|
|
@@ -290,13 +290,14 @@ schneiden sich.
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\end{bemerkung}
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\begin{beweis}
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- \begin{align}
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+ \begin{align*}
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\text{\Obda sei } S \in \overline{PQ} &\Leftrightarrow d(P,Q) = d(P,S) + d(S,Q)\\
|
|
|
- &\overset{\varphi \in \Iso(X)}{\Rightarrow} d(\varphi(P),\varphi(Q)) = d(\varphi(P),\varphi(S)) + d(\varphi(S),\varphi(Q))\\
|
|
|
- &\overset{P, Q \in \Fix(\varphi)}{\Rightarrow} d(P, Q) = d(P,\varphi(S)) + d(\varphi(S), Q)\\
|
|
|
- &\Rightarrow \varphi(S) \text{ liegt zwischen } P \text{ und } Q \text{. Es gilt } d(P, \varphi(S)) = d(P,S)\\
|
|
|
- &\overset{\ref{axiom:3.1}}{\Rightarrow} \varphi(S) = S
|
|
|
- \end{align}
|
|
|
+ &\overset{\mathclap{\varphi \in \Iso(X)}}{\Rightarrow}\hspace{4 mm} d(\varphi(P),\varphi(Q)) = d(\varphi(P),\varphi(S)) + d(\varphi(S),\varphi(Q))\\
|
|
|
+ &\overset{\mathclap{P, Q \in \Fix(\varphi)}}{\Rightarrow}\hspace{4 mm} d(P, Q) = d(P,\varphi(S)) + d(\varphi(S), Q)\\
|
|
|
+ &\Rightarrow \varphi(S) \text{ liegt zwischen } P \text{ und } Q\\
|
|
|
+ &\Rightarrow d(P, \varphi(S)) = d(P,S)\\
|
|
|
+ &\overset{\mathclap{\ref{axiom:3.1}}}{\Rightarrow} \varphi(S) = S
|
|
|
+ \end{align*}
|
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$\qed$
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\end{beweis}
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@@ -376,7 +377,7 @@ schneiden sich.
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\end{beweis}
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\begin{bemerkung}
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- Mit \ref{kor:14.6} lassen sich die Kongruenzsätze für Dreiecke,
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+ Mit \cref{kor:14.6} lassen sich die Kongruenzsätze für Dreiecke,
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|
wie man sie aus der Schule kennt, beweisen.
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|
\end{bemerkung}
|
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|
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@@ -769,7 +770,7 @@ $\overset{\text{Strahlensatz}}{\Rightarrow} \frac{a}{h_c} = \frac{c}{h_a} \right
|
|
|
G_2 &= \Set{g_2 \subseteq \mdh | \exists x \in \mdr: g_2 = \Set{z \in \mdc: \Re(z) = x} \cap \mdh}
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|
\end{align*}
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|
|
|
|
|
- Die Elemente von $\mdh$ heißen \textbf{hyperbolische Geraden}\xindex{Gerade!hyperbolische}
|
|
|
+ Die Elemente von $\mdh$ heißen \textbf{hyperbolische Geraden}.\xindex{Gerade!hyperbolische}
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|
\end{definition}
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|
\begin{bemerkung}[Eigenschaften der hyperbolischen Geraden]
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@@ -786,9 +787,21 @@ $\overset{\text{Strahlensatz}}{\Rightarrow} \frac{a}{h_c} = \frac{c}{h_a} \right
|
|
|
\item Offensichtlich sind \ref{axiom:1.3} und \ref{axiom:1.2}
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erfüllt. Für \ref{axiom:1.1} gilt:\\
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Gegeben $z_1, z_2 \in \mdh$\\
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- \textbf{Existenz:} $\Re(z_1) = \Re(z_2)$
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|
- $\Rightarrow z_1$ und $z_2$ liegen auf
|
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- \[g = \Set{z \in \mdc | \Re(z) = \Re(z_1) \land \mdh}\]
|
|
|
+ \textbf{Existenz:}
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|
|
+ \begin{enumerate}
|
|
|
+ \item[Fall 1] $\Re(z_1) = \Re(z_2)$\\
|
|
|
+ $\Rightarrow z_1$ und $z_2$ liegen auf
|
|
|
+ \[g = \Set{z \in \mdc | \Re(z) = \Re(z_1) \land \mdh}\]
|
|
|
+ Siehe \cref{fig:hyperbolische-geometrie-axiom-1-1}.
|
|
|
+ \item[Fall 2] $\Re(z_1) \neq \Re(z_2)$\\
|
|
|
+ Betrachte nun $z_1$ und $z_2$ als Punkte in der
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|
+ euklidischen Ebene. Die Mittelsenkrechte zu diesen
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+ Punkten schneidet die $x$-Achse. Alle Punkte auf
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|
+ der Mittelsenkrechten zu $z_1$ und $z_2$ sind gleich
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+ weit von $z_1$ und $z_2$ entfernt. Daher ist
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|
|
+ der Schnittpunkt mit der $x$-Achse der Mittelpunkt
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+ eines Kreises durch $z_1$ und $z_2$ (vgl. \cref{fig:hyperbolische-geometrie-axiom-1-2})
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|
+ \end{enumerate}
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|
|
\begin{figure}[ht]
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|
|
\centering
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@@ -805,7 +818,7 @@ $\overset{\text{Strahlensatz}}{\Rightarrow} \frac{a}{h_c} = \frac{c}{h_a} \right
|
|
|
\end{figure}
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|
|
\item TODO
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|
\item Siehe \cref{fig:hyperbolische-halbebene-axiom-5}.
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|
- \begin{figure}[htp]
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|
+ \begin{figure}[hp]
|
|
|
\centering
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\input{figures/hyperbolic-geometry-not-parallel.tex}
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|
\caption{Hyperbolische Geraden erfüllen \ref{axiom:5} nicht.}
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@@ -814,24 +827,30 @@ $\overset{\text{Strahlensatz}}{\Rightarrow} \frac{a}{h_c} = \frac{c}{h_a} \right
|
|
|
\end{enumerate}
|
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|
\end{beweis}
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|
+\begin{definition}
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+ Es seien $a,b,c,d \in \mdc$ mit $ad - bc \neq 0$ und
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+ $\sigma: \mdc \rightarrow \mdc$ eine Abbildung definiert durch
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+ \[\sigma(z) := \frac{az + b}{cz+d}\]
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|
+
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|
+ $\sigma$ heißt \textbf{Möbiustransformation}\xindex{Möbiustransformation}.
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|
+\end{definition}
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+
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|
\begin{proposition}%In Vorlesung: Proposition 15.2
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\begin{propenum}
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- \item Die Gruppe $\SL_2(\mdr)$ operiert auf $\mdh$ durch
|
|
|
+ \item Die Gruppe $\SL_2(\mdr)$ operiert auf $\mdh$ durch die Möbiustransformation
|
|
|
\[\sigma(z):= \begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix} \circ z := \frac{az + b}{cz + d}\]
|
|
|
- \item Es ist $\sigma(z) = (-\sigma)(z)$ für alle $\sigma \in \SL_2(\mdr)$
|
|
|
- und $z \in \mdh$. Daher operiert $\PSL_2(\mdr) = \SL_2(\mdr) /_{(\pm I)}$
|
|
|
- auf $\mdh$.
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|
|
+ \item Die Gruppe $\PSL_2(\mdr) = \SL_2(\mdr) /_{(\pm I)}$ operiert durch $\sigma$ auf $\mdh$.
|
|
|
\item \label{prop:15.2c} $\PSL_2(\mdr)$ operiert auf $\mdr \cup \Set{\infty}$.
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|
|
Diese Gruppenoperation ist 3-fach transitiv, d.~h. zu
|
|
|
$x_0 < x_1 < x_\infty \in \mdr$ gibt es genau ein
|
|
|
$\sigma \in \PSL_2(\mdr)$ mit $\sigma(x_0) = 0$,
|
|
|
- $\sigma(x_1) = 1$, $\sigma(x_\infty) = \infty$
|
|
|
+ $\sigma(x_1) = 1$, $\sigma(x_\infty) = \infty$.
|
|
|
\item \label{prop:15.2d} $\SL_2(\mdr)$ wird von den Matrizen
|
|
|
- \[\begin{pmatrix}\lambda & 0\\ 0 & \lambda^-1\end{pmatrix}, \lambda \in \mdr \;\;\;
|
|
|
- \begin{pmatrix}1 & a\\ 0 & 1\end{pmatrix}, a \in \mdr\;\;\;
|
|
|
- \begin{pmatrix}0 & 1\\-1 & 0\end{pmatrix}\]
|
|
|
- erzeugt
|
|
|
- \item \label{prop:15.2e} $\PSL_2(\mdr)$ operiert auf $G$
|
|
|
+ \[\begin{pmatrix}\lambda & 0\\ 0 & \lambda^{-1}\end{pmatrix},
|
|
|
+ \begin{pmatrix}1 & a\\ 0 & 1\end{pmatrix} \text{ und }
|
|
|
+ \begin{pmatrix}0 & 1\\-1 & 0\end{pmatrix} \text{ mit } a, \lambda \in \mdr\]
|
|
|
+ erzeugt.
|
|
|
+ \item \label{prop:15.2e} $\PSL_2(\mdr)$ operiert auf $G$.
|
|
|
\end{propenum}
|
|
|
\end{proposition}
|
|
|
|
|
|
@@ -839,16 +858,27 @@ $\overset{\text{Strahlensatz}}{\Rightarrow} \frac{a}{h_c} = \frac{c}{h_a} \right
|
|
|
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
|
|
|
\item Sei $z = x + \iu y \in \mdh$, d.~h. $y>0$ und
|
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|
$\sigma=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \in \SL_2(\mdr)$
|
|
|
- \todo{Hier stimmt was nicht}
|
|
|
- \begin{align}
|
|
|
- \Rightarrow \sigma(z) &= \frac{ax + aiy + b}{cx + ciy +d}\\
|
|
|
- &= \frac{ax + aiy + b}{cx + c \iu y +d} \cdot \frac{cx+d-\iu y}{cx+d-\iu y}\\
|
|
|
- &= \frac{\Re(...) + \iu (aycx + ayd - axy - yb)}{(cx+d)^2 + (cy)^2}\\
|
|
|
- &= \frac{\Re(...) + \iu (ad-bc)y}{(cx+d)^2 + (cy)^2}\\
|
|
|
- &\overset{\mathclap{\SL_2(\mdr)}}{=} \frac{\Re(...) + \iu y}{(cx+d)^2 + (cy)^2}
|
|
|
- \end{align}
|
|
|
- $\Rightarrow \Im(\sigma(z)) = \frac{y}{(cx+d)^2 + (cy)^2} > 0$
|
|
|
- \item TODO b)
|
|
|
+ \begin{align*}
|
|
|
+ \Rightarrow \sigma(z) &= \frac{a(x + \iu y) + b}{c(x + \iu y) +d}\\
|
|
|
+ &= \frac{(ax + b) + \iu ay}{(cx + d) + \iu cy} \cdot \frac{(cx+d)-\iu cy}{(cx+d)-\iu cy}\\
|
|
|
+ &= \frac{(ax+b)(cx+d) + aycy}{(cx+d)^2 + (cy)^2} + \iu \frac{ay(cx + d) - (ax+b)cy}{(cx+d)^2 + (cy)^2}\\
|
|
|
+ &= \frac{axcx+axd+bcx+bd+aycy}{(cx+d)^2 + (cy)^2} + \iu \frac{(ad-bc)y}{(cx+d)^2 + (cy)^2}\\
|
|
|
+ &\overset{\mathclap{\SL_2(\mdr)}}{=}\hspace{5 mm} \frac{ac(x^2+y^2)+adx+bcx+bd}{(cx+d)^2 + (cy)^2} + \iu \frac{y}{(cx+d)^2 + (cy)^2}
|
|
|
+ \end{align*}
|
|
|
+ $\Rightarrow \Im(\sigma(z)) = \frac{y}{(cx+d)^2 + (cy)^2} > 0$
|
|
|
+
|
|
|
+ Die Abbildung bildet also nach $\mdh$ ab. Außerdem gilt:
|
|
|
+ \[\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} \circ z = \frac{x+\iu y}{1} = x + \iu y = z\]
|
|
|
+ und
|
|
|
+ \begin{align*}
|
|
|
+ \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \circ \left ( \begin{pmatrix}a'&b'\\c'&d'\end{pmatrix} \circ z \right )&=
|
|
|
+ \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \circ \frac{a'z + b'}{c'z + d'}\\
|
|
|
+ &= TODO\\
|
|
|
+ &= \begin{pmatrix}aa'+bc'&ab'+bd'\\ca'+db'&cb'+dd'\end{pmatrix} \circ z\\
|
|
|
+ &= \left ( \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}a'&b'\\c'&d'\end{pmatrix} \right ) \circ z
|
|
|
+ \end{align*}
|
|
|
+ \item Es gilt $\sigma(z) = (-\sigma)(z)$ für alle $\sigma \in \SL_2(\mdr)$
|
|
|
+ und $z \in \mdh$.
|
|
|
\item Ansatz: $\sigma = \begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}$
|
|
|
$\sigma(x_0) = \frac{ax_0 + b}{c x_0 + d} \overset{!}{=} 0$
|
|
|
$\Rightarrow a x_0 + b = 0 \Rightarrow b = -a x_0$\\
|
|
|
@@ -921,7 +951,8 @@ $\overset{\text{Strahlensatz}}{\Rightarrow} \frac{a}{h_c} = \frac{c}{h_a} \right
|
|
|
oder wenn zwei der $z_i$ gleich sind.
|
|
|
\item $\DV(0, 1, \infty, z_4) = z_4$ (Der Fall $z_4 \in \Set{0, 1, \infty}$ ist zugelassen).
|
|
|
\item \label{bem:15.4d} Für $\sigma \in \PSL_2(\mdc)$ und $z_1, \dots, z_4 \in \mdc \cup \Set{\infty}$
|
|
|
- ist $\DV(\sigma(z_1), \sigma(z_2), \sigma(z_3), \sigma(z_4)) = \DV(z_1, z_2, z_3, z_4)$.
|
|
|
+ ist
|
|
|
+ \[\DV(\sigma(z_1), \sigma(z_2), \sigma(z_3), \sigma(z_4)) = \DV(z_1, z_2, z_3, z_4)\]
|
|
|
und für $\sigma(z) = \frac{1}{\overline{z}}$ gilt
|
|
|
\[\DV(\sigma(z_1), \sigma(z_2), \sigma(z_3), \sigma(z_4)) = \overline{\DV(z_1, z_2, z_3, z_4)}\]
|
|
|
\item \label{bem:15.4e} $\DV(z_1, z_2, z_3, z_4) \in \mdr \in \Set{\infty} \Leftrightarrow z_1, \dots, z_4$
|
|
|
@@ -929,17 +960,49 @@ $\overset{\text{Strahlensatz}}{\Rightarrow} \frac{a}{h_c} = \frac{c}{h_a} \right
|
|
|
\end{bemenum}
|
|
|
\end{bemerkung}
|
|
|
|
|
|
-\begin{beweis}
|
|
|
- von \cref{bem:15.4e}
|
|
|
+\begin{beweis}\leavevmode
|
|
|
+ \begin{enumerate}[label=\alph*)]
|
|
|
+ \item $\DV(z_1, \dots, z_4) \neq 0$, da $z_i$ paarweise verschieden\\
|
|
|
+ $\DV(z_1, \dots, z_4) \neq 1$, da:
|
|
|
+
|
|
|
+ \begin{adjustwidth}{2.5em}{0pt}
|
|
|
+ \underline{Annahme:} $\DV(z_1, \dots, z_4) = 1$
|
|
|
+ \begin{align*}
|
|
|
+ \Leftrightarrow (z_1 - z_2) (z_3 - z_4) &= (z_1 - z_4) (z_3 - z_2)\\
|
|
|
+ \Leftrightarrow z_1 z_3 - z_2 z_3 - z_1 z_4 + z_2 z_4 &= z_1 z_3 - z_3 z_4 - z_1 z_2 + z_2 z_4\\
|
|
|
+ \Leftrightarrow z_2 z_3 + z_1 z_4 &= z_3 z_4 + z_1 z_2\\
|
|
|
+ \Leftrightarrow z_2 z_3 - z_3 z_4 &= z_1 z_2 - z_1 z_4\\
|
|
|
+ \Leftrightarrow z_3 (z_2 - z_4) &= z_1 (z_2 - z_4)\\
|
|
|
+ \Leftrightarrow z_3 &= z_1 \text{ oder } z_2 = z_4
|
|
|
+ \end{align*}
|
|
|
+ Alle $z_i$ sind paarweise verschieden $\Rightarrow$ Widerspruch $\qed$
|
|
|
+ \end{adjustwidth}
|
|
|
+ \item $\DV(z_1, z_4, z_3, z_2) = \frac{(z_1 - z_2) \cdot (z_3 - z_4)}{(z_1 - z_4) \cdot (z_3 - z_2)} = \frac{1}{\DV(z_1, z_2, z_3, z_4)}$
|
|
|
+ \item $\DV(z_3, z_2, z_1, z_4) = \frac{(z_3 - z_4) \cdot (z_1 - z_2)}{(z_3 - z_2) \cdot (z_1 - z_4)} = \frac{1}{\DV(z_1, z_2, z_3, z_4)}$
|
|
|
+ \item Zwei der $z_i$ dürfen gleich sein, da:
|
|
|
+ \begin{itemize}
|
|
|
+ \item[Fall 1] $z_1 = z_4$ oder $z_3 = z_2$\\
|
|
|
+ In diesem Fall ist $\DV(z_1, \dots, z_4) = 0$
|
|
|
+ \item[Fall 2] $z_1 = z_2$ oder $z_3 = z_4$\\
|
|
|
+ Mit der Regel von L'Hospital folgt, dass in diesem
|
|
|
+ Fall $\DV(z_1, \dots, z_4) = \infty$ gilt.
|
|
|
+ \item[Fall 3] $z_1 = z_3$ oder $z_2 = z_4$\\
|
|
|
+ Durch Einsetzen ergibt sich $\DV(z_1, \dots, z_4)=1$.
|
|
|
+ \end{itemize}
|
|
|
|
|
|
- Sei $\sigma \in \PSL_2(\mdc)$ mit $\sigma(z_1) = 0$, $\sigma(z_2) = 1$,
|
|
|
- $\sigma(z_3) = \infty$ (gibt es?)
|
|
|
+ Im Fall, dass ein $z_i = \infty$ ist, ist
|
|
|
+ entweder $\DV(0, 1, \infty, z_4) = 0$ oder $\DV(0, 1, \infty, z_4) \pm \infty$
|
|
|
+ \item $\DV(0, 1, \infty, z_4) = \frac{(0- z_4) \cdot (\infty - 1)}{(0 -1) \cdot (\infty - z_4)} = \frac{z_4 \cdot (\infty - 1)}{\infty - z_4} = z_4$
|
|
|
+ \item TODO
|
|
|
+ \item Sei $\sigma \in \PSL_2(\mdc)$ mit $\sigma(z_1) = 0$, $\sigma(z_2) = 1$,
|
|
|
+ $\sigma(z_3) = \infty$ (gibt es?)
|
|
|
|
|
|
- $\overset{\crefabbr{bem:15.4d}}{\Rightarrow} \DV(z_1, \dots, z_4) = \DV(0, 1, \infty, \sigma(z_4))$\\
|
|
|
- $\Rightarrow \DV(z_1, \dots, z_4) \in \mdr \cup \Set{\infty} \Leftrightarrow \sigma(z_4) \in \mdr \cup \Set{infty}$
|
|
|
+ $\overset{\mathclap{\crefabbr{bem:15.4d}}}{\Rightarrow}\hspace{4mm} \DV(z_1, \dots, z_4) = \DV(0, 1, \infty, \sigma(z_4))$\\
|
|
|
+ $\Rightarrow\hspace{4mm} \DV(z_1, \dots, z_4) \in \mdr \cup \Set{\infty} \Leftrightarrow \sigma(z_4) \in \mdr \cup \Set{infty}$
|
|
|
|
|
|
- Behauptung folgt, weil $\sigma(\mdr \cup \infty)$ ein Kreis oder
|
|
|
- eine Gerade in $\mdc$ ist.
|
|
|
+ Behauptung folgt, weil $\sigma(\mdr \cup \infty)$ ein Kreis oder
|
|
|
+ eine Gerade in $\mdc$ ist.
|
|
|
+ \end{enumerate}
|
|
|
\end{beweis}
|
|
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
|
@@ -971,13 +1034,13 @@ $\overset{\text{Strahlensatz}}{\Rightarrow} \frac{a}{h_c} = \frac{c}{h_a} \right
|
|
|
Also: $d(z_1, z_2) \geq 0$, $d(z_1, z_2) = 0 \gdw z_1 = z_2$
|
|
|
|
|
|
\begin{align*}
|
|
|
- 2 d(z_2, z_1) &= \ln \DV(a_2, z_2, a_1, z_1)\\
|
|
|
- &= \ln \DV(\infty, \iu b, 0, \iu a)\\
|
|
|
- &\overset{\mathclap{\crefabbr{bem:15.4b.ii}}}{=} \ln \DV(0, \iu b, \infty, \iu a)\\
|
|
|
- &= 2 d(z_1, z_2)
|
|
|
+ 2 d(z_2, z_1) &=\hspace{3mm}\ln \DV(a_2, z_2, a_1, z_1)\\
|
|
|
+ &=\hspace{3mm} \ln \DV(\infty, \iu b, 0, \iu a)\\
|
|
|
+ &\overset{\mathclap{\crefabbr{bem:15.4b.ii}}}{=}\hspace{3mm} \ln \DV(0, \iu b, \infty, \iu a)\\
|
|
|
+ &=\hspace{3mm} 2 d(z_1, z_2)
|
|
|
\end{align*}
|
|
|
|
|
|
- Liegen drei Punkte $z_1, z_2, z_3 \in mdc$ auf einer hyperbolischen
|
|
|
+ Liegen drei Punkte $z_1, z_2, z_3 \in \mdc$ auf einer hyperbolischen
|
|
|
Geraden, so gilt $d(z_1, z_3) = d(z_1, z_2) + d(z_2, z_3)$
|
|
|
(wenn $z_2$ zwischen $z_1$ und $z_3$ liegt).
|
|
|
|
|
|
@@ -989,7 +1052,7 @@ $\overset{\text{Strahlensatz}}{\Rightarrow} \frac{a}{h_c} = \frac{c}{h_a} \right
|
|
|
Die hyperbolische Ebene $\mdh$ mit der hyperbolischen Metrik $d$
|
|
|
und den hyperbolischen Geraden bildet eine \enquote{nichteuklidische Geometrie},
|
|
|
d.~h. die Axiome~\ref{axiom:1}~-~\ref{axiom:4} sind erfüllt,
|
|
|
- aber Axiiom~\ref{axiom:5} ist verletzt.
|
|
|
+ aber Axiom~\ref{axiom:5} ist verletzt.
|
|
|
\end{satz}
|
|
|
|
|
|
% Die Übungsaufgaben sollen ganz am Ende des Kapitels sein.
|
Martin Thoma