Bild von Jérôme eingefügt; Weiteren Beweis begonnen

.gitignore

@@ -38,6 +38,7 @@
 ## I want to keep some PDFs
 documents/Analysis I/*.pdf
 documents/Analysis II/*.pdf
+documents/GeoTopo/figures/torus.tex
 cheat-sheets/analysis/*.pdf
 presentations/Tutorenschlung/templates/*
 presentations/Tutorenschlung/logos/*.eps

documents/GeoTopo/Bildquellen.tex

@@ -21,6 +21,7 @@ modifiziert.
     \item[Abb. \ref{fig:reidemeister-zuege}] Reidemeister-Züge: YAMASHITA Makoto (\href{https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Reidemeister_move_1.png}{1}, \href{https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Reidemeister_move_1.png}{2}, \href{https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Reidemeister_move_1.png}{3})
     \item[Abb. \ref{fig:treefoil-knot-three-colors}] Kleeblattknoten, 3-Färbung: Jim.belk, \href{https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tricoloring.png}{\path{commons.wikimedia.org/wiki/File:Tricoloring.png}}
     \item[Abb. \ref{fig:double-torus}] Doppeltorus: Oleg Alexandrov, \href{https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Double_torus_illustration.png}{\path{commons.wikimedia.org/wiki/File:Double\_torus\_illustration.png}}
+    \item[Abb. \ref{fig:faltungsdiagramm}] Faltungsdiagramm: Jérôme Urhausen, Email vom 11.02.2014.
     \item[Abb. \ref{fig:torus-three-paths}] 3 Pfade auf Torus: \href{http://tex.stackexchange.com/users/484/charles-staats}{Charles Staats}, \href{http://tex.stackexchange.com/a/149991/5645}{\path{tex.stackexchange.com/a/149991/5645}}
     \item[Abb. \ref{fig:ueberlappung-r1-spirale-s1}] Überlagerung von $S^1$ mit $\mdr$: \href{http://tex.stackexchange.com/users/22467/alex}{Alex}, \href{http://tex.stackexchange.com/a/149706/5645}{\path{tex.stackexchange.com/a/149706/5645}}
     \item[Abb. \ref{fig:bem:14.9}] Sphärisches Dreieck: \href{https://commons.wikimedia.org/wiki/User:DemonDeLuxe}{Dominique Toussaint},\\

documents/GeoTopo/Definitionen.tex

@@ -1,7 +1,7 @@
 %!TEX root = GeoTopo.tex
-\markboth{Anhang: Definitionen}{Anhang: Definitionen}
-\chapter*{Anhang: Definitionen}
-\addcontentsline{toc}{chapter}{Anhang: Definitionen}
+\markboth{Anhang: Definitionen und Sätze}{Anhang: Definitionen und Sätze}
+\chapter*{Anhang: Definitionen und Sätze}
+\addcontentsline{toc}{chapter}{Anhang: Definitionen und Sätze}
 
 Da dieses Skript in die Geometrie und Topologie einführen soll, sollten soweit
 wie möglich alle benötigten Begriffe definiert und erklärt werden. Die folgenden
@@ -14,7 +14,7 @@ sind. Jedoch will ich zumindest die Definitionen bereitstellen.
 	von $D :\gdw \exists$ Folge $x_n$ in $D \setminus \Set{x_0}$ mit $x_n \rightarrow x_0$.
 \end{definition}
 
-Folgende Definition wurde dem Skript von Herrn Prof. Dr. Leuzinger für
+Folgende Definition wurde dem Skript von Herrn Prof.~Dr.~Leuzinger für
 Lineare Algebra entnommen:
 
 \begin{definition}\xindex{Abbildung!affine}
@@ -33,4 +33,10 @@ Lineare Algebra entnommen:
 		\item $\forall v \in S: \|v\| = 1$
 		\item $\forall v_1, v_2 \in S: v_1 \neq v_2 \Rightarrow \langle v_1, v_2 \rangle = 0$
 	\end{defenumprops}
-\end{definition}
+\end{definition}
+
+\begin{satz*}[Zwischenwertsatz]\xindex{Zwischenwertsatz}%
+	Sei $a<b$ und $f \in\ C[a, b]:=C([a, b])$, weiter sei $y_0 \in \mdr$ und 
+	$f(a) < y_0 < f(b)$ oder $f(b) < y_0 < f(a)$. Dann existiert ein 
+	$x_0 \in [a, b]$ mit $f(x_0) = y_0$.
+\end{satz*}

documents/GeoTopo/Fragen/Fragen.tex

@@ -218,4 +218,28 @@ Da $x \in U$ beliebig gewählt war gilt: $\fT|_A \subseteq \fT'$
 
 \todo[inline]{Wenn $G$ eine topologische Gruppe ist, dann ist $\circ$ doch auf jeden Fall stetig! Was soll die Definition? Des Weiteren verstehe ich $g \circ h := g \cdot h$ nicht. Was ist $\cdot$?}
 
+\section*{Hyperbolische Metrik und Geraden}
+\begin{definition}\xindex{Gerade!hyperbolische}%
+    Sei
+        \[\mdh:= \Set{z \in \mdc | \Im(z) > 0} = \Set{(x,y) \in \mdr^2 | y > 0}\]
+    die obere Halbebene bzw. Poincaré-Halbebene und $G = G_1 \cup G_2$
+    mit
+        \begin{align*}
+            G_1 &= \Set{g_1 \subseteq \mdh | \exists m \in \mdr, r \in \mdr_{>0}: g_1 = \Set{z \in \mdh : |z-m|=r}}\\
+            G_2 &= \Set{g_2 \subseteq \mdh | \exists x \in \mdr: g_2 = \Set{z \in \mdh: \Re(z) = x}}
+        \end{align*}
+
+    Die Elemente von $\mdh$ heißen \textbf{hyperbolische Geraden}.
+\end{definition}
+\begin{definition}\xindex{Metrik!hyperbolische}%
+    Für $z_1, z_2 \in \mdh$ sei $g_{z_1, z_2}$ die eindeutige hyperbolische
+    Gerade durch $z_1$ und $z_2$ und $a_1, a_2$ die
+    \enquote{Schnittpunkte} von $g_{z_1, z_2}$ mit $\mdr \cup \Set{\infty}$.
+
+    Dann sei $d(z_1, z_2) := \frac{1}{2} \ln |\DV(a_1, z_4, a_2, z_2) |$
+    und heiße \textbf{hyperbolische Metrik}.
+\end{definition}
+
+\todo[inline]{Wir haben hyperbolische Geraden mit der euklidischen Metrik beschrieben. Kann man hyperbolische Geraden auch mit der hyperbolischen Metrik beschreiben? Wie?}
+vgl. Beweis von Bemerkung 68 b)
 \end{document}

documents/GeoTopo/Kapitel2.tex

@@ -706,9 +706,14 @@ Differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Klasse $C^\infty$ werden auch
               ist simplizial:
 
               \input{figures/topology-triangle-to-line.tex}
-        \item Tori können simplizial auf Sphären abgebildet werden:
-
-            \resizebox{0.9\linewidth}{!}{\input{figures/topology-2.tex}}
+        \item Tori können simplizial auf Sphären abgebildet werden (vgl. \cref{fig:faltungsdiagramm})
+            \begin{figure}[htp]
+              \centering
+              \includegraphics[width=0.9\linewidth, keepaspectratio]{figures/faltungsdiagramm.pdf}
+              \caption{Abbildung eines Torus auf eine Sphäre}
+              \label{fig:faltungsdiagramm}
+            \end{figure}
+            %\resizebox{0.9\linewidth}{!}{\input{figures/topology-2}}
     \end{bspenum}
 \end{beispiel}
 

documents/GeoTopo/Kapitel4.tex

@@ -821,7 +821,36 @@ $\overset{\text{Strahlensatz}}{\Rightarrow} \frac{a}{h_c} = \frac{c}{h_a} \right
                 \label{fig:hyperbolische-geometrie-axiom-1-0}
                 \caption{Zwei Punkte liegen in der hyperbolischen Geometrie immer auf genau einer Geraden}
             \end{figure}
-        \item TODO
+        \item Sei $g \in G_1 \dcup G_2$ eine hyperbolische Gerade.\\
+              \underline{Fall 1:} $g = \Set{z \in \mdh | |z-m| = r} \in G_1$\\
+              Dann gilt:
+              \[\mdh = \underbrace{\Set{z \in \mdh | |z-m| < r}}_{=:H_1 \text{ (Kreisinneres)}} \dcup \underbrace{\Set{z \in \mdh | |z-m| < r}}_{=:H_2 \text{ (Kreisäußeres)}}\]
+              Da $r > 0$ ist $H_1$ nicht leer, da $r \in \mdr$ ist $H_2$ nicht leer.
+
+              \underline{Zu zeigen:} $\forall A \in H_i$, $B \in H_j$ mit
+                      $i,j \in \Set{1,2}$ gilt: 
+                      $\overline{AB} \cap g \neq \emptyset \Leftrightarrow i \neq j$\\
+              \enquote{$\Leftarrow$}: Da $d_\mdh$ stetig ist, folgt diese Richtung
+              direkt. Alle Punkte in $H_1$ haben einen Abstand von $m$ der kleiner
+              ist als $r$ und alle Punkte in $H_2$ haben einen Abstand von $m$ der
+              größer ist als $r$. Da man jede Strecke von $A$ nach $B$ insbesondere
+              auch als stetige Abbildung $f: \mdr \rightarrow \mdr_{>0}$ auffassen
+              kann, greift der Zwischenwertsatz $\Rightarrow$ $\overline{AB} \cap g \neq \emptyset$
+
+              \enquote{$\Rightarrow$}:
+              \todo[inline]{TODO}
+
+              \underline{Fall 2:} $g = \Set{z \in \mdh | \Re{z} = x} \in G_2$\\
+              Die disjunkte Zerlegung ist:
+              \[\mdh = \underbrace{\Set{z \in \mdh | \Re(z) < x}}_{=: H_1 \text{ (Links)}} \dcup \underbrace{\Set{z \in \mdh | \Re(z) > x}}_{=: H_2 \text{ (Rechts)}}\]
+
+              \underline{Zu zeigen:} $\forall A \in H_i$, $B \in H_j$ mit
+                      $i,j \in \Set{1,2}$ gilt: 
+                      $\overline{AB} \cap g \neq \emptyset \Leftrightarrow i \neq j$\\
+              \enquote{$\Leftarrow$}: Wie zuvor mit dem Zwischenwertsatz.
+
+              \enquote{$\Rightarrow$}:
+              \todo[inline]{TODO}
         \item Siehe \cref{fig:hyperbolische-halbebene-axiom-5}.
             \begin{figure}[hp]
                 \centering

documents/GeoTopo/Kapitel5.tex

@@ -534,7 +534,7 @@ an $S$ in $s$.
     Die Ableitung nach $t$ ergibt 
     \begin{align*}
         0 &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\langle n (\gamma(t)), \gamma'(t))\\
-        &=  \langle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} n(\gamma(t)) \Bigr |_{t=0}, \gamma'(0) \rangle + \langle n(s), \gamma''(0) \rangle\\
+        &= \left \langle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} n(\gamma(t)) \Bigr |_{t=0}, \gamma'(0) \right \rangle + \langle n(s), \gamma''(0) \rangle\\
         &= \langle d_s n (\gamma'(0)), \gamma'(0) \rangle + \kappa(s,\gamma)\\
         &= - II_s(\gamma'(0), \gamma'(0)) + \kappa(s, \gamma)
     \end{align*}

documents/GeoTopo/shortcuts.sty

@@ -38,6 +38,7 @@
 \theoremseparator{\thmfoot}
 
 \newframedtheorem{satz}{Satz}[chapter]
+\renewtheorem*{satz*}{Satz}
 \newframedtheorem{lemma}[satz]{Lemma}
 \newframedtheorem{proposition}[satz]{Proposition}
 \newtheorem{korollar}[satz]{Korollar}