Verbesserungen mithilfe Sarahs Antworten (Email vom 08.02.2014)

documents/GeoTopo/Fragen/Fragen.tex

@@ -50,7 +50,7 @@
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \begin{document}
 \chapter{Fragen zu Definitionen}
-\section{Topologischer Raum}
+\section*{1.) Definition topologischer Raum}
 \begin{definition}\xindex{Raum!topologischer}\xindex{Menge!offene}\xindex{Menge!abgeschlossene}%
     Ein \textbf{topologischer Raum} ist ein Paar $(X, \fT)$ bestehend
     aus einer Menge $X$ und $\fT \subseteq \powerset{X}$ mit
@@ -66,74 +66,35 @@
     $A \subseteq X$ heißt \textbf{abgeschlossen}, wenn $X \setminus A$ offen ist.
 \end{definition}
 
-Ich glaube es ist unnötig in (i) zu fordern, dass $\emptyset in \fT$ gilt,
+Ich glaube es ist unnötig in (i) zu fordern, dass $\emptyset \in \fT$ gilt,
 da man das mit (iii) bereits abdeckt:
 
 Sei in (iii) die Indexmenge $I = \emptyset$. Dann muss gelten:
 
 $\displaystyle \bigcup_{i \in \emptyset} U_i = \emptyset \in \fT$
 
-\section{Diskret}
-\begin{definition}
-    Sei $X$ ein topologischer Raum und $M \subseteq X$.
-
-    $M$ heißt \textbf{diskret} in $X$, wenn $M$ in $X$ keinen 
-    Häufungspunkt hat.
-\end{definition}
-
-Laut \url{http://www.uni-protokolle.de/Lexikon/Diskreter_Raum.html#Diskrete_Teilmenge_eines_topologischen_Raums}
-könnte man \textbf{diskret} wie folgt definieren:
-
-\begin{definition}
-    Sei $X$ ein topologischer Raum.
-    \begin{defenum}
-        \item Ein Punkt $x \in X$ heißt \textbf{isolierter Punkt}, wenn $\Set{ x }$ offen ist.
-        \item Ein topologischer Raum heißt \textbf{diskreter topologischer}, Raum wenn jeder seiner Punkte isoliert ist.
-    \end{defenum}
-\end{definition}
-
-Sind diese beiden Definitionen äquivalent? Falls ja, finde ich die 
-zweite besser. Da benötigt man den Begriff \enquote{Häufungspunkt}
-nicht, den wir nicht definiert hatten.
-
-\section{Simpliziale Abbildung}
-\begin{definition}
-    Seien $K, L$ Simplizialkomplexe. Eine stetige Abbildung
-    \[f:|K| \rightarrow |L|\]
-    heißt \textbf{simplizial}, wenn für
-    jedes $\Delta \in K$ gilt:
-    \begin{defenum}
-        \item $f(\Delta) \in L$
-        \item $f|_{\Delta} : \Delta \rightarrow f(\Delta)$ ist eine
-              affine Abbildung.
-    \end{defenum}
-\end{definition}
-
-Ist die Definition so richtig? Was bedeutet $|K|$ und $|L|$ in
-    \[f:|K| \rightarrow |L|\]
-
-\section{Knotendiagramm}
+\section*{4.) Knotendiagramm:}
 \begin{definition}\xindex{Knotendiagramm}%
     Ein \textbf{Knotendiagramm} eines Knotens $\gamma$ ist eine 
     Projektion $\pi: \mdr^3 \rightarrow E$ auf eine Ebene $E$, sodass
-    $|(\pi|C)^{-1}(x)| \leq 2$ für jedes $x \in D$.
+    $|\pi^{-1}(x) \cap C| \leq 2$ für jedes $x \in D$, wobei $C = \gamma(S^1)$.
 
-    Ist $(\pi|C)^{-1}(x) = \Set{y_1, y_2}$, so \textbf{liegt $y_1$ über $y_2$},
+    Ist ${\color{red}(\pi|C)}^{-1}(x) = \Set{y_1, y_2}$, so \textbf{liegt $y_1$ über $y_2$},
     wenn $(y_1-x) = \lambda (y_2 - x)$ für ein $\lambda > 1$ ist.
 \end{definition}
 
 Sollte das jeweils $\pi|_C$ (sprich: \enquote{$\pi$ eingeschränkt auf $C$})
-sein? Was ist $C$?
+sein?
 
-\section{Homotope Abbildungen und äquivalente Knoten}
+\section*{5.) Isotopie/Knoten}
 \begin{definition}
     Zwei Knoten $\gamma_1, \gamma_2: S^1 \rightarrow \mdr^3$ heißen
     \textbf{äquivalent}, wenn es eine stetige Abbildung
     \[H: S^1 \times [0,1] \rightarrow \mdr^3\]
     gibt mit 
     \begin{align*}
-        H(z,0) &= \gamma_1(z)\\
-        H(z,1) &= \gamma_2(z)
+        H(z,0) &= \gamma_1(z) {\;\;\;\color{red} \forall z \in S^1}\\
+        H(z,1) &= \gamma_2(z) {\;\;\;\color{red} \forall z \in S^1}
     \end{align*}
     und für jedes
     feste $t \in [0,1]$ ist 
@@ -142,29 +103,9 @@ sein? Was ist $C$?
     $\gamma_1$ und $\gamma_2$.
 \end{definition}
 
-Fehlt hier nicht etwas wie \enquote{$\forall z \in S^1$}?
-
-\begin{definition}\xindex{Abbildung!homotope}%
-    Seien $X, Y$ topologische Räume, $x_0 \in X, y_0 \in Y, f, g: X \rightarrow Y$
-    stetig mit $f(x_0) = y_0 = g(x_0)$.
-
-    $f$ und $g$ heißen \textbf{homotop} ($f \sim g$), wenn es eine stetige
-    Abbildung $H: X \times I \rightarrow Y$ mit 
-    \begin{align*}
-        H(x,0)    &= f(x) \; \forall x \in X\\
-        H(x,1)    &= g(x) \; \forall x \in X\\
-        H(x_0, s) &= y_0  \; \forall s \in I
-    \end{align*}
-    gibt.
-\end{definition}
-
-Mir scheint der Begriff \enquote{homotope Abbildung} bis auf die
-Eigenschaft \enquote{$H(x_0, s) = y_0  \; \forall s \in I$} mit 
-dem Begriff \enquote{äquivalente Knoten} übereinzustimmen.
-Der Knoten-Begriff ist dafür etwas spezieller nur auf Knoten bezogen.
-Stimmt das?
+Fehlt hier nicht etwas wie \enquote{$\forall z \in S^1$} (nun rot ergänzt).
 
-\section{Basis und Subbasis}
+\section*{6.) Basisbeispiele}
 \begin{itemize}
     \item Kennst du ein Beispiel für eine Subbasis in einem Topologischen Raum,
 die zugleich eine Basis ist?
@@ -174,33 +115,7 @@ die keine Basis ist?
 die keine Subbasis ist?
 \end{itemize}
 
-\section{Homotopie}
-\begin{definition}%
-    Sei $X$ ein topologischer Raum, $a, b \in X$, 
-    $\gamma_1, \gamma_2: [0,1] \rightarrow X$ Wege von $a$ nach $b$,
-    d.~h. $\gamma_1(0) = \gamma_2(0) = a$, $\gamma_1(1) = \gamma_2(1) = b$
-
-    \begin{defenum}
-        \item $\gamma_1$ und $\gamma_2$ heißen \textbf{homotop}\xindex{Weg!homotope},
-              wenn es eine stetige Abbildung $H : I \times I \rightarrow X$ mit
-              \begin{align*}
-                H(t,0) &= \gamma_1(t)\;\forall t \in [0,1] =: I\\
-                H(t,1) &= \gamma_2(t)\;\forall t \in [0,1] =: I
-              \end{align*}
-              und $H(0,s) = a$ und $H(1,s) = b$ für alle $s \in I$ gibt.
-              Dann schreibt man: $\gamma_1 \sim \gamma_2$
-
-              $H$ heißt \textbf{Homotopie}\xindex{Homotopie} zwischen
-              $\gamma_1$ und $\gamma_2$.
-        \item $\gamma_s: I \rightarrow X, \gamma_s(t) = H(t,s)$ ist
-              Weg in $X$ von $a$ nach $b$ für jedes $s \in I$.
-    \end{defenum}
-\end{definition}
-
-Diese Definition finde ich seltsam. Sollte b) nicht eine Bedingung für \enquote{Homotopie}
-sein? Falls nicht: Was wird in b) definiert?
-
-\section{Mannigfaltigkeit und MF mit Rand}
+\section*{9.) Mannigfaltigkeit mit Rand}
 \begin{definition}%
     Sei $X$ ein topologischer Raum und $n \in \mdn$.
     \begin{defenum}
@@ -230,30 +145,7 @@ Wieso wird bei der Mannigfaltigkeit mit Rand nicht gefordert, dass
 sie eine abzählbare Basis haben soll? Sollte man nicht vielleicht
 hinzufügen, dass der Atlas $n$-dimensional sein soll?
 
-\section{Standard-Simplex}
-\begin{definition}
-    \begin{defenum}
-        \item Sei $\Delta^k = \conv(e_0, \dots, e_k) \subseteq \mdr^{n+1}$
-              die konvexe Hülle der Standard-Basisvektoren $e_0, \dots, e_k$.
-
-              Dann heißt $\Delta^k$ \textbf{Standard-Simplex}\xindex{Standard-Simplex}
-              und $k$ die Dimension des Simplex.
-        \item Für Punkte $v_0, \dots, v_k$ im $\mdr^n$ in allgemeiner
-              Lage heißt $\Delta (v_0, \dots, v_k) = \conv(v_0, \dots, v_k)$
-              ein \textbf{$k$-Simplex}\xindex{Simplex} in $\mdr^n$.
-        \item Ist $\Delta (v_0, \dots, v_k)$ ein $k$-Simplex und
-              $I = \Set{i_0, \dots, i_r} \subseteq \Set{0, \dots, k}$,
-              so heißt $s_{i_0, \dots, i_r} := \conv(v_{i_0}, \dots, v_{i_r})$
-              \textbf{Teilsimplex}\xindex{Teilsimplex} oder \textbf{Seite}\xindex{Seite}
-              von $\Delta$. 
-
-              $s_{i_0, \dots, i_r}$ ist $r$-Simplex.
-    \end{defenum}
-\end{definition}
-Kann man bei der Definition des Standard-Simplex $k$ durch $n$ ersetzen?
-Es gilt doch auf jeden Fall $0 \geq k \geq n$, oder? (Also auch für die anderen Definitionen).
-
-\section{Produkttopologie}
+\section*{11.) Produkttopologie}
 \begin{definition}\xindex{Produkttopologie}%
     Seien $X_1, X_2$ topologische Räume.\\
     $U \subseteq X_1 \times X_2$ sei offen, wenn es zu jedem $x = (x_1, x_2) \in U$

documents/GeoTopo/Kapitel1.tex

@@ -188,7 +188,7 @@ Die Teilraumtopologie wird auch \textit{Spurtopologie} oder
     $0 \sim 1$, d.~h. $[0] = [1]$
 \end{beispiel}
 
-\begin{beispiel}
+\begin{beispiel}\xindex{Torus}
     Sei $X = \mdr^2$ und $(x_1, y_1) \sim (x_2, y_2) \gdw x_1 - x_2 \in \mdz$ 
     und $y_1 - y_2 \in \mdz$. Dann ist $X /_\sim$ ein Torus.
 \end{beispiel}
@@ -209,11 +209,11 @@ Die Teilraumtopologie wird auch \textit{Spurtopologie} oder
     Sei $X$ eine Menge. Eine Abbildung $d:X\times X \rightarrow \mdr_0^+$
     heißt \textbf{Metrik}, wenn gilt:
 
-    \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
+    \begin{defenumprops}
         \item Definitheit:         \tabto{4cm} $d(x,y) = 0 \gdw x = y \;\;\; \forall x, y \in X$
         \item Symmetrie:           \tabto{4cm} $d(x,y) = d(y,x) \;\;\; \forall x, y \in X$
         \item Dreiecksungleichung: \tabto{4cm} $d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z) \;\;\; \forall x, y, z \in X$
-    \end{enumerate}
+    \end{defenumprops}
 
     Das Paar $(X, d)$ heißt ein \textbf{metrischer Raum}.
 \end{definition}
@@ -295,7 +295,7 @@ Die Teilraumtopologie wird auch \textit{Spurtopologie} oder
     \end{bspenum}
 \end{beispiel}
 
-\begin{bemerkung}
+\begin{bemerkung}[Eigenschaften von Hausdorff-Räumen]
     Seien $X, X_1, X_2$ Hausdorff-Räume.
     \begin{enumerate}[label=\alph*)]
         \item Jeder Teilraum von $X$ ist hausdorffsch.
@@ -388,7 +388,7 @@ Die Teilraumtopologie wird auch \textit{Spurtopologie} oder
     Abbildung. Dann gilt:
 
     $f \text{ ist stetig}$\\
-    $\gdw \text{für jede abgeschlossene Teilmenge } A \subseteq Y \text{ gilt}: f^{-1}(A) \subseteq X \text{ ist abgeschlossen}$
+    $\gdw \text{für jede abgeschlossene Teilmenge } A \subseteq Y \text{ gilt}: f^{-1}(A) \subseteq X \text{ ist abgeschlossen.}$
 \end{bemerkung}
 
 \begin{beispiel}[Stetige Abbildungen und Homöomorphismen]
@@ -560,7 +560,7 @@ sodass $\pi$ stetig wird.
               $(\mdq \cap \mdr_{< \sqrt{2}}) \cup (\mdq \cap \mdr_{> \sqrt{2}}) = \mdq$
         \item $\Set{x}$ ist zusammenhängend für jedes $x \in X$, 
               wobei $X$ ein topologischer Raum ist.
-        \item $\mdr$ mit Zariski-Topologie ist zusammenhängend\xindex{Topologie!Zariski}
+        \item $\mdr$ mit Zariski-Topologie ist zusammenhängend.\xindex{Topologie!Zariski}
     \end{enumerate}
 \end{beispiel}
 
@@ -577,13 +577,14 @@ sodass $\pi$ stetig wird.
     \end{align*}
 
     Wäre $A \cap A_1 = \emptyset$\\
-    $\Rightarrow A \subseteq A_2$\\
+    $\Rightarrow A \subseteq \overline{A} = A_1 \dcup A_2$\\
+    $\Rightarrow A \subseteq A_2$
     $\Rightarrow \overline{A} \subseteq A_2$\\
     $\Rightarrow A_1 = \emptyset$\\
     $\Rightarrow$ Widerspruch zu $A_1 \neq \emptyset$\\
     $\Rightarrow A \cap A_1 \neq \emptyset$ und analog 
                 $A \cap A_2 \neq \emptyset$\\
-    $\Rightarrow$ Widerspruch zu $A$ ist zusammenhängend $ \qed$
+    $\Rightarrow$ Widerspruch zu $A$ ist zusammenhängend. $ \qed$
 \end{beweis}
 
 \begin{bemerkung}\label{bem:zusammenhangVereinigung}
@@ -598,7 +599,7 @@ sodass $\pi$ stetig wird.
         &\xRightarrow{\text{\obda}} A = (A \cap U_1) \dcup (A \cap U_2) \text{ offen}\\
         &\xRightarrow{A \text{ zhgd.}} A \cap U_1 = \emptyset\\
         &\xRightarrow{A \cap B \neq \emptyset} U_1 \subseteq B\\
-        &B = \underbrace{(B \cap U_1)}_{= U_1} \cup \underbrace{(B \cap U_2)}_{= \emptyset} \text{ ist unerlaubte Zerlegung}
+        &B = \underbrace{(B \cap U_1)}_{= U_1} \cup \underbrace{(B \cap U_2)}_{= \emptyset} \text{ ist unerlaubte Zerlegung.}
     \end{align*}
     $\qed$
 \end{beweis}
@@ -736,7 +737,7 @@ $\qed$
         &\xRightarrow{X \text{ kompakt}} \text{ es gibt } i_1, \dots, i_n \in I\text{, sodass }\bigcup_{j=1}^n U_{i_j} \cup (X \setminus A) = X\\
         &\Rightarrow \left (\bigcup_{j=1}^n U_{i_j} \cup (X \setminus A)\right ) \cap A = A\\
         &\Rightarrow \bigcup_{j=1}^n \underbrace{(U_{i_j} \cap A)}_{= V_{i_j}} \cup \underbrace{((X \setminus A) \cap A)}_{= \emptyset} = A\\
-        &\Rightarrow V_{i_1}, \dots, V_{i_n} \text{ überdecken } A
+        &\Rightarrow V_{i_1}, \dots, V_{i_n} \text{ überdecken } A\text{.}
     \end{align*}
     $\qed$
 \end{beweis}
@@ -823,7 +824,7 @@ $\qed$
     wenn sie beschränkt und abgeschlossen ist.
 \end{satz}
 
-\begin{beweis}
+\begin{beweis}\leavevmode
     \enquote{$\Rightarrow$}: Sei $K \subseteq \mdr^n$ (oder $\mdc^n$)
     kompakt.
 
@@ -961,7 +962,7 @@ $\qed$
 \end{figure}
 
 \begin{beweis}
-    ist technisch mühsam und wird daher hier nicht geführt. Er kann
+    ist technisch mühsam und wird hier nicht geführt. Er kann
     in \enquote{Algebraische Topologie: Eine Einführung} von R.~Stöcker
     und H.~Zieschang auf S. 301f (ISBN 978-3519122265) nachgelesen werden.
 

documents/GeoTopo/Kapitel2.tex

@@ -4,11 +4,11 @@
 \chapter{Mannigfaltigkeiten und Simplizialkomplexe}
 \section{Topologische Mannigfaltigkeiten}
 \begin{definition}%
-    Sei $X$ ein topologischer Raum und $n \in \mdn$.
+    Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum und $n \in \mdn$.
     \begin{defenum}
         \item Eine $n$-dimensionale \textbf{Karte}\xindex{Karte} auf
-              $X$ ist ein Paar $(U, \varphi)$, wobei $U \subseteq X$
-              offen und $\varphi: U \rightarrow V$ Homöomorphismus
+              $X$ ist ein Paar $(U, \varphi)$, wobei $U \in \fT$
+              und $\varphi: U \rightarrow V$ Homöomorphismus
               von $U$ auf eine offene Teilmenge $V \subseteq \mdr^n$.
         \item Ein $n$-dimensionaler \textbf{Atlas}\xindex{Atlas} $\atlas$ auf $X$ ist eine
               Familie $(U_i, \varphi_i)_{i \in I}$ von Karten auf $X$,
@@ -571,11 +571,11 @@ Differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Klasse $C^\infty$ werden auch
 
 \begin{definition}
     \begin{defenum}
-        \item Sei $\Delta^k = \conv(e_0, \dots, e_k) \subseteq \mdr^{n+1}$
-              die konvexe Hülle der Standard-Basisvektoren $e_0, \dots, e_k$.
+        \item Sei $\Delta^n = \conv(e_0, \dots, e_n) \subseteq \mdr^{n+1}$
+              die konvexe Hülle der Standard-Basisvektoren $e_0, \dots, e_n$.
 
-              Dann heißt $\Delta^k$ \textbf{Standard-Simplex}\xindex{Standard-Simplex}
-              und $k$ die Dimension des Simplex.
+              Dann heißt $\Delta^n$ \textbf{Standard-Simplex}\xindex{Standard-Simplex}
+              und $n$ die Dimension des Simplex.
         \item Für Punkte $v_0, \dots, v_k$ im $\mdr^n$ in allgemeiner
               Lage heißt $\Delta (v_0, \dots, v_k) = \conv(v_0, \dots, v_k)$
               ein \textbf{$k$-Simplex}\xindex{Simplex} in $\mdr^n$.

documents/GeoTopo/Kapitel3.tex

@@ -23,24 +23,37 @@
     $\gamma_1, \gamma_2: [0,1] \rightarrow X$ Wege von $a$ nach $b$,
     d.~h. $\gamma_1(0) = \gamma_2(0) = a$, $\gamma_1(1) = \gamma_2(1) = b$
 
-    \begin{defenum}
-        \item $\gamma_1$ und $\gamma_2$ heißen \textbf{homotop}\xindex{Weg!homotope},
-              wenn es eine stetige Abbildung $H : I \times I \rightarrow X$ mit
-              \begin{align*}
-                H(t,0) &= \gamma_1(t)\;\forall t \in [0,1] =: I\\
-                H(t,1) &= \gamma_2(t)\;\forall t \in [0,1] =: I
-              \end{align*}
-              und $H(0,s) = a$ und $H(1,s) = b$ für alle $s \in I$ gibt.
-              Dann schreibt man: $\gamma_1 \sim \gamma_2$
+    $\gamma_1$ und $\gamma_2$ heißen \textbf{homotop}\xindex{Weg!homotope},
+    wenn es eine stetige Abbildung $H : I \times I \rightarrow X$ mit
+    \begin{align*}
+        H(t,0) &= \gamma_1(t)\;\forall t \in [0,1] =: I\\
+        H(t,1) &= \gamma_2(t)\;\forall t \in I
+    \end{align*}
+    und $H(0,s) = a$ und $H(1,s) = b$ für alle $s \in I$ gibt.
+    Dann schreibt man: $\gamma_1 \sim \gamma_2$
 
-              $H$ heißt \textbf{Homotopie}\xindex{Homotopie} zwischen
-              $\gamma_1$ und $\gamma_2$.
-        \item $\gamma_s: I \rightarrow X, \gamma_s(t) = H(t,s)$ ist
-              Weg in $X$ von $a$ nach $b$ für jedes $s \in I$.
-    \end{defenum}
+    $H$ heißt \textbf{Homotopie}\xindex{Homotopie} zwischen
+    $\gamma_1$ und $\gamma_2$.
 \end{definition}
 
 \begin{bemerkung}
+    Sei $X$ ein topologischer Raum, $a, b \in X$, 
+    $\gamma_1, \gamma_2: I \rightarrow X$ Wege von $a$ nach $b$
+    und $H$ eine Homotopie ziwschen $\gamma_1$ und $\gamma_2$.
+
+    Dann gilt: Der Weg
+    \[\gamma_s: I \rightarrow X,\;\;\;\gamma_s(t) = H(t,s)\]
+    ist Weg in $X$ von $a$ nach $b$ für jedes $s \in I$.
+\end{bemerkung}
+
+\begin{beweis}
+    $H$ ist stetig, also ist $H(t, s)$ insbesondere für jedes feste
+    $s$ stetig. Da $H(0,s) = a$ und $H(1,s) = b$ für alle $s \in I$
+    und $\gamma_s$ eine Abbildung von $I$ auf $X$ ist,
+    ist $\gamma_s$ ein Weg in $X$ von $a$ nach $b$ für jedes $s \in I$. $\qed$
+\end{beweis}
+
+\begin{bemerkung}
     \enquote{Homotop} ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge aller
     Wege in $X$ von $a$ nach $b$.
 \end{bemerkung}

documents/GeoTopo/Kapitel4.tex

@@ -6,7 +6,7 @@
 \begin{definition}%
     Das Tripel $(X, d, G)$ heißt genau dann eine \textbf{Geometrie}\xindex{Geometrie},
     wenn $(X, d)$ ein metrischer Raum und $\emptyset \neq G \subseteq \powerset{X}$
-    die Menge aller \textbf{Geraden}\xindex{Gerade} ist.
+    gilt. Dann heißt $G$ die Menge aller \textbf{Geraden}\xindex{Gerade}.
 \end{definition}
 
 \section{Axiome für die euklidische Ebene}
@@ -48,9 +48,8 @@ aufgestellt.
 \end{itemize}
 
 \begin{definition}\xindex{Ebene!euklidische}%In Vorlesung: Definition 14.2
-    Eine \textbf{euklidische Ebene} ist ein metrischer Raum $(X,d)$ 
-    zusammen mit einer Teilmenge $\emptyset \neq G \subseteq \powerset{X}$, sodass die
-    Axiome~\ref{axiom:1}~-~\ref{axiom:5} erfüllt sind:
+    Eine \textbf{euklidische Ebene} ist eine Geometrie $(X,d, G)$, die
+    Axiome~\ref{axiom:1}~-~\ref{axiom:5} erfüllt:
     \begin{enumerate}[label=§\arabic*),ref=§\arabic*]
         \item \textbf{Inzidenzaxiome}\xindex{Inzidenzaxiome}:\label{axiom:1}
             \begin{enumerate}[label=(\roman*),ref=\theenumi{} (\roman*)]

documents/GeoTopo/Readme.md

@@ -54,15 +54,14 @@ Was noch kommen soll
 2. Reviews (Mathematik, LaTeX und Bilder)
 3. A5-Version drucken
   * In `GeoTopo.tex`: `\AFivefalse` → `\AFivetrue`
-  * Momentan sind es ca. 89 Seiten in A4. In A5 sind es ca. 142 Seiten.
+  * Momentan sind es ca. 100 Seiten in A4. In A5 sind es ca. 159 Seiten.
   * Druckereien
-    * An der Uni
-    * http://www.epubli.de/ (ca. 9 Euro SW, 26 Euro farbig)
+    * An der Uni (ca. 8.50 Euro, SW, Spiralbindung)
+    * http://www.epubli.de/ (ca. 9.23 Euro SW + 2.95 Euro Versand, 26.99 Euro farbig)
     * https://www.viaprinto.de/ (ca. 15 Euro SW, 35 Euro farbig)
     * http://shop.kopie.de/article/show/diplomarbeit
     * http://www.drucksofa.com/
     * http://www.mein-druck.de/category.htm?c=15510
-    * http://www.epubli.de/
     * http://www.1buch.de/preisuebersicht/
 4. Version für Sehgeschädigte:
   * min `12pt`, besser `14pt`

documents/GeoTopo/Richtlinien/Readme.md

@@ -12,3 +12,4 @@ Konventionen
 * Jede Abkürzung muss im Abkürzungsverzeichnis sein
 * Für das Innere einer Menge wurde $M^\circ$ anstelle von $\overset{\circ}{M}$ verwendet,
   da es so besser in eine Zeile passt und meiner Meinung nach einfacher zu lesen ist.
+* Zahlen werden als Zahlen geschrieben (also: "4 Zusammenhangskomponenten" und nicht "vier Zusammenhangskomponenten")

documents/GeoTopo/Symbolverzeichnis.tex

@@ -22,6 +22,7 @@ $A \cap B\;\;\;$ Schnitt\\
 $AB\;\;\;$ Gerade durch die Punkte $A$ und $B$\\
 $\overline{AB}\;\;\;$ Strecke mit Endpunkten $A$ und $B$\\
 $\triangle ABC\;\;\;$ Dreieck mit Eckpunkten $A, B, C$\\
+$|K|\;\;\;$ Geometrische Realisierung des Simplizialkomplexes $K$\\
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 % Gruppen                                                           %
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
@@ -78,6 +79,7 @@ $\mdr^\times = \mdr \setminus \Set{0} \;$ Einheitengruppe von $\mdr$\\
 $\mdc = \Set{a+ib|a,b \in \mdr}\;\;\;$ Komplexe Zahlen\\
 $\mdp = \Set{2, 3, 5, 7, \dots}\;\;\;$ Primzahlen\\
 $\mdh = \Set{z \in \mdc | \Im{z} > 0}\;\;\;$ obere Halbebene\\
+$I = [0,1] \subsetneq \mdr\;\;\;$ Einheitsintervall\\
 
 $f:S^1 \hookrightarrow \mdr^2\;\;\;$ Einbettung der Kreislinie in die Ebene\\
 $\pi_1(X,x)\;\;\;$ Fundamentalgruppe im topologischen Raum $X$ um $x \in X$\\