merged Martins branch with mine

K2A2 did not have my solution. i added it again.
mergeconflict with the pdf files for K2 and K3. just compiled them again
with the new tasks tex files.

documents/Numerik/Klausur1/Aufgabe1.tex

@@ -126,5 +126,5 @@ Falls $A$ symmetrisch ist, gilt:
 	l_{31} &= \frac{a_{31}}{l_{11}} = \frac{12}{3} = 4\\
 	l_{22} &= \sqrt{a_{22} - {l_{21}}^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{9}}= \sqrt{-\frac{7}{9}} \notin \mathbb{R}\\
  & \Rightarrow \text{Es ex. keine Cholesky-Zerlegung, aber $A$ ist symmetrisch}\\
- & \Rightarrow \text{$A$ ist nicht pos. Definit}
+ & \Rightarrow \text{$A$ ist nicht positiv definit}
 \end{align}

documents/Numerik/Klausur1/Aufgabe3.tex

@@ -7,6 +7,110 @@ Die Jacobi-Matrix von $f$ lautet:
 Hierfür wurde in in der ersten Spalte nach $x$ abgeleitet und in der
 zweiten Spalte nach $y$.
 
+\subsection*{Lösungsvorschlag 1 (Numerische Lösung)}
+Eine Iteration des Newton-Verfahren ist durch
+\begin{align}
+x_{k+1}&=x_{k}-f'(x_k)^{-1}\cdot f(x_k)
+\end{align}
+gegeben (vgl. Skript, S. 35).
+
+Zur praktischen Durchführung lösen wir
+\begin{align}
+    f'(x_0, y_0)\Delta x &= -f(x_0,y_0)\\
+    L \cdot \underbrace{R \cdot \Delta x}_{=: c} &= -f(x_0, y_0)
+\end{align}
+mit Hilfe der LR Zerlegung nach $\Delta x$ auf:
+
+\begin{align}
+%
+	f'(x_0,y_0)	&= L \cdot R \\
+	\Leftrightarrow f'(-\nicefrac{1}{3}, 0)	&= L \cdot R \\
+	\Leftrightarrow \begin{pmatrix}
+		3     & 1\\
+		\frac{1}{3} & 1
+	\end{pmatrix}
+	&=
+	\overbrace{\begin{pmatrix}
+		1      & 0\\
+		\frac{1}{9} & 1
+	\end{pmatrix}}^{=: L} \cdot 
+	\overbrace{\begin{pmatrix}
+		3 & 1\\
+		0      & \frac{8}{9}
+	\end{pmatrix}}^{=: R}\\
+%
+	L \cdot c	&= -f(x_0,y_0) \\
+	\Leftrightarrow
+	\begin{pmatrix}
+		1      & 0\\
+		\frac{1}{9} & 1
+	\end{pmatrix}
+	\cdot c
+	&= -
+		\begin{pmatrix}
+		2\\
+		\frac{26}{27}
+	\end{pmatrix}\\
+	\Rightarrow
+	c &=		\begin{pmatrix}
+		-2\\
+		-\frac{20}{27}
+	\end{pmatrix}\footnotemark\\
+%
+	R\cdot \Delta x &= c\\
+	\Leftrightarrow
+	\begin{pmatrix}
+		3 & 1\\
+		0      & \frac{8}{9}
+	\end{pmatrix}
+	\cdot \Delta x &=
+	\begin{pmatrix}
+		-2\\
+		-\frac{20}{27}
+	\end{pmatrix}\\
+	\Rightarrow \Delta x &= \frac{1}{18}
+	\begin{pmatrix}
+		-7\\
+		-15
+	\end{pmatrix}
+\end{align}
+\footnotetext{Dieser Schritt wird durch Vorwärtssubsitution berechnet.}
+
+Anschließend berechnen wir
+\begin{align}
+	\begin{pmatrix}
+		x_1\\
+		y_1
+	\end{pmatrix} &= 
+	\begin{pmatrix}
+		x_0\\
+		y_0
+	\end{pmatrix}+\Delta x \\
+	\Leftrightarrow\begin{pmatrix}
+		x_1\\
+		y_1
+	\end{pmatrix} &= 
+	\begin{pmatrix}
+		-\frac{1}{3}\\
+		0
+	\end{pmatrix} +
+    \frac{1}{18}
+	\begin{pmatrix}
+		-7\\
+		-15
+	\end{pmatrix} \\
+	\Leftrightarrow\begin{pmatrix}
+		x_1\\
+		y_1
+	\end{pmatrix} &= 
+	\begin{pmatrix}
+		-\nicefrac{13}{18}\\
+		-\nicefrac{15}{18}
+	\end{pmatrix}
+\end{align}
+
+
+\subsection*{Lösungsvorschlag 2 (Analytische Lösung)}
 Und jetzt die Berechnung %TODO: Was ist hiermit gemeint?
 
 \[f'(x, y) \cdot (x_0, y_0) = f(x,y)\] %TODO: Was ist hiermit gemeint?
@@ -61,12 +165,14 @@ also ausführlich:
 		3 & \cos y\\
 		0 & -x^2 \cdot \cos y + e^y
 	\end{pmatrix}\\
-	P &= I_2\\
+	P &= I_2
 \end{align}
 
+TODO: Eigentlich sollten sich ab hier die Lösungsvorschläge gleichen\dots
+
 Es folgt:
 \begin{align}
 -f ( \nicefrac{-1}{3}, 0) &= \begin{pmatrix} -2\\ -\frac{26}{27}\end{pmatrix}\\
-c &= \begin{pmatrix} 2\\ \frac{82}{27} \end{pmatrix}\\ %TODO: Was ist c?
-(x_1, y_1) &= \begin{pmatrix} \frac{5}{3}\\ \frac{82}{27}\end{pmatrix}
+c &= \begin{pmatrix} 2\\ \nicefrac{82}{27} \end{pmatrix}\\ %TODO: Was ist c?
+(x_1, y_1) &= \begin{pmatrix} \nicefrac{5}{3}\\ \nicefrac{82}{27}\end{pmatrix}
 \end{align}

documents/Numerik/Klausur1/Aufgabe4.tex

@@ -31,6 +31,13 @@ Nun integrieren wir das Interpolationspolynom:
 \[ = \int_a^b \frac{f(a) \cdot x}{a-b}dx - \int_a^b \frac{f(a) \cdot b}{a-b}dx + \int_a^b \frac{f(b) \cdot x}{b-a}dx - \int_a^b \frac{f(b) \cdot a}{b-a}dx \]
 \[ = \frac{1}{2} \cdot \frac{f(a) \cdot b^2}{a-b} - \frac{1}{2} \cdot \frac{f(a) \cdot a^2}{a-b} - \frac{f(a) \cdot b^2}{a-b} + \frac{f(a) \cdot b \cdot a}{a-b} + \frac{1}{2} \cdot \frac{f(b) \cdot b^2}{b-a} \]
 \[ - \frac{1}{2} \cdot \frac{f(b) \cdot a^2}{b-a} - \frac{f(b) \cdot a \cdot b}{b-a} + \frac{f(b) \cdot a^2}{b-a}\]
+\[=(b-a)\cdot(\frac{f(a)}{2} + \frac{f(b)}{2})\]
+
+Betrachtet man nun die allgemeine Quadraturformel,
+\[
+\int_a^b f(x)dx \approx (b-a) \sum_{i=1}^s b_i f(a+c_i(b-a))
+\]
+so gilt für die hergeleitete Quadraturformel also $s=2$, $c_1=0, c_2=1$ und $b_1 = b_2 = \frac{1}{2}$. Sie entspricht damit der Trapezregel.
 
 \subsection*{Teilaufgabe b)}
 Sei nun $f(x) = x^2$ und $a = 0$ sowie $b = 4$. Man soll die ermittelte

documents/Numerik/Klausur2/Aufgabe1.tex

@@ -1,6 +1,35 @@
 \section*{Aufgabe 1}
 \subsection*{Teilaufgabe a)}
 
+\textbf{Gegeben:}
+
+\[A := \begin{pmatrix}
+4 & 2 & 8\\
+2 & 5 & 8\\
+8 & 8 & 29
+\end{pmatrix}\]
+
+\textbf{Aufgabe:} Cholesky-Zerlegung $A = L \cdot L^T$ berechnen
+
+\textbf{Rechenweg:}
+\begin{algorithm}[H]
+    \begin{algorithmic}
+        \Function{Cholesky}{$A \in \mathbb{R}^{n \times n}$}
+            \State $L = \Set{0} \in \mathbb{R}^{n \times n}$ \Comment{Initialisiere $L$}
+            \For{($k=1$; $\;k \leq n$; $\;k$++)}
+                \State $L_{k,k} = \sqrt{A_{k,k} - \sum_{i=1}^{k-1} L_{k,i}^2}$
+                \For{($i=k+1$; $\;i \leq n$; $\;i$++)}
+                    \State $L_{i,k} = \frac{A_{i,k} - \sum_{j=1}^{k-1} L_{i,j} \cdot L_{k,j}}{L_{k,k}}$
+                \EndFor
+            \EndFor
+            \State \Return $L$
+        \EndFunction
+    \end{algorithmic}
+\caption{Cholesky-Zerlegung}
+\label{alg:seq1}
+\end{algorithm}
+
+\textbf{Lösung:}
 $
 L =
 \begin{pmatrix}
@@ -14,22 +43,36 @@ $
 \subsection*{Teilaufgabe b)}
 \textbf{Gesucht}: $\det(A)$
 
-Sei $P \cdot L = L \cdot R$, die gewohnte LR-Zerlegung.
+Sei $P \cdot A = L \cdot R$, die gewohnte LR-Zerlegung.
 
 Dann gilt:
 
-\[\det(A) = \det(L) \cdot \det(R) / \det(P)\]
+\[\det(A) = \frac{\det(L) \cdot \det(R)}{\det(P)}\]
 
-$\det(L) = 1$, da alle Diagonalelemente 1 sind und es sich um eine untere Dreiecksmatrix handelt.
+$\det(L) = 1$, da alle Diagonalelemente 1 sind und es sich um eine strikte untere Dreiecksmatrix handelt.
 
-$\det(R) = r_{11} \cdot \ldots \cdot r_{nn} $ da es sich um eine obere Dreiecksmatrix handelt.
+$\det(R) = r_{11} \cdot \ldots \cdot r_{nn}$, da es sich um eine obere Dreiecksmatrix handelt.
 
 
-$\det(P) = 1$ oder $-1$
+$\det(P) \in \Set{1, -1}$
 
 Das Verfahren ist also:
-\begin{enumerate}
-\item Berechne Restmatrix R mit dem Gaußverfahren.
-\item \label{manker} Multipliziere die Diagonalelemente von R
-\item falls die Anzahl an Zeilenvertauschungen ungerade ist negiere das Produkt aus \ref{manker} (eine Zeilenvertauschung verändert lediglich das Vorzeichen und P ist durch Zeilenvertauschungen aus der Einheitsmatrix hervorgegangen)
-\end{enumerate}
+
+\begin{algorithm}[H]
+    \begin{algorithmic}
+        \Require $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$
+        \State $P, L, R \gets \Call{LRZerl}{A}$
+        \State $x \gets 1$
+        \For{$i$ in $1..n$}
+            \State $x \gets x \cdot r_{ii}$
+            \State $x \gets x \cdot p_{ii}$
+        \EndFor
+    \end{algorithmic}
+\caption{Determinante berechnen}
+\label{alg:seq1}
+\end{algorithm}
+
+Alternativ kann man auch in einer angepassten LR-Zerlegung direkt die
+Anzahl an Zeilenvertauschungen zählen. Dann benötigt man $P$ nicht mehr.
+Ist die Anzahl der Zeilenvertauschungen ungerade, muss das Produkt 
+der $r_ii$ negiert werden.

documents/Numerik/Klausur2/Aufgabe2.tex

@@ -1,5 +1,75 @@
 \section*{Aufgabe 2}
-\subsection*{Teilaufgabe a)}
+
+\subsection*{Lösungsalternative 1:}
+
+\textbf{Voraussetzung:} 
+Gegeben sei eine Funktion $F$:
+\begin{align*}
+    F: \mathbb{R} &\rightarrow [-1, 1]\\
+    F(x) &:= \cos(x)
+\end{align*}
+
+sowie eine Folge $(x)_k$ mit $x_{k+1} := F(x_k)$.
+
+\textbf{Behauptung:} $\displaystyle \exists! x^*: \forall x \in \mathbb{R}: \lim_{k \rightarrow \infty} x_k = x^*$
+
+\paragraph{Beweis:} über den Banachschen Fixpunktsatz.
+
+Teil 1: Es gibt genau einen Fixpunkt und dieser ist in $(0,1)$
+\begin{proof}
+Sei $ x \in \mathbb{R}$, so gilt:
+\begin{align*}
+	-1 \leq \cos(x) \leq 1
+\end{align*}
+Also genügt es $x \in [-1, 1]$ zu betrachten.
+
+Sei nun $x \in [-1, 0)$. Dann gilt: $\cos(x) > 0$. Da $x <0$ aber $F(x) > 0$,
+kann kein Fixpunkt in $[-1, 0)$ sein. Es genügt also sogar,
+nur $[0, 1]$ zu betrachten.
+
+Offensichtlich ist $F(0) \neq 0$ und $F(1) \neq 1$, also ist der 
+Fixpunkt - falls vorhanden - in $(0,1)$. $F$ ist in $(0,1)$ stetig
+und streng monoton fallend. Da auch $-x$ in $(0,1)$ streng monoton
+fallend ist, folgt, dass $\cos(x) - x$ in $(0,1)$ streng monoton 
+fallend ist.
+
+$x=0 \Rightarrow \cos(x) - x = \cos(0) - 0 = 1$
+
+$x=45^\circ = \frac{1}{4} \pi < 1 \Rightarrow \cos(45^\circ) - \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\pi}{4} <0$, da
+\begin{align}
+    8 &< 9 < \pi^2\\
+    \Rightarrow \sqrt{8} &< \pi\\
+    \Leftrightarrow 2 \sqrt{2} &< \pi\\
+    \Leftrightarrow \frac{\sqrt{2}}{2} &< \frac{\pi}{4}
+\end{align}
+
+$\stackrel{\text{Zwischenwertsatz}}{\Rightarrow} \exists x^*: \cos(x^*) - x^* = 0 \Leftrightarrow \exists x^*: \cos(x^*) = x^*$.
+
+Dieses $x^*$ ist eindeutig, da $\cos(x)-x$ \emph{streng} monoton fallend ist.
+\end{proof}
+
+Teil 2: Jeder Startwert $x \in \mathbb{R}$ konvergiert gegen $x^*$.
+
+\begin{proof}
+Er genügt zu zeigen, dass $F$ auf $[0,1]$ eine Kontraktion ist, da
+bereits in Teil 1 gezeigt wurde, dass man bereits $x_2 = \cos(\cos(x)) \in (0,1)$ ist.
+
+Sei $0 \leq x < y \leq 1$. Dann folgt:
+\begin{align}
+    \stackrel{\text{Mittelwertsatz}}{\Rightarrow} \exists L \in (x,y): \frac{\cos(y) - \cos(x)}{y-x} &= f'(L)\\
+    \Rightarrow \exists L \in [0,1]: \| \cos y - \cos x \| &= \| - \sin(L) \cdot (y-x)\| \\
+    &= \underbrace{\sin(L)}_{[0,1)} (y-x)\\
+   \Rightarrow F \text{ ist Kontraktion auf [0,1]}
+\end{align}
+
+Da $F|_{[0,1]}$ eine Selbstabbildung und eine Kontraktion ist und
+offensichtlich $[0,1]$ abgeschlossen ist, greift der 
+Banachsche Fixpunktsatz. Es folgt direkt, dass auch für alle $x \in [0,1]$
+die Folge $(x)_k$ gegen den einzigen Fixpunkt $x^*$ konvergiert.
+
+\end{proof}
+
+\subsection*{Lösungsalternative 2:}
 
 \textbf{Behauptung:} Für $x \in \mathbb{R}$ gilt, dass $cos(x_k) = x_{k+1}$ gegen den einzigen Fixpunkt $x^{*} = cos(x^{*})$ konvergiert.
 
@@ -27,4 +97,4 @@ Damit ist gezeigt, dass $cos(x) : D \rightarrow D$ Kontraktion auf $D$.
 
 Damit sind alle Voraussetzung des Banachschen Fixpunktsatzes erfüllt.
 
-Nach dem Banachschen Fixpunktsatz folgt die Aussage.
+Nach dem Banachschen Fixpunktsatz folgt die Aussage.

documents/Numerik/Klausur2/Aufgabe3.tex

@@ -1,17 +1,36 @@
 \section*{Aufgabe 3}
+\textbf{Gegeben:}
+
+\begin{table}[h!]
+    \begin{tabular}{l||l|l|l|l}
+    $f_i$ & 7  & 1 & -1 & 7 \\\hline
+    $x_i$ & -1 & 0 & 1  & 2 \\
+    \end{tabular}
+\end{table}
+
 \subsection*{Teilaufgabe a)}
+Allgemein lauten Lagrange-Polynome:
+
+\[L_i = \frac{\overbrace{\prod_{j=0, j \neq i}^n (x-x_j)}^\text{Produkt der Nullstellen}}{\underbrace{\prod_{j=0, j \neq i}^n (x_i - x_j)}_\text{Normalisierungsfaktor}}\]
+
+Im speziellen:
 \begin{align}
-	L_0(x) &= - \frac{1}{6} \cdot (x^3 - 3 x^2 + 2x)\\
-	L_1(x) &= \frac{1}{2} \cdot (x^3 - 2x^2 - x + 2)\\
-	L_2(x) &= - \frac{1}{2} \cdot (x^3 - x^2 - 2x)\\
-	L_3(x) &= \frac{1}{6} \cdot (x^3 - x)
+	L_0(x) &= \frac{(x-0)(x-1)(x-2)}{(-1-0)(-1-1)(-1-2)} &&=-\frac{1}{6} \cdot (x^3 - 3 x^2 + 2x)\\
+	L_1(x) &= \frac{(x+1)(x-1)(x-2)}{(0+1)(0-1)(0-2)}    &&= \frac{1}{2} \cdot (x^3 - 2x^2 - x + 2)\\
+	L_2(x) &= \frac{(x+1)x(x-2)}{(1+1)(1-0)(1-2)}        &&=-\frac{1}{2} \cdot (x^3 - x^2 - 2x)\\
+	L_3(x) &= \frac{(x+1)(x-0)(x-1)}{(2+1)(2-0)(2-1)}    &&= \frac{1}{6} \cdot (x^3 - x)
 \end{align}
 
-Damit ergibt sich:
+Durch die Interpolationsformel von Lagrange
+
+\[p(x) = \sum_{i=0}^n f_i L_i(x)\]
+
+ergibt sich
 \begin{align}
 	p(x) &= x^3 + 2x^2 - 5x + 1
 \end{align}
-Anmerkung: Es ist in der Klausur allerdings nicht notwendig die Monomdarstellung zu berechnen außer es wird explizit verlangt. (Das spart viel Zeit) % Anmerkung hinzugefügt von Felix Benz-Baldas
+Anmerkung: Es ist nicht notwendig die Monomdarstellung zu berechnen.
+In diesem Fall hat es jedoch das Endergebnis stark vereinfacht.
 
 \subsection*{Teilaufgabe b)}
 Zunächst die dividierten Differenzen berechnen:

documents/Numerik/Klausur2/Klausur2.tex

@@ -17,6 +17,7 @@
 \usepackage{algorithm,algpseudocode}
 \usepackage{parskip}
 \usepackage{lastpage}
+\usepackage{amsthm}
 \allowdisplaybreaks
 
 \newcommand{\cmark}{\ding{51}}%
@@ -26,7 +27,7 @@
 \makeatletter
 \AtBeginDocument{
 	\hypersetup{ 
-	  pdfauthor   = {Felix Benz-Baldas, Martin Thoma, Peter},
+	  pdfauthor   = {Felix Benz-Baldas, Martin Thoma, Peter Merkert},
 	  pdfkeywords = {Numerik, KIT, Klausur}, 
 	  pdftitle    = {\@title} 
   	}
@@ -39,6 +40,23 @@
 \usepackage{fancyhdr}
 \fancyfoot[C]{}
 
+\makeatletter
+\renewenvironment{proof}[1][\proofname]{\par
+  \pushQED{\qed}%
+  \normalfont \topsep6\p@\@plus6\p@\relax
+  \list{}{\leftmargin=4em
+          \rightmargin=\leftmargin
+          \settowidth{\itemindent}{\itshape#1}%
+          \labelwidth=\itemindent}
+
+  \item[\hskip\labelsep
+        \itshape
+    #1\@addpunct{.}]\ignorespaces
+}{%
+  \popQED\endlist\@endpefalse
+}
+\makeatother
+
 \begin{document}
 	\include{Aufgabe1}
 	\include{Aufgabe2}

documents/Numerik/Klausur3/Aufgabe1.tex

@@ -1,5 +1,8 @@
 \section*{Aufgabe 1}
 \subsection*{Teilaufgabe a)}
+\paragraph{Gegeben:} Sei $A \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$.
+\paragraph{Gesucht:} Cholesky-Zerlegung $A = L \cdot L^T$
+\paragraph{Rechnung:}
 
 Erste Spalte:
 \begin{align}

documents/Numerik/Klausur5/Aufgabe1.tex

@@ -1,2 +1,106 @@
 \section*{Aufgabe 1}
-TODO
+\paragraph{Gegeben:}
+
+\[A = \begin{pmatrix}
+     2 &  3 & -1\\
+    -6 & -5 &  0\\
+     2 & -5 &  6
+\end{pmatrix},\;\;\; b = \begin{pmatrix}20\\-41\\-15\end{pmatrix}\]
+
+\paragraph{LR-Zerlegung:}
+
+\begin{align}
+    &&A^{(0)} &= \begin{gmatrix}[p]
+         2 &  3 & -1\\
+        -6 & -5 &  0\\
+         2 & -5 &  6
+        \rowops
+        \swap{0}{1}
+    \end{gmatrix}\\
+    P^{(1)} &= \begin{pmatrix}
+        0 & 1 & 0\\
+        1 & 0 & 0\\
+        0 & 0 & 1
+    \end{pmatrix}
+    &A^{(1)} &=
+    \begin{gmatrix}[p]
+        -6 & -5 &  0\\
+         2 &  3 & -1\\
+         2 & -5 &  6
+        \rowops
+        \add[\cdot \frac{1}{3}]{0}{1}
+        \add[\cdot \frac{1}{3}]{0}{2}
+    \end{gmatrix}\\
+    L^{(2)} &=\begin{pmatrix}
+        1 & 0 & 0\\
+      \nicefrac{1}{3} & 1 & 0\\
+      \nicefrac{1}{3} & 0 & 1
+    \end{pmatrix},
+    & A^{(2)} &= \begin{gmatrix}[p]
+        -6 & -5 &  0\\
+         0 &  \frac{4}{3} & -1\\
+         0 & -\frac{20}{3} &  6
+        \rowops
+        \swap{1}{2}
+    \end{gmatrix}\\
+    P^{(3)} &= \begin{pmatrix}
+        1 & 0 & 0\\
+        0 & 0 & 1\\
+        0 & 1 & 0
+    \end{pmatrix},
+    & A^{(3)} &= \begin{gmatrix}[p]
+        -6 & -5 &  0\\
+         0 & -\frac{20}{3} &  6\\
+         0 &  \frac{4}{3} & -1
+        \rowops
+        \add[\cdot \frac{1}{5}]{1}{2}
+    \end{gmatrix}\\
+    L^{(4)} &= \begin{pmatrix}
+        1 & 0 & 0\\
+        0 & 1 & 0\\
+        0 & \nicefrac{1}{5} & 1
+    \end{pmatrix},
+    & A^{(4)} &= \begin{gmatrix}[p]
+        -6 & -5 &  0\\
+         0 & -\frac{20}{3} &  6\\
+         0 &  0 & \nicefrac{1}{5}
+    \end{gmatrix} =:R
+\end{align}
+
+Es gilt nun:
+
+\begin{align}
+    P :&= P^{(3)} \cdot P^{(1)}\\
+      &= \begin{pmatrix}
+        1 & 0 & 0\\
+        0 & 0 & 1\\
+        0 & 1 & 0
+    \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
+        0 & 1 & 0\\
+        1 & 0 & 0\\
+        0 & 0 & 1
+    \end{pmatrix} \\
+    &=
+    \begin{pmatrix}
+        0 & 1 & 0\\
+        0 & 0 & 1\\
+        1 & 0 & 0
+    \end{pmatrix}\\
+    L^{(4)} \cdot P^{(3)} \cdot L^{(2)} \cdot P^{(1)} \cdot A &= R\\
+L^{-1} &= L^{(4)} \cdot \hat{L_1}\\
+    \hat{L_1} &= P^{(3)} \cdot L^{(2)} \cdot (P^{(3)})^{-1}\\
+&= P^{(3)} \cdot L^{(2)} \cdot P^{(3)}\\
+&= \begin{pmatrix}
+        1 & 0 & 0\\
+      \nicefrac{1}{3} & 1 & 0\\
+      \nicefrac{1}{3} & 0 & 1
+    \end{pmatrix}\\
+    L &= (L^{(4)} \cdot \hat{L_1})^{-1}\\
+    &= \begin{pmatrix}
+    1 & 0 & 0\\
+    -\frac{1}{3} & 1 & 0\\
+    -\frac{1}{3} & -\frac{1}{5} & 1
+\end{pmatrix}
+\end{align}
+
+Überprüfung mit \href{http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B%7B1%2C+0%2C+0%7D%2C+%7B-1%2F3%2C+1%2C+0%7D%2C+%7B-1%2F3%2C+-1%2F5%2C+1%7D%7D*%7B%7B-6%2C-5%2C0%7D%2C%7B0%2C-20%2F3%2C6%7D%2C%7B0%2C0%2C1%2F5%7D%7D}{Wolfram|Alpha}.

documents/Numerik/Klausur5/Klausur5.tex

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