Verbesserungsvorschläge von Arthur umgesetzt.

documents/GeoTopo/Arbeitszeit.md

@@ -78,4 +78,5 @@ in dem Erstellen dieses Skripts steckt:
 |11.02.2014 | 06:30 - 07:00 | Verbesserungsvorschläge von Jérôme Urhausen, Email 2 vom 10.02.2014, umgesetzt.
 |11.02.2014 | 09:45 - 12:20 | Digitalisieren der Vorlesung von 11.02.2014
 |13.02.2014 | 10:00 - 11:00 | Verbesserungsvorschläge von Jérôme Urhausen, Email vom 13.02.2014, umgesetzt.
-|13.02.2014 | 15:45 - 17:00 | Digitalisieren der Vorlesung von 13.02.2014
+|13.02.2014 | 15:45 - 17:00 | Digitalisieren der Vorlesung von 13.02.2014
+|14.02.2014 | 06:15 - 07:10 | Verbesserungsvorschläge von Arthur umgesetzt.

documents/GeoTopo/Fragen/Fragen.tex

@@ -218,7 +218,7 @@ Da $x \in U$ beliebig gewählt war gilt: $\fT|_A \subseteq \fT'$
 
 \todo[inline]{Wenn $G$ eine topologische Gruppe ist, dann ist $\circ$ doch auf jeden Fall stetig! Was soll die Definition? Des Weiteren verstehe ich $g \circ h := g \cdot h$ nicht. Was ist $\cdot$?}
 
-\section*{Hyperbolische Metrik und Geraden}
+\section*{20.) Hyperbolische Metrik und Geraden}
 \begin{definition}\xindex{Gerade!hyperbolische}%
     Sei
         \[\mdh:= \Set{z \in \mdc | \Im(z) > 0} = \Set{(x,y) \in \mdr^2 | y > 0}\]
@@ -242,4 +242,24 @@ Da $x \in U$ beliebig gewählt war gilt: $\fT|_A \subseteq \fT'$
 
 \todo[inline]{Wir haben hyperbolische Geraden mit der euklidischen Metrik beschrieben. Kann man hyperbolische Geraden auch mit der hyperbolischen Metrik beschreiben? Wie?}
 vgl. Beweis von Bemerkung 68 b)
+
+\section*{21.) Defintion Normalenvektor}
+\begin{definition}%In Vorlesung: Definition 16.2
+    Sei $\gamma: I \rightarrow \mdr^2$ eine durch Bogenlänge
+    parametrisierte Kurve.
+
+    \begin{defenum}
+        \item Für $t \in I$ sei $n(t)$ \textbf{Normalenvektor}\xindex{Normalenvektor}
+              an $\gamma$ in $t$, d.~h.
+              \[\langle n(t), \gamma'(t) \rangle = 0, \;\;\; \|n(t)\|=1 \]
+              und $\det((\gamma_1(t), n(t))) = +1$.
+        \item Nach \cref{bem:16.1d} sind $n(t)$ und $\gamma''(t)$ linear
+              abhängig, d.~h. es gibt $\kappa(t) \in \mdr$ mit
+              \[\gamma''(t) = \kappa(t) \cdot n(t)\]
+              $\kappa(t)$ heißt \textbf{Krümmung}\xindex{Krümmung}
+              von $\gamma$ in $t$.
+    \end{defenum}
+\end{definition}
+
+\todo[inline]{Sollte es in a) $\det((\gamma_1{\color{red}'}(t), n(t))) = +1$ sein?}
 \end{document}

documents/GeoTopo/Kapitel1.tex

@@ -622,9 +622,9 @@ sodass $\pi$ stetig wird.
 \begin{bemerkung}
     Sei $X$ ein topologischer Raum. Dann gilt:
     \begin{bemenum}
-        \item $Z(X)$ ist die größte zusammenhängende Teilmenge von $X$,
+        \item $Z(x)$ ist die größte zusammenhängende Teilmenge von $X$,
               die $x$ enthält.
-        \item $Z(X)$ ist abgeschlossen.
+        \item $Z(x)$ ist abgeschlossen.
         \item $X$ ist disjunkte Vereinigung von Zusammenhangskomponenten.
     \end{bemenum}
 \end{bemerkung}

documents/GeoTopo/Kapitel2.tex

@@ -791,7 +791,7 @@ Differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Klasse $C^\infty$ werden auch
 \end{figure}
 
 \begin{bemerkung}
-    Für jeden Baum $T$ gilt $\gamma(T) = 1$.
+    Für jeden Baum $T$ gilt $\chi(T) = 1$.
 \end{bemerkung}
 
 \begin{beweis}
@@ -880,7 +880,7 @@ Differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Klasse $C^\infty$ werden auch
     und $<$ eine Totalordnung auf $V$.
 
     Sei $A_n$ die Menge der $n$-Simplizes in $K$, d.~h.
-    \[A_n(K) := \Set{ \sigma \in K | \dim(\sigma) = n}\;\;\; \text{für } n=0, \dots, d=\dim(K)\]
+    \[A_n(K) := \left | \Set{ \sigma \in K | \dim(\sigma) = n} \right | \;\;\; \text{für } n=0, \dots, d=\dim(K)\]
 
     und $C_n(K)$ der $\mdr$-Vektorraum mit Basis $A_n(K)$, d.~h.
     \[C_n(K) = \Set{\sum_{\sigma \in A_n(K)} c_\sigma \cdot \sigma | c_\sigma \in \mdr}\]

documents/GeoTopo/Kapitel3.tex

@@ -933,9 +933,9 @@ der folgende Satz:
         \item Ist $f \in \Deck(Y/X)$ und $f \neq \id$, dann hat
               $f$ keinen Fixpunkt.
         \item $|\Deck(Y/X)| \leq \deg{p}$\label{kor:12.14c}
-        \item Ist $p$ eine reguläre Decktransformation, dann gilt:
+        \item Ist $f$ eine reguläre Decktransformation, dann gilt:
               $\forall x \in X: \Deck(Y/X)$ operiert transitiv
-              auf der Menge der Urbilder $p^{-1}(x)$.
+              auf der Menge der Urbilder $f^{-1}(x)$.
     \end{bemenum}
 \end{bemerkung}
 

documents/GeoTopo/Kapitel4.tex

@@ -775,7 +775,7 @@ $\overset{\text{Strahlensatz}}{\Rightarrow} \frac{a}{h_c} = \frac{c}{h_a} \right
             G_2 &= \Set{g_2 \subseteq \mdh | \exists x \in \mdr: g_2 = \Set{z \in \mdh: \Re(z) = x}}
         \end{align*}
 
-    Die Elemente von $\mdh$ heißen \textbf{hyperbolische Geraden}.
+    Die Elemente aus $G$ heißen \textbf{hyperbolische Geraden}.
 \end{definition}
 
 \begin{bemerkung}[Eigenschaften der hyperbolischen Geraden]

documents/GeoTopo/Kapitel5.tex

@@ -46,7 +46,7 @@
         \item Für $t \in I$ sei $n(t)$ \textbf{Normalenvektor}\xindex{Normalenvektor}
               an $\gamma$ in $t$, d.~h.
               \[\langle n(t), \gamma'(t) \rangle = 0, \;\;\; \|n(t)\|=1 \]
-              und $\det((\gamma_1(t), n(t))) = +1$
+              und $\det((\gamma_1(t), n(t))) = +1$.
         \item Nach \cref{bem:16.1d} sind $n(t)$ und $\gamma''(t)$ linear
               abhängig, d.~h. es gibt $\kappa(t) \in \mdr$ mit
               \[\gamma''(t) = \kappa(t) \cdot n(t)\]