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@@ -157,7 +157,7 @@
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\caption{Das Zusammensetzen von Wegen ist nicht assoziativ}
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\end{figure}
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- Das Zusammensetzen von Wegen ist wegen Korollar~\ref{kor:homotope-wege}
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+ Das Zusammensetzen von Wegen ist wegen \cref{kor:homotope-wege}
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bis auf Homotopie assoziativ, da
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\[\gamma(t) = \begin{cases}
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@@ -177,8 +177,9 @@
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\begin{figure}
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\centering
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- \includegraphics[width=0.5\linewidth, keepaspectratio]{figures/todo/skizze-bemerkung-10-6.jpg}
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- \caption{Situation aus Korollar~\ref{kor:bemerkung-10-6}}.
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+ %\includegraphics[width=0.5\linewidth, keepaspectratio]{figures/todo/skizze-bemerkung-10-6.jpg}
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+ \input{figures/topology-homotop-paths-2.tex}
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+ \caption{Situation aus \cref{kor:bemerkung-10-6}}.
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\label{fig:situation-bemerkung-10-6}
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\end{figure}
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@@ -215,7 +216,7 @@ Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Hom
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\begin{beweis}[Fundamentalgruppe ist eine Gruppe]\leavevmode
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\begin{enumerate}[label=\alph*)]
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\item Abgeschlossenheit folgt direkt aus der Definition von $*_G$
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- \item Assoziativität folgt aus Korollar~\ref{kor:assoziativitaet-von-zusammensetzen-von-wegen}
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+ \item Assoziativität folgt aus \cref{kor:assoziativitaet-von-zusammensetzen-von-wegen}
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\item Neutrales Element $e = [\gamma_0], \gamma_0(t) = x \;\;\; \forall t \in I$.
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$e * [\gamma] = [\gamma] = [\gamma] * e$, da $\gamma_0 * \gamma \sim \gamma$
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\item Inverses Element $[\gamma]^{-1} = [\overline{\gamma}] = [\gamma(1-t)]$,
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@@ -267,7 +268,7 @@ Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Hom
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\begin{figure}
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\centering
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\input{figures/todo.tex}
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- \caption{Situation aus Korollar~\ref{kor:gruppenisomorphismus-wege}}.
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+ \caption{Situation aus \cref{kor:gruppenisomorphismus-wege}}.
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\label{fig:situation-gruppenisomorphismus-wege}
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\end{figure}
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@@ -540,7 +541,7 @@ Haben wir Häufungspunkt definiert?}
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\underline{1. Fall}: $p(y_1) = p(y_2) = x$.
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- Sei $U$ Umgebung von $x$ wie in Definition~\ref{def:12.1},
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+ Sei $U$ Umgebung von $x$ wie in \cref{def:12.1},
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$V_{j_1}$ bzw. $V_{j_2}$ die Komponente von $p^{-1}(U)$, die
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$y_1$ bzw. $y_2$ enthält.
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@@ -611,7 +612,7 @@ Haben wir Häufungspunkt definiert?}
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\begin{figure}
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\centering
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\input{figures/commutative-diagram-2.tex}
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- \caption{Situation aus Korollar~\ref{kor:12.5}}
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+ \caption{Situation aus \cref{kor:12.5}}
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\label{fig:situation-kor-12.5}
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\end{figure}
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@@ -694,7 +695,7 @@ $p|V_j: V_j \rightarrow U$ Homöomorphismus.
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Dann gilt:
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\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
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- \item $\tilde{H}$ ist stetig (Beweis wie für Korollar~\ref{kor:12.5})
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+ \item $\tilde{H}$ ist stetig (Beweis wie für \cref{kor:12.5})
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\item $\tilde{H}(t,0) = \tilde{\gamma_s}(t) = \tilde{H}(t,1) = \tilde{\gamma_1}(t)$
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\item $\tilde{H}(0,s) = \tilde{\gamma_s}(0) = \tilde{0}$
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\item $\tilde{H}(1,s) \in p^{-1}(b)$
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@@ -845,7 +846,7 @@ $p|V_j: V_j \rightarrow U$ Homöomorphismus.
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$p:\tilde{X} \rightarrow X$ mit $(g \circ f) (\tilde{x_0}) = \tilde{x_0}$.
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Da auch $\id_{\tilde{x}}$ diese Eigenschaft hat, folgt mit
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- Korollar~\ref{kor:12.4}: $g \circ f = \id_{\tilde{X}}$.
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+ \cref{kor:12.4}: $g \circ f = \id_{\tilde{X}}$.
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Analog $f \circ g = \id_{\tilde{Y}}$. $\qed$
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\end{beweis}
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@@ -1166,8 +1167,8 @@ und der Fundamentalgruppe herstellen:
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\end{beispiel}
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\textbf{Erinnerung}:% In Vorlesung: Erinnerung 13.5
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-Die Konstruktion aus Korollar~\ref{kor:13.3} induziert zu der Gruppenoperation
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-$\pi_1(X, x_0)$ aus Beispiel~\ref{bsp:13.4} einen Gruppenhomomorphismus
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+Die Konstruktion aus \cref{kor:13.3} induziert zu der Gruppenoperation
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+$\pi_1(X, x_0)$ aus \cref{bsp:13.4} einen Gruppenhomomorphismus
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$\varrho: \pi_1(X, x_0) \rightarrow \Homoo(X)$. Nach Satz~\ref{thm:12.15}
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ist $\varrho(\pi_1(X, x_0)) = \Deck(\tilde{X} / X) = \Set{f: \tilde{X} \rightarrow \tilde{X} \text{ Homöomorphismus} | p \circ f = p}$
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Martin Thoma
