|
|
@@ -0,0 +1,167 @@
|
|
|
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
|
+% Mitschrieb vom 09.01.2014 %
|
|
|
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
|
+\chapter{Euklidische und Nichteuklidische Geometrie}
|
|
|
+\section{Axiome for die euklidische Ebene}
|
|
|
+
|
|
|
+\begin{itemize}
|
|
|
+ \item Grundbegriife
|
|
|
+ \item Axiome
|
|
|
+ \item Sätze
|
|
|
+\end{itemize}
|
|
|
+
|
|
|
+\textbf{Wünschenswerte Eigenschaften:}
|
|
|
+\begin{itemize}
|
|
|
+ \item widerspruchsfrei $\rightarrow$ Gödelscher Unvollständigkeitssatz
|
|
|
+ \item unabhängigkeit: Kein Axiom lässt sich aus einem anderem herleiten
|
|
|
+ \item vollständigkeit: Jede Aussage lässt sich mit Schlussfolgerungen
|
|
|
+ aus dem Axiomensystem verifizieren oder falsifizieren
|
|
|
+\end{itemize}
|
|
|
+
|
|
|
+\textbf{Euklids Axiome}
|
|
|
+\begin{itemize}
|
|
|
+ \item \textbf{Strecke} zwischen je zwei Punkten
|
|
|
+ \item Jede Strecke bestimmt genau eine \textbf{Gerade}
|
|
|
+ \item \textbf{Kreis} (um jeden Punkt mit jedem Radius)
|
|
|
+ \item Je zwei rechte Winkel sind gleich (Isometrie, Bewegung)
|
|
|
+ \item Parallelenaxiom: Euklid:\\
|
|
|
+ Wird eine Gerade so von zwei Geraden geschnitten, dass die
|
|
|
+ Summe der Innenwinkel zwei Rechte ist, dann schneiden sich
|
|
|
+ diese Geraden auf der Seite dieser Winkel.
|
|
|
+ \todo[inline]{Bild}
|
|
|
+ Man mache sich klar, dass das nur dann nicht der Fall ist,
|
|
|
+ wenn beide Geraden parallel sind und senkrecht auf die erste stehen.
|
|
|
+\end{itemize}
|
|
|
+
|
|
|
+\begin{definition}\xindex{Ebene!euklidische}%In Vorlesung: Definition 14.2
|
|
|
+ Eine \textbf{euklidische Ebene} ist ein metrischer Raum $(X,d)$
|
|
|
+ zusammen mit einer Teilmenge $G \subseteq \powerset{X}$, sodass die
|
|
|
+ Axiome~\ref{axiom:1}~-~IV erfüllt sind:
|
|
|
+ \begin{enumerate}[label=§\arabic*),ref=§\arabic*]
|
|
|
+ \item \enquote{Inzidenzaxiome}:\label{axiom:1}
|
|
|
+ \begin{enumerate}[label=(\roman*),ref=\theenumi{} (\roman*)]
|
|
|
+ \item Zu $P \neq Q \in X$ gibt es genau ein $g \in G$ mit
|
|
|
+ $\Set{P, Q} \subseteq g$.
|
|
|
+ \item $|g| \geq 2 \;\;\; \forall g \in G$
|
|
|
+ \item $X \in G$
|
|
|
+ \end{enumerate}
|
|
|
+ \item \enquote{Abstandsaxiom}: Zu $P, Q, R \in X$ gibt es \label{axiom:2}
|
|
|
+ genau dann ein $g \in G$ mit $\Set{P, Q, R} \subseteq g$,
|
|
|
+ wenn gilt:
|
|
|
+ \begin{itemize}[]
|
|
|
+ \item $d(P, R) = d(P, Q) + d(Q, R)$ oder
|
|
|
+ \item $d(P, Q) = d(P, R) + d(R, Q)$ oder
|
|
|
+ \item $d(Q, R) = d(Q, P) + d(P, R)$
|
|
|
+ \end{itemize}
|
|
|
+ \end{enumerate}
|
|
|
+\end{definition}
|
|
|
+
|
|
|
+\begin{definition}
|
|
|
+ \begin{enumerate}[label=\alph*)]
|
|
|
+ \item $P, Q, R$ liegen \textbf{kolinear}\xindex{kolinear},
|
|
|
+ wenn es $g \in G$ gibt mit $\Set{P, Q, R} \subseteq g$.
|
|
|
+ \item $Q$ \textbf{liegt zwischen}\xindex{liegt zwischen} $P$
|
|
|
+ und $R$, wenn $d(P, R) = d(P, Q) + d(Q, R)$
|
|
|
+ \item $\overline{PR} := \Set{Q \in X | Q \text{ liegt zwischen } P \text{ und } R}$
|
|
|
+ \item $PR^+ := \Set{Q \in X | Q \text{ liegt zwischen } P \text{ und } R \text{ oder } R \text{ liegt zwischen } P \text{ und } Q}$\\
|
|
|
+ $PR^- := \Set{Q \in X | P \text{ liegt zwischen } Q \text{ und } R}$\\
|
|
|
+ \end{enumerate}
|
|
|
+\end{definition}
|
|
|
+
|
|
|
+\begin{korollar}
|
|
|
+ \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
|
|
|
+ \item $PR^+ \cup PR^- = PR$
|
|
|
+ \item $PR^+ \cap PR^- = \Set{P}$
|
|
|
+ \end{enumerate}
|
|
|
+\end{korollar}
|
|
|
+
|
|
|
+\begin{beweis}\leavevmode
|
|
|
+ \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
|
|
|
+ \item \enquote{$\subseteq$} folgt direkt aus der Definition von $PR^+$ und $PR^-$\\
|
|
|
+ \enquote{$\supseteq$}: Sei $Q \in PR \Rightarrow P, Q, R$
|
|
|
+ sind kolinear.\\
|
|
|
+ $\stackrel{\ref{axiom:2}}{\Rightarrow}
|
|
|
+ \begin{cases}
|
|
|
+ Q \text{ liegt zwischen } P \text{ und } R \Rightarrow Q \in PR\\
|
|
|
+ R \text{ liegt zwischen } P \text{ und } Q \Rightarrow Q \in PR\\
|
|
|
+ P \text{ liegt zwischen } Q \text{ und } R \Rightarrow Q \in PR
|
|
|
+ \end{cases}$
|
|
|
+ \item \enquote{$\supseteq$} ist offensichtlich\\
|
|
|
+ \enquote{$\subseteq$}: Sei $PR^+ \cap PR^-$. Dann ist
|
|
|
+ $d(Q,R) = d(P,Q) + d(P,R)$ weil $Q \in PR^-$ und
|
|
|
+ \begin{align*}
|
|
|
+ &\left \{ \begin{array}{l}
|
|
|
+ d(P,R) = d(P,Q) + d(Q,R) \text{ oder }\\
|
|
|
+ d(P,Q) = d(P,R) + d(R,Q)
|
|
|
+ \end{array} \right \}\\
|
|
|
+ &\Rightarrow d(Q,R) = 2d(P,Q) + d(Q,R)\\
|
|
|
+ &\Rightarrow d(P,Q) = 0\\
|
|
|
+ &\Rightarrow P=Q\\
|
|
|
+ &d(P,Q) = 2d(P,R) + d(P,Q)\\
|
|
|
+ &\Rightarrow P=R\\
|
|
|
+ &\Rightarrow \text{Widerspruch}
|
|
|
+ \end{align*}
|
|
|
+ \end{enumerate}
|
|
|
+\end{beweis}
|
|
|
+
|
|
|
+\begin{definition}
|
|
|
+ \begin{enumerate}[label=§\arabic*),ref=§\arabic*,start=3]
|
|
|
+ \item \enquote{Anordnungsaxiom}\label{axiom:3}
|
|
|
+ \begin{enumerate}[label=(\roman*),ref=§\theenumi{} (\roman*)]
|
|
|
+ \item Zu jedem $P \in X$ jeder Halbgerade $H$ mit \label{axiom:3.1}
|
|
|
+ Anfangspunkt $P$ und jedem $r \in \mdr_{\geq 0}$
|
|
|
+ gibt es genau ein $Q \in H$ mit $d(P,Q) = r$.
|
|
|
+ \item Jede Gerade zerlegt $X \setminus g = H_1 \dcup H_2$\label{axiom:4}
|
|
|
+ in zwei nichtleere Teilmengen $H_1, H_2$.
|
|
|
+ (Diese Teilmengen heißen \textbf{Halbebenen}\xindex{Halbebene} bzgl. $g$),
|
|
|
+ sodass für alle $A \in H_i$, $B \in H_j$
|
|
|
+ $(i,j \in \Set{1,2})$ gilt: $\overline{AB} \cap g \neq \emptyset \Leftrightarrow i \neq j$
|
|
|
+ \end{enumerate}
|
|
|
+ \item \enquote{Bewegungsaxiome}: Zu $P, Q, P', Q' \in X$
|
|
|
+ mit $d(P,Q) = d(P', Q')$. Isometrien $\varphi_1, \varphi_2$
|
|
|
+ mit $\varphi_i (P) = P'$ und $\varpi_i(Q) = Q', i=1,2$
|
|
|
+ (Spiegelung an der Gerade durch $P$ und $Q$ ist nach
|
|
|
+ Identifizierung von $P \cong P'$ und $Q \cong Q'$ eine
|
|
|
+ weitere Isometrie.)
|
|
|
+ \end{enumerate}
|
|
|
+\end{definition}
|
|
|
+
|
|
|
+\begin{proposition}%In Vorlesung: Satz 14.4
|
|
|
+ Aus den Axiomen \ref{axiom:1}~-~\ref{axiom:3} folgt, dass es in
|
|
|
+ den Situation \ref{axiom:4} höchstens zwei Isometrien mit
|
|
|
+ $\varphi_i(P) = P'$ und $\varphi_i(Q) = Q'$ gibt.
|
|
|
+\end{proposition}
|
|
|
+
|
|
|
+\begin{beweis}
|
|
|
+ Seien $\varphi_1, \varphi_2, \varphi_3$ Isometrien mit
|
|
|
+ $\varphi_i(P) = P'$, $\varphi_i(Q) = Q'$, $i=1,2,3$
|
|
|
+
|
|
|
+ \begin{behauptung}
|
|
|
+ Es gibt $R \in PQ$ mit $\varphi_{A_i} (R) = \varphi_{Z_j} (R)$
|
|
|
+ mit $i \neq j$.
|
|
|
+
|
|
|
+ \Obda sei $i=1$ und $j=2$, also $\varphi_1(R) = \varphi_2(R)$.
|
|
|
+ \end{behauptung}
|
|
|
+ \begin{behauptung}
|
|
|
+ Hat eine Isometrie $\varphi$ 3 Fixpunkte, die nicht kolinear sind,
|
|
|
+ so ist $\varphi = \id_X$.
|
|
|
+
|
|
|
+ Aus Beh. 1 und Beh. 2 folgt, dass $\varphi_2^{-1} \circ \varphi_1 = \id_X$,
|
|
|
+ also $\varphi_2 = \varphi_1$.
|
|
|
+ \end{behauptung}
|
|
|
+
|
|
|
+ \begin{beweis}\leavevmode
|
|
|
+ \begin{behauptung}
|
|
|
+ Sind $P \neq Q$ Fixpunkte einer Isometrie, so ist
|
|
|
+ $\varphi(R) = R$ für jedes $R \in PQ$.
|
|
|
+ \end{behauptung}
|
|
|
+ \begin{beweis}
|
|
|
+ Es ist $\varphi(PQ) = \varphi(P) \varphi(Q)$ weil $\varphi$
|
|
|
+ wegen \ref{axiom:2} kolinearität erhält.
|
|
|
+
|
|
|
+ Sei nun $R \in PQ$. Dann ist $d(P, \varphi(R)) \stackrel{P \text{ ist Fixpunkt}}{=} d(\varphi(P), \varphi(R)) = d(P, R)$.
|
|
|
+ Weiter ist $\varphi (PQ^+) = \varphi(P) \varphi(Q)^+ = PQ^+$
|
|
|
+ $\stackrel{\ref{axiom:3.1}}{\Rightarrow} R = \varphi(R)$
|
|
|
+ \end{beweis}
|
|
|
+ \end{beweis}
|
|
|
+\end{beweis}
|
Martin Thoma