Added Felix changes

documents/Numerik/Klausur2/Aufgabe3.tex

@@ -11,6 +11,7 @@ Damit ergibt sich:
 \begin{align}
 	p(x) &= x^3 + 2x^2 - 5x + 1
 \end{align}
+Anmerkung: Es ist in der Klausur allerdings nicht notwendig die Monomdarstellung zu berechnen außer es wird explizit verlangt. (Das spart viel Zeit) % Anmerkung hinzugefügt von Felix Benz-Baldas
 
 \subsection*{Teilaufgabe b)}
 Zunächst die dividierten Differenzen berechnen:

documents/Numerik/Klausur2/Aufgabe4.tex

@@ -30,11 +30,12 @@ Als erstes ist festzustellen, dass es sich hier um die Simpsonregel handelt und
 \end{align}
 
 ist. Wenn diese nun auf $N$ Intervalle aufgepflittet wird gilt folgendes:
-
 \begin{align}
-    \int_a^b f(x) \mathrm{d}x &= (b-a) \cdot \frac{1}{6} \cdot \left [ f(a) + f(b) + 2 \cdot \sum_{i=1}^{N-1} f(i \cdot \frac{1}{N}) + 4 \cdot \sum_{i=1}^N f(i \cdot \frac{1}{2N})\right ]
+	h &= \frac{(b-a)}{N} \\
+	\int_a^b f(x) \mathrm{d}x &= h \cdot \frac{1}{6} \cdot \left [ f(a) + f(b) + 2 \cdot \sum_{i=1}^{N-1} f(a + i \cdot h) + 4 \cdot \sum_{l=0}^{N-1} f(a + \frac{1}{2} \cdot h + l \cdot h)\right ]
 \end{align}
 
+<<<<<<< HEAD
 $\sum_{i=1}^{N-1} f(i \cdot \frac{1}{N})$  sind die Grenzknoten der Intervalle
  (deshalb werden sie doppelt gezählt). Von den Grenzknoten gibt es
 insgesamt $s-2$ Stück, da die tatsächlichen Integralgrenzen $a$ und $b$
@@ -47,6 +48,15 @@ mittleren Knoten der Intervalle. Davon gibt es $s-1$ Stück.
     \centering
     \includegraphics*[width=\linewidth, keepaspectratio]{aufgabe4-b.png}
 \end{figure}
+=======
+$\sum_{i=1}^{N-1} f(a + i \cdot h)$ steht für die Grenzknoten
+ (deshalb werden sie doppelt gezählt). Von den Grenzknoten gibt es 
+insgesamt $N-2$ Stück, da die tatsächlichen Integralgrenzen $a$ und $b$ 
+nur einmal in die Berechnung mit einfließen.
+
+$\sum_{l=0}^{N-1} f(a + \frac{1}{2} \cdot h + l \cdot h)$ sind die jeweiligen 
+mittleren Knoten der Intervalle. Davon gibt es $N$ Stück.
+>>>>>>> f4422549d96c4826905bce10e7379dca20b9b4b7
 
 \subsection*{Teilaufgabe c)}
 TODO

documents/Numerik/Klausur3/Aufgabe1.tex

@@ -0,0 +1,46 @@
+\section*{Aufgabe 1}
+\subsection*{Teilaufgabe a)}
+
+Erste Spalte:
+\begin{align}
+	l_{11} &= \sqrt{a_{11}} \\
+	l_{21} &= \frac{a_{21}}{l_{11}}\\
+	l_{31} &= \frac{a_{31}}{l_{11}}\\
+\end{align}
+Zweite Spalte:
+\begin{align}
+	l_{22} &= \sqrt{a_{22} - {l_{21}}^2}\\
+	l_{32} &= (a_{32} -l_{21} \cdot l_{31}) \div l_{22} \\
+\end{align}
+Dritte Spalte:
+\begin{align}
+	l_{33} &= \sqrt{a_{33}-{l_{32}^2}-{l_{31}}^2}
+\end{align}
+
+\subsection*{Teilaufgabe b)}
+\begin{align}
+	l_{11} &= 2 \\
+	l_{21} &= 1 \\
+	l_{31} &= -2 \\
+	l_{22} &= 3 \\
+	l_{32} &= 1 \\
+	l_{33} &= 1 \\
+\end{align}
+Die restlichen Einträge sind $0$. ($L$ ist immer eine untere Dreiecksmatrix)
+
+\subsection*{Teilaufgabe c)}
+
+\begin{align}
+	A \cdot x = b \Leftrightarrow L \cdot L^T \cdot x = b \\
+	L \cdot c = b \label{a1}
+\end{align}
+Löse \ref{a1} mit Vorwärtssubstitution.
+\begin{align}
+	L^T \cdot x = c \label{a2}
+\end{align}
+Löse \ref{a2} mit Rückwärtssubstitution.
+\begin{align}
+	x_3 &= 3 \\
+	x_2 &= 1 \\
+	x_1 &= 2
+\end{align}

documents/Numerik/Klausur3/Aufgabe2.tex

@@ -0,0 +1,17 @@
+\section*{Aufgabe 2}
+\subsection*{Teilaufgabe a)}
+\begin{align}
+	r_{ij} = a_{ij} - \sum_{k=1}^{i-1} l_{ik} \cdot r_{kj} \\
+	l_{ij} = \frac{a_{ij} - \sum_{k=1}^{j-1} l_{ik} \cdot r_{kj}}{r_{jj}}
+\end{align}
+
+
+\begin{algorithm}
+    \begin{algorithmic}
+    	\For{$d \in \Set{1, \dots n}$}
+    		\State berechne d-te Zeile von R
+    		\State berechne d-te Spalte von L
+	\EndFor
+    \end{algorithmic}
+\end{algorithm}
+

documents/Numerik/Klausur3/Klausur3.tex

@@ -0,0 +1,38 @@
+\documentclass[a4paper]{scrartcl}
+\usepackage{amssymb, amsmath} % needed for math
+\usepackage[utf8]{inputenc} % this is needed for umlauts
+\usepackage[ngerman]{babel} % this is needed for umlauts
+\usepackage[T1]{fontenc}    % this is needed for correct output of umlauts in pdf
+\usepackage{pdfpages}       % Signatureinbingung und includepdf
+\usepackage{geometry}       % [margin=2.5cm]layout
+\usepackage[pdftex]{hyperref}       % links im text
+\usepackage{color}
+\usepackage{framed}
+\usepackage{enumerate}      % for advanced numbering of lists
+\usepackage{marvosym}       % checkedbox
+\usepackage{wasysym}
+\usepackage{braket}         % for \Set{}
+\usepackage{pifont}% http://ctan.org/pkg/pifont
+\usepackage{gauss}
+\usepackage{algorithm,algpseudocode}
+\usepackage{parskip}
+\usepackage{lastpage}
+\allowdisplaybreaks
+
+\newcommand{\cmark}{\ding{51}}%
+\newcommand{\xmark}{\ding{55}}%
+
+\title{Numerik Klausur 3 - Musterlösung}
+\makeatletter
+\makeatother
+
+\usepackage{fancyhdr}
+\fancyfoot[C]{}
+
+\begin{document}
+	\include{Aufgabe1}
+	\include{Aufgabe2}
+	\include{Aufgabe3}
+	\include{Aufgabe4}
+	\include{Aufgabe5}
+\end{document}

documents/Numerik/Klausur3/Makefile

@@ -0,0 +1,8 @@
+SOURCE = Klausur3
+make:
+	pdflatex -shell-escape $(SOURCE).tex -output-format=pdf
+	pdflatex -shell-escape $(SOURCE).tex -output-format=pdf
+	make clean
+
+clean:
+	rm -rf  $(TARGET) *.class *.html *.log *.aux *.out *.pyg