Aufgabe 2, Klausur 5 ausfühlricher begründet

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 Zeige die Aussage für $2\times2$ Matrizen durch Gauß-en mit
 Spaltenpivotwahl.
 
-Begründe, warum sich die Situation für größere Matrizen nicht ändert.
-TODO: Ausfürhlicher beschreiben!
+\subsection*{Lösung}
+\subsubsection*{Behauptung:}
+Für alle tridiagonalen Matrizen gilt:
+\begin{enumerate}
+    \item[(i)] Die Gauß-Elimination erhält die tridiagonale Struktur
+    \item[(ii)] $\rho_n(A) := \frac{\alpha_\text{max}}{\max_{i,j} |a_{ij}|} \leq 2$
+\end{enumerate}
+
+\subsubsection*{Beweis:}
+\paragraph{Teil 1: (i)}
+\begin{align}
+    A &= \begin{gmatrix}[p]
+        * & *       &        & \\
+        * & \ddots  & \ddots & \\
+          & \ddots  & \ddots &  * \\
+          &         &   *    & *
+        \rowops
+            \add[\cdot \frac{-a_{21}}{a_{11}}]{0}{1}
+        \end{gmatrix}
+\end{align}
+
+Offensichtlich ändert diese Operation nur Zeile 2. $a_{21}$ wird zu 0,
+$a_{22}$ ändert sich irgendwie, alles andere bleibt unverändert.
+Die gesammte Matrix ist keine tridiagonale Matrix mehr, aber die 
+um Submatrix  in $R^{(n-1) \times (n-1)}$ ist noch eine.
+
+Muss man zuvor Zeile 1 und 2 tauschen (andere Zeilen kommen nicht in
+Frage), so ist später die Stelle $a_{21} = 0$, $a_{22}$ ändert sich
+wieder irgendwie und $a_{23}$ ändert sich auch. Dies ändert aber nichts
+an der tridiagonalen Struktur der Submatrix.
+
+\paragraph{Teil 2: (ii) für $A \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$}
+Sei $\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$
+beliebig. 
+
+O.B.d.A sei die Spaltenpivotwahl bereits durchgeführt, also $|a_{11}| \geq |a_{21}|$.
+
+Nun folgt:
+
+\begin{align}
+    \begin{gmatrix}[p]
+        a_{11} & a_{12}\\
+        a_{21} & a_{22}
+        \rowops
+        \add[\cdot \frac{-a_{21}}{a_{11}}]{0}{1}
+    \end{gmatrix}\\
+    \leadsto
+    \begin{gmatrix}[p]
+        a_{11} & a_{12}\\
+        0      & a_{22} - \frac{a_{12} \cdot a_{21}}{a_{11}}
+    \end{gmatrix}
+\end{align}
+
+Wegen $|a_{11}| \geq |a_{21}|$ gilt: 
+\begin{align}
+    \|\frac{a_{21}}{a_{11}}\| \leq 1
+\end{align}
+
+Also insbesondere
+
+\begin{align}
+    \underbrace{a_{22} - a_{12} \cdot \frac{a_{21}}{a_{11}}}_{\leq \alpha_\text{max}} \leq 2 \cdot \max_{i,j}|a_{ij}|
+\end{align}
+
+Damit ist Aussage (ii) für $A \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$ gezeigt.
+
+\paragraph{Teil 3: (ii) für allgemeinen Fall}
+
+Aus Teil 2 folgt die Aussage auch direkt für größere Matrizen.
+Der worst case ist, wenn man beim Addieren einer Zeile auf eine 
+andere mit $\max_{i,j}|a_{ij}|$ multiplizieren muss um das erste nicht-0-Element
+der Zeile zu entfernen und das zweite auch $\max_{i,j}|a_{ij}|$ ist.
+Dann muss man aber im nächsten schritt mit einem Faktor $\leq \frac{1}{2}$
+multiplizieren, erhält also nicht einmal mehr $2 \cdot \max_{i,j}|a_{ij}|$.