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documents/Numerik/Klausur1/Aufgabe1.tex

@@ -1,130 +0,0 @@
-\section*{Aufgabe 1}
-\subsection*{Teilaufgabe a}
-\textbf{Gegeben:}
-
-\[A =
-\begin{pmatrix}
-    3 & 15 & 13 \\
-    6 & 6  & 6  \\
-    2 & 8  & 19
-\end{pmatrix}\]
-
-\textbf{Aufgabe:} LR-Zerlegung von $A$ mit Spaltenpivotwahl
-
-\textbf{Lösung:}
-
-\begin{align*}
-	&
-	&
-    A^{(0)} &= \begin{gmatrix}[p]
-		3 & 15 & 13 \\
-		6 & 6  & 6  \\
-		2 & 8  & 19
-	 \rowops
-	 \swap{0}{1}
-	\end{gmatrix}
-	&\\
-    P^{(1)} &= \begin{pmatrix}
-		0 & 1 & 0\\
-		1 & 0 & 0\\
-     	0 & 0 & 1
-	\end{pmatrix},
-	&
-    A^{(1)} &= \begin{gmatrix}[p]
-		6 & 6  & 6  \\
-		3 & 15 & 13 \\
-		2 & 8  & 19
-	 \rowops
-	 \add[\cdot (-\frac{1}{2})]{0}{1}
-	 \add[\cdot (-\frac{1}{3})]{0}{2}
-	\end{gmatrix}
-	&\\
-	L^{(1)} &= \begin{pmatrix}
-		1 & 0 & 0\\
-		-\frac{1}{2} & 1 & 0\\
-     	-\frac{1}{3} & 0 & 1
-	\end{pmatrix},
-	&
-    A^{(2)} &= \begin{gmatrix}[p]
-		6 & 6  & 6  \\
-		0 & 12 & 10 \\
-		0 & 6  & 17
-	 \rowops
-	 \add[\cdot (-\frac{1}{2})]{1}{2}
-	\end{gmatrix}
-	&\\
-	L^{(2)} &= \begin{pmatrix}
-		1 & 0 & 0\\
-		0 & 1 & 0\\
-     	0 & -\frac{1}{2} & 1
-	\end{pmatrix},
-	&
-    A^{(3)} &= \begin{gmatrix}[p]
-		6 & 6  & 6  \\
-		0 & 12 & 10 \\
-		0 & 0  & 12
-	\end{gmatrix}
-\end{align*}
-
-Es gilt:
-
-\begin{align}
-	L^{(2)} \cdot L^{(1)} \cdot \underbrace{P^{(1)}}_{=: P} \cdot A^{0} &= \underbrace{A^{(3)}}_{=: R}\\
-	\Leftrightarrow P A &= (L^{(2)} \cdot L^{(1)})^{-1} \cdot R \\
-	\Rightarrow L &= (L^{(2)} \cdot L^{(1)})^{-1}\\
-	&= \begin{pmatrix}
-		1 & 0 & 0\\
-		\frac{1}{2} & 1 & 0\\
-		\frac{1}{3} & \frac{1}{2} & 1
-	\end{pmatrix}
-\end{align}
-
-Nun gilt: $P A = L R = A^{(1)}$ (Kontrolle mit \href{http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B%7B1%2C0%2C0%7D%2C%7B0.5%2C1%2C0%7D%2C%7B1%2F3%2C0.5%2C1%7D%7D*%7B%7B6%2C6%2C6%7D%2C%7B0%2C12%2C10%7D%2C%7B0%2C0%2C12%7D%7D}{Wolfram|Alpha})
-
-\subsection*{Teilaufgabe b}
-
-\textbf{Gegeben:}
-
-\[A =
-\begin{pmatrix}
-    9 & 4 & 12 \\
-    4 & 1  & 4 \\
-   12 & 4  & 17
-\end{pmatrix}\]
-
-\textbf{Aufgabe:} $A$ auf positive Definitheit untersuchen, ohne Eigenwerte zu berechnen.
-
-\textbf{Vorüberlegung:}
-Eine Matrix $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ heißt positiv definit $\dots$
-\begin{align*}
-  \dots & \Leftrightarrow \forall x \in \mathbb{R}^n \setminus \Set{0}: x^T A x > 0\\
-	& \Leftrightarrow \text{Alle Eigenwerte sind größer als 0}
-\end{align*}
-
-Falls $A$ symmetrisch ist, gilt:
-\begin{align*}
- \text{$A$ ist positiv definit} & \Leftrightarrow \text{alle führenden Hauptminore von $A$ sind positiv}\\
-	& \Leftrightarrow \text{es gibt eine Cholesky-Zerlegung $A=GG^T$}\\
-\end{align*}
-
-\subsubsection*{Lösung 1: Hauptminor-Kriterium}
-
-\begin{align}
-	\det(A_1) &= 9 > 0\\
-	\det(A_2) &=
-		\begin{vmatrix}
-			9 & 4 \\
-			4 & 1 \\
-		\end{vmatrix} = 9 - 16 < 0\\
-	&\Rightarrow \text{$A$ ist nicht positiv definit}
-\end{align}
-
-\subsubsection*{Lösung 2: Cholesky-Zerlegung}
-\begin{align}
-	l_{11} &= \sqrt{a_{11}} = 3\\
-	l_{21} &= \frac{a_{21}}{l_{11}} = \frac{4}{3}\\
-	l_{31} &= \frac{a_{31}}{l_{11}} = \frac{12}{3} = 4\\
-	l_{22} &= \sqrt{a_{22} - {l_{21}}^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{9}}= \sqrt{-\frac{7}{9}} \notin \mathbb{R}\\
- & \Rightarrow \text{Es ex. keine Cholesky-Zerlegung, aber $A$ ist symmetrisch}\\
- & \Rightarrow \text{$A$ ist nicht positiv definit}
-\end{align}

documents/Numerik/Klausur1/Aufgabe2.tex

@@ -1,53 +0,0 @@
-\section*{Aufgabe 2}
-\subsection*{Teilaufgabe a}
-\textbf{Aufgabe}
-Formulieren Sie einen Algorithmus in Pseudocode zum Lösen des Gleichungssystems
-\[Ly = b,\]
-wobei $L$ eine invertierbare, untere Dreiecksmatrix ist.
-
-Geben Sie die Formel zur Berechnung von $y_i$ an.
-
-\textbf{Lösung:}
-\[y_i = \frac{b_i - \sum_{k=1}^{i-1} l_{ik} \cdot y_k}{l_{ii}}\]
-
-\begin{algorithm}[H]
-    \begin{algorithmic}
-    \Require Lower, invertable, triangular Matrix $L \in \mathbb{R}^{n \times n}$, Vektor $b$
-	\Procedure{solve}{$L$, $b$}
-    	\For{$i \in \Set{1, \dots n}$}
-			\State $y_i \gets b_i$
-			\For{$k \in \Set{1, \dots, i-1}$}
-				\State $y_i \gets y_i - l_{ik} \cdot y_k$
-			\EndFor
-			\State $y_i \gets \frac{y_i}{l_{ii}}$
-		\EndFor
-	\EndProcedure
-    \end{algorithmic}
-\caption{Calculate $y$ in $Ly = b$}
-\end{algorithm}
-
-\subsection*{Teilaufgabe b}
-\[Ax = b \Leftrightarrow PAx = Pb \Leftrightarrow LRx = Pb \]
-
-\begin{algorithm}[H]
-    \begin{algorithmic}
-    \Require Matrix $A$, Vektor $b$
-	\Procedure{LoeseLGS}{$A$, $b$}
-    	\State $P, L, R \gets \Call{LRZer}{A}$
-		\State $b^* \gets P \cdot b$
-		\State $c \gets \Call{VorSub}{L, b^*}$
-		\State $x \gets \Call{RueckSub}{R, c}$
-		\State \Return $x$
-	\EndProcedure
-    \end{algorithmic}
-\caption{Löse ein LGS $Ax = b$}
-\end{algorithm}
-
-\subsection*{Teilaufgabe c}
-Der Gesamtaufwand ist:
-\begin{itemize}
-	\item LR-Zerlegung, $\frac{1}{3}n^3 - \frac{1}{3} n^2$
-	\item Vektormultiplikation, $2n$
-	\item Vorwärtssubstitution, $\frac{1}{2} n^2$
-	\item Rückwärtssubstitution, $\frac{1}{2} n^2$
-\end{itemize}

documents/Numerik/Klausur1/Aufgabe3.tex

@@ -1,165 +0,0 @@
-\section*{Aufgabe 3}
-Die Jacobi-Matrix von $f$ lautet:
-\[f' (x,y) = \begin{pmatrix}
-	3     & \cos y\\
-	3 x^2 & e^y
-\end{pmatrix}\]
-Hierfür wurde in in der ersten Spalte nach $x$ abgeleitet und in der
-zweiten Spalte nach $y$.
-
-Eine Iteration des Newton-Verfahren ist durch
-\begin{align}
-x_{k+1}&=x_{k}\underbrace{-f'(x_k)^{-1}\cdot f(x_k)}_{\Delta x}
-\end{align}
-gegeben (vgl. Skript, S. 35).
-
-Zur praktischen Durchführung lösen wir
-\begin{align}
-    f'(x_0, y_0)\Delta x &= -f(x_0,y_0)\\
-    L \cdot \underbrace{R \cdot \Delta x}_{=: c} &= -f(x_0, y_0)
-\end{align}
-mit Hilfe der LR Zerlegung nach $\Delta x$ auf.
-
-\subsection*{Lösungsvorschlag 1 (Numerische Lösung)}
-\begin{align}
-%
-	f'(x_0,y_0)	&= L \cdot R \\
-	\Leftrightarrow f'(-\nicefrac{1}{3}, 0)	&= L \cdot R \\
-	\Leftrightarrow \begin{pmatrix}
-		3     & 1\\
-		\frac{1}{3} & 1
-	\end{pmatrix}
-	&=
-	\overbrace{\begin{pmatrix}
-		1      & 0\\
-		\frac{1}{9} & 1
-	\end{pmatrix}}^{=: L} \cdot
-	\overbrace{\begin{pmatrix}
-		3 & 1\\
-		0      & \frac{8}{9}
-	\end{pmatrix}}^{=: R}\\
-%
-	L \cdot c	&= -f(x_0,y_0) \\
-	\Leftrightarrow
-	\begin{pmatrix}
-		1      & 0\\
-		\frac{1}{9} & 1
-	\end{pmatrix}
-	\cdot c
-	&= -
-		\begin{pmatrix}
-		2\\
-		\frac{26}{27}
-	\end{pmatrix}\\
-	\Rightarrow
-	c &=		\begin{pmatrix}
-		-2\\
-		-\frac{20}{27}
-	\end{pmatrix}\footnotemark\\
-%
-	R\cdot \Delta x &= c\\
-	\Leftrightarrow
-	\begin{pmatrix}
-		3 & 1\\
-		0      & \frac{8}{9}
-	\end{pmatrix}
-	\cdot \Delta x &=
-	\begin{pmatrix}
-		-2\\
-		-\frac{20}{27}
-	\end{pmatrix}\\
-	\Rightarrow \Delta x &= \frac{1}{18}
-	\begin{pmatrix}
-		-7\\
-		-15
-	\end{pmatrix}
-\end{align}
-\footnotetext{Dieser Schritt wird durch Vorwärtssubsitution berechnet.}
-
-Anschließend berechnen wir
-\begin{align}
-	\begin{pmatrix}
-		x_1\\
-		y_1
-	\end{pmatrix} &=
-	\begin{pmatrix}
-		x_0\\
-		y_0
-	\end{pmatrix}+\Delta x \\
-	\Leftrightarrow\begin{pmatrix}
-		x_1\\
-		y_1
-	\end{pmatrix} &=
-	\begin{pmatrix}
-		-\frac{1}{3}\\
-		0
-	\end{pmatrix} +
-    \frac{1}{18}
-	\begin{pmatrix}
-		-7\\
-		-15
-	\end{pmatrix} \\
-	\Leftrightarrow\begin{pmatrix}
-		x_1\\
-		y_1
-	\end{pmatrix} &=
-	\begin{pmatrix}
-		-\nicefrac{13}{18}\\
-		-\nicefrac{15}{18}
-	\end{pmatrix}
-\end{align}
-
-
-\subsection*{Lösungsvorschlag 2 (Analytische Lösung)}
-LR-Zerlegung für $f'(x, y)$ kann durch scharfes hinsehen durchgeführt
-werden, da es in $L$ nur eine Unbekannte links unten gibt. Es gilt
-also ausführlich:
-
-\begin{align}
-	\begin{pmatrix}
-		3     & \cos y\\
-		3 x^2 & e^y
-	\end{pmatrix}
-	&=
-	\overbrace{\begin{pmatrix}
-		1      & 0\\
-		l_{12} & 1
-	\end{pmatrix}}^L \cdot
-	\overbrace{\begin{pmatrix}
-		r_{11} & r_{12}\\
-		0      & r_{22}
-	\end{pmatrix}}^R\\
-	\Rightarrow r_{11} &= 3\\
-	\Rightarrow r_{12} &= \cos y\\
-	\Rightarrow \begin{pmatrix}
-		3     & \cos y\\
-		3 x^2 & e^y
-	\end{pmatrix}
-	&=
-	\begin{pmatrix}
-		1      & 0\\
-		l_{12} & 1
-	\end{pmatrix} \cdot
-	\begin{pmatrix}
-		3 & \cos y\\
-		0 & r_{22}
-	\end{pmatrix}\\
-	\Rightarrow 3x^2 &\stackrel{!}{=} l_{12} \cdot 3 + 1 \cdot 0\\
-	\Leftrightarrow l_{12} &= x^2\\
-	\Rightarrow e^y &\stackrel{!}{=} x^2 \cdot \cos y + 1 \cdot r_{22}\\
-	\Leftrightarrow r_{22} &= -x^2 \cdot \cos y + e^y\\
-	\Rightarrow \begin{pmatrix}
-		3     & \cos y\\
-		3 x^2 & e^y
-	\end{pmatrix}
-	&=
-	\begin{pmatrix}
-		1   & 0\\
-		x^2 & 1
-	\end{pmatrix} \cdot
-	\begin{pmatrix}
-		3 & \cos y\\
-		0 & -x^2 \cdot \cos y + e^y
-	\end{pmatrix}\\
-	P &= I_2
-\end{align}

documents/Numerik/Klausur1/Aufgabe4.tex

@@ -1,73 +0,0 @@
-\section*{Aufgabe 4}
-\textbf{Aufgabe}:
-
-\[I(f) = \int_a^b f(x) \mathrm{d}x \]
-
-\begin{enumerate}
-    \item Integrand am linken und am rechten Rand interpolieren
-	\item Interpolationspolynom mit Quadraturformel integrieren
-\end{enumerate}
-
-\textbf{Lösung}:
-
-Nutze Interpolationsformel von Lagrange:
-
-\begin{align}
-    L_i &= \frac{\prod_{j=1, j \neq i}^n (x-x_j)}{\prod_{j=1, j \neq i}^n (x_i - x_j)}\\
-    p(x) &= \sum_{i=0}^{1} f_i \cdot L_i(x)
-\end{align}
-
-Berechne Lagrangepolynome:
-
-\begin{align}
-    L_0(x) = \frac{x-b}{a-b} \\
-    L_1(x) = \frac{x-a}{b-a}
-\end{align}
-
-So erhalten wir:
-
-\begin{align}
-    p(x) &= f(a) \frac{x-b}{a-b} + f(b) \frac{x-a}{b-a}\\
-    &= \frac{f(a) (b-x) + f(b) (x-a)}{b-a} \\
-    &= \frac{f(a)b- f(a)x + f(b) x- f(b)a}{b-a}\\
-    &=\frac{x \cdot \left (f(b)-f(a) \right  ) + f(a)b- f(b)a}{b-a}\\
-    &= x \cdot \underbrace{\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}_{=:r} + \underbrace{\frac{f(a)b - f(b)a}{b-a}}_{=: s}
-\end{align}
-
-Nun integrieren wir das Interpolationspolynom:
-
-\begin{align}
-    \int_a^b p(x) \mathrm{d} x &= \left [\frac{r}{2} x^2 +  sx \right ]_a^b\\
-    &= \left (\frac{a^2 r}{2} + sa \right ) - \left (\frac{b^2 r}{2} + sb \right )\\
-    &= a\left (\frac{a r}{2} + s \right ) - b \left (\frac{b r}{2} + s \right )\\
-    &= a\left (\frac{a \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}{2} + \frac{f(a)b - f(b)a}{b-a} \right ) - b \left (\frac{b \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}{2} + \frac{f(a)b - f(b)a}{b-a} \right )\\
-    &= a\left (\frac{-a f(a)+2b f(a)-a f(b)}{2 \cdot(b-a)}\right ) - b \left (\frac{bf(b) + b f(a) - 2 a f(b)}{2 \cdot (b-a)} \right )\\
-    & \dots \text{theoretisch sollte das zu } (b-a)(\frac{f(a)}{2} + \frac{f(b)}{2}) \text{ zu vereinfachen sein}
-\end{align}
-
-Alternativer Rechenweg
-
-\[ \int_a^b p(x)dx = \int_a^b f(a) \frac{x-b}{a-b}dx + \int_a^b f(b) \frac{x-a}{b-a}dx \]
-\[ = \int_a^b \frac{f(a) \cdot x}{a-b}dx - \int_a^b \frac{f(a) \cdot b}{a-b}dx + \int_a^b \frac{f(b) \cdot x}{b-a}dx - \int_a^b \frac{f(b) \cdot a}{b-a}dx \]
-\[ = \frac{1}{2} \cdot \frac{f(a) \cdot b^2}{a-b} - \frac{1}{2} \cdot \frac{f(a) \cdot a^2}{a-b} - \frac{f(a) \cdot b^2}{a-b} + \frac{f(a) \cdot b \cdot a}{a-b} + \frac{1}{2} \cdot \frac{f(b) \cdot b^2}{b-a} \]
-\[ - \frac{1}{2} \cdot \frac{f(b) \cdot a^2}{b-a} - \frac{f(b) \cdot a \cdot b}{b-a} + \frac{f(b) \cdot a^2}{b-a}\]
-\[=(b-a)\cdot(\frac{f(a)}{2} + \frac{f(b)}{2})\]
-
-Betrachtet man nun die allgemeine Quadraturformel,
-\[
-\int_a^b f(x)dx \approx (b-a) \sum_{i=1}^s b_i f(a+c_i(b-a))
-\]
-so gilt für die hergeleitete Quadraturformel also $s=2$, $c_1=0, c_2=1$ und $b_1 = b_2 = \frac{1}{2}$. Sie entspricht damit der Trapezregel.
-
-\subsection*{Teilaufgabe b)}
-Sei nun $f(x) = x^2$ und $a = 0$ sowie $b = 4$. Man soll die ermittelte
-Formel zwei mal auf äquidistanten Intervallen anwenden.
-
-\textbf{Lösung:}
-
-\begin{align}
-	\int_0^4 p(x) \mathrm{d}x &= \int_0^2 p(x)\mathrm{d}x + \int_2^4 p(x)\mathrm{d}x \\
-    &= (2-0)\cdot \left (\frac{0}{2} + \frac{4}{2} \right ) + (4-2) \cdot \left (\frac{4}{2} + \frac{16}{2} \right )\\
-    &= 2 \cdot 2 + 2 \cdot (2+8)\\
-    &= 24
-\end{align}

documents/Numerik/Klausur1/Aufgabe5.tex

@@ -1,67 +0,0 @@
-\section*{Aufgabe 5}
-\subsection*{Teilaufgabe a}
-Eine Quadraturformel $(b_i, c_i)_{i=1, \dots, s}$ hat die Ordnung
-$p$, falls sie exakte Lösungen für alle Polynome vom Grad $\leq p -1$
-liefert.
-
-\subsection*{Teilaufgabe b}
-Die Ordnungsbedingungen, mit denen man zeigen kann, dass eine Quadraturformel
-mindestens Ordnung $p$ hat, lautet:
-\[\forall p \in \Set{1, \dots, p}: \sum_{i=1}^s b_i c_i^{q-1} = \frac{1}{q}\]
-
-\subsection*{Teilaufgabe c}
-\paragraph{Aufgabe} Bestimmen Sie zu den Knoten $c_1 = 0$ und $c_2 = \frac{2}{3}$ Gewichte, um eine Quadraturformel
-maximaler Ordnung zu erhalten. Wie hoch ist die Ordnung?
-
-\paragraph{Lösung}
-
-Nach VL kann bei Vorgabe von $s$ Knoten auch die Ordnung $s$ durch
-geschickte Wahl der Gewichte erreicht werden. Nach Satz 27 ist diese
-Wahl eindeutig.
-Also berechnen wir die Gewichte, um die Ordnung $p=2$ zu sichern.
-
-Dazu stellen wir zuerst die Lagrange-Polynome auf:
-
-\begin{align}
-	L_1(x) &= \frac{x-x_2}{x_1 - x_2} = \frac{x-c_2}{c_1-c_2} = \frac{x-\nicefrac{2}{3}}{-\nicefrac{2}{3}} = -\frac{3}{2} x + 1\\
-    L_2(x) &= \frac{x-x_1}{x_2 - x_1} = \frac{x-c_1}{c_2-c_1} = \frac{x}{\nicefrac{2}{3}} = \frac{3}{2} x
-\end{align}
-
-Nun gilt für die Gewichte:
-\begin{align}
-	b_i &= \int_0^1 L_i(x) \mathrm{d}x\\
-	b_1 &= \int_0^1 -\frac{3}{2} x + 1 \mathrm{d}x = \left [ -\frac{3}{4}x^2 + x \right ]_0^1 = \frac{1}{4}\\
-	b_2 &= \frac{3}{4}
-\end{align}
-
-Nun sind die Ordnungsbedingungen zu überprüfen:
-\begin{align}
-    \nicefrac{1}{1} &\stackrel{?}{=} b_1 c_1^0 + b_2 c_2^0 = \nicefrac{1}{4} + \nicefrac{3}{4} \text{\;\;\cmark}\\
-    \nicefrac{1}{2} &\stackrel{?}{=} b_1 c_1^1 + b_2 c_2^1 = \frac{1}{4} \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} \text{\;\;\cmark}\\
-    \nicefrac{1}{3} &\stackrel{?}{=} b_1 c_1^2 + b_2 c_2^2 = \frac{1}{4} \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{9} \text{\;\;\cmark}\\
-    \nicefrac{1}{4} &\stackrel{?}{=} b_1 c_1^3 + b_2 c_2^3 = \frac{1}{4} \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot \frac{8}{27} \text{\;\;\xmark}\\
-\end{align}
-
-Die Quadraturformel mit den Knoten $c_1 = 0$, $c_2 = \nicefrac{2}{3}$ sowie
-den Gewichten $b_1 = \nicefrac{1}{4}$, $b_2 = \nicefrac{3}{4}$ erfüllt
-also die 1., 2. und 3. Ordnungsbedingung, nicht jedoch die 4.
-Ordnungsbedingung. Ihre maximale Ordnung ist also $p=3$.
-
-\textbf{Anmerkungen:} Da $c_1 = 0$ kann es sich nicht um die Gauß-QF handeln.
-Somit können wir nicht Ordnung $p=4$ erreichen.
-
-Bei der Suche nach den Gewichten hätte man alternativ auch das folgende
-LGS lösen können:
-
-\begin{align}
-    \begin{pmatrix}
-        c_1^0 & c_2^0\\
-        c_1^1 & c_2^1
-    \end{pmatrix}
-    \cdot x
-    =
-    \begin{pmatrix}
-        1\\
-        \nicefrac{1}{2}
-    \end{pmatrix}
-\end{align}

documents/Numerik/Klausur1/Klausur1.tex

@@ -1,49 +0,0 @@
-\documentclass[a4paper]{scrartcl}
-\usepackage{amssymb, amsmath} % needed for math
-\usepackage[utf8]{inputenc} % this is needed for umlauts
-\usepackage[ngerman]{babel} % this is needed for umlauts
-\usepackage[T1]{fontenc}    % this is needed for correct output of umlauts in pdf
-\usepackage{pdfpages}       % Signatureinbingung und includepdf
-\usepackage{geometry}       % [margin=2.5cm]layout
-\usepackage[pdftex]{hyperref}       % links im text
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-\usepackage{enumerate}      % for advanced numbering of lists
-\usepackage{marvosym}       % checkedbox
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-\usepackage{braket}         % for \Set{}
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-\title{Numerik Klausur 1 - Musterlösung}
-\makeatletter
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-	\hypersetup{
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-
-\begin{document}
-	\include{Aufgabe1}
-	\include{Aufgabe2}
-	\include{Aufgabe3}
-	\include{Aufgabe4}
-	\include{Aufgabe5}
-\end{document}

documents/Numerik/Klausur1/Makefile

@@ -1,8 +0,0 @@
-SOURCE = Klausur1
-make:
-	pdflatex -shell-escape $(SOURCE).tex -output-format=pdf
-	pdflatex -shell-escape $(SOURCE).tex -output-format=pdf
-	make clean
-
-clean:
-	rm -rf  $(TARGET) *.class *.html *.log *.aux *.out *.pyg

documents/Numerik/Klausur1/README.md

@@ -1,4 +0,0 @@
-Dies ist eine inoffizielle Lösung für [Klausur1.pdf von Dr. Daniel Weiß](http://www.math.kit.edu/ianm3/lehre/numainfing2013s/seite/uebnuminfing).
-
-Verbesserungsvorschläge gerne per [GitHub Pull Request](https://help.github.com/articles/using-pull-requests)
-an mich schicken oder auch einfach per E-Mail an info@martin-thoma.de

documents/Numerik/Klausur2/Aufgabe1.tex

@@ -1,87 +0,0 @@
-\section*{Aufgabe 1}
-\subsection*{Teilaufgabe a)}
-
-\paragraph{Gegeben:}
-
-\[A := \begin{pmatrix}
-4 & 2 & 8\\
-2 & 5 & 8\\
-8 & 8 & 29
-\end{pmatrix}\]
-
-\paragraph{Aufgabe:} Cholesky-Zerlegung $A = \overline{L} \cdot \overline{L}^T$ berechnen
-
-\paragraph{Rechenweg:}
-Entweder mit dem Algorithmus:
-\begin{algorithm}[H]
-    \begin{algorithmic}
-        \Function{Cholesky}{$A \in \mathbb{R}^{n \times n}$}
-            \State $L = \Set{0} \in \mathbb{R}^{n \times n}$ \Comment{Initialisiere $L$}
-            \For{($k=1$; $\;k \leq n$; $\;k$++)}
-                \State $L_{k,k} = \sqrt{A_{k,k} - \sum_{i=1}^{k-1} L_{k,i}^2}$
-                \For{($i=k+1$; $\;i \leq n$; $\;i$++)}
-                    \State $L_{i,k} = \frac{A_{i,k} - \sum_{j=1}^{k-1} L_{i,j} \cdot L_{k,j}}{L_{k,k}}$
-                \EndFor
-            \EndFor
-            \State \Return $L$
-        \EndFunction
-    \end{algorithmic}
-\caption{Cholesky-Zerlegung}
-\label{alg:seq1}
-\end{algorithm}
-
-oder über die LR-Zerlegung:
-\begin{align}
-    A &= L\cdot R\\
-      &= L\cdot(D\cdot L^T)\\
-      &= L\cdot(D^\frac{1}{2} \cdot D^\frac{1}{2})\cdot L^T\\
-      &= \underbrace{(L\cdot D^\frac{1}{2})}_{=: \overline{L}} \cdot (D^\frac{1}{2} \cdot L^T)
-\end{align}
-
-\paragraph{Lösung:}
-$
-\overline{L} =
-\begin{pmatrix}
-2 & 0 & 0 \\
-1 & 2 & 0 \\
-4 & 2 & 3 \\
-\end{pmatrix}
-$
-
-
-\subsection*{Teilaufgabe b)}
-\textbf{Gesucht}: $\det(A)$
-
-Sei $P \cdot A = L \cdot R$, die gewohnte LR-Zerlegung.
-
-Dann gilt:
-
-\[\det(A) = \frac{\det(L) \cdot \det(R)}{\det(P)}\]
-
-$\det(L) = 1$, da alle Diagonalelemente 1 sind und es sich um eine strikte untere Dreiecksmatrix handelt.
-
-$\det(R) = r_{11} \cdot \ldots \cdot r_{nn}$, da es sich um eine obere Dreiecksmatrix handelt.
-
-
-$\det(P) \in \Set{1, -1}$
-
-Das Verfahren ist also:
-
-\begin{algorithm}[H]
-    \begin{algorithmic}
-        \Require $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$
-        \State $P, L, R \gets \Call{LRZerl}{A}$
-        \State $x \gets 1$
-        \For{$i$ in $1..n$}
-            \State $x \gets x \cdot r_{ii}$
-            \State $x \gets x \cdot p_{ii}$
-        \EndFor
-    \end{algorithmic}
-\caption{Determinante berechnen}
-\label{alg:seq1}
-\end{algorithm}
-
-Alternativ kann man auch in einer angepassten LR-Zerlegung direkt die
-Anzahl an Zeilenvertauschungen zählen. Dann benötigt man $P$ nicht mehr.
-Ist die Anzahl der Zeilenvertauschungen ungerade, muss das Produkt
-der $r_ii$ negiert werden.

documents/Numerik/Klausur2/Aufgabe2.tex

@@ -1,66 +0,0 @@
-\section*{Aufgabe 2}
-
-\paragraph{Voraussetzung:}
-Gegeben sei eine Funktion $F$:
-\begin{align*}
-    F: \mathbb{R} &\rightarrow [-1, 1]\\
-    F(x) &:= \cos(x)
-\end{align*}
-
-sowie eine Folge $(x)_k$ mit $x_{k+1} := F(x_k)$.
-
-\paragraph{Behauptung:} $\displaystyle \exists! x^*: \forall x \in \mathbb{R}: \lim_{k \rightarrow \infty} x_k = x^*$
-
-\paragraph{Beweis:} über den Banachschen Fixpunktsatz.
-\begin{proof}
-Sei $ x \in \mathbb{R}$, so gilt:\marginpar{Teil 1: Fix\-punkte können nur in $[0,1]$ sein.}
-\begin{align*}
-	-1 \leq \cos(x) \leq 1
-\end{align*}
-Also genügt es $x \in [-1, 1]$ auf der Suche nach Fixpunkten zu betrachten.
-
-Sei nun $x \in [-1, 0)$. Dann gilt: $\cos(x) > 0$. Da $x <0$ aber $F(x) > 0$,
-kann kein Fixpunkt in $[-1, 0)$ sein. Es genügt also sogar,
-nur $[0, 1]$ zu betrachten.
-
-Sei $0 \leq x < y \leq 1$. Dann folgt:\marginnote{Teil 2: $F$ ist auf $[0,1]$ eine Kontraktion}
-\begin{align}
-    \stackrel{\text{Mittelwertsatz}}{\Rightarrow} \exists L \in (x,y): \frac{\cos(y) - \cos(x)}{y-x} &= f'(L)\\
-    \Rightarrow \exists L \in [0,1]: \| \cos y - \cos x \| &= \| - \sin(L) \cdot (y-x)\| \\
-    &= \underbrace{\sin(L)}_{[0,1)} (y-x)\\
-   \Rightarrow F \text{ ist Kontraktion auf [0,1]}
-\end{align}
-
-Da $F|_{[0,1]}$ eine Selbstabbildung und eine Kontraktion ist und
-offensichtlich $[0,1]$ abgeschlossen ist, greift der
-Banachsche Fixpunktsatz. Es folgt direkt, dass auch für alle $x \in [0,1]$
-die Folge $(x)_k$ gegen den einzigen Fixpunkt $x^*$ konvergiert.
-\end{proof}
-
-\subsection*{Anmerkung}
-Um zu zeigen, dass es genau einen Fixpunkt $x^*$ in $(0,1)$ gibt,
-braucht man den Banachschen Fixpunktsatz nicht. Nur um zu zeigen,
-dass die Fixpunktiteration auf für jedes $x \in \mathbb{R}$ gegen
-diesen Fixpunkt $x^*$ konvergiert, braucht man ihn.
-
-So kann man die existenz eines Fixpunktes zeigen:
-
-Offensichtlich ist $F(0) \neq 0$ und $F(1) \neq 1$, also ist der
-Fixpunkt - falls vorhanden - in $(0,1)$. $F$ ist in $(0,1)$ stetig
-und streng monoton fallend. Da auch $-x$ in $(0,1)$ streng monoton
-fallend ist, folgt, dass $\cos(x) - x$ in $(0,1)$ streng monoton
-fallend ist.
-
-$x=0 \Rightarrow \cos(x) - x = \cos(0) - 0 = 1$
-
-$x=45^\circ = \frac{1}{4} \pi < 1 \Rightarrow \cos(45^\circ) - \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\pi}{4} <0$, da
-\begin{align}
-    8 &< 9 < \pi^2\\
-    \Rightarrow \sqrt{8} &< \pi\\
-    \Leftrightarrow 2 \sqrt{2} &< \pi\\
-    \Leftrightarrow \frac{\sqrt{2}}{2} &< \frac{\pi}{4}
-\end{align}
-
-$\stackrel{\text{Zwischenwertsatz}}{\Rightarrow} \exists x^*: \cos(x^*) - x^* = 0 \Leftrightarrow \exists x^*: \cos(x^*) = x^*$.
-
-Dieses $x^*$ ist eindeutig, da $\cos(x)-x$ \emph{streng} monoton fallend ist.

documents/Numerik/Klausur2/Aufgabe3.tex

@@ -1,56 +0,0 @@
-\section*{Aufgabe 3}
-\textbf{Gegeben:}
-
-\begin{table}[h!]
-    \begin{tabular}{l||l|l|l|l}
-    $f_i$ & 7  & 1 & -1 & 7 \\\hline
-    $x_i$ & -1 & 0 & 1  & 2 \\
-    \end{tabular}
-\end{table}
-
-\subsection*{Teilaufgabe a)}
-Allgemein lauten Lagrange-Polynome:
-
-\[L_i = \frac{\overbrace{\prod_{j=0, j \neq i}^n (x-x_j)}^\text{Produkt der Nullstellen}}{\underbrace{\prod_{j=0, j \neq i}^n (x_i - x_j)}_\text{Normalisierungsfaktor}}\]
-
-Im speziellen:
-\begin{align}
-	L_0(x) &= \frac{(x-0)(x-1)(x-2)}{(-1-0)(-1-1)(-1-2)} &&=-\frac{1}{6} \cdot (x^3 - 3 x^2 + 2x)\\
-	L_1(x) &= \frac{(x+1)(x-1)(x-2)}{(0+1)(0-1)(0-2)}    &&= \frac{1}{2} \cdot (x^3 - 2x^2 - x + 2)\\
-	L_2(x) &= \frac{(x+1)x(x-2)}{(1+1)(1-0)(1-2)}        &&=-\frac{1}{2} \cdot (x^3 - x^2 - 2x)\\
-	L_3(x) &= \frac{(x+1)(x-0)(x-1)}{(2+1)(2-0)(2-1)}    &&= \frac{1}{6} \cdot (x^3 - x)
-\end{align}
-
-Durch die Interpolationsformel von Lagrange
-
-\[p(x) = \sum_{i=0}^n f_i L_i(x)\]
-
-ergibt sich
-\begin{align}
-	p(x) &= x^3 + 2x^2 - 5x + 1
-\end{align}
-Anmerkung: Es ist nicht notwendig die Monomdarstellung zu berechnen.
-In diesem Fall hat es jedoch das Endergebnis stark vereinfacht.
-
-\subsection*{Teilaufgabe b)}
-Für die Berechnung der dividierten Differenzen gilt allgemein:
-
-\begin{align}
-    f[x_i, \dots, x_{i+k}] = \frac{f[x_i, \dots x_{(i+k)-1}] - f[x_{i+1}, \dots x_{i+k}]}{x_i - x_{i+k}}
-\end{align}
-
-In diesem Fall bedeutet das konkret:
-\begin{align}
-	f[x_0] &= 7,           &f[x_1] &= 1,       & f[x_2] &= -1,     & f[x_3] = 7\\
-	f[x_0, x_1] &= -6,     &f[x_1, x_2] &= -2, &f[x_2, x_3] &= 8\\
-	f[x_0, x_1, x_2] &= 2, &f[x_1, x_2, x_3] &= 5\\
-	f[x_0, x_1, x_2, x_3] &= 1
-\end{align}
-
-Insgesamt ergibt sich also
-\begin{align}
-	p(x) &= 7 + (x-\underbrace{(-1)}_{x_0}) \cdot (-6) + (x-\underbrace{(-1)}_{x_0}) \cdot (x-\underbrace{(0)}_{x_1}) \cdot 2 + (x+1) \cdot x \cdot (x-1)\\
-    &= 7 -6 (x+1) + 2x(x+1) + x(x+1)(x-1)
-\end{align}
-
-(Siehe erste Spalte mit $x_0$)

documents/Numerik/Klausur2/Aufgabe4.tex

@@ -1,47 +0,0 @@
-\section*{Aufgabe 4}
-\subsection*{Teilaufgabe a)}
-\begin{enumerate}
-    \item Ordnung 3 kann durch geschickte Gewichtswahl erzwungen werden.
-    \item Ordnung 4 ist automatisch gegeben, da die QF symmetrisch sein soll.
-    \item Aufgrund der Symmetrie gilt Äquivalenz zwischen Ordnung 5 und 6.
-          Denn eine hätte die QF Ordnung 5, so wäre wegen der
-          Symmetrie Ordnung 6 direkt gegeben. Ordnung 6 wäre aber
-          bei der Quadraturformel mit 3 Knoten das Maximum, was nur
-          mit der Gauß-QF erreicht werden kann. Da aber $c_1 = 0$ gilt,
-          kann es sich hier nicht um die Gauß-QF handeln. Wegen
-          erwähnter Äquivalenz kann die QF auch nicht Ordnung 5 haben.
-\end{enumerate}
-
-Da $c_1 = 0$ gilt, muss $c_3 = 1$ sein (Symmetrie). Und dann muss $c_2 = \frac{1}{2}$
-sein. Es müssen nun die Gewichte bestimmt werden um Ordnung 3 zu
-garantieren mit:
-
-\begin{align}
-    b_i &= \int_0^1 L_i(x) \mathrm{d}x\\
-    b_1 &= \frac{1}{6},\\
-    b_2 &= \frac{4}{6},\\
-    b_3 &= \frac{1}{6}
-\end{align}
-
-\subsection*{Teilaufgabe b)}
-Als erstes ist festzustellen, dass es sich hier um die Simpsonregel handelt und die QF
-\begin{align}
-    \int_a^b f(x) \mathrm{d}x &= (b-a) \cdot \frac{1}{6} \cdot \left ( f(a) + 4 \cdot f(\frac{a+b}{2}) + f(b) \right )
-\end{align}
-
-ist. Wenn diese nun auf $N$ Intervalle aufgepflittet wird gilt folgendes:
-\begin{align}
-	h &= \frac{(b-a)}{N} \\
-	\int_a^b f(x) \mathrm{d}x &= h \cdot \frac{1}{6} \cdot \left [ f(a) + f(b) + 2 \cdot \sum_{i=1}^{N-1} f(a + i \cdot h) + 4 \cdot \sum_{l=0}^{N-1} f(a + \frac{1}{2} \cdot h + l \cdot h)\right ]
-\end{align}
-
-$\sum_{i=1}^{N-1} f(a + i \cdot h)$ steht für die Grenzknoten
- (deshalb werden sie doppelt gezählt). Von den Grenzknoten gibt es
-insgesamt $N-2$ Stück, da die tatsächlichen Integralgrenzen $a$ und $b$
-nur einmal in die Berechnung mit einfließen.
-
-$\sum_{l=0}^{N-1} f(a + \frac{1}{2} \cdot h + l \cdot h)$ sind die jeweiligen
-mittleren Knoten der Intervalle. Davon gibt es $N$ Stück.
-
-\subsection*{Teilaufgabe c)}
-Diese Aufgabe ist nicht relevant, da Matlab nicht Klausurrelevant ist.

documents/Numerik/Klausur2/Aufgabe5.tex

@@ -1,99 +0,0 @@
-\section*{Aufgabe 5}
-
-Zunächst ist nach der Familie von Quadraturformeln gefragt, für die gilt: ($p := $ Ordnung der QF)
-\begin{align}
-	s = 3 \\
-	0 = c_1 < c_2 < c_3 \\
-	p \ge 4
-\end{align}
-
-Nach Satz 29 sind in der Familie genau die QFs, für die gilt: \\
-Für alle Polynome $g(x)$ mit Grad $\le m-1 = 0$ gilt:
-\begin{align}
-	 \int_0^1 M(x) \cdot g(x) \mathrm{d}x = 0 \label{a3}
-\end{align}
-
-Da eine Quadraturformel höchstens Grad $2s=6$ (Satz 30) haben kann und es wegen
-$c_1 = 0$ nicht die Gauss-Quadratur sein kann (Satz 31), kommt nur Ordnung $p=4$
-und $p=5$ in Frage.
-
-In dieser Aufgabe sind nur die symmetrischen QF, also die von Ordnung
-$p=4$ explizit anzugeben. Für die QF von Ordnung $p=5$ hätte man nur
-die Gewichte in Abhängigkeit der Knoten darstellen müssen und
-eine Bedinung nur an die Knoten herleiten müssen.
-
-\subsection*{Ordnung 4}
-Es gilt $g(x) = c$ für eine Konstante $c$, da $\text{Grad}(g(x))=0$ ist.
-Also ist \ref{a3} gleichbedeutend mit:
-\begin{align}
-	 \int_0^1 M(x) \cdot c \mathrm{d}x &= 0 \\
-	 \Leftrightarrow c \cdot \int_0^1 M(x) \mathrm{d}x &= 0 \\
- 	 \Leftrightarrow \int_0^1 M(x) \mathrm{d}x &= 0 \\
- 	 \Leftrightarrow \int_0^1 (x-c_1)(x-c_2)(x-c_3) \mathrm{d}x &= 0 \\
- 	 \Leftrightarrow \frac{1}{4} - \frac{1}{3} \cdot (c_2 + c_3) + \frac{1}{2} \cdot c_2 \cdot c_3 &= 0 \\
- 	 \Leftrightarrow \frac{\frac{1}{4} - \frac{1}{3} \cdot c_3}
- 	                      {\frac{1}{3} - \frac{1}{2} \cdot c_3} &= c_2
-\end{align}
-
-Natürlich müssen auch die Gewichte optimal gewählt werden. Dafür wird Satz 28 genutzt:
-Sei $b^T = (b_1, b_2, b_3)$ der Gewichtsvektor. Sei zudem $C :=
-\begin{pmatrix}
-    {c_1}^0 & {c_2}^0 & {c_3}^0 \\
-    {c_1}^1 & {c_2}^1 & {c_3}^1 \\
-    {c_1}^2 & {c_2}^2 & {c_3}^2
-\end{pmatrix}
-$. \\
-Dann gilt: $C$ ist invertierbar und $b = C^{-1} \cdot
-\begin{pmatrix}
-    1 \\
-    \frac{1}{2} \\
-    \frac{1}{3}
-\end{pmatrix}
-$.
-
-Es gibt genau eine symmetrische QF in der Familie. Begründung: \\
-Aus $c_1 = 0 $ folgt, dass $c_3 = 1$ ist. Außerdem muss $c_2 = \frac{1}{2} $ sein. Also sind die Knoten festgelegt. Da wir die Ordnung $\ge s = 3$ fordern, sind auch die Gewichte eindeutig. \\
-Es handelt sich um die aus der Vorlesung bekannte Simpsonregel.
-
-\subsection*{Ordnung 5}
-Es gilt $g(x) = ax+c$ für Konstanten $a \neq 0, c$, da $\text{Grad}(g(x))=1$ ist.
-Also ist \ref{a3} gleichbedeutend mit:
-\begin{align}
-	 \int_0^1 M(x) \cdot (ax+c) \mathrm{d}x &= 0 \\
-    \Leftrightarrow a \int_0^1 x M(x) \mathrm{d}x + c \int_0^1 M(x) \mathrm{d}x &= 0 \\
-    \Leftrightarrow a \int_0^1 x (x-c_1)(x-c_2)(x-c_3) \mathrm{d}x + c \int_0^1 (x-c_1)(x-c_2)(x-c_3) \mathrm{d}x &= 0 \\
-    \stackrel{c_1=0}{\Leftrightarrow} a \int_0^1 x^2(x-c_2)(x-c_3) \mathrm{d}x + c \int_0^1 x(x-c_2)(x-c_3) \mathrm{d}x &= 0 \\
-    \Leftrightarrow a \left (\frac{c_2 c_3}{3}-\frac{c_2}{4}-\frac{c_3}{4}+\frac{1}{5} \right ) + c \left ( \frac{c_2 c_3}{2}-\frac{c_2}{3}-\frac{c_3}{3}+\frac{1}{4} \right ) &= 0 \\
-    \Leftrightarrow \left (\frac{c_2 c_3}{3}-\frac{c_2}{4}-\frac{c_3}{4}+\frac{1}{5} \right ) + \underbrace{\frac{c}{a}}_{=: d} \left ( \frac{c_2 c_3}{2}-\frac{c_2}{3}-\frac{c_3}{3}+\frac{1}{4} \right ) &= 0
-\end{align}
-
-Nun habe ich \href{http://www.wolframalpha.com/input/?i=(1%2F5+-+c%2F4+%2B+(b+(-3+%2B+4+c))%2F12)%2B+d*(3+-+4+c+%2B+b+(-4+%2B+6+c))%2F12%3D0}{Wolfram|Alpha} lösen lassen:
-\begin{align}
-    c_2 &= \frac{6-\sqrt{6}}{10} \approx 0.355\\
-    c_3 &= \frac{6+\sqrt{6}}{10} \approx 0.845
-\end{align}
-
-Wegen der Ordnungsbedingungen gilt nun:
-\begin{align}
-    1 &= b_1 + b_2 + b_3\\
-    \frac{1}{2} &= b_2 \cdot \frac{6-\sqrt{6}}{10} + b_3 \cdot \frac{6+\sqrt{6}}{10}\\
-    \frac{1}{3} &= b_2 \cdot \left (\frac{6-\sqrt{6}}{10} \right )^2 + b_3 \cdot \left (\frac{6+\sqrt{6}}{10} \right )^2\\
-    \Leftrightarrow \frac{1}{3} - b_3 \cdot \left (\frac{6+\sqrt{6}}{10} \right )^2 &= b_2 \cdot \left (\frac{6-\sqrt{6}}{10} \right )^2\\
-    \Leftrightarrow \frac{\frac{1}{3} - b_3 \cdot \left (\frac{6+\sqrt{6}}{10} \right )^2}{\left (\frac{6-\sqrt{6}}{10} \right )^2} &= b_2\\
-    \Leftrightarrow b_2 &= \frac{100}{3 \cdot (6-\sqrt{6})^2} - b_3 \cdot \frac{(6+\sqrt{6})^2}{(6-\sqrt{6})^2}\\
-    \Rightarrow \frac{1}{2} &= \left ( \frac{100}{3 \cdot (6-\sqrt{6})^2} - b_3 \cdot \frac{(6+\sqrt{6})^2}{(6-\sqrt{6})^2} \right ) \cdot \frac{6-\sqrt{6}}{10} + b_3 \cdot \frac{6+\sqrt{6}}{10}\\
-    &= \left (\frac{10}{3 \cdot (6 - \sqrt{6})} - b_3 \cdot \frac{(6+\sqrt{6})^2}{10 \cdot (6 - \sqrt{6})} \right ) + b_3 \cdot \frac{6+\sqrt{6}}{10}\\
-    &= b_3 \cdot \left (\frac{6+\sqrt{6}}{10} - \frac{(6+\sqrt{6})^2}{10 \cdot (6 - \sqrt{6})} \right ) + \frac{10}{3 \cdot (6 - \sqrt{6})}\\
-    &= b_3 \cdot \left (\frac{30-(6+\sqrt{6})^2}{10 \cdot (6 - \sqrt{6})} \right ) + \frac{10}{3 \cdot (6 - \sqrt{6})}\\
-\Leftrightarrow \frac{1}{2} - \frac{10}{3 \cdot (6 - \sqrt{6})} &= b_3 \cdot \left (\frac{30-(6+\sqrt{6})^2}{10 \cdot (6 - \sqrt{6})} \right )\\
-\Leftrightarrow \frac{3 \cdot (6 - \sqrt{6}) - 20}{6\cdot (6 - \sqrt{6})} &= b_3 \cdot \left (\frac{30-(6+\sqrt{6})^2}{10 \cdot (6 - \sqrt{6})} \right )\\
-\Leftrightarrow b_3 &= \frac{(3 \cdot (6 - \sqrt{6}) - 20) \cdot 10 \cdot (6 - \sqrt{6})}{6\cdot (6 - \sqrt{6}) \cdot (30-(6+\sqrt{6})^2)}\\
-&= \frac{(3 \cdot (6 - \sqrt{6}) - 20) \cdot 5}{3 \cdot (30-(6+\sqrt{6})^2)}\\
-&= \frac{15 \cdot (6 - \sqrt{6}) - 100}{90-3 \cdot (6+\sqrt{6})^2}\\
-   \Aboxed{b_3 &= \frac{16-\sqrt{6}}{36}} \approx 0.3764\\
-   \Aboxed{b_2 &= \frac{16+\sqrt{6}}{36}} \approx 0.5125\\
-   \stackrel{\text{Ordnungsbedinung 1}}{\Rightarrow} \Aboxed{b_1 &= \frac{1}{9}}\\
-    \frac{1}{4} &\stackrel{?}{=} \frac{16+\sqrt{6}}{36} \cdot \left (\frac{6-\sqrt{6}}{10} \right )^3 + \frac{16-\sqrt{6}}{36} \cdot \left (\frac{6+\sqrt{6}}{10} \right)^3 \text{ \cmark}\\
-    \frac{1}{5} &\stackrel{?}{=} \frac{16+\sqrt{6}}{36} \cdot \left (\frac{6-\sqrt{6}}{10} \right )^4 + \frac{16-\sqrt{6}}{36} \cdot \left (\frac{6+\sqrt{6}}{10} \right)^4 \text{ \cmark}\\
-    \frac{1}{6} &\stackrel{?}{=} \frac{16+\sqrt{6}}{36} \cdot \left (\frac{6-\sqrt{6}}{10} \right )^5 + \frac{16-\sqrt{6}}{36} \cdot \left (\frac{6+\sqrt{6}}{10} \right)^5 = \frac{33}{200} \text{ \xmark}
-\end{align}

documents/Numerik/Klausur2/Klausur2.tex

@@ -1,68 +0,0 @@
-\documentclass[a4paper]{scrartcl}
-\usepackage{amssymb, amsmath} % needed for math
-\usepackage[utf8]{inputenc} % this is needed for umlauts
-\usepackage[ngerman]{babel} % this is needed for umlauts
-\usepackage[T1]{fontenc}    % this is needed for correct output of umlauts in pdf
-\usepackage{pdfpages}       % Signatureinbingung und includepdf
-\usepackage[marginparwidth=3.0cm,marginparsep=-0.5cm]{geometry}       % [margin=2.5cm]layout
-\usepackage[pdftex]{hyperref}       % links im text
-\usepackage{color}
-\usepackage{framed}
-\usepackage{enumerate}      % for advanced numbering of lists
-\usepackage{marvosym}       % checkedbox
-\usepackage{wasysym}
-\usepackage{braket}         % for \Set{}
-\usepackage{pifont}% http://ctan.org/pkg/pifont
-\usepackage{gauss}
-\usepackage{algorithm,algpseudocode}
-\usepackage{parskip}
-\usepackage{lastpage}
-\usepackage{amsthm}
-\usepackage{marginnote}
-\usepackage{mathtools}
-\allowdisplaybreaks
-
-\newcommand{\cmark}{\ding{51}}%
-\newcommand{\xmark}{\ding{55}}%
-
-\title{Numerik Klausur 2{} - Musterlösung}
-\makeatletter
-\AtBeginDocument{
-	\hypersetup{
-	  pdfauthor   = {Felix Benz-Baldas, Martin Thoma, Peter Merkert},
-	  pdfkeywords = {Numerik, KIT, Klausur},
-	  pdftitle    = {\@title}
-  	}
-	\pagestyle{fancy}
-	\lhead{\@title}
-	\rhead{Seite \thepage{} von \pageref{LastPage}}
-}
-\makeatother
-
-\usepackage{fancyhdr}
-\fancyfoot[C]{}
-
-\makeatletter
-\renewenvironment{proof}[1][\proofname]{\par
-  \pushQED{\qed}%
-  \normalfont \topsep6\p@\@plus6\p@\relax
-  \list{}{\leftmargin=4em
-          \rightmargin=\leftmargin
-          \settowidth{\itemindent}{\itshape#1}%
-          \labelwidth=\itemindent}
-
-  \item[\hskip\labelsep
-        \itshape
-    #1\@addpunct{.}]\ignorespaces
-}{%
-  \popQED\endlist\@endpefalse
-}
-\makeatother
-
-\begin{document}
-	\include{Aufgabe1}
-	\include{Aufgabe2}
-	\include{Aufgabe3}
-	\include{Aufgabe4}
-	\include{Aufgabe5}
-\end{document}

documents/Numerik/Klausur2/Makefile

@@ -1,8 +0,0 @@
-SOURCE = Klausur2
-make:
-	pdflatex -shell-escape $(SOURCE).tex -output-format=pdf
-	pdflatex -shell-escape $(SOURCE).tex -output-format=pdf
-	make clean
-
-clean:
-	rm -rf  $(TARGET) *.class *.html *.log *.aux *.out *.pyg

documents/Numerik/Klausur3/Aufgabe1.tex

@@ -1,49 +0,0 @@
-\section*{Aufgabe 1}
-\subsection*{Teilaufgabe a)}
-\paragraph{Gegeben:} Sei $A \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$.
-\paragraph{Gesucht:} Cholesky-Zerlegung $A = L \cdot L^T$
-\paragraph{Rechnung:}
-
-Erste Spalte:
-\begin{align}
-	l_{11} &= \sqrt{a_{11}} \\
-	l_{21} &= \frac{a_{21}}{l_{11}}\\
-	l_{31} &= \frac{a_{31}}{l_{11}}\\
-\end{align}
-Zweite Spalte:
-\begin{align}
-	l_{22} &= \sqrt{a_{22} - {l_{21}}^2}\\
-	l_{32} &= \frac{a_{32} -l_{21} \cdot l_{31}}{l_{22}} \\
-\end{align}
-Dritte Spalte:
-\begin{align}
-	l_{33} &= \sqrt{a_{33}-{l_{32}^2}-{l_{31}}^2}
-\end{align}
-
-\subsection*{Teilaufgabe b)}
-\begin{align}
-	l_{11} &= 2 \\
-	l_{21} &= 1 \\
-	l_{31} &= -2 \\
-	l_{22} &= 3 \\
-	l_{32} &= 1 \\
-	l_{33} &= 1 \\
-\end{align}
-Die restlichen Einträge sind $0$. ($L$ ist immer eine untere Dreiecksmatrix)
-
-\subsection*{Teilaufgabe c)}
-
-\begin{align}
-	A \cdot x = b \Leftrightarrow L \cdot L^T \cdot x = b \\
-	L \cdot c = b \label{a1}
-\end{align}
-Löse \ref{a1} mit Vorwärtssubstitution.
-\begin{align}
-	L^T \cdot x = c \label{a2}
-\end{align}
-Löse \ref{a2} mit Rückwärtssubstitution.
-\begin{align}
-	x_3 &= 3 \\
-	x_2 &= 1 \\
-	x_1 &= 2
-\end{align}

documents/Numerik/Klausur3/Aufgabe2.tex

@@ -1,17 +0,0 @@
-\section*{Aufgabe 2}
-\subsection*{Teilaufgabe a)}
-\begin{align}
-	r_{ij} = a_{ij} - \sum_{k=1}^{i-1} l_{ik} \cdot r_{kj} \\ %TODO: Korrektheit überprüfen
-	l_{ij} = \frac{a_{ij} - \sum_{k=1}^{j-1} l_{ik} \cdot r_{kj}}{r_{jj}}
-\end{align}
-
-
-\begin{algorithm}
-    \begin{algorithmic}
-    	\For{$d \in \Set{1, \dots n}$}
-    		\State berechne d-te Zeile von $R$
-    		\State berechne d-te Spalte von $L$
-	\EndFor
-    \end{algorithmic}
-\end{algorithm}
-

documents/Numerik/Klausur3/Aufgabe3.tex

@@ -1,33 +0,0 @@
-\section*{Aufgabe 3}
-\subsection*{Teilaufgabe a)}
-
-\begin{enumerate}
-\item Selbstabbildung: \\
-	Sei $x \in D := [1.75 , 2] = [\frac{7}{4}, \frac{8}{4}]$.
-
-	Dann:
-	\begin{align}
-		F(x) = 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} \le 1 + \frac{1}{1.75} + \frac{1}{1.75^2} = 1 + \frac{44}{49} \le 2 %TODO: schöner formulieren
-	\end{align}
-	und: \\
-	\begin{align}
-		F(x) = 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} \ge 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = 1.75
-	\end{align}
-
-\item Abgeschlossenheit: $D$ ist offentsichtlich abgeschlossen.
-\item Kontraktion: \\ %TODO:
-    %\textbf{Behauptung:} $F(x)$ ist auf $A$ eine Kontraktion.
-    %\textbf{Beweis:}
-    %z.Z.: $\exists L \in [0, 1): \forall x,y \in A: || F(x) - F(y) || \leq L \cdot || x - y||$
-    Hier ist der Mittelwertsatz der Differentialrechnung von Nutzen.\\
-	$F$ ist Lipschitz-stetig auf $D$ und für alle $x \in D$ gilt: \\
-	\begin{align}
-		|F'(x)| = |-\frac{1}{x^2}-2 \cdot \frac{1}{x^3}| \le \frac{240}{343} =: \theta < 1
-	\end{align}
-	Also gilt auch $\forall x,y \in D $:
-	\begin{align}
-		|F(x) - F(y)| \le \theta \cdot |x - y|
-	\end{align}
-	Somit ist die Lipschitz- bzw. Kontraktions-Konstante $\theta$.
-\end{enumerate}
-Insgesamt folgt, dass $F$ die Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes erfüllt.

documents/Numerik/Klausur3/Aufgabe4.tex

@@ -1,8 +0,0 @@
-\section*{Aufgabe 4}
-
-\begin{align*}
-	I &= \int_0^1 \frac{1}{1+4x} dx\\
-    &= \int_0^{0.5} \frac{1}{1+4x} dx +\int_{0.5}^{1} \frac{1}{1+4x} dx\\
-    &= (0.5 - 0) \cdot \frac{f(0) + f(0.5)}{2} + (1 - 0.5) \cdot \frac{f(1) + f(0.5)}{2} \\
-    &= \frac{7}{15}
-\end{align*}

documents/Numerik/Klausur3/Aufgabe5.tex

@@ -1,21 +0,0 @@
-\section*{Aufgabe 5}
-\subsection*{Teilaufgabe a}
-Eine Quadraturformel $(b_i, c_i)_{i=1, \dots, s}$ hat die Ordnung
-$p$, falls sie exakte Lösungen für alle Polynome vom Grad $\leq p -1$
-liefert.
-
-\subsection*{Teilaufgabe b}
-Für die ersten 3. Ordnungsbedingungen gilt:
-
-\begin{align*}
-	1 = \sum_{i = 0}^{s} b_i \\
- 	\frac{1}{2} = \sum_{i = 0}^{s} b_i \cdot c_i \\
- 	\frac{1}{3} = \sum_{i = 0}^{s} b_i \cdot c_i^2
-\end{align*}
-
-\subsection*{Teilaufgabe c}
-Wähle die Simpson-Regel, also $c_1=0, c_2 = \frac{1}{2}, c_3 = 1$ und
-$b_1 = b_3 = \frac{1}{6}$ und $b_2 = \frac{4}{6}$.
-
-Überprüfe nun Ordnungsbedingungen 1-4 $\Rightarrow$ Simpson-Regel hat Ordnung 4
-Überprüfe Ordnungsbedingung 5 $\Rightarrow$ Simpson-Regel hat nicht Ordnung 5. %TODO ausführlicher

documents/Numerik/Klausur3/Klausur3.tex

@@ -1,48 +0,0 @@
-\documentclass[a4paper]{scrartcl}
-\usepackage{amssymb, amsmath} % needed for math
-\usepackage[utf8]{inputenc} % this is needed for umlauts
-\usepackage[ngerman]{babel} % this is needed for umlauts
-\usepackage[T1]{fontenc}    % this is needed for correct output of umlauts in pdf
-\usepackage{pdfpages}       % Signatureinbingung und includepdf
-\usepackage{geometry}       % [margin=2.5cm]layout
-\usepackage[pdftex]{hyperref}       % links im text
-\usepackage{color}
-\usepackage{framed}
-\usepackage{enumerate}      % for advanced numbering of lists
-\usepackage{marvosym}       % checkedbox
-\usepackage{wasysym}
-\usepackage{braket}         % for \Set{}
-\usepackage{pifont}% http://ctan.org/pkg/pifont
-\usepackage{gauss}
-\usepackage{algorithm,algpseudocode}
-\usepackage{parskip}
-\usepackage{lastpage}
-\allowdisplaybreaks
-
-\newcommand{\cmark}{\ding{51}}%
-\newcommand{\xmark}{\ding{55}}%
-
-\title{Numerik Klausur 3 - Musterlösung}
-\makeatletter
-\AtBeginDocument{
-	\hypersetup{
-	  pdfauthor   = {Felix Benz-Baldas, Martin Thoma, Peter Merkert},
-	  pdfkeywords = {Numerik, KIT, Klausur},
-	  pdftitle    = {\@title}
-  	}
-	\pagestyle{fancy}
-	\lhead{\@title}
-	\rhead{Seite \thepage{} von \pageref{LastPage}}
-}
-\makeatother
-
-\usepackage{fancyhdr}
-\fancyfoot[C]{}
-
-\begin{document}
-	\input{Aufgabe1}
-	\input{Aufgabe2}
-	\input{Aufgabe3}
-	\input{Aufgabe4}
-	\input{Aufgabe5}
-\end{document}

documents/Numerik/Klausur3/Makefile

@@ -1,8 +0,0 @@
-SOURCE = Klausur3
-make:
-	pdflatex -shell-escape $(SOURCE).tex -output-format=pdf
-	pdflatex -shell-escape $(SOURCE).tex -output-format=pdf
-	make clean
-
-clean:
-	rm -rf  $(TARGET) *.class *.html *.log *.aux *.out *.pyg

documents/Numerik/Klausur4/Aufgabe1.tex

@@ -1,86 +0,0 @@
-\section*{Aufgabe 1}
-\textbf{Gegeben:}
-
-\[A =
-\begin{pmatrix}
-    6 & -6 & 0 \\
-   -3 & 7  & 2  \\
-    2 & 4  & 1
-\end{pmatrix}, \;\;\;
-b =\begin{pmatrix}
-    0 \\
-    8 \\
-    8
-\end{pmatrix}\]
-
-\textbf{Aufgabe:} $Ax = b$ mit Gaußelimination und Spaltenpivotwahl lösen
-
-\textbf{Lösung:}
-
-\begin{align}
-	\begin{gmatrix}[p]
-        6 & -6 & 0 & 0\\
-       -3 & 7  & 2 & 8\\
-        2 & 4  & 1 & 8
-	 \rowops
-	 \mult{0}{\cdot \frac{1}{6}}
-	\end{gmatrix}
-	&\leadsto
-	\begin{gmatrix}[p]
-        1 & -1 & 0 & 0\\
-       -3 & 7  & 2 & 8\\
-        2 & 4  & 1 & 8
-	 \rowops
-	 \add[3]{0}{1}
-	 \add[-2]{0}{2}
-	\end{gmatrix}\\
-    &\leadsto
-	\begin{gmatrix}[p]
-        1 & -1 & 0 & 0\\
-        0 & 4  & 2 & 8\\
-        0 & 6  & 1 & 8
-	 \rowops
-	 \swap{1}{2}
-	\end{gmatrix}\\
-    &\leadsto
-	\begin{gmatrix}[p]
-        1 & -1 & 0 & 0\\
-        0 & 6  & 1 & 8\\
-        0 & 4  & 2 & 8
-	 \rowops
-	 \mult{1}{\cdot \frac{1}{6}}
-	 \add[-4]{1}{2}
-	\end{gmatrix}\\
-    &\leadsto
-	\begin{gmatrix}[p]
-        1 & -1 & 0 & 0\\
-        0 & 1  & \frac{1}{6} & \frac{4}{3}\\
-        0 & 0  & \frac{4}{3} & \frac{8}{3}
-	 \rowops
-	 \mult{2}{\cdot \frac{3}{4}}
-	\end{gmatrix}\\
-    &\leadsto
-	\begin{gmatrix}[p]
-        1 & -1 & 0 & 0\\
-        0 & 1  & \frac{1}{6} & \frac{4}{3}\\
-        0 & 0  & 1 & 2
-	 \rowops
-	 \add[\cdot \frac{-1}{6}]{2}{1}
-	\end{gmatrix}\\
-    &\leadsto
-	\begin{gmatrix}[p]
-        1 & -1 & 0 & 0\\
-        0 & 1  & 0 & 1\\
-        0 & 0  & 1 & 2
-	 \rowops
-	 \add[]{1}{0}
-	\end{gmatrix}\\
-    &\leadsto
-	\begin{gmatrix}[p]
-        1 & 0  & 0 & 1\\
-        0 & 1  & 0 & 1\\
-        0 & 0  & 1 & 2
-	\end{gmatrix}
-\end{align}
-
-$\Rightarrow x = \begin{pmatrix}1 & 1 & 2\end{pmatrix}^T$ löst das LGS.

documents/Numerik/Klausur4/Aufgabe2.tex

@@ -1,14 +0,0 @@
-\section*{Aufgabe 2}
-Die \emph{Kondition} eines Problems ist die Frage, wie sich kleine Störungen
-der Eingabegrößen unabhängig vom gewählten Algorithmus auf die
-Lösung des Problems auswirken.
-
-Bei dem lösen von linearen Gleichungssystemen sind die Eingabegrößen
-die Koeffizientenmatrix $A$ und der Vektor $b$.
-
-Der Begriff \emph{Stabilität} ist auf einen konkreten Algorithmus
-zu beziehen und beschäftigt sich mit der Frage, wie sich Rundungsfehler,
-welche während der Durchführung des Algorithmus entstehen, auf
-die Lösung auswirken.
-
-Die Stabilität eines Algorithmus bezeichnet, wie stark der Algorithmus das Ergebnis verfälschen kann. Man kann also die Stabilität der Gauß-Elimination angeben. Man kann allerdings nicht von einer Stabilität des Problems $A \cdot x = b$ sprechen.

documents/Numerik/Klausur4/Aufgabe3.tex

@@ -1,4 +0,0 @@
-\section*{Aufgabe 3}
-
-Diese Aufgabe ist identisch zu Aufgabe 3, Klausur3.
-Die Lösung ist bei Klausur3 zu finden.

documents/Numerik/Klausur4/Aufgabe4.tex

@@ -1,4 +0,0 @@
-\section*{Aufgabe 4}
-
-Diese Aufgabe ist identisch zu Aufgabe 3, Klausur2.
-Die Lösung ist bei Klausur2 zu finden.

documents/Numerik/Klausur4/Aufgabe5.tex

@@ -1,32 +0,0 @@
-\section*{Aufgabe 5}
-\subsection*{Teilaufgabe a}
-Eine Quadraturformel $(b_i, c_i)_{i=1,\dots,s}$ hat die Ordnung
-$p$, falls sie exakte Lösungenfür alle Polynome vom Grad $\leq p-1$ liefern.\footnote{Kapitel 4, S. 4 des Skripts}
-
-Die Ordnungsbedinungen liefern ein hinreichendes Kriterium zum Überprüfen
-der Ordnung einer Quadraturformel.
-
-Für die Mittelpunktsregel $c_1 = \frac{1}{2}, b_1 = 1$ gilt:
-\begin{align}
-    \frac{1}{1} &\stackrel{?}{=} b_1 = 1 \text{ \cmark}\\
-    \frac{1}{2} &\stackrel{?}{=} b_1 c_1 = \frac{1}{2} \text{ \cmark}\\
-    \frac{1}{3} &\stackrel{?}{=} b_1 c_1^2 = \frac{1}{4} \text{ \xmark}
-\end{align}
-
-Die Ordnung der Mittelpunktsregel ist also $p=2$.
-
-\subsection*{Teilaufgabe b}
-\paragraph*{Aufgabe:}
-Das Integral
-\[I = \int_0^1 \frac{1}{1+4x} \mathrm{d}x\]
-soll näherungsweise mit der Mittelpunktsregel, angwendet auf eine
-äquistante Unterteilung des Intervalls $[0,1]$ in zwei Teilintervalle
-angewendet werden.
-
-\paragraph*{Lösung:}
-
-\begin{align}
-    I &= \int_0^\frac{1}{2} \frac{1}{1+4x} \mathrm{d}x + \int_\frac{1}{2}^1 \frac{1}{1+4x} \mathrm{d}x\\
-    &\approx \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1+1} + \frac{1}{2} \frac{1}{1+ 4 \cdot \frac{3}{4}} \\
-    &= \frac{3}{8}
-\end{align}

documents/Numerik/Klausur4/Klausur4.tex

@@ -1,48 +0,0 @@
-\documentclass[a4paper]{scrartcl}
-\usepackage{amssymb, amsmath} % needed for math
-\usepackage[utf8]{inputenc} % this is needed for umlauts
-\usepackage[ngerman]{babel} % this is needed for umlauts
-\usepackage[T1]{fontenc}    % this is needed for correct output of umlauts in pdf
-\usepackage{pdfpages}       % Signatureinbingung und includepdf
-\usepackage{geometry}       % [margin=2.5cm]layout
-\usepackage[pdftex]{hyperref}       % links im text
-\usepackage{color}
-\usepackage{framed}
-\usepackage{enumerate}      % for advanced numbering of lists
-\usepackage{marvosym}       % checkedbox
-\usepackage{wasysym}
-\usepackage{braket}         % for \Set{}
-\usepackage{pifont}% http://ctan.org/pkg/pifont
-\usepackage{gauss}
-\usepackage{algorithm,algpseudocode}
-\usepackage{parskip}
-\usepackage{lastpage}
-\allowdisplaybreaks
-
-\newcommand{\cmark}{\ding{51}}%
-\newcommand{\xmark}{\ding{55}}%
-
-\title{Numerik Klausur 4 - Musterlösung}
-\makeatletter
-\AtBeginDocument{
-	\hypersetup{
-	  pdfauthor   = {Martin Thoma, Peter, Felix},
-	  pdfkeywords = {Numerik, KIT, Klausur},
-	  pdftitle    = {\@title}
-  	}
-	\pagestyle{fancy}
-	\lhead{\@title}
-	\rhead{Seite \thepage{} von \pageref{LastPage}}
-}
-\makeatother
-
-\usepackage{fancyhdr}
-\fancyfoot[C]{}
-
-\begin{document}
-	\input{Aufgabe1}
-	\input{Aufgabe2}
-	\input{Aufgabe3}
-	\input{Aufgabe4}\clearpage
-	\input{Aufgabe5}
-\end{document}

documents/Numerik/Klausur4/Makefile

@@ -1,8 +0,0 @@
-SOURCE = Klausur4
-make:
-	pdflatex -shell-escape $(SOURCE).tex -output-format=pdf
-	pdflatex -shell-escape $(SOURCE).tex -output-format=pdf
-	make clean
-
-clean:
-	rm -rf  $(TARGET) *.class *.html *.log *.aux *.out *.pyg

documents/Numerik/Klausur5/Aufgabe1.tex

@@ -1,106 +0,0 @@
-\section*{Aufgabe 1}
-\paragraph{Gegeben:}
-
-\[A = \begin{pmatrix}
-     2 &  3 & -1\\
-    -6 & -5 &  0\\
-     2 & -5 &  6
-\end{pmatrix},\;\;\; b = \begin{pmatrix}20\\-41\\-15\end{pmatrix}\]
-
-\paragraph{LR-Zerlegung:}
-
-\begin{align}
-    &&A^{(0)} &= \begin{gmatrix}[p]
-         2 &  3 & -1\\
-        -6 & -5 &  0\\
-         2 & -5 &  6
-        \rowops
-        \swap{0}{1}
-    \end{gmatrix}\\
-    P^{(1)} &= \begin{pmatrix}
-        0 & 1 & 0\\
-        1 & 0 & 0\\
-        0 & 0 & 1
-    \end{pmatrix}
-    &A^{(1)} &=
-    \begin{gmatrix}[p]
-        -6 & -5 &  0\\
-         2 &  3 & -1\\
-         2 & -5 &  6
-        \rowops
-        \add[\cdot \frac{1}{3}]{0}{1}
-        \add[\cdot \frac{1}{3}]{0}{2}
-    \end{gmatrix}\\
-    L^{(2)} &=\begin{pmatrix}
-        1 & 0 & 0\\
-      \nicefrac{1}{3} & 1 & 0\\
-      \nicefrac{1}{3} & 0 & 1
-    \end{pmatrix},
-    & A^{(2)} &= \begin{gmatrix}[p]
-        -6 & -5 &  0\\
-         0 &  \frac{4}{3} & -1\\
-         0 & -\frac{20}{3} &  6
-        \rowops
-        \swap{1}{2}
-    \end{gmatrix}\\
-    P^{(3)} &= \begin{pmatrix}
-        1 & 0 & 0\\
-        0 & 0 & 1\\
-        0 & 1 & 0
-    \end{pmatrix},
-    & A^{(3)} &= \begin{gmatrix}[p]
-        -6 & -5 &  0\\
-         0 & -\frac{20}{3} &  6\\
-         0 &  \frac{4}{3} & -1
-        \rowops
-        \add[\cdot \frac{1}{5}]{1}{2}
-    \end{gmatrix}\\
-    L^{(4)} &= \begin{pmatrix}
-        1 & 0 & 0\\
-        0 & 1 & 0\\
-        0 & \nicefrac{1}{5} & 1
-    \end{pmatrix},
-    & A^{(4)} &= \begin{gmatrix}[p]
-        -6 & -5 &  0\\
-         0 & -\frac{20}{3} &  6\\
-         0 &  0 & \nicefrac{1}{5}
-    \end{gmatrix} =:R
-\end{align}
-
-Es gilt nun:
-
-\begin{align}
-    P :&= P^{(3)} \cdot P^{(1)}\\
-      &= \begin{pmatrix}
-        1 & 0 & 0\\
-        0 & 0 & 1\\
-        0 & 1 & 0
-    \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
-        0 & 1 & 0\\
-        1 & 0 & 0\\
-        0 & 0 & 1
-    \end{pmatrix} \\
-    &=
-    \begin{pmatrix}
-        0 & 1 & 0\\
-        0 & 0 & 1\\
-        1 & 0 & 0
-    \end{pmatrix}\\
-    L^{(4)} \cdot P^{(3)} \cdot L^{(2)} \cdot P^{(1)} \cdot A &= R\\
-L^{-1} &= L^{(4)} \cdot \hat{L_1}\\
-    \hat{L_1} &= P^{(3)} \cdot L^{(2)} \cdot (P^{(3)})^{-1}\\
-&= P^{(3)} \cdot L^{(2)} \cdot P^{(3)}\\
-&= \begin{pmatrix}
-        1 & 0 & 0\\
-      \nicefrac{1}{3} & 1 & 0\\
-      \nicefrac{1}{3} & 0 & 1
-    \end{pmatrix}\\
-    L &= (L^{(4)} \cdot \hat{L_1})^{-1}\\
-    &= \begin{pmatrix}
-    1 & 0 & 0\\
-    -\frac{1}{3} & 1 & 0\\
-    -\frac{1}{3} & -\frac{1}{5} & 1
-\end{pmatrix}
-\end{align}
-
-Überprüfung mit \href{http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B%7B1%2C+0%2C+0%7D%2C+%7B-1%2F3%2C+1%2C+0%7D%2C+%7B-1%2F3%2C+-1%2F5%2C+1%7D%7D*%7B%7B-6%2C-5%2C0%7D%2C%7B0%2C-20%2F3%2C6%7D%2C%7B0%2C0%2C1%2F5%7D%7D}{Wolfram|Alpha}.

documents/Numerik/Klausur5/Aufgabe2.tex

@@ -1,78 +0,0 @@
-\section*{Aufgabe 2}
-Zeige die Aussage für $2\times2$ Matrizen durch Gauß-en mit
-Spaltenpivotwahl.
-
-\subsection*{Lösung}
-\subsubsection*{Behauptung:}
-Für alle tridiagonalen Matrizen gilt:
-\begin{enumerate}
-    \item[(i)] Die Gauß-Elimination erhält die tridiagonale Struktur
-    \item[(ii)] $\rho_n(A) := \frac{\alpha_\text{max}}{\max_{i,j} |a_{ij}|} \leq 2$
-\end{enumerate}
-
-\subsubsection*{Beweis:}
-\paragraph{Teil 1: (i)}
-\begin{align}
-    A &= \begin{gmatrix}[p]
-        * & *       &        & \\
-        * & \ddots  & \ddots & \\
-          & \ddots  & \ddots &  * \\
-          &         &   *    & *
-        \rowops
-            \add[\cdot \frac{-a_{21}}{a_{11}}]{0}{1}
-        \end{gmatrix}
-\end{align}
-
-Offensichtlich ändert diese Operation nur Zeile 2. $a_{21}$ wird zu 0,
-$a_{22}$ ändert sich irgendwie, alles andere bleibt unverändert.
-Die gesammte Matrix ist keine tridiagonale Matrix mehr, aber die
-um Submatrix  in $R^{(n-1) \times (n-1)}$ ist noch eine.
-
-Muss man zuvor Zeile 1 und 2 tauschen (andere Zeilen kommen nicht in
-Frage), so ist später die Stelle $a_{21} = 0$, $a_{22}$ ändert sich
-wieder irgendwie und $a_{23}$ ändert sich auch. Dies ändert aber nichts
-an der tridiagonalen Struktur der Submatrix.
-
-\paragraph{Teil 2: (ii) für $A \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$}
-Sei $\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$
-beliebig.
-
-O.B.d.A sei die Spaltenpivotwahl bereits durchgeführt, also $|a_{11}| \geq |a_{21}|$.
-
-Nun folgt:
-
-\begin{align}
-    \begin{gmatrix}[p]
-        a_{11} & a_{12}\\
-        a_{21} & a_{22}
-        \rowops
-        \add[\cdot \frac{-a_{21}}{a_{11}}]{0}{1}
-    \end{gmatrix}\\
-    \leadsto
-    \begin{gmatrix}[p]
-        a_{11} & a_{12}\\
-        0      & a_{22} - \frac{a_{12} \cdot a_{21}}{a_{11}}
-    \end{gmatrix}
-\end{align}
-
-Wegen $|a_{11}| \geq |a_{21}|$ gilt:
-\begin{align}
-    \|\frac{a_{21}}{a_{11}}\| \leq 1
-\end{align}
-
-Also insbesondere
-
-\begin{align}
-    \underbrace{a_{22} - a_{12} \cdot \frac{a_{21}}{a_{11}}}_{\leq \alpha_\text{max}} \leq 2 \cdot \max_{i,j}|a_{ij}|
-\end{align}
-
-Damit ist Aussage (ii) für $A \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$ gezeigt.
-
-\paragraph{Teil 3: (ii) für allgemeinen Fall}
-
-Aus Teil 2 folgt die Aussage auch direkt für größere Matrizen.
-Der worst case ist, wenn man beim Addieren einer Zeile auf eine
-andere mit $\max_{i,j}|a_{ij}|$ multiplizieren muss um das erste nicht-0-Element
-der Zeile zu entfernen und das zweite auch $\max_{i,j}|a_{ij}|$ ist.
-Dann muss man aber im nächsten schritt mit einem Faktor $\leq \frac{1}{2}$
-multiplizieren, erhält also nicht einmal mehr $2 \cdot \max_{i,j}|a_{ij}|$.

documents/Numerik/Klausur5/Aufgabe3.tex

@@ -1,24 +0,0 @@
-\section*{Aufgabe 3}
-\subsection*{Teilaufgabe i}
-relativer Fehler:
-
-\begin{align}
-	\frac{ | \frac{x}{y} - \frac{x \cdot (1 + \varepsilon_x)}{y \cdot (1 + \varepsilon_y)}|}{|\frac{x}{y}|}
-	&= \frac{| \frac{x(1+\varepsilon_y) - x (1+\varepsilon_x)}{y(1+\varepsilon_y)} |}{|\frac{x}{y}|} \\
-	&= \frac{| \frac{x(\varepsilon_y-\varepsilon_x)}{y(1+\varepsilon_y)} |}{|\frac{x}{y}|} \\
-    &= \left |\frac{\varepsilon_y - \epsilon_x }{1 + \varepsilon_y} \right |\\
-	&\le \frac{|\varepsilon_y | + | \varepsilon_x |}{|1 + \varepsilon_y|} \le \frac{2 \cdot \text{eps}}{|1 + \varepsilon_y|} \\
-    &\approx 2 \cdot \text{eps}
-\end{align}
-
-Der letzte Ausdruck ist ungefähr gleich $2 \cdot \text{eps}$, da $1 + \epsilon_y$ ungefähr gleich $1$ ist.
-
-Der relative Fehler kann sich also maximal verdoppeln.
-
-\subsection*{Teilaufgabe ii}
-Die zweite Formel ist vorzuziehen, also $f(x) = -\ln (x + \sqrt{x^2-1})$, da es bei Subtraktion zweier annähernd gleich-großer Zahlen zur Stellenauslöschung kommt. Bei der ersten Formel, also $f(x) = \ln (x - \sqrt{x^2-1})$, tritt genau dieses Problem auf: $x$ und $\sqrt{x^2-1}$ sind für große $x$ ungefähr gleich groß. \\
-Bei der zweiten Formel tritt das Problem nicht auf: $x$ ist positiv und $\sqrt{x^2 - 1}$ auch, also gibt es in dem Ausdruck keine Subtraktion zweier annähernd gleich-großer Zahlen.
-
-Außerdem ändert sich $\ln(x)$ stärker, je näher $x$ bei 0 ist. Es ist
-also auch wegen der Ungenauigkeit der Berechnung des $\ln$ besser,
-weiter von $0$ entfernt zu sein.

documents/Numerik/Klausur5/Aufgabe4.tex

@@ -1,9 +0,0 @@
-\section*{Aufgabe 4}
-TODO
-
-\begin{itemize}
-    \item Klausur 3, Aufgabe 3 ist ähnlich
-    \item Klausur 4, Aufgabe 3 ist ähnlich
-    \item Klausur 5, Aufgabe 4 ist ähnlich
-    \item Klausur 6, Aufgabe 3 ist ähnlich
-\end{itemize}

documents/Numerik/Klausur5/Aufgabe5.tex

@@ -1,51 +0,0 @@
-\section*{Aufgabe 5}
-\subsection*{Aufgabe}
-Bestimme alle Quadraturformeln mit $s=3$ und Knoten
-$0 = c_1 < c_2, c_3$ und Ordnung $p \geq 4$.
-
-Schreiben Sie ein Programm in Pseudocode, welches zu vorgegebenem
-$c_2$ den Knoten $c_3$ und die Gewichte $b_i$ möglichst effizient
-berechnet.
-
-Wie viele symmetrische Quadraturformeln gibt es mit diesen Eigneschaften?
-
-\subsection*{Lösung}
-Da $c_1 = 0$ kann es keine Gauß-Quadraturformel sein. Daher kann
-die Ordnung nicht $2 \cdot s = 6$ sein. Interessant sind also
-\begin{itemize}
-    \item[(A)] Symmetrische Quadraturformeln der Ordnung 4
-    \item[(B)] Unsymmetrische Quadraturformeln der Ordnung 4
-    \item[(C)] Unsymmetrische Quadraturformeln der Ordnung 5
-\end{itemize}
-
-Die Simpson-Regel mit $c_1 = 0, c_2 = \frac{1}{2}$ und $c_3 = 1$
-mit $b_1 = b_3 = \frac{1}{6}$ und $b_2 = \frac{4}{6}$ ist die einzige
-symmetrische Quadraturformel in (A).
-
-Für (B) müssen die Ordnungsbedingungen gelten:
-\begin{align}
-    \nicefrac{1}{1} &\stackrel{!}{=} b_1 + b_2 + b_3\label{eq:i}\\
-    \nicefrac{1}{2} &\stackrel{!}{=} b_2 \cdot c_2 + b_3 c_3\label{eq:ii}\\
-    \nicefrac{1}{3} &\stackrel{!}{=} b_2 \cdot c_2^2 + b_3 c_3^2\label{eq:iii}\\
-    \nicefrac{1}{4} &\stackrel{!}{=} b_2 \cdot c_2^3 + b_3 c_3^3\label{eq:iv}\\
-    \stackrel{\ref{eq:ii}}{\Rightarrow} \frac{\nicefrac{1}{2} - b_3 c_3}{c_2}&\stackrel{!}{=} b_2 \label{eq:ii2}\\
-    \stackrel{\ref{eq:ii2} \text{ in } \ref{eq:iii}}{\Rightarrow} \nicefrac{1}{3} &\stackrel{!}{=} (\nicefrac{1}{2} - b_3 c_3) \cdot c_2 + b_3 c_3^2\label{eq:iii2}\\
-    \Leftrightarrow \nicefrac{1}{3} - \nicefrac{1}{2} \cdot c_2 &\stackrel{!}{=} b_3 (- c_3 c_2 + c_3^2)\\
-    \Leftrightarrow \frac{\nicefrac{1}{3} - \nicefrac{1}{2} \cdot c_2}{c_3^2 - c_3 c_2} &\stackrel{!}{=} b_3 \label{eq:iii3}\\
-    \stackrel{\ref{eq:ii2} \text{ in } \ref{eq:iv}}{\Rightarrow} \nicefrac{1}{4} &\stackrel{!}{=} (\nicefrac{1}{2} - b_3 c_3) \cdot c_2^2 + b_3 c_3^3\label{eq:iv2}\\
-    \Leftrightarrow \nicefrac{1}{4} - \nicefrac{1}{2} c_2^2&\stackrel{!}{=} b_3 (c_3^3 - c_3 \cdot c_2^2) \label{eq:iv2}\\
-    \stackrel{\ref{eq:iii3} \text{ in } \ref{eq:iv2}}{\Rightarrow} \nicefrac{1}{4} - \nicefrac{1}{2} c_2^2&\stackrel{!}{=} \frac{\nicefrac{1}{3} - \nicefrac{1}{2} \cdot c_2}{c_3^2 - c_3 c_2} (c_3^3 - c_3 \cdot c_2^2)\\
-    \Leftrightarrow \frac{1}{2} \left (\frac{1}{2} - c_2^2 \right ) &= \frac{(\nicefrac{1}{3} - \nicefrac{1}{2} \cdot c_2)(c_3^2 - c_2^2)}{c_3 - c_2}\\
-    \Leftrightarrow \frac{1}{2} - c_2^2 &= (\nicefrac{2}{3} - c_2)(c_3 + c_2)\\
-    \Leftrightarrow \frac{1}{2} - c_2^2 &= \nicefrac{2}{3} c_3 + \nicefrac{2}{3} c_2 - c_2 c_3 - c_2^2\\
-    \Leftrightarrow \frac{1}{2} - \frac{2}{3} c_2 &= \nicefrac{2}{3} c_3- c_2 c_3\\
-    \Leftrightarrow \frac{1}{2} - \frac{2}{3} c_2 &= c_3(\nicefrac{2}{3}- c_2)\\
-    \Leftrightarrow c_3 &= \frac{\frac{1}{2} - \frac{2}{3} c_2}{\nicefrac{2}{3}- c_2} = \frac{2c_2-\nicefrac{3}{2}}{3c_2 - 2}\\
-\end{align}
-
-Für (C) muss zusätzlich gelten:
-\begin{align}
-    \nicefrac{1}{5} &\stackrel{!}{=} b_2 \cdot c_2^4 + b_3 c_3^4
-\end{align}
-
-TODO

documents/Numerik/Klausur5/Klausur5.tex

@@ -1,49 +0,0 @@
-\documentclass[a4paper]{scrartcl}
-\usepackage{amssymb, amsmath} % needed for math
-\usepackage[utf8]{inputenc} % this is needed for umlauts
-\usepackage[ngerman]{babel} % this is needed for umlauts
-\usepackage[T1]{fontenc}    % this is needed for correct output of umlauts in pdf
-\usepackage{pdfpages}       % Signatureinbingung und includepdf
-\usepackage{geometry}       % [margin=2.5cm]layout
-\usepackage[pdftex]{hyperref}       % links im text
-\usepackage{color}
-\usepackage{framed}
-\usepackage{enumerate}      % for advanced numbering of lists
-\usepackage{marvosym}       % checkedbox
-\usepackage{wasysym}
-\usepackage{braket}         % for \Set{}
-\usepackage{pifont}% http://ctan.org/pkg/pifont
-\usepackage{gauss}
-\usepackage{algorithm,algpseudocode}
-\usepackage{parskip}
-\usepackage{lastpage}
-\usepackage{units}
-\allowdisplaybreaks
-
-\newcommand{\cmark}{\ding{51}}%
-\newcommand{\xmark}{\ding{55}}%
-
-\title{Numerik Klausur 5 - Musterlösung}
-\makeatletter
-\AtBeginDocument{
-	\hypersetup{
-	  pdfauthor   = {Martin Thoma, Peter, Felix},
-	  pdfkeywords = {Numerik, KIT, Klausur},
-	  pdftitle    = {\@title}
-  	}
-	\pagestyle{fancy}
-	\lhead{\@title}
-	\rhead{Seite \thepage von \pageref{LastPage}}
-}
-\makeatother
-
-\usepackage{fancyhdr}
-\fancyfoot[C]{}
-
-\begin{document}
-	\input{Aufgabe1}
-	\input{Aufgabe2}\clearpage
-	\input{Aufgabe3}\clearpage
-	\input{Aufgabe4}
-	\input{Aufgabe5}
-\end{document}

documents/Numerik/Klausur5/Makefile

@@ -1,8 +0,0 @@
-SOURCE = Klausur5
-make:
-	pdflatex -shell-escape $(SOURCE).tex -output-format=pdf
-	pdflatex -shell-escape $(SOURCE).tex -output-format=pdf
-	make clean
-
-clean:
-	rm -rf  $(TARGET) *.class *.html *.log *.aux *.out *.pyg

documents/Numerik/Klausur6/Aufgabe1.tex

@@ -1,88 +0,0 @@
-\section*{Aufgabe 1}
-\textbf{Gegeben:}
-
-\[
-A = \begin{pmatrix}
-    1 & 2 & 3\\
-    2 & 8 & 14\\
-    3 & 14 & 34
-\end{pmatrix}\]
-
-\textbf{Aufgabe:} Durch Gauß-Elimination die Cholesky-Zerlegung $A = \overline{L} \overline{L}^T$
-berechnen
-
-\begin{align*}
-    A &=
-	\begin{gmatrix}[p]
-        1 & 2 & 3\\
-        2 & 8 & 14\\
-        3 & 14 & 34
-        \rowops
-        \add[\cdot (-2)]{0}{1}
-        \add[\cdot (-3)]{0}{2}
-    \end{gmatrix}\\
-    \leadsto
-    L^{(1)} &=
-    \begin{pmatrix}
-		1 & 0 & 0\\
-	   -2 & 1 & 0\\
-       -3 & 0 & 1
-	\end{pmatrix},&
-    A^{(1)} &=
-	\begin{gmatrix}[p]
-        1 & 2 & 3\\
-        0 & 4 & 8\\
-        0 & 8 & 25
-        \rowops
-        \add[\cdot (-2)]{1}{2}
-    \end{gmatrix}\\
-    \leadsto
-    L^{(2)} &=
-    \begin{pmatrix}
-		1 & 0 & 0\\
-	    0 & 1 & 0\\
-        0 & -2 & 1
-	\end{pmatrix},&
-    A^{(2)} &=
-	\begin{gmatrix}[p]
-        1 & 2 & 3\\
-        0 & 4 & 8\\
-        0 & 0 & 9
-    \end{gmatrix} =: R\\
-    L &= (L^{(2)} \cdot L^{(1)})^{-1}\footnotemark
-    &L &= \begin{pmatrix}
-        1 & 0 & 0\\
-        2 & 1 & 0\\
-        3 & 2 & 1
-    \end{pmatrix}
-\end{align*}
-\footnotetext{Da dies beides Frobeniusmatrizen sind, kann einfach die negierten Elemente unter der Diagonalmatrix auf die Einheitsmatrix addieren um das Ergebnis zu erhalten}
-
-Nun gilt:
-\begin{align}
-    A &= LR = L (DL^T)\\
-\Rightarrow A &= \underbrace{(L D^\frac{1}{2})}_{=: \overline{L}} (D^\frac{1}{2} L^T)\\
-    \begin{pmatrix}d_1 &0&0\\0&d_2&0\\0&0&d_3\end{pmatrix} \cdot
-\begin{pmatrix}
-        1 & 2 & 3\\
-        0 & 1 & 2\\
-        0 & 0 & 1
-    \end{pmatrix}
- &= \begin{pmatrix}
-        1 & 2 & 3\\
-        0 & 4 & 8\\
-        0 & 0 & 9
-    \end{pmatrix}\\
-\Rightarrow D &= \begin{pmatrix}1 &0&0\\0&4&0\\0&0&9\end{pmatrix}\\
-\Rightarrow D^\frac{1}{2} &= \begin{pmatrix}1 &0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\\
-\overline{L} &= \begin{pmatrix}
-        1 & 0 & 0\\
-        2 & 1 & 0\\
-        3 & 2 & 1
-    \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1 &0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\\
-    &= \begin{pmatrix}
-        1 & 0 & 0\\
-        2 & 2 & 0\\
-        3 & 4 & 3
-    \end{pmatrix}
-\end{align}

documents/Numerik/Klausur6/Aufgabe2.tex

@@ -1,75 +0,0 @@
-\section*{Aufgabe 2}
-\subsection*{Teilaufgabe i}
-Es gilt:
-
-\begin{align}
-    2x - e^{-x} &= 0\\
-    \Leftrightarrow 2x &= e^{-x}\\
-\end{align}
-
-Offensichtlich ist $g(x) := 2x$ streng monoton steigend und $h(x) := e^{-x}$ streng
-monoton fallend.
-
-Nun gilt: $g(0) = 0 < 1 = e^0 = h(0)$. Das heißt, es gibt keinen
-Schnittpunkt für $x \leq 0$.
-
-Außerdem: $g(1) = 2$ und $h(1) = e^{-1} = \frac{1}{e} < 2$.
-Das heißt, für $x \geq 1$ haben $g$ und $h$ keinen Schnittpunkt.
-
-Da $g$ und $h$ auf $[0,1]$ stetig sind und $g(0) < h(0)$ sowie $g(1) > h(1)$
-gilt, müssen sich $g$ und $h$ im Intervall mindestens ein mal schneiden.
-Da beide Funktionen streng monoton sind, schneiden sie sich genau
-ein mal.
-
-Ein Schnittpunkt der Funktion $g,h$ ist äquivalent zu einer
-Nullstelle der Funktion $f$. Also hat $f$ genau eine Nullstelle
-und diese liegt in $[0,1]$.
-
-\subsection*{Teilaufgabe ii}
-    \begin{align}
-        2x - e^{-x} &= 0\\
-    \Leftrightarrow 2x &= e^{-x}\\
-    \Leftrightarrow x &= \frac{1}{2} \cdot e^{-x} = F_1(x) \label{a2iif1}\\
-    \stackrel{x \in \mathbb{R}^+}{\Rightarrow} \ln(2x) &= -x\\
-    \Leftrightarrow x &= - \ln(2x) = F_2(x)\label{a2iif2}
-    \end{align}
-
-Gleichung \ref{a2iif1} zeigt, dass der Fixpunkt von $F_1$ mit der
-Nullstelle von $f$ übereinstimmt.
-
-Gleichung \ref{a2iif2} zeigt, dass der Fixpunkt von $F_1$ mit der
-Nullstelle von $f$ übereinstimmt. Da es nur in $[0,1]$ eine Nullstelle
-gibt (vgl. Teilaufgabe i), ist die Einschränkung von $x$ auf $\mathbb{R}^+$
-irrelevant.
-
-Man sollte $F_1$ zur Fixpunktiteration verwenden, da $\ln(x)$ nur für
-$x>0$ definiert ist. Bei der Iteration kommt man aber schnell in
-einen Bereich, der nicht erlaubt ist (das erlaubte Intervall ist klein;
-Rechenungenauigkeit)
-
-$F_1$ ist auf $[0,1]$ eine Kontraktion mit Kontraktionszahl $\theta = \frac{1}{2}$:
-
-Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung ex. ein $\xi \in (a,b)$ mit $ 0 \leq a < b \leq 1$, sodass
-gilt:
-
-
-\begin{align}
-    \frac{F(b) - F(a)}{b-a} &= f'(\xi) \\
-    \Leftrightarrow \frac{F(b) - F(a)}{b-a} &= - \frac{1}{2} e^{- \xi} \\
-    \Leftrightarrow \frac{\|F(b) - F(a)\|}{\|b-a\|} &= \frac{1}{2} \frac{1}{e^{\xi}} < \frac{1}{2 e^a} \\
-    \Leftrightarrow \|F(b) - F(a)\| &< \frac{1}{2 e^a} |b-a|\\
-    \Rightarrow \forall x, y \in [0,1]: |F(x) - F(y)| &< \frac{1}{2} |x-y|
-\end{align}
-
-Die Ableitung $F_2' = -\frac{1}{x}$. Da $F_2(1) \neq 1$ ist $x^* \neq 1$.
-Also ist $|F_2'(x^*)| > 1$. Deshalb konvergiert das Iterationsverfahren
-definiert durch $F_2$ nicht gegen $x^*$ für Startwerte ungleich $x^*$.
-
-Gegen $F_2$ spricht auch, dass $\log$ nur auf $\mathbb{R}^+$ definiert
-ist. Das kann bei Rundungsfehlern eventuell zu einem Fehler führen.
-(vgl. Python-Skript)
-
-\subsection*{Teilaufgabe iii}
-\[x_{k+1} = x_k - \frac{2x_k - e^{-x_k}}{2 + e^{-x_k}}\]
-
-Laut \href{http://www.wolframalpha.com/input/?i=2x-e%5E(-x)%3D0}{Wolfram|Alpha} ist die Lösung etwa 0.35173371124919582602

documents/Numerik/Klausur6/Aufgabe3.tex

@@ -1,37 +0,0 @@
-\section*{Aufgabe 3}
-
-\begin{table}[H]
-    \begin{tabular}{l|l|l|l|l}
-    $f_i$ & 8 & 3 & 4 & 8 \\ \hline
-    $x_i$ & -1 & 0 & 1 & 3 \\
-    \end{tabular}
-\end{table}
-
-\subsection*{Teilaufgabe i}
-\begin{align}
-	p(x) = \sum_{i=0}^3 f_i \cdot L_i(x)
-\end{align}
-mit
-\begin{align}
-	L_0(x) &= \frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_0 - x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)}
-	= \ldots = \frac{x^3 - 4x^2 + 3x}{-8} \\
-	L_1(x) &= \frac{x^3 - 3x^2 - x + 3}{3} \\
-	L_2(x) &= \frac{x^3 - 2x^2 - 3x}{-4} \\
-	L_3(x) &= \frac{x^3 - x}{24}
-\end{align}
-
-\subsection*{Teilaufgabe ii}
-Anordnung der dividierten Differenzen im so genannten Differenzenschema:
-\begin{table}[H]
-    \begin{tabular}{llll}
-    $f[x_0]=f_0=8$ & ~                                                   & ~             & ~                \\
-    $f[x_1]= 3$    & $f[x_0,x_1] = \frac{f[x_0] - f[x_1]}{x_0-x_1} = -5$ & ~             & ~                \\
-    $f[x_2] = 4$   & $1$                                                 & $3$           & ~                \\
-    $f[x_3] = 8$   & $2$                                                 & $\frac{1}{3}$ & $- \frac{2}{3} $ \\
-    \end{tabular}
-\end{table}
-Also:
-\begin{align}
-	p(x) &= f[x_0] + f[x_0,x_1] \cdot (x-x_0) + f[x_0, x_1, x_2] \cdot (x-x_0) \cdot (x-x_1) \\ & + f[x_0, x_1, x_2, x_3] \cdot (x-x_0) \cdot (x-x_1) \cdot (x-x_2) \\
-	&= 8 - 5 \cdot (x-x_0) + 3 \cdot (x-x_0) \cdot (x-x_1) \\ & - \frac{2}{3} \cdot (x-x_0) \cdot (x-x_1) \cdot (x-x_2)
-\end{align}

documents/Numerik/Klausur6/Aufgabe4.tex

@@ -1,14 +0,0 @@
-\section*{Aufgabe 4}
-Nach der Substitutionsregel gilt:
-\[\int_{x_2}^{x_3} f(x) \mathrm{d}x = (x_3 - x_2) \cdot \int_0^1 f(x_2 + \tau (b-a)) \mathrm{d} \tau\]
-
-Wenn $f$ ein Polynom vom Grad $q$ war, so ist auch das neue Integral ein Polynom
-vom Grad $q$.
-
-Ein Polynom, das vier Punkte interpoliert, hat maximal Grad 3.
-Da wir das Integral über dieses Polynom im Bereich $[x_2, x_3]$
-exakt berechnen sollen, muss die Quadraturformel vom Grad $p=4$ sein.
-
-
-
-TODO

documents/Numerik/Klausur6/Aufgabe5.tex

@@ -1,7 +0,0 @@
-\section*{Aufgabe 5}
-
-Das \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Explizites_Euler-Verfahren}{explizite Euler-Verfahren}
-dient der numerischen Lösung eines Anfangswertproblems (Differentialgleichungen).
-
-Wir haben das nicht in der Vorlesung gemacht, also wird das wohl nicht
-relevant sein.

documents/Numerik/Klausur6/Klausur6.tex

@@ -1,51 +0,0 @@
-\documentclass[a4paper]{scrartcl}
-\usepackage{amssymb, amsmath} % needed for math
-\usepackage[utf8]{inputenc} % this is needed for umlauts
-\usepackage[ngerman]{babel} % this is needed for umlauts
-\usepackage[T1]{fontenc}    % this is needed for correct output of umlauts in pdf
-\usepackage{pdfpages}       % Signatureinbingung und includepdf
-\usepackage{geometry}       % [margin=2.5cm]layout
-\usepackage[pdftex]{hyperref}       % links im text
-\usepackage{color}
-\usepackage{framed}
-\usepackage{enumerate}      % for advanced numbering of lists
-\usepackage{marvosym}       % checkedbox
-\usepackage{wasysym}
-\usepackage{braket}         % for \Set{}
-\usepackage{pifont}% http://ctan.org/pkg/pifont
-\usepackage{gauss}
-\usepackage{algorithm,algpseudocode}
-\usepackage{parskip}
-\usepackage{lastpage}
-\usepackage{gauss}
-\usepackage{units}
-\usepackage{amsthm}
-\allowdisplaybreaks
-
-\newcommand{\cmark}{\ding{51}}%
-\newcommand{\xmark}{\ding{55}}%
-
-\title{Numerik Klausur 6 - Musterlösung}
-\makeatletter
-\AtBeginDocument{
-	\hypersetup{
-	  pdfauthor   = {Martin Thoma, Peter, Felix},
-	  pdfkeywords = {Numerik, KIT, Klausur},
-	  pdftitle    = {\@title}
-  	}
-	\pagestyle{fancy}
-	\lhead{\@title}
-	\rhead{Seite \thepage{} von \pageref{LastPage}}
-}
-\makeatother
-
-\usepackage{fancyhdr}
-\fancyfoot[C]{}
-
-\begin{document}
-	\input{Aufgabe1}\clearpage
-	\input{Aufgabe2}\clearpage
-	\input{Aufgabe3}
-	\input{Aufgabe4}
-	\input{Aufgabe5}
-\end{document}

documents/Numerik/Klausur6/Makefile

@@ -1,8 +0,0 @@
-SOURCE = Klausur6
-make:
-	pdflatex -shell-escape $(SOURCE).tex -output-format=pdf
-	pdflatex -shell-escape $(SOURCE).tex -output-format=pdf
-	make clean
-
-clean:
-	rm -rf  $(TARGET) *.class *.html *.log *.aux *.out *.pyg

documents/Numerik/Klausur6/aufgabe2.py

@@ -1,14 +0,0 @@
-from math import exp
-
-
-def iterate(x, times=1):
-    # x = x - (2.0*x - exp(-x))/(2.0+exp(-x)) #Newton
-    x = 0.5*exp(-x)  # F_1
-    # x = (-1)*log(2.0*x) #F_2
-
-    if times > 0:
-        x = iterate(x, times-1)
-
-    return x
-
-print(iterate(0.5, 6))

documents/Numerik/README.md

@@ -1,23 +1 @@
-Diese Lösungen sind noch im Aufbau.
-
-Wenn du einen Fehler findest (auch Textsetzungs- und Rechtschreibfehler
-oder missverständliche Stellen)
-oder selbst eine Lösung geschrieben hast, kannst du mir eine E-Mail
-schreiben (info@martin-thoma.de). Oder du machst direkt einen Pull-Request.
-
-Credits
-=======
-Detailliert in den Commit-Nachrichten, aber die beitragenden waren:
-
-* Felix Benz-Baladas
-* Martin Thoma
-* Peter Merkert
-
-Korrektur gelesen
-=================
-Da diese Lösungen von Studenten geschrieben wurden, wäre es toll wenn viele
-Leute sie korrektur-lesen würden! Wenn ihr eine **komplette** Klausur
-korrektur-gelesen habt, dann schreibt mir doch bitte eine E-Mail, in der steht
-welche Version (z.B. bae5d05c67191192941ef7b36109aef4e4dd0e07 von Klausur1.pdf)
-ihr korrektur gelesen habt und wo ihr denkt Fehler zu sehen. Diese können wir
-dann gemeinsam besprechen korrigieren.
+See https://github.com/MartinThoma/KIT-Musterloesungen

documents/Numerik/UB11/Aufgabe31.tex

@@ -1,100 +0,0 @@
-\section*{Aufgabe 31}
-\subsection*{Gesucht:}
-Eine Quadraturformel maximaler Ordnung mit:
-\begin{align}
-    s   &= 3\\
-    c_1 &= 0\\
-    c_3 &= 1\\
-\end{align}
-
-\subsection*{Lösung:}
-
-Nach Satz 28 können Ordnungen $\geq s = 3$ erreicht werden.
-
-Die Ordnung kann nach Satz 31 höchstens $2s = 6$ sein. Da $c_1 = 0$
-ist, kann es jedoch keine Gauß-Quadraturformel sein. Also kann
-die Ordnung höchstens $5$ sein.
-
-\subsubsection*{Ordnung 5}
-
-Es gibt mindestens zwei Möglichkeiten, zu zeigen, dass es keine
-QF der Ordnung 5 mit den Knoten $c_1 = 0$ und $c_3 = 1$ gibt:
-Mit hilfe von Satz 29 oder über die Ordnungsbedingungen.
-
-\paragraph*{Mit Satz 29}
-
-\begin{align}
-    M(x) &= (x-c_1) (x-c_2) (x-c_3)\\
-      &= x (x-c_2) (x-1)\\
-      &= (x^2- x) (x-c_2)\\
-      &= x^3 - (1+c_2)x^2 + c_2 x\\
-    \int_0^1 M(x) \cdot g(x) \mathrm{d} x &\stackrel{!}{=} 0
-\end{align}
-
-Da wir Ordnung $5 = s + 2$ erreichen wollen, muss $g$ ein beliebiges
-Polynom vom Grad $\leq 2-1 = 1$ sein. Also:
-\begin{align}
-    g(x) &= ax + b\\
-    M(x) \cdot g(x) &= ax^4 + (b-a-ac_2)x^3 + (ac_2-bc_2-b)x^2 + b c_2 x\\
-    \int_0^1 M(x) g(x) \mathrm{d} x &= \frac{a}{5} + \frac{b-a-ac_2}{4} + \frac{ac_2 - bc_2-b}{3} + \frac{b c_2}{2}\\
-    &= \frac{a c_2}{12}-\frac{a}{20}+\frac{b c_2}{6}-\frac{b}{12}\\
-    0 &\stackrel{!}{=}\frac{a c_2}{12}-\frac{a}{20}+\frac{b c_2}{6}-\frac{b}{12}\\
-    \Leftrightarrow 0 &\stackrel{!}{=} 5 a c_2 - 3a + 10 b c_2 - 5 b\\
-    \Leftrightarrow -5 a c_2 - 10 b c_2&\stackrel{!}{=}  - 3a - 5 b\\
-    \Leftrightarrow 5 a c_2 + 10 b c_2&\stackrel{!}{=}  3a + 5 b\\
-    \Leftrightarrow c_2(5 a + 10 b)&\stackrel{!}{=}  3a + 5 b\\
-    \Leftrightarrow c_2 &\stackrel{!}{=}  \frac{3a + 5 b}{5 a + 10 b}
-\end{align}
-
-Da diese Bedingung für alle $a, b \in \mathbb{R}$ gelten soll, muss
-sie auf jeden Fall für $a=1, b=0$ sowie für $a=1, b=1$ gelten. Aber:
-
-\begin{align}
-    \frac{2\cdot1+5\cdot0}{5\cdot1+10\cdot0} = \frac{3}{5} &\neq \frac{8}{15} = \frac{3\cdot1+5\cdot1}{5\cdot1+10\cdot1}
-\end{align}
-
-Offensichtlich gibt also es kein $c_2$, dass diese Bedingung für jedes $a,b \in \mathbb{R}$
-erfüllt. Daher kann es keine Quadraturformel der Ordnung $5$ mit den Knoten
-$0$ und $1$ geben.
-
-\paragraph*{Mit Ordnungsbedingungen}
-Wir kennen $c_1 = 0$ und $c_3=1$, was die Ordnungsbedingungen
-sehr vereinfacht:
-\begin{align}
-    1 &\stackrel{!}{=} b_1 + b_2 + b_3\\
-    \nicefrac{1}{2} &\stackrel{!}{=} b_2 \cdot c_2 + b_3 \label{eq:bed2}\\
-    \nicefrac{1}{3} &\stackrel{!}{=} b_2 \cdot c_2^2 + b_3 \label{eq:bed3}\\
-    \nicefrac{1}{4} &\stackrel{!}{=} b_2 \cdot c_2^3 + b_3\\
-    \nicefrac{1}{5} &\stackrel{!}{=} b_2 \cdot c_2^4 + b_3
-\end{align}
-
-Aus \ref{eq:bed2} folgt:
-\begin{align}
-    c_2 &= \frac{\nicefrac{1}{2} - b_3}{b_2}
-\end{align}
-
-Und damit:
-\begin{align}
-    \nicefrac{1}{3} &\stackrel{!}{=} b_2 \cdot \left (\frac{\nicefrac{1}{2} - b_3}{b_2} \right )^2 + b_3\\
-                &= \frac{(\nicefrac{1}{2} - b_3)^2}{b_2} + b_3\\
-\Leftrightarrow \frac{1}{3} b_2 - b_2 b_3&= (\nicefrac{1}{2} - b_3)^2\\
-\Leftrightarrow b_2 (\frac{1}{3} - b_3) &= (\nicefrac{1}{2} - b_3)^2\\
-\Leftrightarrow b_2  &= \frac{(\nicefrac{1}{2} - b_3)^2}{\frac{1}{3} - b_3}
-\end{align}
-
-Nun könnte man das ganze in die 4. Ordnungsbedinung einsetzen \dots aber ich
-glaube nicht, dass das schön wird. Mache das, wer will.
-
-\subsubsection*{Ordnung 4}
-Die Simpson-Regel erfüllt offensichtlich alle Bedinungen und hat
-Ordnung 4:
-
-\begin{align}
-    c_2 &= \nicefrac{1}{2}\\
-    b_1 &= \nicefrac{1}{6}\\
-    b_2 &= \nicefrac{4}{6}\\
-    b_3 &= \nicefrac{1}{6}
-\end{align}
-
-Dass die Simpson-Regel Ordnung 4 hat, lässt sich schnell über
-die Ordnungsbedingungen zeigen.

documents/Numerik/UB11/Makefile

@@ -1,8 +0,0 @@
-SOURCE = UB11
-make:
-	pdflatex -shell-escape $(SOURCE).tex -output-format=pdf
-	pdflatex -shell-escape $(SOURCE).tex -output-format=pdf
-	make clean
-
-clean:
-	rm -rf  $(TARGET) *.class *.html *.log *.aux *.out *.pyg

documents/Numerik/UB11/UB11.tex

@@ -1,47 +0,0 @@
-\documentclass[a4paper]{scrartcl}
-\usepackage{amssymb, amsmath} % needed for math
-\usepackage[utf8]{inputenc} % this is needed for umlauts
-\usepackage[ngerman]{babel} % this is needed for umlauts
-\usepackage[T1]{fontenc}    % this is needed for correct output of umlauts in pdf
-\usepackage{pdfpages}       % Signatureinbingung und includepdf
-\usepackage{geometry}       % [margin=2.5cm]layout
-\usepackage[pdftex]{hyperref}       % links im text
-\usepackage{color}
-\usepackage{framed}
-\usepackage{enumerate}      % for advanced numbering of lists
-\usepackage{marvosym}       % checkedbox
-\usepackage{wasysym}
-\usepackage{braket}         % for \Set{}
-\usepackage{pifont}% http://ctan.org/pkg/pifont
-\usepackage{gauss}
-\usepackage{algorithm,algpseudocode}
-\usepackage{parskip}
-\usepackage{lastpage}
-\usepackage{gauss}
-\usepackage{units}
-\usepackage{amsthm}
-\allowdisplaybreaks
-
-\newcommand{\cmark}{\ding{51}}%
-\newcommand{\xmark}{\ding{55}}%
-
-\title{Numerik Übungsblatt 11 - Musterlösung}
-\makeatletter
-\AtBeginDocument{
-	\hypersetup{
-	  pdfauthor   = {Martin Thoma, Peter, Felix},
-	  pdfkeywords = {Numerik, KIT, Übungsblatt},
-	  pdftitle    = {\@title}
-  	}
-	\pagestyle{fancy}
-	\lhead{\@title}
-	\rhead{Seite \thepage{} von \pageref{LastPage}}
-}
-\makeatother
-
-\usepackage{fancyhdr}
-\fancyfoot[C]{}
-
-\begin{document}
-	\input{Aufgabe31}
-\end{document}