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@@ -0,0 +1,195 @@
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+\section*{Aufgabe 1}
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+\subsection*{Teilaufgabe a}
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+\textbf{Gegeben:}
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+
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+\[A =
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+\begin{pmatrix}
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+ 3 & 15 & 13 \\
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+ 6 & 6 & 6 \\
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+ 2 & 8 & 19
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+\end{pmatrix}\]
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+
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+\textbf{Aufgabe:} LR-Zerlegung von $A$ mit Spaltenpivotwahl
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+
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+\textbf{Lösung:}
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+
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+\[P =
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+\begin{pmatrix}
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+ 0 & 1 & 0 \\
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+ 1 & 0 & 0 \\
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+ 0 & 0 & 1
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+\end{pmatrix}\]
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+
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+durch scharfes hinsehen.
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+
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+Nun $L, R$ berechnen:
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+
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+\begin{align}
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+ &\begin{gmatrix}[p]
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+ 6 & 6 & 6 \\
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+ 3 & 15 & 13 \\
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+ 2 & 8 & 19
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+ \rowops
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+ \add[\cdot (-\frac{1}{2})]{0}{1}
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+ \add[\cdot (-\frac{1}{3})]{0}{2}
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+ \end{gmatrix}
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+ \\
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+ = \begin{pmatrix}
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+ 1 & 0 & 0 \\
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+ -\frac{1}{2} & 1 & 0 \\
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+ -\frac{1}{3} & 0 & 1
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+ \end{pmatrix} \cdot
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+ &\begin{gmatrix}[p]
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+ 6 & 6 & 6 \\
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+ 0 & 12 & 10 \\
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+ 0 & 6 & 17
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|
+ \rowops
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+ \add[\cdot (-\frac{1}{2})]{1}{2}
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+ \end{gmatrix}
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+ \\
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+ = \begin{pmatrix}
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+ 1 & 0 & 0 \\
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+ 0 & 1 & 0 \\
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+ 0 & -\frac{1}{2} & 1
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+ \end{pmatrix} \cdot
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+ \begin{pmatrix}
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+ 1 & 0 & 0 \\
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+ -\frac{1}{2} & 1 & 0 \\
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|
+ -\frac{1}{3} & 0 & 1
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+ \end{pmatrix} \cdot
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+ &\begin{gmatrix}[p]
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+ 6 & 6 & 6 \\
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+ 0 & 12 & 10 \\
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|
+ 0 & 0 & 12
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+ \colops
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+ \add[\cdot (-1)]{0}{1}
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|
+ \add[\cdot (-1)]{0}{2}
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+ \end{gmatrix}
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+ \\
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+ = \begin{pmatrix}
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+ 1 & 0 & 0 \\
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|
+ -\frac{1}{2} & 1 & 0 \\
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|
+ -\frac{1}{12} & - \frac{1}{2} & 1
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|
+ \end{pmatrix} \cdot
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|
+ &\begin{gmatrix}[p]
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|
+ 6 & 0 & 0 \\
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|
+ 0 & 12 & 10 \\
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|
|
+ 0 & 0 & 12
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|
+ \colops
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|
+ \add[\cdot (-\frac{10}{12})]{1}{2}
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|
+ \end{gmatrix}
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|
+ \cdot
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|
+ \begin{pmatrix}
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+ 1 & -1 & -1 \\
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|
+ 0 & 1 & 0 \\
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|
+ 0 & 0 & 1
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|
+ \end{pmatrix}
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|
+ \\
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+ = \begin{pmatrix}
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+ 1 & 0 & 0 \\
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+ -\frac{1}{2} & 1 & 0 \\
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|
+ -\frac{1}{12} & - \frac{1}{2} & 1
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|
+ \end{pmatrix} \cdot
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+ &\begin{gmatrix}[p]
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|
+ 6 & 0 & 0 \\
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|
+ 0 & 12 & 0 \\
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|
|
+ 0 & 0 & 12
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|
+ \colops
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+ \mult{0}{\cdot \frac{1}{6}}
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|
+ \mult{1}{\cdot \frac{1}{12}}
|
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|
+ \mult{2}{\cdot \frac{1}{12}}
|
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|
+ \end{gmatrix}
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|
+ \cdot
|
|
|
+ \begin{pmatrix}
|
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|
+ 1 & -1 & -1 \\
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|
|
+ 0 & 1 & 0 \\
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|
|
+ 0 & 0 & 1
|
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|
+ \end{pmatrix}
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|
+ \cdot
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|
|
+ \begin{pmatrix}
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|
+ 1 & 0 & 0 \\
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|
+ 0 & 1 & -\frac{10}{12} \\
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|
|
+ 0 & 0 & 1
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|
|
+ \end{pmatrix}
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|
+ \\
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|
+ = \begin{pmatrix}
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+ 1 & 0 & 0 \\
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+ -\frac{1}{2} & 1 & 0 \\
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|
+ -\frac{1}{12} & - \frac{1}{2} & 1
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|
+ \end{pmatrix} \cdot
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|
+ &\begin{gmatrix}[p]
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|
+ 1 & 0 & 0 \\
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|
+ 0 & 1 & 0 \\
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|
|
+ 0 & 0 & 1
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|
+ \end{gmatrix}
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|
+ \cdot
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|
+ \begin{pmatrix}
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+ 1 & -1 & -\frac{1}{6} \\
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|
|
+ 0 & 1 & -\frac{5}{6} \\
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|
|
+ 0 & 0 & 1
|
|
|
+ \end{pmatrix}
|
|
|
+ \cdot
|
|
|
+ \begin{pmatrix}
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|
+ \frac{1}{6} & 0 & 0 \\
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|
|
+ 0 & \frac{1}{12} & 0 \\
|
|
|
+ 0 & 0 & \frac{1}{12}
|
|
|
+ \end{pmatrix}
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|
|
+ \\
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|
|
+ = \underbrace{\begin{pmatrix}
|
|
|
+ 1 & 0 & 0 \\
|
|
|
+ -\frac{1}{2} & 1 & 0 \\
|
|
|
+ -\frac{1}{12} & - \frac{1}{2} & 1
|
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|
+ \end{pmatrix}}_L \cdot
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|
+ &\begin{gmatrix}[p]
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|
+ 1 & 0 & 0 \\
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|
|
+ 0 & 1 & 0 \\
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|
|
+ 0 & 0 & 1
|
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|
+ \end{gmatrix}
|
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|
+ \cdot \underbrace{\frac{1}{72}
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|
+ \begin{pmatrix}
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|
+ 12 & -6 & -1 \\
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|
+ 0 & 6 & -5 \\
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|
+ 0 & 0 & 6
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+ \end{pmatrix}}_R
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+\end{align}
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|
+
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+ACHTUNG: Ich habe mich irgendwo verrechnet!
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+Siehe \href{http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B%7B1%2C0%2C0%7D%2C%7B-1%2F2%2C1%2C0%7D%2C%7B-1%2F12%2C-1%2F2%2C1%7D%7D*%7B%7B12%2C-6%2C-1%7D%2C%7B0%2C6%2C-5%7D%2C%7B0%2C0%2C6%7D%7D}{WolframAlpha}
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+
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+\subsection*{Teilaufgabe b}
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+
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+\textbf{Gegeben:}
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+
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+\[A =
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+\begin{pmatrix}
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+ 9 & 4 & 12 \\
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+ 4 & 1 & 4 \\
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+ 12 & 4 & 17
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+\end{pmatrix}\]
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|
+
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+\textbf{Aufgabe:} $A$ auf positive Definitheit untersuchen, ohne Eigenwerte zu berechnen.
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+
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+\textbf{Lösung:}
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+Eine Matrix $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ heißt positiv Definit $\dots$
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+\begin{align*}
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+ \dots & \Leftrightarrow \forall x \in \mathbb{R}^n: x^T A x > 0\\
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+ & \Leftrightarrow \text{Alle Eigenwerte sind größer als 0}
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|
+\end{align*}
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+
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+Falls $A$ symmetrisch ist, gilt:
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+\begin{align*}
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+ \text{$A$ ist pos. Definit} & \Leftrightarrow \text{alle führenden Hauptminore von $A$ sind positiv}\\
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|
+ & \Leftrightarrow \text{es gibt eine Cholesky-Zerlegung $A=GG^T$ mit $G$ ist reguläre untere Dreiecksmatrix}\\
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+\end{align*}
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+
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|
+Mit dem Hauptminor-Kriterium gilt:
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+
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+\begin{align}
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+ \det(A_1) &= 9 > 0\\
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|
+ \det(A_2) &=
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+ \begin{vmatrix}
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+ 9 & 4 \\
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+ 4 & 1 \\
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+ \end{vmatrix} = 9 - 16 < 0\\
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|
|
+ &\Rightarrow \text{$A$ ist nicht positiv definit}
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|
+\end{align}
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