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-\chapter{Topologische Grundbegriffe}
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-\section{Vorgeplänkel}
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- \begin{tabular}{lllll}
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- Die Kugeloberfläche $S^2$: & lässt sich zu: & oder:& verformen: \\
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- \input{figures/s2.tex} & \input{figures/cube.tex} & TODO & \input{figures/pyramid.tex}
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- \end{tabular}
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- aber nicht zum $\mdr^2$ oder zu einem Rhombus
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- \input{figures/torus.tex}
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-\section{Topologische Räume}
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-\begin{definition} \index{Topologischer Raum} \index{offen} \index{abgeschlossen}
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- Ein \textbf{topologischer Raum} ist ein Paar $(X, \fT)$ bestehend
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- aus einer Menge $X$ und $\fT \subseteq \powerset{X}$ mit
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- folgenden Eigenschaften
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- \begin{enumerate}[(i)]
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- \item $\emptyset, X \in \fT$
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- \item Sind $U_1, U_2 \in \fT$, so ist $U_1 \cap U_2 \in \fT$
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- \item Ist $I$ eine Menge und $U_i \in \fT$ für jedes $i \in I$,
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- so ist $\displaystyle \bigcup_{i \in I} U_i \in \fT$
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- \end{enumerate}
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- Die Elemente von $\fT$ heißen \textbf{offene Teilmengen} von $X$.
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- $A \setminus X$ heißt \textbf{abgeschlossen}, wenn $X \setminus A$ offen ist.
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-\end{definition}
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-Es gibt auch Mengen, die weder abgeschlossen, noch offen sind.
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-\begin{beispiel}
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- \begin{enumerate}[1)]
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- \item $X = \mdr^n$ mit der euklidischen Metrik.\\
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- $U \subseteq \mdr^n$ offen $\gdw$ für jedes $x \in U$
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- gibt es $r > 0$, sodass $B_r(x) = \Set{y \in \mdr^n | d(x,y) < r} \subseteq U$
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- \item Allgemeiner: $(X, d)$ metrischer Raum
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- \item $X$ Menge, $\fT = \Set{\emptyset, X}$ heißt \enquote{triviale Topologie} \index{Topologie!triviale}
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- \item $X$ Menge, $\fT = \powerset{X}$ heißt \enquote{diskrete Topologie} \index{Topologie!diskrete}
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- \item $X :=\mdr, \fT_Z := \Set{U \subseteq \mdr | \mdr \setminus U \text{ endlich}} \cup \Set{\emptyset}$ heißt \enquote{Zariski-Topologie} \index{Topologie!Zariski}\\
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- Beobachtung: $U \in \fT_Z \gdw \exists f \in \mdr[X]$, sodass $\mdr \setminus U = V(f) = \Set{x \in \mdr | f(x) = 0}$
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- \item $X := \mdr^n, \fT_Z = \{U \subseteq \mdr^n | \text{Es gibt Polynome } f_1, \dots, f_r \in \mdr[X_1, \dots, X_n] \text{ sodass }\\\mdr^n \setminus U = V(f_1, \dots, f_r)\}$
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- \item $X = \Set{0,1}, \fT = \Set{\emptyset, \Set{0,1}, \Set{0}}$\\
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- abgeschlossene Mengen: $\emptyset, \Set{0,1}, \Set{1}$
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- \end{enumerate}
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-\end{beispiel}
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-\begin{definition} \index{Umgebung}
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- Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum, $x \in X$.
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- Eine Teilmenge $U \subseteq X$ heißt \textbf{Umgebung} von $x$,
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- wenn es ein $U_0 \in \fT$ gibt mit $x \in U_0$ und $U_0 \subseteq U$.
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-\end{definition}
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-\begin{definition}
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- Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum, $M \subseteq X$ eine Teilmenge.
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- \begin{enumerate}[a)]
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- \item $\displaystyle M^\circ := \Set{x \in M | M \text{ ist Umgebung von } x} = \bigcup_{\stackrel{U \subseteq M} {U \in \fT}} U $ heißt \textbf{Inneres} oder \textbf{ offener Kern} von $M$. \index{Inneres} \index{Kern!offener}
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- \item $\displaystyle \overline{M} := \bigcap_{\stackrel{M \subseteq A}{A \text{ abgeschlossen}}} A$ heißt \textbf{abgeschlossene Hülle} oder \textbf{Abschluss} von $M$. \index{Abschluss}
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- \item $\partial M := \overline{M} \setminus M^\circ$ heißt \textbf{Rand} von $M$. \index{Rand}
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- \item $M$ heißt \textbf{dicht} in $X$, wenn $\overline{M} = X$ ist. \index{dicht}
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- \end{enumerate}
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-\end{definition}
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-<<<<<<< HEAD
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-\begin{beispiel}
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- \begin{enumerate}[1)]
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- \item $X = \mdr$ mit endlicher Topologie\\
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- $M = \mdq \Rightarrow \overline{M} = \mdr, \;\;\; M^\circ = \emptyset$
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- \item $X = \mdr$, $M=(a,b) \Rightarrow \overline{M} = [a,b]$
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- \item $X = \mdr, \fT = \fT_Z$\\
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- $M = (a,b) \Rightarrow \overline{M} = \mdr$
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- \end{enumerate}
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-\end{beispiel}
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-\begin{definition} \index{Basis} \index{Subbasis}
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- Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum.
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- \begin{enumerate}[a)]
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- \item $B \subseteq \fT$ heißt \textbf{Basis} der Topologie $\fT$,
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- wenn jedes $U \in \fT$ Vereinigung von Elementen aus $B$
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- ist.
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- \item $B \subseteq \fT$ heißt \textbf{Subbasis}, wenn jedes
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- $U \in \fT$ Vereinigung von endlich vielen Durchschnitten
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- von Elementen aus $B$ ist.
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- \end{enumerate}
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-\end{definition}
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-\begin{beispiel}
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- $X = \mdr^n$ heißt euklidische Topologie und
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- \[B = \Set{B_r(x) | r \in \mdq_{> 0}, x \in \mdq^n}\]
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- ist eine Basis.
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-\end{beispiel}
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-\begin{bemerkung}
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- Sei $X$ eine Menge und $B \subseteq \powerset{X}$. Dann gibt es
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- genau eine Topologie $\fT$ auf $X$, für die $B$ Subbasis ist.
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-\end{bemerkung}
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-\begin{definition} \index{Spurtopologie} \index{Teilraum}
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- Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum, $Y \subseteq X$.\\
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- $\fT_Y := \Set{U \cap Y | U \in \fT}$ ist eine Topologie auf $Y$.
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- $\fT$ heiß \textbf{Spurtopologie} und $(Y, \fT_Y)$ heißt ein
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- \textbf{Teilraum} von $(X, \fT)$
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-=======
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-\begin{beispieleX}
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- \begin{enumerate}[1)]
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- \item $X = \mdr$ mit euklidischer Topologie, $M = Q$. \\
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- $M^\circ = \emptyset, \overline{M} = \mdr$
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- \item $X = \mdr$, \dots\\
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- $M = (a, b) \Rightarrow \overline{M} = [a, b]$
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- \item $X = \mdr, \fT = \fT_Z$ \\
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- $M = (a, b) \Rightarrow \overline{M} = \mdr$
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- \end{enumerate}
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-\end{beispieleX}
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-\begin{definition} \index{Topologie!Spur-} \index{Teilraum}
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- Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum, $Y \subseteq X$.
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- $\fT_Y = \Set{U \cap Y | U \in \fT}$ ist Topologie auf $Y$.
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- $\fT_Y$ heißt \textbf{Spurtopologie}.
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- $(Y, \fT_Y)$ heißt \textbf{Teilraum} von $(X, \fT)$.
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->>>>>>> 1cef4bd8b4019bd99cf6323d9f5bf9f7c6dbf038
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-\end{definition}
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Martin Thoma