Viele kleine Nachträge

documents/Numerik/Klausur2/Aufgabe3.tex

@@ -33,7 +33,13 @@ Anmerkung: Es ist nicht notwendig die Monomdarstellung zu berechnen.
 In diesem Fall hat es jedoch das Endergebnis stark vereinfacht.
 
 \subsection*{Teilaufgabe b)}
-Zunächst die dividierten Differenzen berechnen:
+Für die Berechnung der dividierten Differenzen gilt allgemein:
+
+\begin{align}
+    f[x_i, \dots, x_{i+k}] = \frac{f[x_i, \dots x_{(i+k)-1}] - f[x_{i+1}, \dots x_{i+k}]}{x_i - x_{i+k}}
+\end{align}
+
+In diesem Fall bedeutet das konkret:
 \begin{align}
 	f[x_0] &= 7,           &f[x_1] &= 1,       & f[x_2] &= -1,     & f[x_3] = 7\\
 	f[x_0, x_1] &= -6,     &f[x_1, x_2] &= -2, &f[x_2, x_3] &= 8\\
@@ -43,6 +49,7 @@ Zunächst die dividierten Differenzen berechnen:
 
 Insgesamt ergibt sich also
 \begin{align}
-	p(x) &= 7 - (x+1) \cdot 6 + (x+1) \cdot x \cdot 2 + (x+1) \cdot x \cdot (x-1)
+	p(x) &= 7 + (x-\underbrace{(-1)}_{x_0}) \cdot (-6) + (x-\underbrace{(-1)}_{x_0}) \cdot (x-\underbrace{(0)}_{x_1}) \cdot 2 + (x+1) \cdot x \cdot (x-1)
 \end{align}
 
+(Siehe erste Spalte mit $x_0$)

documents/Numerik/Klausur2/Aufgabe4.tex

@@ -44,4 +44,4 @@ $\sum_{l=0}^{N-1} f(a + \frac{1}{2} \cdot h + l \cdot h)$ sind die jeweiligen
 mittleren Knoten der Intervalle. Davon gibt es $N$ Stück.
 
 \subsection*{Teilaufgabe c)}
-TODO
+Diese Aufgabe ist nicht relevant, da Matlab nicht Klausurrelevant ist.

documents/Numerik/Klausur5/Aufgabe3.tex

@@ -3,14 +3,22 @@
 relativer Fehler:
 
 \begin{align}
-	\frac{ | \frac{x}{y} - \frac{x \cdot (1 + \epsilon_x)}{y \cdot (1 + \epsilon_y}|}{|\frac{x}{y}|}
-	= \ldots = |\frac{\epsilon_y - \epsilon_x }{1 + \epsilon_y} |
-	\le \frac{|\epsilon_y | + | \epsilon_x |}{|1 + \epsilon_y|} \le \frac{2 \cdot \text{eps}}{|1 + \epsilon_y|} 
+	\frac{ | \frac{x}{y} - \frac{x \cdot (1 + \varepsilon_x)}{y \cdot (1 + \varepsilon_y)}|}{|\frac{x}{y}|}
+	&= \frac{| \frac{x(1+\varepsilon_y) - x (1+\varepsilon_x)}{y(1+\varepsilon_y)} |}{|\frac{x}{y}|} \\
+	&= \frac{| \frac{x(\varepsilon_y-\varepsilon_x)}{y(1+\varepsilon_y)} |}{|\frac{x}{y}|} \\
+    &= \left |\frac{\varepsilon_y - \epsilon_x }{1 + \varepsilon_y} \right |\\
+	&\le \frac{|\varepsilon_y | + | \varepsilon_x |}{|1 + \varepsilon_y|} \le \frac{2 \cdot \text{eps}}{|1 + \varepsilon_y|} \\
+    &\approx 2 \cdot \text{eps}
 \end{align}
 
 Der letzte Ausdruck ist ungefähr gleich $2 \cdot \text{eps}$, da $1 + \epsilon_y$ ungefähr gleich $1$ ist.
-Also: Der relative Fehler kann sich maximal verdoppeln.
+
+Der relative Fehler kann sich also maximal verdoppeln.
 
 \subsection*{Teilaufgabe ii}
 Die zweite Formel ist vorzuziehen, also $f(x) = -\ln (x + \sqrt{x^2-1})$, da es bei Subtraktion zweier annähernd gleich-großer Zahlen zur Stellenauslöschung kommt. Bei der ersten Formel, also $f(x) = \ln (x - \sqrt{x^2-1})$, tritt genau dieses Problem auf: $x$ und $\sqrt{x^2-1}$ sind für große $x$ ungefähr gleich groß. \\
 Bei der zweiten Formel tritt das Problem nicht auf: $x$ ist positiv und $\sqrt{x^2 - 1}$ auch, also gibt es in dem Ausdruck keine Subtraktion zweier annähernd gleich-großer Zahlen.
+
+Außerdem ändert sich $\ln(x)$ stärker, je näher $x$ bei 0 ist. Es ist
+also auch wegen der Ungenauigkeit der Berechnung des $\ln$ besser,
+weiter von $0$ entfernt zu sein.

documents/Numerik/Klausur5/Aufgabe4.tex

@@ -1,2 +1,9 @@
 \section*{Aufgabe 4}
 TODO
+
+\begin{itemize}
+    \item Klausur 3, Aufgabe 3 ist ähnlich
+    \item Klausur 4, Aufgabe 3 ist ähnlich
+    \item Klausur 5, Aufgabe 4 ist ähnlich
+    \item Klausur 6, Aufgabe 3 ist ähnlich
+\end{itemize}

documents/Numerik/Klausur5/Aufgabe5.tex

@@ -1,2 +1,38 @@
 \section*{Aufgabe 5}
-TODO
+\subsection*{Aufgabe}
+Bestimme alle Quadraturformeln mit $s=3$ und Knoten
+$0 = c_1 < c_2, c_3$ und Ordnung $p \geq 4$.
+
+Schreiben Sie ein Programm in Pseudocode, welches zu vorgegebenem
+$c_2$ den Knoten $c_3$ und die Gewichte $b_i$ möglichst effizient 
+berechnet.
+
+Wie viele symmetrische Quadraturformeln gibt es mit diesen Eigneschaften?
+
+\subsection*{Lösung}
+Da $c_1 = 0$ kann es keine Gauß-Quadraturformel sein. Daher kann 
+die Ordnung nicht $2 \cdot s = 6$ sein. Interessant sind also 
+\begin{itemize}
+    \item[(A)] Symmetrische Quadraturformeln der Ordnung 4
+    \item[(B)] Unsymmetrische Quadraturformeln der Ordnung 4
+    \item[(C)] Unsymmetrische Quadraturformeln der Ordnung 5
+\end{itemize}
+
+Die Simpson-Regel mit $c_1 = 0, c_2 = \frac{1}{2}$ und $c_3 = 1$
+mit $b_1 = b_3 = \frac{1}{6}$ und $b_2 = \frac{4}{6}$ ist die einzige
+symmetrische Quadraturformel in (A).
+
+Für (B) müssen die Ordnungsbedingungen gelten:
+\begin{align}
+    \nicefrac{1}{1} &\stackrel{!}{=} b_1 + b_2 + b_3\\
+    \nicefrac{1}{2} &\stackrel{!}{=} b_2 \cdot c_2 + b_3 c_3\\
+    \nicefrac{1}{3} &\stackrel{!}{=} b_2 \cdot c_2^2 + b_3 c_3^2\\
+    \nicefrac{1}{4} &\stackrel{!}{=} b_2 \cdot c_2^3 + b_3 c_3^3
+\end{align}
+
+Für (C) muss zusätzlich gelten:
+\begin{align}
+    \nicefrac{1}{5} &\stackrel{!}{=} b_2 \cdot c_2^4 + b_3 c_3^4
+\end{align}
+
+TODO: Und weiter?

documents/Numerik/Klausur5/Klausur5.tex

@@ -43,7 +43,7 @@
 \begin{document}
 	\input{Aufgabe1}
 	\input{Aufgabe2}\clearpage
-	\input{Aufgabe3}
+	\input{Aufgabe3}\clearpage
 	\input{Aufgabe4}
 	\input{Aufgabe5}
 \end{document}