Vorlesung 24.10.2013: Bis auf 3 Zeichnungen eingearbeitet.

documents/GeoTopo/Kapitel1.tex

@@ -2,7 +2,7 @@
 \section{Vorgeplänkel}
     \begin{tabular}{lllll}
     Die Kugeloberfläche $S^2$: &  lässt sich zu:          & oder:& verformen: \\
-    \input{figures/s2.tex}     & \input{figures/cube.tex} & TODO & \input{figures/pyramid.tex}
+    \input{figures/s2.tex}     & \input{figures/cube.tex} & \todo[inline]{Bild} & \input{figures/pyramid.tex}
     \end{tabular}
 
     aber nicht zum $\mdr^2$ oder zu einem Torus:
@@ -111,7 +111,7 @@ Es gibt auch Mengen, die weder abgeschlossen, noch offen sind wie z.~B. $[0,1)$.
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 % Mitschrieb vom 24.10.2013                                         %
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-\begin{definition} \index{Produkttopologie}
+\begin{definition} \xindex{Produkttopologie}
     Seien $X_1, X_2$ topologische Räume.\\
     $U \subseteq X_1 \times X_2$ sei offen, wenn es zu jedem $x = (x_1, x_2) \in U$
     Umgebungen $U_i$ um $x_i$  mit $i=1,2$ gibt, sodass $U_1 \times U_2 \subseteq U$
@@ -133,7 +133,7 @@ Es gibt auch Mengen, die weder abgeschlossen, noch offen sind wie z.~B. $[0,1)$.
     \end{enumerate}
 \end{beispiel}
 
-\begin{definition} \index{Quotiententopologie}
+\begin{definition} \xindex{Quotiententopologie}
     Sei $X$ topologischer Raum, $\sim$ eine Äquivalenzrelation auf $X$,
     $\overline{X} = X /  \sim$ sei die Menge der Äquivalenzklassen,
     $\pi: x \rightarrow \overline{x}, \;\;\; x \mapsto [x]_\sim$,
@@ -166,10 +166,8 @@ Es gibt auch Mengen, die weder abgeschlossen, noch offen sind wie z.~B. $[0,1)$.
     \input{figures/ursprungsgeraden}
 \end{beispiel}
 
-\todo[inline]{TODO: Es fehlt noch ca. eine Seite}
-
 \section{Metrische Räume}
-\begin{definition} \index{Metrik}
+\begin{definition} \xindex{Metrik} \xindex{Raum!metrischer}
     Sei $X$ eine Menge. Eine Abbildung $d:X\times X \rightarrow \mdr$
     heißt \textbf{Metrik}, wenn gilt:
     \begin{enumerate}[(i)]
@@ -179,7 +177,67 @@ Es gibt auch Mengen, die weder abgeschlossen, noch offen sind wie z.~B. $[0,1)$.
         \item $d(x,z) \leq d(x,y) + d(x+z)$
     \end{enumerate}
 
-    Das Paar $(X, d)$ heißt ein \textbf{metrischer Raum} \index{Raum!metrischer}
+    Das Paar $(X, d)$ heißt ein \textbf{metrischer Raum}.
+\end{definition}
+
+\begin{bemerkung}
+    Sei $(X, d)$ ein metrischer Raum und
+    \[\fB_r(x) := \Set{y \in X | d(x,y) < r} \text{ für } x \in X, r \in \mdr^+\]
+    $\fB$ ist Basis einer Topologie auf $X$.
+\end{bemerkung}
+
+\begin{beispiel}
+    Sei $V$ ein euklidischer oder hermiteischer Vektorraum mit Skalarprodukt
+    $\langle \cdot \rangle$.
+    Dann wird $V$ durch $d(x,y) := \sqrt{\langle x-y, x-y \rangle}$ zum metrischen Raum.
+\end{beispiel}
+
+\begin{beispiel}[diskrete Metrik] \xindex{Metrik!diskrete} \xindex{Topologie!diskrete}
+    Sei $X$ eine Menge. Dann heißt
+    \[d(x,y) = \begin{cases}
+    0: & \text{, falls } x=y\\
+    1: & \text{, falls } x \neq y
+    \end{cases}\]
+    die \textbf{diskrete Metrik}. Die Metrik $d$ induziert die 
+    \textbf{diskrete Topologie}.
+\end{beispiel}
+
+\begin{beispiel}
+    $X = \mdr^2$ und $d\left ((x_1, y_1), (x_2, y_2)\right ) := \max{\|x_1 - x_2\|, \|y_1 - y_2\|}$
+    ist Metrik.
+
+    \todo[inline]{Bild von $\fB_r(0)$ erstellen und einfügen (Quadrat der Seitenlänge $2r$)}
+
+    \emph{Beobachtung:} $d$ erzeugt die eukldische Topologie.
+
+    \todo[inline]{Bild von Quadrat in Kreis in Quadrat ... erstellen und einfügen.}
+\end{beispiel}
+
+\begin{beispiel}[SNCF-Metrik] \xindex{Metrik!SNCF}
+    $X = \mdr^2$ \footnote{Diese Metrik wird auch \enquote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Franz\%C3\%B6sische_Eisenbahnmetrik}{französische Eisenbahnmetrik}} genannt.}
+
+    \input{figures/sncf-metrik}
+\end{beispiel}
+
+\begin{definition} \xindex{Raum!hausdorffscher}
+    Ein topologischer Raum $X$ heißt \textbf{Hausdorffsch}, wenn es
+    für je zwei Punkte $x \neq y$ in $X$ Umgebungen $U_x$ um $x$
+    und $U_y$ um $y$ gibt, sodass $U_x \cap U_y = \emptyset$.
 \end{definition}
 
-\todo[inline]{TODO: Es fehlten noch ca. 2 Seiten}
+\begin{bemerkung}
+    Metrische Räume sind hausdorffsch, da 
+    \[d(x,y) > 0 \Rightarrow \exists \varepsilon: \fB_\varepsilon(x) \cap \fB_\varepsilon(y) = \emptyset\]
+    Ein Beispiel für einen topologischen Raum, der nicht hausdorfsch ist,
+    ist $(\mdr, \fT_Z)$.
+\end{bemerkung}
+
+\begin{bemerkung}
+    Seien $X, X_1, X_2$ Hausdorff-Räume.
+    \begin{enumerate}[a)]
+        \item Jeder Teilraum um $X$ ist Hausdorffsch.
+        \item $X_1 \times X_2$ ist Hausdorffsch.
+    \end{enumerate}
+\end{bemerkung}
+
+\todo[inline]{TODO: Es fehlt eine \enquote{Beweisskizze}, die den $\mdr^2$ darstellt sowie zwei Punkte $(x_1, y_1)$ und $(x_2, y_2)$ sowie ihre (disjunkten) Umgebungen bzgl. der $X_1$-Achse.}

documents/GeoTopo/Symbolverzeichnis.tex

@@ -8,74 +8,106 @@
 %}
 %\newacronym{abc}{Blub}{Bananarama}
 
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+% Mengenoperationen                                                 %
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \newglossaryentry{Abschluss}
 {
   name={\ensuremath{\overline{M}}},
   description={Abschluss der Menge $M$},
-  sort=Abschluss
+  sort=MengenoperationFAbschluss
 }
 
 \newglossaryentry{Rand}
 {
   name={\ensuremath{\partial M}},
   description={Rand der Menge $M$},
-  sort=Rand
+  sort=MengenoperationFRand
 }
 
 \newglossaryentry{Inneres}
 {
   name={\ensuremath{M^\circ}},
   description={Inneres der Menge $M$},
-  sort=Inneres
+  sort=MengenoperationFInneres
 }
 
 \newglossaryentry{Kreuzprodukt}
 {
   name={\ensuremath{A \times B}},
   description={Kreuzprodukt zweier Mengen},
-  sort=Kreuzprodukt
+  sort=MengenoperationNKreuzprodukt
 }
 \newglossaryentry{subseteq}
 {
   name={\ensuremath{A \subseteq B}},
   description={Teilmengenbeziehung},
-  sort=subseteq
+  sort=MengenoperationNSubseteq
 }
 \newglossaryentry{subsetneq}
 {
   name={\ensuremath{A \subsetneq B}},
   description={echte Teilmengenbeziehung},
-  sort=subsetneq
+  sort=MengenoperationNSubsetneq
 }
 
-\newglossaryentry{R}
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+% Zahlenmengen                                                      %
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+
+\newglossaryentry{Z}
 {
-  name={\ensuremath{\mdr}},
-  description={Reele Zahlen},
-  sort=KoerperR
+  name={\ensuremath{\mdz}},
+  description={Ganze Zahlen},
+  sort=KoerperAZ
 }
 
 \newglossaryentry{Q}
 {
   name={\ensuremath{\mdq}},
   description={Rationale Zahlen},
-  sort=KoerperQ
+  sort=KoerperBQ
 }
 
-\newglossaryentry{Z}
+\newglossaryentry{R}
 {
-  name={\ensuremath{\mdz}},
-  description={Ganze Zahlen},
-  sort=KoerperZ
+  name={\ensuremath{\mdr}},
+  description={Reele Zahlen},
+  sort=KoerperR
+}
+
+\newglossaryentry{Rplus}
+{
+  name={\ensuremath{\mdr^+}},
+  description={Echt positive reele Zahlen},
+  sort=KoerperRplus
 }
 
 \newglossaryentry{Einheitengruppe}
 {
   name={\ensuremath{\mdr^\times}},
   description={Multiplikative Einheitengruppe von $\mdr$},
-  sort=GruppeEinheiten
+  sort=KoerperREinheiten
+}
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+% Fraktale Symbole                                                  %
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\newglossaryentry{fB}
+{
+  name={\ensuremath{\fB}},
+  description={Basis einer Topologie},
+  sort=fB
+}
+
+\newglossaryentry{fT}
+{
+  name={\ensuremath{\fT}},
+  description={Topologie},
+  sort=fT
 }
 
+
 % Setze den richtigen Namen für das Glossar
 \renewcommand*{\glossaryname}{\glossarName}
 \deftranslation{Glossary}{\glossarName}

documents/GeoTopo/figures/sncf-metrik.tex

@@ -0,0 +1,41 @@
+\tikzset{
+    point/.style={
+        thick,
+        draw=gray,
+        cross out,
+        inner sep=0pt,
+        minimum width=4pt,
+        minimum height=4pt,
+    },
+}
+\begin{tikzpicture}
+    \begin{axis}[
+    legend pos=south east,
+        axis x line=middle,
+        axis y line=middle,
+        %grid = major,
+        width=12cm,
+        height=8cm,
+        %grid style={dashed, gray!30},
+        xmin=-4,     % start the diagram at this x-coordinate
+        xmax= 8,    % end   the diagram at this x-coordinate
+        ymin=-4,     % start the diagram at this y-coordinate
+        ymax= 4,   % end   the diagram at this y-coordinate
+        axis background/.style={fill=white},
+        %xticklabels={-2,-1.6,...,2},
+        %yticklabels={-8,-7,...,8},
+        %tick align=outside,
+        enlargelimits=true,
+        tension=0.08]
+      % plot the stirling-formulae
+      \addplot[domain=-4:8, red, thick,samples=500] {0.5*x}; 
+      \addplot[domain=-2:2, red, thick,samples=500] {2*x}; 
+      \addplot[domain=-4:4, red, thick,samples=500] {x}; 
+      \addplot[domain=-4:8, red, thick,samples=500] {-0.5*x}; 
+      \addplot[color=red,only marks,mark=o]
+        plot coordinates {
+            (1.5,3)
+            (1.5,1.5)
+        };
+    \end{axis} 
+\end{tikzpicture}