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+%!TEX root = Programmierparadigmen.tex
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+\markboth{Ergänzende Definitionen}{Ergänzende Definitionen}
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+\chapter*{Ergänzende Definitionen}
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+\addcontentsline{toc}{chapter}{Ergänzende Definitionen}
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+
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+\begin{definition}[Quantoren]\xindex{Quantor}%
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+ \begin{defenum}
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+ \item $\forall x \in X: p(x)$: Für alle Elemente $x$ aus der Menge $X$ gilt
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+ die Aussage $p$.
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+ \item $\exists x \in X: p(x)$: Es gibt mindestens ein Element $x$ aus der
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+ Menge $X$, für das die Aussage $p$ gilt.
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+ \item $\exists! x \in X: p(x)$: Es gibt genau ein Element $x$ in der
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+ Menge $X$, sodass die Aussage $p$ gilt.
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+ \end{defenum}
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+\end{definition}
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+
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+\begin{definition}[Prädikatenlogik]\xindex{Prädikatenlogik}%
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+ Eine Prädikatenlogik ist ein formales System, das Variablen und Quantoren
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+ nutzt um Aussagen zu formulieren.
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+\end{definition}
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+
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+\begin{definition}[Aussagenlogik]\xindex{Aussagenlogik}%
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+ TODO
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+\end{definition}
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+
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+\begin{definition}[Grammatik]\xindex{Grammatik}\xindex{Alphabet}\xindex{Nichtterminal}\xindex{Startsymbol}\xindex{Produktionsregel}\index{Ableitungsregel|see{Produktionsregel}}%
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+ Eine (formale) \textbf{Grammatik} ist ein Tupel $(\Sigma, V, P, S)$ wobei gilt:
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+ \begin{defenumprops}
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+ \item $\Sigma$ ist eine endliche Menge und heißt \textbf{Alphabet},
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+ \item $V$ ist eine endliche Menge mit $V \cap \Sigma = \emptyset$ und
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+ heißt \textbf{Menge der Nichtterminale},
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+ \item $S \in V$ heißt das \textbf{Startsymbol}
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+ \item $P = \Set{p: I \rightarrow r | I \in (V \cup \Sigma)^+, r \in (V \cup \Sigma)^*}$ ist eine endliche Menge aus \textbf{Produktionsregeln}
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+ \end{defenumprops}
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+\end{definition}
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+
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+Man schreibt:
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+
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+\begin{itemize}
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+ \item $a \Rightarrow b$: Die Anwendung einer Produktionsregel auf $a$ ergibt $b$.
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+ \item $a \Rightarrow^* b$: Die Anwendung mehrerer (oder keiner) Produktionsregeln auf
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+ $a$ ergibt $b$.
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+ \item $a \Rightarrow^+ b$: Die Anwendung mindestens einer Produktionsregel auf $a$
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+ ergibt $b$.
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+\end{itemize}
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+
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+\begin{beispiel}[Formale Grammatik]
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+ Folgende Grammatik $G = (\Sigma, V, P, A)$ erzeugt alle korrekten Klammerausdrücke:
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+
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+ \begin{itemize}
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+ \item $\Sigma = \Set{(, )}$
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+ \item $V = \Set{\alpha}$
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+ \item $s = \alpha$
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+ \item $P = \Set{\alpha \rightarrow () | \alpha \alpha | (\alpha)}$
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+ \end{itemize}
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+\end{beispiel}
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+
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+\begin{definition}[Kontextfreie Grammatik]\xindex{Grammatik!Kontextfreie}%
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+ Eine Grammatik $(\Sigma, V, P, S)$ heißt \textbf{kontextfrei}, wenn für
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+ jede Produktion $p: I \rightarrow r$ gilt: $I \in V$.
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+\end{definition}
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+
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+\begin{definition}[Sprache]\xindex{Sprache}%
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+ Sei $G = (\Sigma, V, P, S)$ eine Grammatik. Dann ist
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+ \[L(G) := \Set{\omega \in \Sigma^* | S \Rightarrow^* \omega}\]
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+ die Menge aller in der Grammatik ableitbaren Wörtern. $L(G)$ heißt Sprache
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+ der Grammatik $G$.
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+\end{definition}
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+
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+\begin{definition}\xindex{Linksableitung}\xindex{Rechtsableitung}%
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+ Sei $G = (\Sigma, V, P, S)$ eine Grammatik und $a \in (V \cup \Sigma)^+$.
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+ \begin{defenum}
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+ \item $\Rightarrow_L$ heißt \textbf{Linksableitung}, wenn die Produktion
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+ auf das linkeste Nichtterminal angewendet wird.
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+ \item $\Rightarrow_R$ heißt \textbf{Rechtsableitung}, wenn die Produktion
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+ auf das rechteste Nichtterminal angewendet wird.
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+ \end{defenum}
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+\end{definition}
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+
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+\begin{beispiel}[Links- und Rechtsableitung]
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+ Sie $G$ wie zuvor die Grammatik der korrekten Klammerausdrücke:
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+
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+ \begin{equation*}
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+ \begin{aligned}[t]
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+ \alpha &\Rightarrow_L \alpha \alpha\\
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+ &\Rightarrow_L \alpha \alpha \alpha\\
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+ &\Rightarrow_L () \alpha \alpha\\
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+ &\Rightarrow_L () (\alpha) \alpha\\
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+ &\Rightarrow_L () (()) \alpha\\
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+ &\Rightarrow_L () (()) ()\\
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+ \end{aligned}
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+ \qquad\Longleftrightarrow\qquad
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+ \begin{aligned}[t]
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+ \alpha &\Rightarrow_R \alpha \alpha\\
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+ &\Rightarrow_R \alpha \alpha \alpha\\
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+ &\Rightarrow_R \alpha \alpha ()\\
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+ &\Rightarrow_R \alpha (\alpha) ()\\
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+ &\Rightarrow_R \alpha (()) ()\\
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+ &\Rightarrow_R () (()) ()\\
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+ \end{aligned}
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+ \end{equation*}
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+\end{beispiel}
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+
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+\begin{definition}[LL($k$)-Grammatik]\xindex{LL(k)-Grammatik}%
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+ Sei $G = (\Sigma, V, P, S)$ eine kontextfreie Grammatik. $G$ heißt
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+ LL($k$)-Grammatik für $k \in \mathbb{N}_{\geq 1}$, wenn jeder Ableitungsschritt durch
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+ die linkesten $k$ Symbole der Eingabe bestimmt ist.\todo{Was ist die Eingabe einer Grammatik?}
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+\end{definition}
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+
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+Ein LL-Parser ist ein Top-Down-Parser liest die Eingabe von Links nach rechts
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+und versucht eine Linksableitung der Eingabe zu berechnen. Ein LL($k$)-Parser
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+kann $k$ Token vorausschauen, wobei $k$ als \textit{Lookahead}\xindex{Lookahead}
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+bezeichnet wird.
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+
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+\begin{satz}
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+ Für linksrekursive, kontextfreie Grammatiken $G$ gilt:
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+ \[\forall k \in \mathbb{N}: G \notin \SLL(k)\]
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+\end{satz}
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Martin Thoma