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documents/GeoTopo/Arbeitszeit.md

@@ -57,3 +57,4 @@ in dem Erstellen dieses Skripts steckt:
 |30.01.2014 | 19:30 - 21:30 | Textsetzung
 |01.02.2014 | 15:40 - 15:50 | Beweis "Möbiustransformation ist Gruppenoperation" hinzugefügt
 |02.02.2014 | 17:00 - 18:00 | TikZ'en von Bildern
+|03.02.2014 | 14:15 - 15:00 | Textsetzung

documents/GeoTopo/Kapitel1.tex

@@ -1,6 +1,6 @@
 \chapter{Topologische Grundbegriffe}
 \section{Topologische Räume}
-\begin{definition} \xindex{Raum!topologischer} \xindex{offen} \xindex{abgeschlossen}
+\begin{definition}\xindex{Raum!topologischer}\xindex{offen}\xindex{abgeschlossen}%
     Ein \textbf{topologischer Raum} ist ein Paar $(X, \fT)$ bestehend
     aus einer Menge $X$ und $\fT \subseteq \powerset{X}$ mit
     folgenden Eigenschaften
@@ -19,7 +19,7 @@
 Es gibt auch Mengen, die weder abgeschlossen, noch offen sind wie z.~B. $[0,1)$.
 Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
 
-\begin{bemerkung}[Mengen, die offen \& abgeschlossen sind, existieren]
+\begin{bemerkung}[Mengen, die offen \& abgeschlossen sind, existieren]%
     Betrachte $\emptyset$ und $X$ mit der \enquote{trivialen Topologie}
     \xindex{Topologie!triviale}\index{Klumpentopologie|see{triviale Topologie}} $\fT_{\ts{triv}} = \Set{\emptyset, X}$.
 
@@ -52,14 +52,14 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
     \end{enumerate}
 \end{beispiel}
 
-\begin{definition} \xindex{Umgebung}
+\begin{definition}\xindex{Umgebung}%
     Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum und $x \in X$.
 
     Eine Teilmenge $U \subseteq X$ heißt \textbf{Umgebung} von $x$,
     wenn es ein $U_0 \in \fT$ gibt mit $x \in U_0$ und $U_0 \subseteq U$.
 \end{definition}
 
-\begin{definition}
+\begin{definition}%
     Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum und $M \subseteq X$ eine Teilmenge.
     \begin{enumerate}[label=\alph*)]
         \item $\displaystyle M^\circ := \Set{x \in M | M \text{ ist Umgebung von } x} = \bigcup_{\overset{U \subseteq M} {U \in \fT}} U $ heißt \textbf{Inneres} oder \textbf{ offener Kern} von $M$. \xindex{Inneres} \xindex{Kern!offener}
@@ -81,7 +81,7 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
     \end{enumerate}
 \end{beispiel}
 
-\begin{definition} \xindex{Basis} \xindex{Subbasis}
+\begin{definition}\xindex{Basis}\xindex{Subbasis}%
     Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum.
     \begin{enumerate}[label=\alph*)]
         \item $\fB \subseteq \fT$ heißt \textbf{Basis} der Topologie $\fT$,
@@ -104,7 +104,7 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
     genau eine Topologie $\fT$ auf $X$, für die $\fB$ Subbasis ist.
 \end{bemerkung}
 
-\begin{definition} \xindex{Spurtopologie} \xindex{Teilraum}
+\begin{definition}\xindex{Spurtopologie}\xindex{Teilraum}%
     Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum und $Y \subseteq X$.\\
     $\fT_Y := \Set{U \cap Y | U \in \fT}$ ist eine Topologie auf $Y$.
 
@@ -115,7 +115,7 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 % Mitschrieb vom 24.10.2013                                         %
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-\begin{definition} \xindex{Produkttopologie}
+\begin{definition}\xindex{Produkttopologie}%
     Seien $X_1, X_2$ topologische Räume.\\
     $U \subseteq X_1 \times X_2$ sei offen, wenn es zu jedem $x = (x_1, x_2) \in U$
     Umgebungen $U_i$ um $x_i$  mit $i=1,2$ gibt, sodass $U_1 \times U_2 \subseteq U$
@@ -151,7 +151,7 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
     \end{figure}
 \end{beispiel}
 
-\begin{definition} \xindex{Quotiententopologie}
+\begin{definition}\xindex{Quotiententopologie}%
     Sei $X$ ein topologischer Raum, $\sim$ eine Äquivalenzrelation auf $X$,
     $\overline{X} = X /_\sim$ sei die Menge der Äquivalenzklassen,
     $\pi: x \rightarrow \overline{x}, \;\;\; x \mapsto [x]_\sim$.
@@ -174,7 +174,7 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
     und $y_1 - y_2 \in \mdz$. Dann ist $X /_\sim$ ein Torus.
 \end{beispiel}
 
-\begin{beispiel}\xindex{Raum!projektiver}
+\begin{beispiel}\xindex{Raum!projektiver}%
     \begin{align*}
         X= \mdr^{n-1} \setminus \Set{0},\;\;\; x \sim y &\gdw \exists \lambda \in \mdr^\times \text{ mit } y = \lambda x\\
             &\gdw x \text{ und } y \text{ liegen auf der gleichen}\\
@@ -186,7 +186,7 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
 \end{beispiel}
 
 \section{Metrische Räume}
-\begin{definition} \xindex{Metrik} \xindex{Raum!metrischer}
+\begin{definition}\xindex{Metrik}\xindex{Raum!metrischer}%
     Sei $X$ eine Menge. Eine Abbildung $d:X\times X \rightarrow \mdr_0^+$
     heißt \textbf{Metrik}, wenn gilt:
 
@@ -211,7 +211,7 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
     Dann wird $V$ durch $d(x,y) := \sqrt{\langle x-y, x-y \rangle}$ zum metrischen Raum.
 \end{beispiel}
 
-\begin{beispiel}[diskrete Metrik] \xindex{Metrik!diskrete} \xindex{Topologie!diskrete}
+\begin{beispiel}[diskrete Metrik]\xindex{Metrik!diskrete}\xindex{Topologie!diskrete}%
     Sei $X$ eine Menge. Dann heißt
     \[d(x,y) = \begin{cases}
     0 & \text{falls } x=y\\
@@ -243,14 +243,14 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
 
 \end{beispiel}
 
-\begin{beispiel}[SNCF-Metrik\footnotemark] \xindex{Metrik!SNCF}
+\begin{beispiel}[SNCF-Metrik\footnotemark]\xindex{Metrik!SNCF}
     $X = \mdr^2$ 
 
     \input{figures/sncf-metrik}
 \end{beispiel}
 \footnotetext{Diese Metrik wird auch \enquote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Franz\%C3\%B6sische_Eisenbahnmetrik}{französische Eisenbahnmetrik}} genannt.}
 
-\begin{definition} \xindex{Raum!hausdorffscher}
+\begin{definition}\xindex{Raum!hausdorffscher}%
     Ein topologischer Raum $X$ heißt \textbf{hausdorffsch}, wenn es
     für je zwei Punkte $x \neq y$ in $X$ Umgebungen $U_x$ um $x$
     und $U_y$ um $y$ gibt, sodass $U_x \cap U_y = \emptyset$.
@@ -279,7 +279,7 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 % Mitschrieb vom 24.10.2013                                         %
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-\begin{definition} \xindex{Grenzwert} \xindex{Limes}
+\begin{definition}\xindex{Grenzwert}\xindex{Limes}%
     Sei $X$ ein topologischer Raum und $(x)_{n \in \mdn}$ eine Folge
     in $X$. $x \in X$ heißt \textbf{Grenzwert} oder \textbf{Limes}
     von $(x_n)$, wenn es für jede Umgebung $U$ von $x$ ein $n_0$ gibt,
@@ -442,7 +442,7 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
 \emph{Beobachtung:} Die Quotiententopologie ist die feinste Topologie,
 sodass $\pi$ stetig wird.
 
-\begin{beispiel}[Stereographische Projektion] \xindex{Projektion!stereographische}
+\begin{beispiel}[Stereographische Projektion]\xindex{Projektion!stereographische}%
     $\mdr^n$ und $S^n \setminus \Set{N}$ sind homöomorph für
     beliebiges $N \in S^n$. Es gilt:
 
@@ -482,7 +482,7 @@ sodass $\pi$ stetig wird.
 % Mitschrieb vom 31.10.2013                                         %
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \section{Zusammenhang}\index{Zusammenhang|(}
-\begin{definition}\xindex{zusammenhaengend@zusammenhängend}
+\begin{definition}\xindex{zusammenhaengend@zusammenhängend}%
     Ein Raum $X$ heißt \textbf{zusammenhängend}, wenn es keine offenen,
     nichtleeren Teilmengen $U_1, U_2$ von $X$ gibt mit 
     $U_1 \cap U_2 = \emptyset$ und $U_1 \cup U_2 = X$.
@@ -567,7 +567,7 @@ sodass $\pi$ stetig wird.
     $\qed$
 \end{beweis}
 
-\begin{definition}\xindex{Zusammenhangskomponente}
+\begin{definition}\xindex{Zusammenhangskomponente}%
     Sei $X$ ein topologischer Raum.
     
     Für $x \in X$ sei 
@@ -623,14 +623,14 @@ sodass $\pi$ stetig wird.
 \end{beweis}\index{Zusammenhang|)}
 
 \section{Kompaktheit}
-\begin{definition}\xindex{Ueberdeckung@""Uberdeckung}
+\begin{definition}\xindex{Ueberdeckung@""Uberdeckung}%
     Sei $X$ eine Menge und $T \subseteq \powerset{X}$.
 
     $T$ heißt eine \textbf{Überdeckung} von $X$, wenn gilt:
     \[\forall x \in X: \exists M \in T: x \in M\]
 \end{definition}
 
-\begin{definition}\xindex{kompakt}
+\begin{definition}\xindex{kompakt}%
     Ein topologischer Raum $X$ heißt \textbf{kompakt}, wenn jede
     offene Überdeckung $\mathfrak{U}$ von $X$ eine endliche Teilüberdeckung besitzt.
 
@@ -813,7 +813,7 @@ $\qed$
 % Mitschrieb vom 07.11.2013                                         %
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 \section{Wege und Knoten}\index{Knoten|(}
-\begin{definition}\xindex{Weg}\xindex{Weg!geschlossener}\xindex{Weg!einfacher}
+\begin{definition}\xindex{Weg}\xindex{Weg!geschlossener}\xindex{Weg!einfacher}%
     Sei $X$ ein topologischer Raum. 
     \begin{enumerate}[label=\alph*)]
         \item Ein \textbf{Weg} in $X$ ist eine stetige Abbildung $\gamma:[0,1] \rightarrow X$.
@@ -829,7 +829,7 @@ $\qed$
     Denn $\gamma([0,1])$ ist zusammenhängend für jeden Weg $\gamma$.
 \end{beispiel}
 
-\begin{definition}\xindex{Wegzusammenhang}
+\begin{definition}\xindex{Wegzusammenhang}%
     Ein topologischer Raum $X$ heißt \textbf{wegzusammenhängend},
     wenn es zu je zwei Punkten $x,y \in X$ einen Weg $\gamma:[0,1] \rightarrow X$
     gibt mit $\gamma(0)=x$ und $\gamma(1)=y$.
@@ -897,7 +897,7 @@ $\qed$
     
     \input{figures/hilbert-curve}
 
-\begin{definition}\xindex{Jordankurve}\xindex{Jordankurve!geschlossene}
+\begin{definition}\xindex{Jordankurve}\xindex{Jordankurve!geschlossene}%
     Sei $X$ ein topologischer Raum. Eine (geschlossene)
     \textbf{Jordankurve} in $X$ ist ein Homöomorphismus 
     $\gamma: [0, 1] \rightarrow C \subseteq X$
@@ -925,7 +925,7 @@ $\qed$
     Idee: Ersetze Weg $C$ durch Polygonzug.
 \end{beweis}
 
-\begin{definition}\xindex{Knoten}
+\begin{definition}\xindex{Knoten}%
     Eine geschlossene Jordankurve in $\mdr^3$ heißt \textbf{Knoten}.
 \end{definition}
 
@@ -955,7 +955,7 @@ $\qed$
     \end{figure}
 \end{beispiel}
 
-\begin{definition}\xindex{Knoten!äquivalente}\xindex{Isotopie}
+\begin{definition}\xindex{Knoten!äquivalente}\xindex{Isotopie}%
     Zwei Knoten $\gamma_1, \gamma_2: S^1 \rightarrow \mdr^3$ heißen
     \textbf{äquivalent}, wenn es eine stetige Abbildung
     $H: S^1 \times [0,1] \Rightarrow \mdr^3$ gibt mit 
@@ -965,7 +965,7 @@ $\qed$
     $\gamma_1$ und $\gamma_2$.
 \end{definition}
 
-\begin{definition}\xindex{Knotendiagramm}
+\begin{definition}\xindex{Knotendiagramm}%
     Ein \textbf{Knotendiagramm} eines Knotens $\gamma$ ist eine 
     Projektion $\pi: \mdr^3 \rightarrow E$ auf eine Ebene $E$, sodass
     $|(\pi|C)^{-1}(x)| \leq 2$ für jedes $x \in D$.
@@ -1004,7 +1004,7 @@ $\qed$
     Durch sorgfältige Fallunterscheidung.\footnote{Siehe \enquote{Knot Theory and Its Applications} von Kunio Murasugi. ISBN 978-0817638177.}
 \end{beweis}
 
-\begin{definition}\xindex{Färbbarkeit}
+\begin{definition}\xindex{Färbbarkeit}%
     Ein Knotendiagramm heißt \textbf{3-färbbar}, 
     wenn jeder Bogen von $D$ so mit einer Farbe gefärbt werden kann, 
     dass an jeder Kreuzung eine oder 3 Farben auftreten und alle 3 

documents/GeoTopo/Kapitel2.tex

@@ -3,7 +3,7 @@
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \chapter{Mannigfaltigkeiten und Simplizialkomplexe}
 \section{Topologische Mannigfaltigkeiten}
-\begin{definition}
+\begin{definition}%
     Sei $X$ ein topologischer Raum und $n \in \mdn$.
     \begin{defenum}
         \item Eine $n$-dimensionale \textbf{Karte}\xindex{Karte} auf
@@ -112,7 +112,7 @@
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 % Mitschrieb vom 14.11.2013                                         %
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-\begin{definition}\xindex{Verklebung}
+\begin{definition}\xindex{Verklebung}%
     Seien $X, Y$ $n$-dimensionale Mannigfaltigkeiten, $U \subseteq X$
     und $V \subseteq Y$ offen, $\Phi: U \rightarrow V$ ein Homöomorphismus
     $Z = (X \dcup Y) /_\sim$ mit der von $u \sim \Phi(u)\;\forall{u \in U}$
@@ -189,7 +189,7 @@
     $\qed$
 \end{beweis}
 
-\begin{beispiel}\xindex{Neilsche Parabel}
+\begin{beispiel}\xindex{Neilsche Parabel}%
     \begin{bspenum}
         \item $F: \mdr^3 \rightarrow \mdr,\;\;\; (x, y, z) \mapsto x^2 + y^2 + z^2 - 1$,
               $V(F) = S^2$, $\grad(F) = (2x, 2y, 2z) \xRightarrow{\crefabbr{bem:Mannigfaltigkeitskriterium}} S^n$
@@ -215,7 +215,7 @@
     \end{bspenum}
 \end{beispiel}
 
-\begin{definition}\xindex{Mannigfaltigkeit!mit Rand}
+\begin{definition}\xindex{Mannigfaltigkeit!mit Rand}%
     Sei $X$ ein Hausdorffraum mit abzählbarer Basis der Topologie.
     $X$ heißt $n$-dimensionale \textbf{Mannigfaltigkeit mit Rand},
     wenn es einen Atlas $(U_i, \varphi_i)$ gibt, wobei $U_i \subseteq X_i$
@@ -244,7 +244,7 @@
     \caption{Beispiele für Mannigfaltigkeiten mit Rand}
 \end{figure}
 
-\begin{definition}\xindex{Rand}
+\begin{definition}\xindex{Rand}%
     Sei $X$ eine $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit mit Rand und
     Atlas $(U_i, \varphi_i)$. Dann heißt 
     \[\partial X := \bigcup_{i\in I} \Set{x \in U_i | \varphi_i (x)_n = 0}\]
@@ -253,7 +253,7 @@
 
 $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
 
-\begin{definition}\xindex{Kartenwechsel}\index{Uebergangsfunktion@""Ubergangsfunktion|see{Kartenwechsel}}
+\begin{definition}\xindex{Kartenwechsel}\index{Uebergangsfunktion@""Ubergangsfunktion|see{Kartenwechsel}}%
     Sei $X$ eine $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit mit Atlas
     $(U_i, \varphi_i)_{i \in I}$
 
@@ -276,7 +276,7 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
 % Mitschrieb vom 19.11.2013                                         %
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \section{Differenzierbare Mannigfaltigkeiten}\label{sec:8}
-\begin{definition}
+\begin{definition}%
     Sei $X$ eine $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit mit Atlas $(U_i, \varphi_i)_{i \in I}$.
 
     \begin{defenum}
@@ -289,7 +289,7 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
     \end{defenum}
 \end{definition}
 
-\begin{definition}
+\begin{definition}%
     Sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Klasse $C^k$ 
     ($k \in \mdn \cup \Set{\infty}$) mit Atlas $(U_i, \varphi_i)_{i \in I}$.
 
@@ -363,8 +363,8 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
     eine Untergruppe von $\Homoo(X)$.
 \end{bemerkung}
 
-\begin{definition}\label{def:8.5}
-    $S \subseteq \mdr^3$ heißt \textbf{reguläre Fläche}\xindex{Fläche!reguläre} $:\gdw$
+\begin{definition}\label{def:8.5}\xindex{Fläche!reguläre}%
+    $S \subseteq \mdr^3$ heißt \textbf{reguläre Fläche} $:\gdw$
     $\forall s \in S\;\exists $ Umgebung $V(s) \subseteq \mdr^3$ $\exists U \subseteq \mdr^2$ offen: 
     $\exists \text{ differenzierbare Abbildung } F: U \rightarrow V \cap S$: 
     $\text{Rg}(J_F(u)) = 2\;\;\;\forall u \in U$.
@@ -494,7 +494,7 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
     ist differenzierbar.
 \end{beweis}
 
-\begin{definition}
+\begin{definition}%
     Sei $G$ eine Mannigfaltigkeit, $\circ: G \times G \rightarrow G$
     eine Abbildung, $(g,h) \mapsto g \cdot h$, sodass $(G, \circ)$
     eine Gruppe ist.
@@ -553,7 +553,7 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
 \end{bemerkung}
 
 \section{Simplizialkomplex}
-\begin{definition}\xindex{Lage!allgemeine}
+\begin{definition}\xindex{Lage!allgemeine}%
     Seien $v_0, \dots, v_k \in \mdr^n$ Punkte.
     \begin{defenum}
         \item $v_0, \dots, v_k$ sind \textbf{in allgemeiner Lage} $\gdw$ es gibt keinen $(k-1)$-dimensionalen
@@ -610,7 +610,7 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 % Mitschrieb vom 21.11.2013                                         %
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-\begin{definition}
+\begin{definition}%
     \begin{enumerate}[label=\alph*),ref=\thedefinition.\alph*]
         \item Eine endliche Menge $K$ von Simplizes im $\mdr^n$
               heißt (endlicher) \textbf{Simplizialkomplex}\xindex{Simplizialkomplex},
@@ -669,10 +669,10 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
     \caption{Beispiele für Simplizialkomplexe}
 \end{figure}
 
-\begin{definition}
+\begin{definition}\xindex{Abbildung!simpliziale}%
     Seien $K, L$ Simplizialkomplexe. Eine stetige Abbildung
     \[f:|K| \rightarrow |L|\]
-    heißt \textbf{simplizial}\xindex{Abbildung!simpliziale}, wenn für
+    heißt \textbf{simplizial}, wenn für
     jedes $\Delta \in K$ gilt:
     \begin{defenum}
         \item $f(\Delta) \in L$
@@ -698,13 +698,13 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
     \end{bspenum}
 \end{beispiel}
 
-\begin{definition}
+\begin{definition}\xindex{Eulerzahl}%
     Sei $K$ ein endlicher Simplizialkomplex. Für $n \geq 0$ sei
     $a_n(K)$ die Anzahl der $n$-Simplizes in $K$.
 
     Dann heißt 
     \[\chi(K) := \sum_{k=0}^{\dim K} (-1)^n a_n(K)\]
-    \textbf{Eulerzahl}\xindex{Eulerzahl} (oder Euler-Charakteristik\index{Euler-Charakteristik|see{Eulerzahl}})
+    \textbf{Eulerzahl} (oder Euler-Charakteristik\index{Euler-Charakteristik|see{Eulerzahl}})
     von $K$.
 \end{definition}
 
@@ -739,7 +739,7 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 % Mitschrieb vom 28.11.2013                                         %
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-\begin{definition}
+\begin{definition}%
     \begin{defenum}
         \item Ein 1D-Simplizialkomplex heißt \textbf{Graph}\xindex{Graph}.
         \item Ein Graph, der homöomorph zu $S^1$ ist, heißt \textbf{Kreis}\xindex{Kreis}.
@@ -824,7 +824,7 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
     $\chi(K) = \chi(\Delta) - \underbrace{\underbrace{(-1)^n}_{n-\text{Simplex}} + \sum_{k=0}^n (-1)^k}_{(1+(-1))^{n+1}} = \chi(\Delta) \qed$
 \end{beweis}
 
-\begin{satz}[Eulersche Polyederformel]\xindex{Eulersche Polyederformel}
+\begin{satz}[Eulersche Polyederformel]\xindex{Eulersche Polyederformel}%
     Sei $P$ ein konvexes Polyeder in $\mdr^3$, d.~h. $\partial P$ ist
     ein 2-dimensionaler Simplizialkomplex, sodass gilt:
     \[\forall x,y \in \partial P: [x,y] \subseteq P\]
@@ -905,7 +905,7 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
     Summe vorkommt, aber mit umgekehrten Vorzeichen. $\qed$
 \end{beweis}
 
-\begin{definition}
+\begin{definition}%
     Sei $Z_n := \text{Kern}(d_n) \subseteq C_n$ und 
     $B_n := \text{Bild}(d_{n+1}) \subseteq C_n$.
 

documents/GeoTopo/Kapitel3.tex

@@ -18,7 +18,7 @@
     \caption{Beispiele für Wege $\gamma_1$ und $\gamma_2$}
 \end{figure}
 
-\begin{definition}
+\begin{definition}%
     Sei $X$ ein topologischer Raum, $a, b \in X$, 
     $\gamma_1, \gamma_2: [0,1] \rightarrow X$ Wege von $a$ nach $b$,
     d.~h. $\gamma_1(0) = \gamma_2(0) = a$, $\gamma_1(1) = \gamma_2(1) = b$
@@ -120,12 +120,12 @@
     $\Rightarrow H$ ist Homotopie. $\qed$
 \end{beweis}
 
-\begin{definition}\xindex{Weg!zusammengesetzter}
+\begin{definition}\xindex{Weg!zusammengesetzter}%
     Seien $\gamma_1, \gamma_2$ Wege in $X$ mit $\gamma_1(1) = \gamma_2(0)$.
     Dann ist 
     \[\gamma (t) = \begin{cases}
-        \gamma_1(2t)   &\text{falls} 0 \leq t < \frac{1}{2}\\
-        \gamma_2(2t-1) &\text{falls} \frac{1}{2} \leq t \leq 1
+        \gamma_1(2t)   &\text{falls } 0 \leq t < \frac{1}{2}\\
+        \gamma_2(2t-1) &\text{falls } \frac{1}{2} \leq t \leq 1
       \end{cases}\]
     ein Weg in $X$. Er heißt \textbf{zusammengesetzter Weg} und man
     schreibt $\gamma = \gamma_1 * \gamma_2$.
@@ -199,12 +199,12 @@
 \section{Fundamentalgruppe}
 Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Homotopieklasse}.
 
-\begin{definition}
+\begin{definition}\xindex{Fundamentalgruppe}%
     Sei $X$ ein topologischer Raum und $x \in X$. Sei außerdem
     \[\pi_1(X,x) := \Set{[\gamma] | \gamma \text{ ist Weg in } X \text{ mit } \gamma(0) = \gamma(1) = x}\]
 
     Durch $[\gamma_1] *_G [\gamma_2] : = [\gamma_1 * \gamma_2]$ wird
-    $\pi_1(X,x)$ zu einer Gruppe. Diese Gruppe heißt \textbf{Fundamentalgruppe}\xindex{Fundamentalgruppe}
+    $\pi_1(X,x)$ zu einer Gruppe. Diese Gruppe heißt \textbf{Fundamentalgruppe}
     von $X$ im Basispunkt $x$.
 \end{definition}
 
@@ -355,7 +355,7 @@ Wenn $\pi_1(X,x) = \Set{e}$ für ein $x \in X$ gilt, dann wegen
     und $g_* \circ f_* = \id_{\pi_1(X,x)}$.
 \end{beweis}
 
-\begin{definition}\xindex{Abbildung!homotope}
+\begin{definition}\xindex{Abbildung!homotope}%
     Seien $X, Y$ topologische Räume, $x_0 \in X, y_0 \in Y, f, g: X \rightarrow Y$
     stetig mit $f(x_0) = y_0 = g(x_0)$.
 
@@ -502,7 +502,7 @@ Wenn $\pi_1(X,x) = \Set{e}$ für ein $x \in X$ gilt, dann wegen
     $p(y) = x$, ist $p$ surjektiv.    $\qed$
 \end{beweis}
 
-\begin{definition}\xindex{Abbildung!offene}
+\begin{definition}\xindex{Abbildung!offene}%
     Seien $X, Y$ topologische Räume und $f:X \rightarrow Y$ eine 
     Abbildung.
 
@@ -529,7 +529,7 @@ Wenn $\pi_1(X,x) = \Set{e}$ für ein $x \in X$ gilt, dann wegen
 
 \todo[inline]{Die Definition von Diskret habe ich mir überlegt. Hatten wir das schon mal? 
 Haben wir Häufungspunkt definiert?}
-\begin{definition}\xindex{diskret}
+\begin{definition}\xindex{diskret}%
     Sei $X$ ein topologischer Raum und $M \subseteq X$.
 
     $M$ heißt \textbf{diskret} in $X$, wenn $M$ in $X$ keinen 
@@ -596,7 +596,7 @@ Haben wir Häufungspunkt definiert?}
     $\xRightarrow{X \text{zhgd.}} |p^{-1}(x)|$  ist konstant auf $X$
 \end{beweis}
 
-\begin{definition}\xindex{Liftung}
+\begin{definition}\xindex{Liftung}%
     Sei $p: Y \rightarrow X$ Überlagerung, $Z$ ein weiterer topologischer
     Raum, $f:Z \rightarrow X$ stetig.
 
@@ -764,9 +764,9 @@ $p|V_j: V_j \rightarrow U$ Homöomorphismus.
     ist stetig. $\Rightarrow p$ ist Homöomorphismus.  $\qed$
 \end{beweis}
 
-\begin{definition}%In Vorlesung: "Definition 12.10"
+\begin{definition}\xindex{Ueberlagerung@""Uberlagerung!universelle}%In Vorlesung: "Definition 12.10"
     Eine Überlagerung $p: \tilde{X} \rightarrow X$ heißt
-    \textbf{universell}\xindex{Ueberlagerung@""Uberlagerung!universelle}, wenn
+    \textbf{universell}, wenn
     $\tilde{X}$ einfach zusammenhängend ist.
 \end{definition}
 
@@ -1056,11 +1056,11 @@ und der Fundamentalgruppe herstellen:
         \item $G$ operiert auf $X = G$ durch $g \circ h := g \cdot h \cdot g^{-1}$, denn
         \begin{enumerate}[label=\roman*)]
             \item $1_G \circ h = 1_G \cdot h \cdot 1_G^{-1} = h$
-            \item \begin{align*}
+            \item $\!\begin{aligned}[t]
                     (g_1 \cdot g_2) \circ h &= (g_1 \cdot g_2) \cdot h \cdot (g \cdot g_2)^{-1}\\
                         &= g_1 \cdot (g_2 \cdot h \cdot g_2^{-1}) \cdot g_1^{-1}\\
                         &= g_1 \circ (g_2 \circ h)
-                  \end{align*}
+                  \end{aligned}$
         \end{enumerate}
     \end{enumerate}
 \end{beispiel}

documents/GeoTopo/Kapitel4.tex

@@ -3,7 +3,7 @@
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \chapter{Euklidische und nichteuklidische Geometrie}
 
-\begin{definition}
+\begin{definition}%
     Das Tripel $(X, d, G)$ heißt genau dann eine \textbf{Geometrie}\xindex{Geometrie},
     wenn $(X, d)$ ein metrischer Raum und $\emptyset \neq G \subseteq \powerset{X}$
     die Menge aller \textbf{Geraden}\xindex{Gerade} ist.
@@ -126,7 +126,7 @@ aufgestellt.
     \end{enumerate}
 \end{beweis}
 
-\begin{definition}
+\begin{definition}%
     \begin{enumerate}[label=§\arabic*),ref=§\arabic*,start=3]
         \item \label{axiom:3}\textbf{Anordnungsaxiome}\xindex{Anordnungsaxiome}
             \begin{enumerate}[label=(\roman*),ref=\theenumi{} (\roman*)]
@@ -622,7 +622,7 @@ dankbar.
 \end{figure}
 
 \subsection{Flächeninhalt}
-\begin{definition}\xindex{Simplizialkomplexe!flächengleiche}
+\begin{definition}\xindex{Simplizialkomplexe!flächengleiche}%
     \enquote{Simplizialkomplexe} in euklidischer Ebene $(X,d)$ heißen
     \textbf{flächengleich},
     wenn sie sich in kongruente Dreiecke zerlegen lassen.
@@ -758,7 +758,7 @@ $\overset{\text{Strahlensatz}}{\Rightarrow} \frac{a}{h_c} = \frac{c}{h_a} \right
 % Mitschrieb vom 23.01.2014                                         %
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \section{Hyperbolische Geometrie}
-\begin{definition}\xindex{Gerade!hyperbolische}
+\begin{definition}\xindex{Gerade!hyperbolische}%
     Sei
         \[\mdh:= \Set{z \in \mdc | \Im(z) > 0} = \Set{(x,y) \in \mdr^2 | y > 0}\]
     die obere Halbebene bzw. Poincaré-Halbebene und $G = G_1 \cup G_2$
@@ -825,7 +825,7 @@ $\overset{\text{Strahlensatz}}{\Rightarrow} \frac{a}{h_c} = \frac{c}{h_a} \right
     \end{enumerate}
 \end{beweis}
 
-\begin{definition}\xindex{Möbiustransformation}
+\begin{definition}\xindex{Möbiustransformation}%
     Es seien $a,b,c,d \in \mdc$ mit $ad - bc \neq 0$ und 
     $\sigma: \mdc \rightarrow \mdc$ eine Abbildung definiert durch 
     \[\sigma(z) := \frac{az + b}{cz+d}\]
@@ -1006,7 +1006,7 @@ $\overset{\text{Strahlensatz}}{\Rightarrow} \frac{a}{h_c} = \frac{c}{h_a} \right
     \end{enumerate}
 \end{beweis}
 
-\begin{definition}\xindex{Metrik!hyperbolische}
+\begin{definition}\xindex{Metrik!hyperbolische}%
     Für $z_1, z_2 \in \mdh$ sei $g_{z_1, z_2}$ die eindeutige hyperbolische
     Gerade durch $z_1$ und $z_2$ und $a_1, a_2$ die
     \enquote{Schnittpunkte} von $g_{z_1, z_2}$ mit $\mdr \cup \Set{\infty}$.