aufgabe hinzugefügt

presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/Graphentheorie-I.tex

@@ -12,7 +12,7 @@
 \frame{\titlepage}
 
 \frame{
-    \frametitle{Contents}
+    \frametitle{Inhalte}
     \setcounter{tocdepth}{1}
     \tableofcontents
     \setcounter{tocdepth}{2}
@@ -28,6 +28,9 @@
 \section{Spezielle Graphen}
 \input{Spezielle-Graphen}
 
+\section{Strukturen in Graphen}
+\input{Strukturen}
+
 \section{Königsberger Brückenproblem}
 \input{Koenigsberger-Brueckenproblem}
 

presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/Grundlagen.tex

@@ -34,6 +34,27 @@ Kantenmenge bezeichnet.
 \end{center}
 \end{frame}
 
+\begin{frame}{Aufgabe 1}
+Zeichnen Sie alle Graphen mit genau vier Ecken.
+
+\only<2>{
+    \begin{gallery}
+        \galleryimage{aufgabe-1/graph-8}    % vier einzelne Punkte
+        \galleryimage{aufgabe-1/graph-7}    % nur eine Kante
+        \galleryimage{aufgabe-1/graph-6}    % zwei Kanten
+        \galleryimage{aufgabe-1/graph-11}   % zwei Kanten -------------
+        \galleryimage{aufgabe-1/graph-12}   % drei Kanten: umgedrehtes u
+        \galleryimage{aufgabe-1/graph-5}    % drei Kanten
+        \galleryimage[red]{aufgabe-1/graph-4}    % drei Kanten: 
+        \galleryimage{aufgabe-1/graph-10}   % vier Kanten: Viereck
+        \galleryimage[red]{aufgabe-1/graph-2}
+        \galleryimage{aufgabe-1/graph-3}    % vier Kanten: Dreieck mit Spitze
+        \galleryimage{aufgabe-1/graph-9}    %  fünf Kanten: nur Diagonale fehlt
+        \galleryimage{aufgabe-1/graph-1}    % sechs Kanten: K_4
+    \end{gallery}
+}
+\end{frame}
+
 \begin{frame}{Inzidenz}
 \begin{block}{Inzidenz}
 Sei $e \in E$ und $k = \Set{e_1, e_2} \in K$.

presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/Koenigsberger-Brueckenproblem.tex

@@ -80,6 +80,13 @@ $\Rightarrow$ Wenn $G$ eine Ecke mit ungeraden Grad hat, ist $G$ nicht eulersch.
 \end{gallery}
 \end{frame}
 
+\begin{frame}{Beweis: Satz von Euler}
+\textbf{Beh.:} $G$ ist eulersch $\Rightarrow \forall e \in E: $ Grad($e$) $\equiv 0 \mod 2$ \pause \\
+\textbf{Bew.:} Eulerkreis geht durch jede Ecke $e \in E$\pause,  \\
+also geht der Eulerkreis (eventuell mehrfach) in $e$ hinein und hinaus \pause \\
+$\Rightarrow$ Grad($e$) $\equiv 0 \mod 2$
+\end{frame}
+
 \begin{frame}{Umkehrung des Satzes von Euler}
 \begin{block}{Umkehrung des Satzes von Euler}
 Wenn in einem zusammenhängenden Graphen $G$ jede Ecke geraden Grad hat, dann 

presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/Spezielle-Graphen.tex

@@ -75,152 +75,3 @@ bezeichnet man mit $K_{|A|, |B|}$.
     \galleryimage[Green]{vollstaendig-bipartit/k-5-5}
 \end{gallery}
 \end{frame}
-
-\begin{frame}{Kantenzug}
-\begin{block}{Kantenzug}
-Sei $G = (E, K)$ ein Graph.
-
-Dann heißt eine Folge $k_1, k_2, \dots, k_s$ von Kanten, zu denen es Ecken
-$e_0, e_1, e_2, \dots, e_s$ gibt, so dass
-\begin{itemize}
-    \item $k_1 = \Set{e_0, e_1}$
-    \item $k_2 = \Set{e_1, e_2}$
-    \item \dots
-    \item $k_s = \Set{e_{s-1}, e_s}$
-\end{itemize}
-gilt ein \textbf{Kantenzug}, der \textcolor{purple}{$e_0$} und \textcolor{blue}{$e_s$} \textbf{verbindet} und $s$ 
-seine \textbf{Länge}.
-\end{block}
-
-\adjustbox{max size={\textwidth}{0.2\textheight}}{
-\begin{tikzpicture}
-  \node (a)[vertex] at (1,1) {};
-  \node (b)[vertex] at (2,5) {};
-  \node (c)[vertex] at (3,3) {};
-  \node (d)[vertex] at (5,4) {};
-  \node (e)[vertex] at (3,6) {};
-  \node (f)[vertex] at (5,6) {};
-  \node (g)[vertex] at (7,6) {};
-  \node (h)[vertex] at (7,4) {};
-  \node (i)[vertex] at (6,2) {};
-  \node (j)[vertex] at (8,7) {};
-  \node (k)[vertex] at (9,5) {};
-  \node (l)[vertex] at (13,6) {};
-  \node (m)[vertex] at (11,7) {};
-  \node (n)[vertex] at (15,7) {};
-  \node (o)[vertex] at (16,4) {};
-  \node (p)[vertex] at (10,2) {};
-  \node (q)[vertex] at (13,1) {};
-  \node (r)[vertex] at (16,1) {};
-  \node (s)[vertex] at (17,4) {};
-  \node (t)[vertex] at (19,6) {};
-  \node (u)[vertex] at (18,3) {};
-  \node (v)[vertex] at (20,2) {};
-  \node (w)[vertex] at (15,4) {};
-
-  \foreach \from/\to in {a/c,c/b,c/d,d/f,f/g,g/h,h/d,d/g,h/f,i/k,k/j,k/l,l/m,m/n,n/o,o/t,t/v,v/u,s/r,o/q,q/p,u/t}
-    \draw[line width=2pt] (\from) -- (\to);
-
-  \node (i)[vertex,purple] at (6,2) {};
-  \node (v)[vertex,blue] at (20,2) {};
-    \draw[line width=4pt, red] (i) -- (k) -- (l) -- (m) -- (n) -- (o) -- (t) -- (v);
-\end{tikzpicture}
-}
-\end{frame}
-
-\begin{frame}{Geschlossener Kantenzug}
-\begin{block}{Geschlossener Kantenzug}
-Sei $G = (E, K)$ ein Graph und $A = (e_0, e_1, \dots, e_s)$ ein Kantenzug.
-
-A heißt \textbf{geschlossen} $:\Leftrightarrow e_s = e_0$ .
-\end{block}
-
-\begin{gallery}
-    \galleryimage{walks/walk-1}
-    \galleryimage{walks/walk-2}
-    \galleryimage{walks/k-3-3-walk}
-    \galleryimage{walks/k-5-walk}\\
-    \galleryimage{walks/k-16-walk}
-    \galleryimage{walks/star-graph-walk}
-    \galleryimage{walks/tree-walk}
-    \galleryimage{walks/walk-6}
-\end{gallery}
-\end{frame}
-
-\begin{frame}{Weg}
-\begin{block}{Weg}
-Sei $G = (E, K)$ ein Graph und $A = (k_1, k_2 \dots, k_s)$ ein Kantenzug.
-
-A heißt \textbf{Weg} $:\Leftrightarrow \forall_{i, j \in 1, \dots, s}: i \neq j \Rightarrow k_i \neq k_j$ .
-\end{block}
-
-\pause
-
-\begin{exampleblock}{Salopp}
-Ein Kantenzug, bei dem man keine Kante mehrfach abläuft, ist ein Weg.
-\end{exampleblock}
-
-\pause
-
-Achtung: Knoten dürfen mehrfach abgelaufen werden!
-\end{frame}
-
-\begin{frame}{Kreis}
-\begin{block}{Kreis}
-Sei $G = (E, K)$ ein Graph und $A = (k_1, k_2 \dots, k_s)$ ein Kantenzug.
-
-A heißt \textbf{Kreis} $:\Leftrightarrow A$ ist geschlossen und ein Weg.
-\end{block}
-
-\pause
-
-Manchmal wird das auch "`einfacher Kreis"' genannt.
-
-\pause
-
-\begin{gallery}
-    \galleryimage[Green]{graphs/circle-one-facet}
-    \galleryimage[Green]{graphs/circle-two-facets}
-\end{gallery}
-\end{frame}
-
-\begin{frame}{Zusammenhängender Graph}
-\begin{block}{Zusammenhängender Graph}
-Sei $G = (E, K)$ ein Graph.
-
-$G$ heißt \textbf{zusammenhängend} $:\Leftrightarrow \forall e_1, e_2 \in E: $ Es ex. ein Kantenzug, der $e_1$ und $e_2$ verbindet
-\end{block}
-
-\begin{gallery}
-    \galleryimage[red]{graphs/graph-1}
-    \galleryimage[red]{graphs/graph-2}
-    \galleryimage[Green]{graphs/k-3-3}
-    \galleryimage[Green]{graphs/k-5}\\
-    \galleryimage[Green]{graphs/k-16}
-    \galleryimage[Green]{graphs/graph-6}
-    \galleryimage[Green]{graphs/star-graph}
-    \galleryimage[Green]{graphs/tree}
-\end{gallery}
-\end{frame}
-
-\begin{frame}{Grad einer Ecke}
-\begin{block}{Grad einer Ecke}
-Der \textbf{Grad} einer Ecke ist die Anzahl der Kanten, die von dieser Ecke
-ausgehen.
-\end{block}
-
-\begin{block}{Isolierte Ecken}
-Hat eine Ecke den Grad 0, so nennt man ihn \textbf{isoliert}.
-\end{block}
-
-\begin{gallery}
-    \galleryimage{graphs/graph-1}
-    \galleryimage{graphs/graph-2}
-    \galleryimage{graphs/k-3-3}
-    \galleryimage{graphs/k-5}\\
-    \galleryimage{graphs/k-16}
-    \galleryimage{graphs/graph-6}
-    \galleryimage{graphs/star-graph}
-    \galleryimage{graphs/tree}
-\end{gallery}
-\end{frame}

presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/Strukturen.tex

@@ -0,0 +1,149 @@
+\subsection{Strukturen in Graphen}
+\begin{frame}{Kantenzug}
+\begin{block}{Kantenzug}
+Sei $G = (E, K)$ ein Graph.
+
+Dann heißt eine Folge $k_1, k_2, \dots, k_s$ von Kanten, zu denen es Ecken
+$e_0, e_1, e_2, \dots, e_s$ gibt, so dass
+\begin{itemize}
+    \item $k_1 = \Set{e_0, e_1}$
+    \item $k_2 = \Set{e_1, e_2}$
+    \item \dots
+    \item $k_s = \Set{e_{s-1}, e_s}$
+\end{itemize}
+gilt ein \textbf{Kantenzug}, der \textcolor{purple}{$e_0$} und \textcolor{blue}{$e_s$} \textbf{verbindet} und $s$ 
+seine \textbf{Länge}.
+\end{block}
+
+\adjustbox{max size={\textwidth}{0.2\textheight}}{
+\begin{tikzpicture}
+  \node (a)[vertex] at (1,1) {};
+  \node (b)[vertex] at (2,5) {};
+  \node (c)[vertex] at (3,3) {};
+  \node (d)[vertex] at (5,4) {};
+  \node (e)[vertex] at (3,6) {};
+  \node (f)[vertex] at (5,6) {};
+  \node (g)[vertex] at (7,6) {};
+  \node (h)[vertex] at (7,4) {};
+  \node (i)[vertex] at (6,2) {};
+  \node (j)[vertex] at (8,7) {};
+  \node (k)[vertex] at (9,5) {};
+  \node (l)[vertex] at (13,6) {};
+  \node (m)[vertex] at (11,7) {};
+  \node (n)[vertex] at (15,7) {};
+  \node (o)[vertex] at (16,4) {};
+  \node (p)[vertex] at (10,2) {};
+  \node (q)[vertex] at (13,1) {};
+  \node (r)[vertex] at (16,1) {};
+  \node (s)[vertex] at (17,4) {};
+  \node (t)[vertex] at (19,6) {};
+  \node (u)[vertex] at (18,3) {};
+  \node (v)[vertex] at (20,2) {};
+  \node (w)[vertex] at (15,4) {};
+
+  \foreach \from/\to in {a/c,c/b,c/d,d/f,f/g,g/h,h/d,d/g,h/f,i/k,k/j,k/l,l/m,m/n,n/o,o/t,t/v,v/u,s/r,o/q,q/p,u/t}
+    \draw[line width=2pt] (\from) -- (\to);
+
+  \node (i)[vertex,purple] at (6,2) {};
+  \node (v)[vertex,blue] at (20,2) {};
+    \draw[line width=4pt, red] (i) -- (k) -- (l) -- (m) -- (n) -- (o) -- (t) -- (v);
+\end{tikzpicture}
+}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Geschlossener Kantenzug}
+\begin{block}{Geschlossener Kantenzug}
+Sei $G = (E, K)$ ein Graph und $A = (e_0, e_1, \dots, e_s)$ ein Kantenzug.
+
+A heißt \textbf{geschlossen} $:\Leftrightarrow e_s = e_0$ .
+\end{block}
+
+\begin{gallery}
+    \galleryimage{walks/walk-1}
+    \galleryimage{walks/walk-2}
+    \galleryimage{walks/k-3-3-walk}
+    \galleryimage{walks/k-5-walk}\\
+    \galleryimage{walks/k-16-walk}
+    \galleryimage{walks/star-graph-walk}
+    \galleryimage{walks/tree-walk}
+    \galleryimage{walks/walk-6}
+\end{gallery}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Weg}
+\begin{block}{Weg}
+Sei $G = (E, K)$ ein Graph und $A = (k_1, k_2 \dots, k_s)$ ein Kantenzug.
+
+A heißt \textbf{Weg} $:\Leftrightarrow \forall_{i, j \in 1, \dots, s}: i \neq j \Rightarrow k_i \neq k_j$ .
+\end{block}
+
+\pause
+
+\begin{exampleblock}{Salopp}
+Ein Kantenzug, bei dem man keine Kante mehrfach abläuft, ist ein Weg.
+\end{exampleblock}
+
+\pause
+
+Achtung: Knoten dürfen mehrfach abgelaufen werden!
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Kreis}
+\begin{block}{Kreis}
+Sei $G = (E, K)$ ein Graph und $A = (k_1, k_2 \dots, k_s)$ ein Kantenzug.
+
+A heißt \textbf{Kreis} $:\Leftrightarrow A$ ist geschlossen und ein Weg.
+\end{block}
+
+\pause
+
+Manchmal wird das auch "`einfacher Kreis"' genannt.
+
+\pause
+
+\begin{gallery}
+    \galleryimage[Green]{graphs/circle-one-facet}
+    \galleryimage[Green]{graphs/circle-two-facets}
+\end{gallery}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Zusammenhängender Graph}
+\begin{block}{Zusammenhängender Graph}
+Sei $G = (E, K)$ ein Graph.
+
+$G$ heißt \textbf{zusammenhängend} $:\Leftrightarrow \forall e_1, e_2 \in E: $ Es ex. ein Kantenzug, der $e_1$ und $e_2$ verbindet
+\end{block}
+
+\begin{gallery}
+    \galleryimage[red]{graphs/graph-1}
+    \galleryimage[red]{graphs/graph-2}
+    \galleryimage[Green]{graphs/k-3-3}
+    \galleryimage[Green]{graphs/k-5}\\
+    \galleryimage[Green]{graphs/k-16}
+    \galleryimage[Green]{graphs/graph-6}
+    \galleryimage[Green]{graphs/star-graph}
+    \galleryimage[Green]{graphs/tree}
+\end{gallery}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Grad einer Ecke}
+\begin{block}{Grad einer Ecke}
+Der \textbf{Grad} einer Ecke ist die Anzahl der Kanten, die von dieser Ecke
+ausgehen.
+\end{block}
+
+\begin{block}{Isolierte Ecken}
+Hat eine Ecke den Grad 0, so nennt man ihn \textbf{isoliert}.
+\end{block}
+
+\begin{gallery}
+    \galleryimage{graphs/graph-1}
+    \galleryimage{graphs/graph-2}
+    \galleryimage{graphs/k-3-3}
+    \galleryimage{graphs/k-5}\\
+    \galleryimage{graphs/k-16}
+    \galleryimage{graphs/graph-6}
+    \galleryimage{graphs/star-graph}
+    \galleryimage{graphs/tree}
+\end{gallery}
+\end{frame}

presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/aufgabe-1/graph-1.tex

@@ -0,0 +1,21 @@
+\documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone}
+\usepackage{tikz}
+
+\begin{document}
+    \tikzstyle{vertex}=[draw,fill=black,circle,minimum size=3pt,inner sep=0pt]
+    \begin{tikzpicture}
+        \node[vertex] (N-1) at (0,0) {};
+        \node[vertex] (N-2) at (0,1) {};
+        \node[vertex] (N-3) at (1,0) {};
+        \node[vertex] (N-4) at (1,1) {};
+
+        \draw (N-1) -- (N-2);
+        \draw (N-1) -- (N-3);
+        \draw (N-1) -- (N-4);
+
+        \draw (N-2) -- (N-3);
+        \draw (N-2) -- (N-4);
+
+        \draw (N-3) -- (N-4);
+    \end{tikzpicture}
+\end{document}

presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/aufgabe-1/graph-10.tex

@@ -0,0 +1,19 @@
+\documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone}
+\usepackage{tikz}
+
+\begin{document}
+    \tikzstyle{vertex}=[draw,fill=black,circle,minimum size=3pt,inner sep=0pt]
+    \begin{tikzpicture}
+        \node[vertex] (N-1) at (0,0) {};
+        \node[vertex] (N-2) at (0,1) {};
+        \node[vertex] (N-3) at (1,0) {};
+        \node[vertex] (N-4) at (1,1) {};
+
+        \draw (N-1) -- (N-2);
+        \draw (N-1) -- (N-3);
+
+        \draw (N-2) -- (N-4);
+
+        \draw (N-3) -- (N-4);
+    \end{tikzpicture}
+\end{document}

presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/aufgabe-1/graph-11.tex

@@ -0,0 +1,15 @@
+\documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone}
+\usepackage{tikz}
+
+\begin{document}
+    \tikzstyle{vertex}=[draw,fill=black,circle,minimum size=3pt,inner sep=0pt]
+    \begin{tikzpicture}
+        \node[vertex] (N-1) at (0,0) {};
+        \node[vertex] (N-2) at (0,1) {};
+        \node[vertex] (N-3) at (1,0) {};
+        \node[vertex] (N-4) at (1,1) {};
+
+        \draw (N-2) -- (N-4);
+        \draw (N-1) -- (N-3);
+    \end{tikzpicture}
+\end{document}

presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/aufgabe-1/graph-12.tex

@@ -0,0 +1,16 @@
+\documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone}
+\usepackage{tikz}
+
+\begin{document}
+    \tikzstyle{vertex}=[draw,fill=black,circle,minimum size=3pt,inner sep=0pt]
+    \begin{tikzpicture}
+        \node[vertex] (N-1) at (0,0) {};
+        \node[vertex] (N-2) at (0,1) {};
+        \node[vertex] (N-3) at (1,0) {};
+        \node[vertex] (N-4) at (1,1) {};
+
+        \draw (N-1) -- (N-2);
+        \draw (N-2) -- (N-4);
+        \draw (N-4) -- (N-3);
+    \end{tikzpicture}
+\end{document}

presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/aufgabe-1/graph-2.tex

@@ -0,0 +1,19 @@
+\documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone}
+\usepackage{tikz}
+
+\begin{document}
+    \tikzstyle{vertex}=[draw,fill=black,circle,minimum size=3pt,inner sep=0pt]
+    \begin{tikzpicture}
+        \node[vertex] (N-1) at (0,0) {};
+        \node[vertex] (N-2) at (0,1) {};
+        \node[vertex] (N-3) at (1,0) {};
+        \node[vertex] (N-4) at (1,1) {};
+
+        \draw (N-1) -- (N-2);
+        \draw (N-1) -- (N-3);
+        \draw (N-1) -- (N-4);
+
+        \draw (N-2) -- (N-3);
+        \draw (N-2) -- (N-4);
+    \end{tikzpicture}
+\end{document}

presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/aufgabe-1/graph-3.tex

@@ -0,0 +1,18 @@
+\documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone}
+\usepackage{tikz}
+
+\begin{document}
+    \tikzstyle{vertex}=[draw,fill=black,circle,minimum size=3pt,inner sep=0pt]
+    \begin{tikzpicture}
+        \node[vertex] (N-1) at (0,0) {};
+        \node[vertex] (N-2) at (0,1) {};
+        \node[vertex] (N-3) at (1,0) {};
+        \node[vertex] (N-4) at (1,1) {};
+
+        \draw (N-1) -- (N-2);
+        \draw (N-1) -- (N-3);
+        \draw (N-1) -- (N-4);
+
+        \draw (N-2) -- (N-3);
+    \end{tikzpicture}
+\end{document}

presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/aufgabe-1/graph-4.tex

@@ -0,0 +1,16 @@
+\documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone}
+\usepackage{tikz}
+
+\begin{document}
+    \tikzstyle{vertex}=[draw,fill=black,circle,minimum size=3pt,inner sep=0pt]
+    \begin{tikzpicture}
+        \node[vertex] (N-1) at (0,0) {};
+        \node[vertex] (N-2) at (0,1) {};
+        \node[vertex] (N-3) at (1,0) {};
+        \node[vertex] (N-4) at (1,1) {};
+
+        \draw (N-1) -- (N-2);
+        \draw (N-1) -- (N-3);
+        \draw (N-1) -- (N-4);
+    \end{tikzpicture}
+\end{document}

presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/aufgabe-1/graph-5.tex

@@ -0,0 +1,16 @@
+\documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone}
+\usepackage{tikz}
+
+\begin{document}
+    \tikzstyle{vertex}=[draw,fill=black,circle,minimum size=3pt,inner sep=0pt]
+    \begin{tikzpicture}
+        \node[vertex] (N-1) at (0,0) {};
+        \node[vertex] (N-2) at (0,1) {};
+        \node[vertex] (N-3) at (1,0) {};
+        \node[vertex] (N-4) at (1,1) {};
+
+        \draw (N-1) -- (N-2);
+        \draw (N-2) -- (N-4);
+        \draw (N-4) -- (N-1);
+    \end{tikzpicture}
+\end{document}

presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/aufgabe-1/graph-6.tex

@@ -0,0 +1,15 @@
+\documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone}
+\usepackage{tikz}
+
+\begin{document}
+    \tikzstyle{vertex}=[draw,fill=black,circle,minimum size=3pt,inner sep=0pt]
+    \begin{tikzpicture}
+        \node[vertex] (N-1) at (0,0) {};
+        \node[vertex] (N-2) at (0,1) {};
+        \node[vertex] (N-3) at (1,0) {};
+        \node[vertex] (N-4) at (1,1) {};
+
+        \draw (N-2) -- (N-4);
+        \draw (N-1) -- (N-2);
+    \end{tikzpicture}
+\end{document}

presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/aufgabe-1/graph-7.tex

@@ -0,0 +1,14 @@
+\documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone}
+\usepackage{tikz}
+
+\begin{document}
+    \tikzstyle{vertex}=[draw,fill=black,circle,minimum size=3pt,inner sep=0pt]
+    \begin{tikzpicture}
+        \node[vertex] (N-1) at (0,0) {};
+        \node[vertex] (N-2) at (0,1) {};
+        \node[vertex] (N-3) at (1,0) {};
+        \node[vertex] (N-4) at (1,1) {};
+
+        \draw (N-2) -- (N-4);
+    \end{tikzpicture}
+\end{document}

presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/aufgabe-1/graph-8.tex

@@ -0,0 +1,12 @@
+\documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone}
+\usepackage{tikz}
+
+\begin{document}
+    \tikzstyle{vertex}=[draw,fill=black,circle,minimum size=3pt,inner sep=0pt]
+    \begin{tikzpicture}
+        \node[vertex] (N-1) at (0,0) {};
+        \node[vertex] (N-2) at (0,1) {};
+        \node[vertex] (N-3) at (1,0) {};
+        \node[vertex] (N-4) at (1,1) {};
+    \end{tikzpicture}
+\end{document}

presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/aufgabe-1/graph-9.tex

@@ -0,0 +1,20 @@
+\documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone}
+\usepackage{tikz}
+
+\begin{document}
+    \tikzstyle{vertex}=[draw,fill=black,circle,minimum size=3pt,inner sep=0pt]
+    \begin{tikzpicture}
+        \node[vertex] (N-1) at (0,0) {};
+        \node[vertex] (N-2) at (0,1) {};
+        \node[vertex] (N-3) at (1,0) {};
+        \node[vertex] (N-4) at (1,1) {};
+
+        \draw (N-1) -- (N-2);
+        \draw (N-1) -- (N-3);
+        \draw (N-1) -- (N-4);
+
+        \draw (N-2) -- (N-4);
+
+        \draw (N-3) -- (N-4);
+    \end{tikzpicture}
+\end{document}