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@@ -3,14 +3,22 @@
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% Mitschrieb vom 30.01.2014 %
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\chapter{Krümmung}
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+\begin{definition}\xindex{Kurve}
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+ Sei $f: [a, b] \rightarrow \mdr^n$ eine eine Funktion aus $C^\infty$.
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+ Dann heißt $f$ \textbf{Kurve}.
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+\end{definition}
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\section{Krümmung von Kurven}\label{sec:Kurvenkrümmung}
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\begin{definition}%In Vorlesung: Def.+Bem. 16.1
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Sei $\gamma: I = [a, b] \rightarrow \mdr^n$ eine $C^\infty$-Funktion.
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\begin{defenum}
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- \item $\gamma$ heißt \textbf{durch Bogenlänge parametrisiert}\xindex{parametrisiert!durch Bogenlänge},
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- wenn $\|\gamma'(t)\|_2 = 1$ für alle $t \in I$. Dabei
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- ist $\gamma'(t) = \left (\gamma_1'(t), \gamma_2'(t), \dots, \gamma_n'(t) \right)$
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+ \item Die Kurve $\gamma$ heißt
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+ \textbf{durch Bogenlänge parametrisiert}\xindex{parametrisiert!durch Bogenlänge},
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+ wenn gilt:
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+ \[\|\gamma'(t)\|_2 = 1 \;\;\; \forall t \in I\]
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+ Dabei ist $\gamma'(t) = \left (\gamma_1'(t), \gamma_2'(t), \dots, \gamma_n'(t) \right)$.
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\item $l(\gamma) = \int_a^b \|\gamma'(t)\| \mathrm{d} t$ heißt
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\textbf{Länge von $\gamma$}\xindex{Kurve!Länge einer}.
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\end{defenum}
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@@ -50,7 +58,7 @@
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\item Für $t \in I$ sei $n(t)$ \textbf{Normalenvektor}\xindex{Normalenvektor}
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an $\gamma$ in $t$ wenn gilt:
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\[\langle n(t), \gamma'(t) \rangle = 0 \text{, } \|n(t)\|=1 \text{ und } \det((\gamma_1'(t), n(t))) = +1\]
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- \item Seit $\kappa: I \Rightarrow \mdr$ so, dass gilt:
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+ \item Seit $\kappa: I \rightarrow \mdr$ so, dass gilt:
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\[\gamma''(t) = \kappa(t) \cdot n(t)\]
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Dann heißt $\kappa(t)$ \textbf{Krümmung}\xindex{Krümmung}
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von $\gamma$ in $t$.
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@@ -299,7 +307,7 @@ Im folgenden werden diese Begriffe jedoch synonym benutzt.
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\item $S = V(X^2 - Y^2 - Z)$, $s = (0,0,0)$ (Hyperbolisches Paraboloid\xindex{Paraboloid!hyperbolisches}, siehe \cref{fig:hyperbolic-paraboloid})\\
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$x_1 = (1,0,0)$, $n(s) = (0,0,1)$\\
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$x_2 = (0, 1, 0)$\\
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- $\kappanor(s, x_1) = 2$\\
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+ $\kappanor(s, x_1) = \hphantom{-}2$\\
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$\kappanor(s, x_2) = -2$
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\end{bspenum}
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\end{beispiel}
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Martin Thoma