topology-non-homotop-paths.tex}
         \label{fig:nicht-homotope-wege-anschaulich}
     }
-    \label{Formen}
+    \label{fig:paths-homotop-example-counterexample}
     \caption{Beispiele für Wege $\gamma_1$ und $\gamma_2$}
 \end{figure}
 
@@ -75,7 +75,7 @@
                 \centering
                 \input{figures/topology-paths-in-r2.tex}
                 \caption{Zwei Wege im $\mdr^2$ mit Anfangs- und Enpunkt $(0,0)$}
-                \label{fig:torus-three-paths}
+                \label{fig:paths-from-origin}
               \end{figure}
 
               Sei $\gamma_0: I \rightarrow \mdr^2$ der konstante Weg
@@ -97,7 +97,7 @@
             \includegraphics[width=0.45\linewidth, keepaspectratio]{figures/torus-three-paths.pdf}
             \label{fig:torus-three-paths}
         }%
-        \label{Formen}
+        \label{fig:homotop-paths}
         \caption{Beispiele für (nicht)-homotopie von Wegen}
     \end{figure}
 \end{beispiel}
@@ -338,10 +338,10 @@ Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Hom
 
 \begin{beweis}
     Sei $g: Y \rightarrow X$ die Umkehrabbildung, d.~h. $g$ ist stetig
-    und $f \circ g = \text{id}_Y$, $g \circ f = \text{id}_X$
+    und $f \circ g = \id_Y$, $g \circ f = \id_X$
 
-    $\Rightarrow f_* \circ g_* = (f \circ g)_* = (\text{id}_Y)_* = \text{id}_{\pi_1 (Y, f(X)}$
-    und $g_* \circ f_* = \text{id}_{\pi_1(X,x)}$.
+    $\Rightarrow f_* \circ g_* = (f \circ g)_* = (\id_Y)_* = \id_{\pi_1 (Y, f(X)}$
+    und $g_* \circ f_* = \id_{\pi_1(X,x)}$.
 \end{beweis}
 
 \begin{definition}\xindex{Abbildung!homotope}
@@ -369,18 +369,18 @@ Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Hom
 \end{beweis}
 
 \begin{beispiel}
-    $f:X \rightarrow Y, g: Y \rightarrow X$ mit $g \circ f \sim \text{id}_X,$
-    $f \circ g \sim \text{id}_Y$
+    $f:X \rightarrow Y, g: Y \rightarrow X$ mit $g \circ f \sim \id_X,$
+    $f \circ g \sim \id_Y$
 
     $\Rightarrow f_*$ ist Isomorphismus. Konkret: $f: \mdr^2 \rightarrow \Set{0},$
     $g:\Set{0} \rightarrow \mdr^2$
 
-    $\Rightarrow f \circ g = \text{id}_{\Set{0}}$, $g \circ f: \mdr^2 \rightarrow \mdr^2$,
+    $\Rightarrow f \circ g = \id_{\Set{0}}$, $g \circ f: \mdr^2 \rightarrow \mdr^2$,
     $x \mapsto 0$ für alle $x$.
 
-    $g \circ f \sim \text{id}_{\mdr^2}$ mit Homotopie: $H: \mdr^2 \times I \rightarrow \mdr^2, H(x,S) = (1-s) x$ (stetig!)
+    $g \circ f \sim \id_{\mdr^2}$ mit Homotopie: $H: \mdr^2 \times I \rightarrow \mdr^2, H(x,S) = (1-s) x$ (stetig!)
 
-    $\Rightarrow H(X,0) = X = \text{id}_{\mdr^2} (X), H(X, 1) = 0, H(0, s) = 0$ für alle $s \in I$
+    $\Rightarrow H(X,0) = X = \id_{\mdr^2} (X), H(X, 1) = 0, H(0, s) = 0$ für alle $s \in I$
 \end{beispiel}
 
 \begin{satz}[Satz von Seifert und van Kampen \enquote{light}]\label{thm:seifert-van-kampen}
@@ -466,7 +466,7 @@ Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Hom
             \resizebox{0.3\linewidth}{!}{\input{figures/topology-ueberlagerung.tex}}
             \label{fig:liftung-s1-s1}
         }%
-        \label{Formen}
+        \label{fig:ueberlagerungen}
         \caption{Beispiele für Überlagerungen}
     \end{figure}
 \end{beispiel}
@@ -822,9 +822,9 @@ $p|V_j: V_j \rightarrow U$ Homöomorphismus.
     Also ist $g \circ f: \tilde{X} \rightarrow \tilde{X}$ Lift von 
     $p:\tilde{X} \rightarrow X$ mit $(g \circ f) (\tilde{x_0}) = \tilde{x_0}$.
 
-    Da auch $\text{id}_{\tilde{x}}$ diese Eigenschaft hat, folgt mit
-    Korollar~\ref{kor:12.4}: $g \circ f = \text{id}_{\tilde{X}}$.
-    Analog $f \circ g = \text{id}_{\tilde{Y}}$. $\qed$
+    Da auch $\id_{\tilde{x}}$ diese Eigenschaft hat, folgt mit
+    Korollar~\ref{kor:12.4}: $g \circ f = \id_{\tilde{X}}$.
+    Analog $f \circ g = \id_{\tilde{Y}}$. $\qed$
 \end{beweis}
 
 Die Frage, wann es eine universelle Überlagerung gibt, beantwortet
@@ -877,7 +877,7 @@ der folgende Satz:
 
     $f$ heißt \textbf{Decktransformation} von $p :\gdw p \circ f = p$.
 
-    Ist $p$ eine Decktransformation und $|\text{Deck}(Y/X)| = \deg{p}$,
+    Ist $p$ eine Decktransformation und $|\Deck(Y/X)| = \deg{p}$,
     so heißt $p$ \textbf{regulär}.\xindex{Decktransformation!reguläre}
 \end{definition}
 
@@ -885,12 +885,12 @@ der folgende Satz:
     \begin{enumerate}[label=\alph*),ref=\theplaindefinition.\alph*]
         \item Die Decktransformationen von $p$ bilden eine Gruppe, 
               die sog. \textbf{Decktransformationsgruppe}\xindex{Decktransformationsgruppe}
-              $\text{Deck}(p) = \text{Deck}(Y/X) = \text{Deck}(Y \rightarrow X)$
-        \item Ist $f \in \text{Deck}(Y/X)$ und $f \neq \id$, dann hat
+              $\Deck(p) = \Deck(Y/X) = \Deck(Y \rightarrow X)$
+        \item Ist $f \in \Deck(Y/X)$ und $f \neq \id$, dann hat
               $f$ keinen Fixpunkt.
-        \item $|\text{Deck}(Y/X)| \leq \deg{p}$\label{kor:12.14c}
+        \item $|\Deck(Y/X)| \leq \deg{p}$\label{kor:12.14c}
         \item Ist $p$ eine reguläre Decktransformation, dann gilt:
-              $\forall x \in X: \text{Deck}(Y/X)$ operiert transitiv
+              $\forall x \in X: \Deck(Y/X)$ operiert transitiv
               auf der Menge der Urbilder $p^{-1}(x)$.
     \end{enumerate}
 \end{korollar}

documents/GeoTopo/Symbolverzeichnis.tex

@@ -35,7 +35,7 @@ $\mdp\;\;\;$ Primzahlen ($2, 3, 5, 7, \dots$)\\
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \section*{Gruppen}
 $\text{Homöo}(X)\;\;\;$ Homöomorphismengruppe\\
-$\text{Iso}(X)\;\;\;$ Isometriengruppe\\
+$\Iso(X)\;\;\;$ Isometriengruppe\\
 $\GL_n(K)\;\;\;$ Allgemeine lineare Gruppe (general linear group)\\
 
 \end{minipage}

documents/GeoTopo/shortcuts.sty

@@ -68,13 +68,17 @@
 \DeclareMathOperator{\rang}{rg}
 
 \def\GL{\ensuremath{\mathrm{GL}}}
+\def\SL{\ensuremath{\mathrm{SL}}}
 \newcommand\mapsfrom{\mathrel{\reflectbox{\ensuremath{\mapsto}}}}
 \newcommand\dcup{\mathbin{\dot{\cup}}}
-\DeclareMathOperator{\id}{id}
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