ÜB2, Aufgabe 4 hinzugefügt

documents/GeoTopo/Kapitel1-UB.tex

@@ -2,7 +2,7 @@
 \section*{Übungsaufgaben}
 \addcontentsline{toc}{section}{Übungsaufgaben}
 
-\begin{aufgabe}[Sierpińskiraum]\label{ub:aufg1}
+\begin{aufgabe}[Sierpińskiraum]\label{ub1:aufg1}\xindex{Sierpińskiraum}
     Es sei $X := \Set{0,1}$ und $\fT_X := \Set{\emptyset, \Set{0}, X}$.
     Dies ist der sogenannte Sierpińskiraum.
     \begin{enumerate}[label=(\alph*)]
@@ -12,7 +12,7 @@
     \end{enumerate}
 \end{aufgabe}
 
-\begin{aufgabe}\label{ub:aufg4}
+\begin{aufgabe}\label{ub1:aufg4}
     Es sei $\mdz$ mit der von den Mengen $U_{a,b} := a + b \mdz (a \in \mdz, b \in \mdz \setminus \Set{0})$
     erzeugten Topologie versehen.
 
@@ -24,3 +24,13 @@
         \item Es gibt unendlich viele Primzahlen.
     \end{enumerate}
 \end{aufgabe}
+
+\begin{aufgabe}[Cantorsches Diskontinuum]\label{ub2:aufg4}\xindex{Cantorsches Diskontinuum}
+    Für jedes $i \in \mdn$ sei $P_i := \Set{0,1}$ mit der diskreten
+    Topologie. Weiter Sei $P := \prod_{i \in \mdn} P_i$.
+
+    \begin{enumerate}[label=(\alph*)]
+        \item Wie sehen die offenen Mengen von $P$ aus?
+        \item Was können Sie über den Zusammenhang von $P$ sagen?
+    \end{enumerate}
+\end{aufgabe}

documents/GeoTopo/Kapitel1.tex

@@ -1004,5 +1004,7 @@ $\qed$
     \caption{Ein 3-gefärber Kleeblattknoten}
 \end{figure}
 
+\todo[inline]{Vorlesung vom 12.11.2013 \LaTeX{}en. Kann mir die jemand einscannen?}
+
 % Die Übungsaufgaben sollen ganz am Ende des Kapitels sein.
 \input{Kapitel1-UB}

documents/GeoTopo/Loesungen.tex

@@ -1,6 +1,6 @@
 \chapter*{Lösungen der Übungsaufgaben}
 \addcontentsline{toc}{chapter}{Lösungen der Übungsaufgaben}
-\begin{solution}[\ref{ub:aufg1}]
+\begin{solution}[\ref{ub1:aufg1}]
     \textbf{Teilaufgabe a)} Es gilt:
     \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
         \item $\emptyset, X \in \fT_X$.
@@ -24,6 +24,41 @@
     dass $(X, \fT_X)$ kein metrischer Raum sein kann.
 \end{solution}
 
-\begin{solution}[\ref{ub:aufg4}]
+\begin{solution}[\ref{ub1:aufg4}]
     \todo[inline]{Lösung schreiben}
 \end{solution}
+
+\begin{solution}[\ref{ub2:aufg4}]
+    \begin{enumerate}[label=(\alph*)]
+        \item \underline{Beh.:} Die offenen Mengen von $P$ sind
+              Vereinigungen von Mengen der Form 
+              \[\prod_{j \in J} U_j \times \prod_{i \in \mdn, i \neq j} P_i\]
+              wobei $J \subseteq \mdn$ endlich und $U_j \subseteq P_j$
+              offen ist.
+              \begin{beweis}
+                Nach Definition der Produkttopologie bilden Mengen
+                der Form
+                \[\prod_{i \in J} U_j \times \prod_{\stackrel{i \in \mdn}{i \notin J}} P_i, \text{ wobei } J \subseteq \mdn \text{ endlich und } U_j \subseteq P_j \text{offen } \forall{j \in J}\]
+                eine Basis der Topologie. Damit sind die offenen 
+                Mengen von $P$ Vereinigungen von Mengen der obigen
+                Form. $\qed$
+              \end{beweis}
+        \item \underline{Beh.:} Die Zusammenhangskomponenten von $P$
+              sind alle einpunktig.\xindex{Total Unzusammenhängend}
+              \begin{beweis}
+                Es seinen $x,y \in P$ und $x$ sowie $y$ liegen in der
+                gleichen Zusammenhangskomponente $Z \subseteq P$.
+                Da $Z$ zusammenhängend ist und $\forall{i \in I}: p_i : P \rightarrow P_i$
+                ist stetig, ist $p_i(Z) \subseteq P_i$ zusammenhängend
+                für alle $i \in \mdn$. Die zusammenhängenden Mengen
+                von $P_i$ sind genau $\Set{0}$ und $\Set{1}$, d.~h.
+                für alle $i \in \mdn$ gilt entweder $p_i(Z) \subseteq \Set{0}$
+                oder $p_i(Z) \subseteq \Set{1}$. Es sei $z_i \in \Set{0,1}$
+                so, dass $p_i(Z) \subseteq \Set{z_i}$ für alle $i \in \mdn$.
+                Dann gilt also: 
+                \[\underbrace{p_i(x)}_{= x_i} = z_i = \underbrace{p_i(y)}_{= y_i} \forall i \in \mdn\]
+                Somit folgt: $x = y \qed$
+                
+              \end{beweis}
+    \end{enumerate}
+\end{solution}

documents/GeoTopo/Symbolverzeichnis.tex

@@ -193,6 +193,13 @@
   sort=ZZZSphaere
 }
 
+\newglossaryentry{Torus}
+{
+  name={\ensuremath{T^n}},
+  description={Torus},
+  sort=ZZZSphaereTorus
+}
+
 \newglossaryentry{Projektion}
 {
   name={\ensuremath{\pi_X}},