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documents/GeoTopo/Kapitel1.tex

@@ -387,9 +387,15 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
               stetig für jeden topologischen Raum $Y$ und jede Abbildung $f$.
         \item Sei $X = [0, 1), Y = S^1 = \Set{z \in \mdc | \|z\| = 1}$
               und $f(t) = e^{2 \pi i t}$
-              \todo[inline]{Bild mit Kreis und Zahlenstrahl von 0 bis 1 einfügen}
+              \begin{figure}
+                \centering
+                \input{figures/topology-continuous-mapping}
+                \caption{Beispiel einer stetigen Funktion $f$, deren 
+                         Umkehrabbildung $g$ nicht steitg ist.}
+                \label{fig:nicht-stetige-umkehrabbildung}
+              \end{figure}
               Die Umkehrabbildung $g$ ist nicht stetig, da $g^{-1}(U)$
-              nicht offen ist (vgl. Bild TODO)
+              nicht offen ist (vgl. Abb. \ref{fig:nicht-stetige-umkehrabbildung})
     \end{enumerate}
 \end{beispiel}
 
@@ -416,12 +422,10 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
 \end{beweis}
 
 \begin{bemerkung}
-    Für jeden topologischen Raum ist $\text{Homöo}(X) := \Set{f: X \rightarrow X | f \text{ ist Homöomorphismus}}$
-    eine Gruppe.
-\end{bemerkung}
-
-\begin{bemerkung}
-    \begin{enumerate}[label=\alph*]
+    \begin{enumerate}[label=\alph*)]
+        \item Für jeden topologischen Raum ist 
+              $\text{Homöo}(X) := \Set{f: X \rightarrow X | f \text{ ist Homöomorphismus}}$
+              eine Gruppe.
         \item Jede Isometrie $f:X \rightarrow Y$ zwischen metrischen 
               Räumen ist ein Homöomorphismus.
         \item $\text{Isom}(X) := \Set{f:X \rightarrow X | f \text{ ist Isometrie}}$ ist
@@ -452,7 +456,9 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
 \end{korollar}
 
 \begin{beweis}
-    Nach Definition ist $U \subseteq \overline{X}$ offen $\gdw \pi^{-1}(U) \subseteq X$ offen
+    Nach Definition ist 
+    $U \subseteq \overline{X}$ offen $\gdw \pi^{-1}(U) \subseteq X$ 
+    offen. $\qed$
 \end{beweis}
 
 \emph{Beobachtung:} Die Quotiententopologie ist die feinste Topologie,

documents/GeoTopo/figures/number-ray-circle-topology.tex

@@ -24,7 +24,7 @@
     \begin{scope}[shift={(0,-2)}]
         \draw[thick] (0cm,0cm) circle(1cm);
         \draw[thick, red] ([shift={(216:1cm)}]-0.0,0) arc (216:-72:1cm);
-        \draw (0:1cm) node[point, label={[right]{$0$}}] {};
+        \draw (0:1cm) node[point, label=right:{$0$}] {};
         \path node[point, blue, label={[blue,above]{$\overline{a}$}}] (posU) at (-252:1cm) {};
         \path node[label={[red,left]{$U$}}] at (30:1cm) {};
     \end{scope}

documents/GeoTopo/figures/topology-continuous-mapping.tex

@@ -0,0 +1,44 @@
+\tikzset{
+    point/.style={
+        thick,
+        draw=gray,
+        cross out,
+        inner sep=0pt,
+        minimum width=4pt,
+        minimum height=4pt,
+    },
+}
+\begin{tikzpicture}
+  
+  \draw[->] (-0.5,0) -- (1.5,0) node [below] {$\mathbb{R}$};
+
+  \foreach \x in {0,...,1}
+    \draw (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node [below] {\x};
+
+
+  \draw[red] (0.07,0.1) -- (0,0.1) -- (0,-0.1) -- (0.07,-0.1) node [below] {};
+  \draw[red] plot [smooth] coordinates{(0.47,0.1) (0.5,0) (0.47,-0.1)};
+
+    \begin{scope}[shift={(4,0)}]
+        \draw[thick] (0cm,0cm) circle(1cm);
+        \draw[thick, red] ([shift={(180:1cm)}]-0.0,0) arc (180:0:1cm);
+        \draw (0:1cm) node[point, label=right:{$0$}] {};
+        %\path node[point, blue, label={[blue,above]{$\overline{a}$}}] (posU) at (-252:1cm) {};
+        %\path node[label={[red,left]{$U$}}] at (30:1cm) {};
+    \end{scope}
+
+    \coordinate (circleUp)       at (2.6, 0.1);
+    \coordinate (circleDown)     at (2.6,-0.1);
+    \coordinate (numberlineUp)   at (1.7, 0.1);
+    \coordinate (numberlineDown) at (1.7,-0.1);
+
+    \path[->] (numberlineUp)   edge  [bend left]  node[label=$f$]  {} (circleUp);
+    \path[<-] (numberlineDown) edge  [bend right] node[label=below:$g$]  {} (circleDown);
+
+    %\draw (3.7cm,0cm) node[point, blue, label={[blue,above]{$a$}}] (posA) {};
+    %\draw (0.7cm,0cm) node[point, blue, label={[blue,above]{$\pi^{-1}(u)$}}] {};
+    %\draw[dashed, blue, thick] plot [smooth] coordinates{(posU) (0.2,-0.8) (2.5,-1) (posA)};
+
+    %\draw[blue, dashed, thick] (3.7cm,0cm) arc (0:180:1.5 and 0.5);
+
+\end{tikzpicture}