Musterlösung angefangen

documents/Numerik/Klausur1/Aufgabe1.tex

@@ -0,0 +1,195 @@
+\section*{Aufgabe 1}
+\subsection*{Teilaufgabe a}
+\textbf{Gegeben:}
+
+\[A = 
+\begin{pmatrix}
+    3 & 15 & 13 \\
+    6 & 6  & 6  \\
+    2 & 8  & 19
+\end{pmatrix}\]
+
+\textbf{Aufgabe:} LR-Zerlegung von $A$ mit Spaltenpivotwahl
+
+\textbf{Lösung:} 
+
+\[P = 
+\begin{pmatrix}
+    0 & 1 & 0 \\
+    1 & 0 & 0  \\
+    0 & 0 & 1
+\end{pmatrix}\]
+
+durch scharfes hinsehen.
+
+Nun $L, R$ berechnen:
+
+\begin{align}
+	&\begin{gmatrix}[p]
+		6 & 6  & 6  \\
+		3 & 15 & 13 \\
+		2 & 8  & 19
+	 \rowops
+	 \add[\cdot (-\frac{1}{2})]{0}{1}
+	 \add[\cdot (-\frac{1}{3})]{0}{2}
+	\end{gmatrix}
+	\\
+  = \begin{pmatrix}
+		          1 & 0 & 0 \\
+	   -\frac{1}{2} & 1 & 0  \\
+	   -\frac{1}{3} & 0 & 1
+	\end{pmatrix} \cdot
+	&\begin{gmatrix}[p]
+		6 & 6  & 6  \\
+		0 & 12 & 10 \\
+		0 & 6  & 17
+	 \rowops
+	 \add[\cdot (-\frac{1}{2})]{1}{2}
+	\end{gmatrix}
+	\\
+  = \begin{pmatrix}
+		          1 & 0 & 0 \\
+	              0 & 1 & 0  \\
+	              0 & -\frac{1}{2} & 1
+	\end{pmatrix} \cdot
+    \begin{pmatrix}
+		          1 & 0 & 0 \\
+	   -\frac{1}{2} & 1 & 0  \\
+	   -\frac{1}{3} & 0 & 1
+	\end{pmatrix} \cdot
+	&\begin{gmatrix}[p]
+		6 & 6  & 6  \\
+		0 & 12 & 10 \\
+		0 & 0  & 12
+	 \colops
+	 \add[\cdot (-1)]{0}{1}
+	 \add[\cdot (-1)]{0}{2}
+	\end{gmatrix}
+	\\
+  = \begin{pmatrix}
+		          1 & 0 & 0 \\
+	   -\frac{1}{2} & 1 & 0  \\
+	   -\frac{1}{12} & - \frac{1}{2} & 1
+	\end{pmatrix} \cdot
+	&\begin{gmatrix}[p]
+		6 & 0  & 0  \\
+		0 & 12 & 10 \\
+		0 & 0  & 12
+	 \colops
+	 \add[\cdot (-\frac{10}{12})]{1}{2}
+	\end{gmatrix}
+	\cdot
+	\begin{pmatrix}
+		          1 & -1 & -1 \\
+	              0 &  1 &  0  \\
+	              0 &  0 &  1
+	\end{pmatrix}
+	\\
+  = \begin{pmatrix}
+		          1 & 0 & 0 \\
+	   -\frac{1}{2} & 1 & 0  \\
+	   -\frac{1}{12} & - \frac{1}{2} & 1
+	\end{pmatrix} \cdot
+	&\begin{gmatrix}[p]
+		6 & 0  & 0 \\
+		0 & 12 & 0 \\
+		0 & 0  & 12
+	 \colops
+	  	\mult{0}{\cdot \frac{1}{6}}
+	  	\mult{1}{\cdot \frac{1}{12}}
+	  	\mult{2}{\cdot \frac{1}{12}}
+	\end{gmatrix}
+	\cdot
+	\begin{pmatrix}
+		          1 & -1 & -1 \\
+	              0 &  1 &  0 \\
+	              0 &  0 &  1
+	\end{pmatrix}
+	\cdot
+	\begin{pmatrix}
+		          1 &  0 &  0 \\
+	              0 &  1 &  -\frac{10}{12} \\
+	              0 &  0 &  1
+	\end{pmatrix}
+	\\
+  = \begin{pmatrix}
+		          1 & 0 & 0 \\
+	   -\frac{1}{2} & 1 & 0  \\
+	   -\frac{1}{12} & - \frac{1}{2} & 1
+	\end{pmatrix} \cdot
+	&\begin{gmatrix}[p]
+		1 & 0 & 0 \\
+		0 & 1 & 0 \\
+		0 & 0 & 1
+	\end{gmatrix}
+	\cdot
+	\begin{pmatrix}
+		          1 & -1 & -\frac{1}{6} \\
+	              0 &  1 & -\frac{5}{6} \\
+	              0 &  0 &  1
+	\end{pmatrix}
+	\cdot
+	\begin{pmatrix}
+	    \frac{1}{6} &  0 & 0 \\
+	              0 &  \frac{1}{12} & 0 \\
+	              0 &  0 & \frac{1}{12}
+	\end{pmatrix}
+	\\
+  = \underbrace{\begin{pmatrix}
+		          1 & 0 & 0 \\
+	   -\frac{1}{2} & 1 & 0  \\
+	   -\frac{1}{12} & - \frac{1}{2} & 1
+	\end{pmatrix}}_L \cdot
+	&\begin{gmatrix}[p]
+		1 & 0 & 0 \\
+		0 & 1 & 0 \\
+		0 & 0 & 1
+	\end{gmatrix}
+	\cdot \underbrace{\frac{1}{72}
+	\begin{pmatrix}
+		          12 & -6 & -1 \\
+	               0 &  6 & -5 \\
+	               0 &  0 &  6
+	\end{pmatrix}}_R
+\end{align}
+
+ACHTUNG: Ich habe mich irgendwo verrechnet!
+Siehe \href{http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B%7B1%2C0%2C0%7D%2C%7B-1%2F2%2C1%2C0%7D%2C%7B-1%2F12%2C-1%2F2%2C1%7D%7D*%7B%7B12%2C-6%2C-1%7D%2C%7B0%2C6%2C-5%7D%2C%7B0%2C0%2C6%7D%7D}{WolframAlpha}
+
+\subsection*{Teilaufgabe b}
+
+\textbf{Gegeben:}
+
+\[A = 
+\begin{pmatrix}
+    9 & 4 & 12 \\
+    4 & 1  & 4 \\
+   12 & 4  & 17
+\end{pmatrix}\]
+
+\textbf{Aufgabe:} $A$ auf positive Definitheit untersuchen, ohne Eigenwerte zu berechnen.
+
+\textbf{Lösung:}
+Eine Matrix $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ heißt positiv Definit $\dots$
+\begin{align*}
+  \dots & \Leftrightarrow \forall x \in \mathbb{R}^n: x^T A x > 0\\
+	& \Leftrightarrow \text{Alle Eigenwerte sind größer als 0}
+\end{align*}
+
+Falls $A$ symmetrisch ist, gilt:
+\begin{align*}
+ \text{$A$ ist pos. Definit} & \Leftrightarrow \text{alle führenden Hauptminore von $A$ sind positiv}\\
+	& \Leftrightarrow \text{es gibt eine Cholesky-Zerlegung $A=GG^T$ mit $G$ ist reguläre untere Dreiecksmatrix}\\
+\end{align*}
+
+Mit dem Hauptminor-Kriterium gilt:
+
+\begin{align}
+	\det(A_1) &= 9 > 0\\
+	\det(A_2) &= 
+		\begin{vmatrix}
+			9 & 4 \\
+			4 & 1 \\
+		\end{vmatrix} = 9 - 16 < 0\\
+	&\Rightarrow \text{$A$ ist nicht positiv definit}
+\end{align}

documents/Numerik/Klausur1/Aufgabe2.tex

@@ -0,0 +1,49 @@
+\section*{Aufgabe 2}
+\subsection*{Teilaufgabe a}
+\textbf{Aufgabe}
+Formulieren Sie einen Algorithmus in Pseudocode zum Lösen des Gleichungssystems
+\[Ly = b,\]
+wobei $L$ eine invertierbare, untere Dreiecksmatrix ist.
+
+Geben Sie die Formel zur Berechnung von $y_i$ an.
+
+\textbf{Lösung:} TODO! %TODO!
+
+   \begin{algorithm}[H]
+        \begin{algorithmic}
+        \Require $p \in \mathbb{P}, a \in \mathbb{Z}, p \geq 3$
+		\Procedure{CalculateLegendre}{$a$, $p$}
+            \If{$a \geq p$ or $a < 0$}\Comment{rule (III)}
+				\State \Return $\Call{CalculateLegendre}{a \mod p, p}$ \Comment{now: $a \in [0, \dots, p-1]$}
+			\ElsIf{$a == 0$ or $a == 1$}
+				\State \Return $a$ \Comment{now: $a \in [2, \dots, p-1]$}
+			\ElsIf{$a == 2$} \Comment{rule (VII)}
+				\If{$p \equiv \pm 1 \mod 8$}
+					\State \Return 1
+				\Else
+					\State \Return -1
+				\EndIf	\Comment{now: $a \in [3, \dots, p-1]$}
+			\ElsIf{$a == p-1$} \Comment{rule (VI)}
+				\If{$p \equiv 1 \mod 4$}
+					\State \Return 1
+				\Else
+					\State \Return -1
+				\EndIf \Comment{now: $a \in [3, \dots, p-2]$}
+			\ElsIf{!$\Call{isPrime}{a}$} \Comment{rule (II)}
+				\State $p_1, p_2, \dots, p_n \gets \Call{Factorize}{a}$
+				\State \Return $\prod_{i=1}^n \Call{CalculateLegendre}{p_i, p}$ 
+			\Else \Comment{now: $a \in \mathbb{P}, \sqrt{p-2} \geq a \geq 3$}
+				\If{$\frac{p-1}{2} \equiv 0 \mod 2$ or $\frac{a-1}{2} \equiv 0 \mod 2$}
+					\State \Return $\Call{CalculateLegendre}{p, a}$
+				\Else
+					\State \Return $(-1) \cdot \Call{CalculateLegendre}{p, a}$
+				\EndIf
+			\EndIf
+		\EndProcedure
+        \end{algorithmic}
+    \caption{Calculate Legendre symbol}
+    \label{alg:calculateLegendreSymbol}
+    \end{algorithm}
+
+\subsection*{Teilaufgabe b}
+\subsection*{Teilaufgabe c}

documents/Numerik/Klausur1/Aufgabe3.tex

@@ -0,0 +1 @@
+\section*{Aufgabe 3}

documents/Numerik/Klausur1/Aufgabe4.tex

@@ -0,0 +1 @@
+\section*{Aufgabe 4}

documents/Numerik/Klausur1/Aufgabe5.tex

@@ -0,0 +1 @@
+\section*{Aufgabe 5}

documents/Numerik/Klausur1/Klausur1.tex

@@ -0,0 +1,36 @@
+\documentclass[a4paper]{scrartcl}
+\usepackage{amssymb, amsmath} % needed for math
+\usepackage[utf8]{inputenc} % this is needed for umlauts
+\usepackage[ngerman]{babel} % this is needed for umlauts
+\usepackage[T1]{fontenc}    % this is needed for correct output of umlauts in pdf
+\usepackage{pdfpages}       % Signatureinbingung und includepdf
+\usepackage{geometry}       % [margin=2.5cm]layout
+\usepackage{hyperref}       % links im text
+\usepackage{color}
+\usepackage{framed}
+\usepackage{enumerate}      % for advanced numbering of lists
+\usepackage{marvosym}       % checkedbox
+\usepackage{wasysym}
+\usepackage{braket}         % for \Set{}
+\usepackage{pifont}% http://ctan.org/pkg/pifont
+\usepackage{gauss}
+\usepackage{algorithm,algpseudocode}
+\usepackage{parskip}
+\allowdisplaybreaks
+
+\newcommand{\cmark}{\ding{51}}%
+\newcommand{\xmark}{\ding{55}}%
+
+\hypersetup{ 
+  pdfauthor   = {Martin Thoma}, 
+  pdfkeywords = {Numerik,KIT}, 
+  pdftitle    = {Numerik Klausur1 - Musterlösung} 
+} 
+
+\begin{document}
+	\include{Aufgabe1}
+	\include{Aufgabe2}
+	\include{Aufgabe3}
+	\include{Aufgabe4}
+	\include{Aufgabe5}
+\end{document}

documents/Numerik/Klausur1/Makefile

@@ -0,0 +1,7 @@
+SOURCE = Klausur1
+make:
+	pdflatex -shell-escape $(SOURCE).tex -output-format=pdf
+	make clean
+
+clean:
+	rm -rf  $(TARGET) *.class *.html *.log *.aux *.out *.pyg

documents/Numerik/Klausur1/Readme.md

@@ -0,0 +1 @@
+Dies ist eine inoffizielle Lösung für [Klausur1.pdf von Dr. Daniel Weiß](http://www.math.kit.edu/ianm3/lehre/numainfing2013s/seite/uebnuminfing).