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@@ -459,5 +459,189 @@ Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Hom
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\end{enumerate}
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\end{beispiel}
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+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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+% Mitschrieb vom 12.12.2013 %
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+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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+\begin{definition}\xindex{Überlagerung}\label{def:12.1}%Definition 12.1 der Vorlesung
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+ Es seien $X, Y$ zusammenhängende topologische Räume und
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+ $p: Y \rightarrow X$ eine stetige, surjektive Abbildung.
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+
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+ $p$ heißt \textbf{Überlagerung}, wenn jedes $x \in X$ eine offene
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+ Umgebung $U = U_X$ besitzt, sodass $p^{-1}(U)$ disjunkte Vereinigung
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+ von offenen Teilmengen $V_j$ von $Y$ ist $(j \in I_X)$ und
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+ $p|_{V_j}: V_j \rightarrow U$ ein Homöomorphismus ist.
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+\end{definition}
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+
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+\begin{beispiel}
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+ \begin{enumerate}[label=\arabic*)]
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+ \item
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+ \begin{figure}
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+ \centering
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+ \input{figures/todo.tex}
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+ \caption{$\mdr \rightarrow S^1$, $t \mapsto (\cos 2 \pi t, \sin 2 \pi t)$}
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+ \label{fig:ueberlappung-r1-spirale-s1}
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+ \end{figure}
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+ \item
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+ \begin{figure}
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+ \centering
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+ \input{figures/todo.tex}
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+ \caption{$\mdr^2 \rightarrow T^2 = \mdr^2 / \mdz^2$}
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+ \label{fig:ueberlappung-kaestchen-torus}
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+ \end{figure}
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+ \item $\mdr^n \rightarrow T^n = \mdr^n / \mdz^n$
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+ \item $S^n \rightarrow \praum^n(\mdr)$
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+ \item $S^1 \rightarrow S^1$, $z \mapsto z^2$
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+ \begin{figure}
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+ \centering
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+ \input{figures/todo.tex}
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+ \caption{$t \mapsto (\cos 4 \pi t, \sin 4 \pi t)$}
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+ \label{fig:ueberlappung-kaestchen-torus}
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+ \end{figure}
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+ \end{enumerate}
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+\end{beispiel}
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+
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+\begin{korollar} % Bemerkung 12.2 der Vorlesung
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+ Überlappungen sind offene Abbildungen, d.~h. ist $p:Y \rightarrow X$
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+ Überlappung, $V \subseteq Y$ offen, so ist $p(V)$ offen in $X$.
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+\end{korollar}
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+
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+\begin{beweis}
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+ Sei $x \in p(V)$, etwa $x=p(y)$ ($y \in V$).
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+ Sei weiter $U = U_x$ die offene Umgebung von $x$ wie in Definition~\ref{def:12.1}
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+ und $V_j$ die Komponente von $p^{-1}(U)$, die $y$ enthält.
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+
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+ Dann ist $V \cap V_j$ offene Umgebung von $y$.
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+
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+ $\Rightarrow p(V \cap V_j)$ ist offen in $p(V_j)$, also auch offen
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+ in $X$. Außerdem ist $p(y) = x \in p(V \cap V_j)$ und
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+ $p(V \cap V_j) \subseteq p(V)$.
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+
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+ $\Rightarrow p(V)$ ist offen.
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+\end{beweis}
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+
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+\todo[inline]{Die Definition von Diskret habe ich mir überlegt. Hatten wir das schon mal?
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+Haben wir Häufungspunkt definiert?}
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+\begin{definition}\xindex{diskret}
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+ Sei $M$ eine Menge und $X$ ein topologischer Raum.
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+
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+ $M$ heißt \textbf{diskret} in $X$, wenn $M$ in $X$ keinen
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+ Häufungspunkt hat.
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+\end{definition}
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+
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+\begin{korollar} % Bemerkung 12.3 der Vorlesung
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+ Sei $p: Y \rightarrow X$ Überlagerung, $x \in X$.
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+ \begin{enumerate}[label=\alph*)]
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+ \item $X$ hausdorffsch $\Rightarrow Y$ hausdorffsch
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+ \item $p^{-1}(X)$ ist diskret in $Y$
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+ \end{enumerate}
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+\end{korollar}
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+
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+\begin{beweis}
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+ \begin{enumerate}[label=\alph*)]
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+ \item Seien $y_1, y_2 \in Y$.
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+
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+ \underline{1. Fall}: $p(y_1) = p(y_2) = x$.
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+
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+ Sei $U$ Umgebung von $x$ wie in Definition~\ref{def:12.1},
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+ $V_{j_1}$ bzw. $V_{j_2}$ die Komponente von $p^{-1}(U)$, die
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+ $y_1$ bzw. $y_2$ enthält.
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+
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+ Dann ist $V_{j_1} \neq V_{j_2}$, weil beide \todo{Was steht hier?}{} Element $p^{-1}(x)$
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+ enthält.
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+
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+ $\Rightarrow V_{j_1} \cap V_{j_2} = \emptyset$ nach Voraussetzung.
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+
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+ \underline{2. Fall}: $p(y_1) \neq p(y_2)$.
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+
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+ Dann seien $U_1$ und $U_2$ disjunkte Umbebungen von $p(y_1)$
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+ und $p(y_2)$.
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+
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+ $\Rightarrow p^{-1}(U_1)$ und $p^{-1}(U_2)$ sind Umgebungen von
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+ $y_1$ und $y_2$.
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+
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+ \item Sei $y \in Y$
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+
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+ \underline{1. Fall}: $y \in p^{-1}(x)$
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+
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+ Finde $v_j$, sodass kein \dots \todo{...}
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+
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+ \underline{2. Fall}: $y \notin p^{-1}(x)$
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+
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+ \todo{...}
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+ \end{enumerate}
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+\end{beweis}
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+
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+\begin{korollar}%Bemerkung 12.4 der Vorlesung
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+ Sei $p: Y \rightarrow X$ Überlagerung, $x_1, x_2 \in X$.
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+
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+ Dann ist $|p^{-1} (x_1)| = |p^{-1}(x_2)|$.\footnote{$|p^{-1} (x_1)| = \infty$ ist erlaubt!}
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+\end{korollar}
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+
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+\begin{beweis}
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+ Sei $U$ Umgebung von $x_1$ wie in Definition~\ref{def:12.1}, $x \in U$.
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+ Dann enthält jedes $V_j, j \in I_X$ genau ein Element von
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+ $p^{-1}(x)$
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+
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+ $\Rightarrow |p^{-1} (x)|$ ist konstant auf $U$
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+
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+ $\xRightarrow{X zhgd.} |p^{-1}(x)|$ ist konstant auf $X$
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+\end{beweis}
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+
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+\begin{definition}\xindex{Liftung}
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+ Sei $p: Y \rightarrow X$ Überlagerung, $Z$ ein weiterer topologischer
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+ Raum, $f:Z \rightarrow X$ stetig.
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+
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+ Eine stetige Abbildung $\tilde{f}: Z \rightarrow Y$ heißt
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+ \textbf{Liftung} von $f$, wenn $p \circ \tilde{f} = f$ ist.
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+\end{definition}
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+
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+\begin{figure}
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+ \centering
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+ \input{figures/todo.tex}
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+ \caption{Beim liften eines Weges bleiben geschlossene Wege im allgemeinen nicht geschlossen}
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+ \label{fig:satz-seifert-van-kampen}
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+\end{figure}
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+
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+\begin{korollar}
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+ Sei $Z$ zusammenhängend und $f_0, \dots, f_1: Z \rightarrow Y$
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+ Liftungen von $f$.
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+
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+ $\exists z_0 \in Z: f_0(z) = f_1(z) \Rightarrow f_0 = f_1$
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+\end{korollar}
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+
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+\begin{beweis}
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+ Sei $T = \Set{z \in Z | f_0(z) = f_1(z)}$.
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+
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+ \underline{Z.~Z.}: $T$ ist offen und $Z \setminus T$ ist auch offen.
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+
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+ Sei $z \in T, x = f(z), U$ Umgebung von $x$ wie in Definition~\ref{def:12.1},
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+ $V$ die Komponente von $p^{-1}(U)$, die $y:=f_0(z) = f_1(z)$.\todo{deutsch?}
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+
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+ Sei $q:U \rightarrow V$ die Umkehrabbildung zu $p|_V$.
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+
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+ Sei $W:= f^{-1}(U) \cap f_0^{-1}(V) \cap f_1^{-1}(V)$. $W$ ist
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+ offene Umgebung in $Z$ von $z$.
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+
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+ \underline{Behauptung:} $B \subseteq T$
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+
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+ Denn für $w \in W$ ist $q(f(w)) = q((p \circ f_0))(w) = ((q \circ p) \circ f_0) (w) = f_0(w) = q(f(w)) = f_1(w)$
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+
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+ $\Rightarrow T$ ist offen.
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+
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+ Analog: $Z \setminus T$ ist offen.
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+\end{beweis}
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+
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+\begin{satz}
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+ Sei $p: Y \rightarrow X$ Überlagerung, $\gamma: I \rightarrow X$
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+ ein Weg, $y \in Y$ mit $p(y) = \gamma(0) =: x$.
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+
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+ Dann gibt es genau einen Weg $\tilde{\gamma}: I \rightarrow Y$
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+ mit $\tilde{\gamma}(0)=y$ und $p \circ \tilde{\gamma} = \gamma$.
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+\end{satz}
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+
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+\begin{beweis}
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+Existenz: Siehe Skizze.
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+\end{beweis}
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+
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% Die Übungsaufgaben sollen ganz am Ende des Kapitels sein.
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\input{Kapitel3-UB}
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