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@@ -40,13 +40,13 @@
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\item Im Folgenden wird die Aussage nur für $\gamma: [a, b] \rightarrow \mdr^2$ bewiesen.
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Allerdings funktioniert der Beweis im $\mdr^n$ analog. Es muss nur
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die Ableitung angepasst werden.
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- $1 = \|\gamma'(t)\| = \|\gamma'(t)\|^2 = \langle \gamma'(t), \gamma'(t) \rangle$\\
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- $\begin{aligned}[t]
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+ \begin{align*}
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+ 1 &= \|\gamma'(t)\| = \|\gamma'(t)\|^2 = \langle \gamma'(t), \gamma'(t) \rangle\\
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\Rightarrow 0 &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \langle \gamma'(t), \gamma'(t) \rangle\\
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&= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} (\gamma_1'(t)\gamma_1'(t) + \gamma_2'(t)\gamma_2'(t))\\
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&= 2 \cdot (\gamma_1''(t) \cdot \gamma_1'(t) + \gamma_2''(t) \cdot \gamma_2'(t))\\
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&= 2 \cdot \langle \gamma''(t), \gamma'(t) \rangle
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- \end{aligned}$
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+ \end{align*}
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\end{enumerate}
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\end{beweis}
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@@ -161,7 +161,7 @@ für eine $C^\infty$-Funktion $f: \mdr^3 \rightarrow \mdr$.
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\frac{\partial y}{\partial u} (p) & \frac{\partial y}{\partial v} (p)\\
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\frac{\partial z}{\partial u} (p) & \frac{\partial z}{\partial v} (p)
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\end{pmatrix}\]
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- und $D_P F: \mdr^2 \rightarrow \mdr^3$ die durch $J_F (p)$
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+ und $D_p F: \mdr^2 \rightarrow \mdr^3$ die durch $J_F (p)$
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definierte lineare Abbildung.
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Dann heißt $T_s S := \Bild(D_p F)$ die \textbf{Tangentialebene}\xindex{Tangentialebene}
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@@ -217,7 +217,7 @@ für eine $C^\infty$-Funktion $f: \mdr^3 \rightarrow \mdr$.
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Manchmal wird zwischen einem \textit{Normalenfeld} und einem
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\textit{Einheitsnormalenfeld}\xindex{Einheitsnormalenfeld} unterschieden.
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-Im folgenden werden diese Begriffe jedoch synonym benutzt.
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+Im Folgenden werden diese Begriffe jedoch synonym benutzt.
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\begin{bemerkung}[Eigenschaften von Normalenfeldern]%In Vorlesung: Def.+Bem 17.5
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\begin{bemenum}
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@@ -260,7 +260,7 @@ Im folgenden werden diese Begriffe jedoch synonym benutzt.
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\section{Gauß-Krümmung}\index{Gauß-Krümmung|(}
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\begin{bemerkung}\label{bem:18.1}%In Vorlesung: Bemerkung 18.1
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Sei $S$ eine reguläre Fläche, $s \in S$, $n(s)$ ist ein Normalenvektor
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- in $s$, $x \in T_s (S)$, $\|x\| = 1$.
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+ in $s$, $x \in T_s S$, $\|x\| = 1$.
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Sei $E$ der von $x$ und $n(s)$ aufgespannte 2-dimensionale
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Untervektorraum von $\mdr^3$.
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@@ -280,12 +280,13 @@ Im folgenden werden diese Begriffe jedoch synonym benutzt.
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\begin{definition}\xindex{Normalkrümmung}%In Vorlesung: Definition 18.2
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In der Situation aus \cref{bem:18.1} heißt die Krümmung $\kappa_\gamma(0)$
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der Kurve $\gamma$ in der Ebene $(s+ E)$ im Punkt $s$ die
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- \textbf{Normalkrümmung}\footnotemark{} von $S$ in $s$ in Richtung
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+ \textbf{Normalkrümmung} von $S$ in $s$ in Richtung
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$x = \gamma'(0)$.
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- Man scheibt: $\kappa_\gamma(0) := \kappanor(s, x)$
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+ Man schreibt: $\kappa_\gamma(0) := \kappanor(s, x)$
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\end{definition}
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-\footnotetext{Die Krümmung ist nur bis auf das Vorzeichen bestimmt.}
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+
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+\underline{Hinweis}: Die Krümmung ist nur bis auf das Vorzeichen bestimmt.
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\begin{beispiel}[Gauß-Krümmung]%In Vorlesung: Beispiel 18.3
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\begin{bspenum}
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@@ -372,8 +373,10 @@ Im folgenden werden diese Begriffe jedoch synonym benutzt.
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$S$ in $s$.
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\begin{defenum}
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- \item $\kappa^n_1(s) := \min \Set{\kappanor^n(s,x) | x \in T_s^1 S}$ und\\
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- $\kappa^n_2(s) := \max \Set{\kappanor^n(s,x) | x \in T_s^1 S}$
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+ \item $\begin{aligned}[t]
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+ \kappa^n_1(s) :&= \min \Set{\kappanor^n(s,x) | x \in T_s^1 S} \text{ und }\\
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+ \kappa^n_2(s) :&= \max \Set{\kappanor^n(s,x) | x \in T_s^1 S}
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+ \end{aligned}$
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heißen \textbf{Hauptkrümmungen} von $S$ in $s$.
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\item $K(s) := \kappa_1^n(s) \cdot \kappa_2^n(s)$ heißt
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\textbf{Gauß-Krümmung} von $S$ in $s$.
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@@ -433,8 +436,8 @@ an $S$ in $s$.
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\item Sei $F: U \rightarrow V$ eine lokale Parametrisierung von $S$ um
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$s$ und $p := F^{-1}(s)$.
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- Dann ist $\Set{D_P F(e_1), D_P F(e_2)}$ eine Basis von $T_s S$.
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- \item Bzgl. der Basis $\Set{D_P F(e_1), D_P F(e_2)}$ hat das
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+ Dann ist $\Set{D_p F(e_1), D_p F(e_2)}$ eine Basis von $T_s S$.
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+ \item Bzgl. der Basis $\Set{D_p F(e_1), D_p F(e_2)}$ hat das
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Standardskalarprodukt aus \cref{bem:19.1a} die Darstellungsmatrix
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\begin{align*}
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I_S &= \begin{pmatrix}
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@@ -445,7 +448,7 @@ an $S$ in $s$.
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E(s) & F(s) \\
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F(s) & G(s)
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\end{pmatrix}\\
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- \text{mit } g_{i,j} &= g_s(D_P F(e_i), D_P F(e_j))\\
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+ \text{mit } g_{i,j} &= g_s(D_p F(e_i), D_p F(e_j))\\
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&= \langle \frac{\partial F}{\partial u_i} (p), \frac{\partial F}{\partial u_j} (p) \rangle \;\;\; i,j \in \Set{1,2}
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\end{align*}
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Die Matrix $I_S$ heißt \textbf{erste Fundamentalform}\xindex{Fundamentalform!erste}
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@@ -519,7 +522,7 @@ an $S$ in $s$.
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\end{enumerate}
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\end{beweis}
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-\begin{proposition}
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+\begin{proposition}\label{prop:5.1}
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Sei $S \subseteq \mdr^3$ eine reguläre, orientierbare Fläche mit glatten
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Normalenfeld $n: S \rightarrow S^2$. Dann gilt:
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@@ -543,7 +546,7 @@ an $S$ in $s$.
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Aufgrund der Bilinearität des Skalarproduktes genügt es diese Eigenschaft
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für die Basisvektoren zu zeigen.
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- Sei $x_i = D_P F(e_i) = \frac{\partial F}{\partial u_i} (p)\;\;\; i = 1,2$
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+ Sei $x_i = D_p F(e_i) = \frac{\partial F}{\partial u_i} (p)\;\;\; i = 1,2$
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\underline{Beh.:}
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$\langle x_i, d_s n(x_j) \rangle = \langle \frac{\partial^2 F}{\partial u_i \partial u_j} (p), d_s n (x_i) \rangle$
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@@ -554,7 +557,7 @@ an $S$ in $s$.
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\begin{aligned}[t]
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0 &= \hphantom{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left (\right.} \langle \frac{\partial F}{\partial u} (p + t e_j), n(p + t e_j) \rangle\\
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\Rightarrow 0 &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left (\langle \frac{\partial F}{\partial u} (p + t e_j), n(p + t e_j) \rangle \right) \Bigr |_{t=0}\\
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- &= \langle \underbrace{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial F}{\partial u_i} (p + t e_j)}_{\frac{\partial^2 F}{\partial u_j \partial u_i} (p)} \Bigr |_{t=0}, n(s) \rangle + \langle x_i, d_s n \underbrace{D_P F (e_j)}_{x_j}\rangle
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+ &= \langle \underbrace{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial F}{\partial u_i} (p + t e_j)}_{\frac{\partial^2 F}{\partial u_j \partial u_i} (p)} \Bigr |_{t=0}, n(s) \rangle + \langle x_i, d_s n \underbrace{D_p F (e_j)}_{x_j}\rangle
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\end{aligned}$
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\end{enumerate}
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\end{beweis}
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