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@@ -51,95 +51,6 @@
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\begin{document}
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\chapter{Fragen zu Definitionen}
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-\section*{6.) Basisbeispiele}
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-\todo[inline]{Kennst du ein Beispiel für eine Subbasis in einem Topologischen Raum,
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-die keine Basis ist?}
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-
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-Wie ist es mit folgendem?
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-
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-Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum mit
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- $X = \Set{0,1,2}$ und $\fT = \Set{\emptyset, \Set{0}, \Set{0,1}, X}$.\\
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- Dann ist $\calS = \Set{\emptyset, \Set{0,1}, \Set{0,2}}$ eine Subbasis von
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- $\fT$, da gilt:
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- \begin{itemize}
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- \item $\emptyset \in \calS$
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- \item $\Set{0} = \Set{0, 1} \cap \Set{0,2}$
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- \item $\Set{0,1} \in \calS$
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- \item $X = \Set{0,1} \cup \Set{0,2}$
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- \end{itemize}
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- Allerings ist $\calS$ keine Basis von $(X, \fT)$, da
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- $\Set{0}$ nicht als Vereinigung von Elementen aus $\calS$
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- erzeugt werden kann.
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-\section*{9.) Mannigfaltigkeit mit Rand}
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-\begin{definition}%
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- Sei $X$ ein topologischer Raum und $n \in \mdn$.
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- \begin{defenum}
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- \item Eine $n$-dimensionale \textbf{Karte}\xindex{Karte} auf
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- $X$ ist ein Paar $(U, \varphi)$, wobei $U \subseteq X$
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- offen und $\varphi: U \rightarrow V$ Homöomorphismus
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- von $U$ auf eine offene Teilmenge $V \subseteq \mdr^n$.
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- \item Ein $n$-dimensionaler \textbf{Atlas}\xindex{Atlas} $\atlas$ auf $X$ ist eine
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- Familie $(U_i, \varphi_i)_{i \in I}$ von Karten auf $X$,
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- sodass $\bigcup_{i \in I} U_i = X$.
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- \item $X$ heißt (topologische) $n$-dimensionale \textbf{Mannigfaltigkeit}\xindex{Mannigfaltigkeit},
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- wenn $X$ hausdorffsch ist, eine abzählbare Basis der
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- Topologie hat und ein $n$-dimensionalen Atlas besitzt.
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- \end{defenum}
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-\end{definition}
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-\begin{definition}\xindex{Mannigfaltigkeit!mit Rand}%
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- Sei $X$ ein Hausdorffraum mit abzählbarer Basis der Topologie.
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- $X$ heißt $n$-dimensionale \textbf{Mannigfaltigkeit mit Rand},
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- wenn es einen Atlas $(U_i, \varphi_i)$ gibt, wobei $U_i \subseteq X_i$
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- offen und $\varphi_i$ ein Homöomorphismus auf eine offene
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- Teilmenge von
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- \[R_{+,0}^n := \Set{(x_1, \dots, x_n) \in \mdr^n | x_{\color{red}m} \geq 0}\]
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- ist.
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-\end{definition}
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-\todo[inline]{Sind Mannigfaltigkeiten mit Rand auch Mannigfaltigkeiten? Sollte das rote $m$ eventuell $n$ sein? Oder sollte es ein $i$ sein, mit $i = 1..n$?}
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-Laut \url{https://de.wikipedia.org/wiki/Mannigfaltigkeit_mit_Rand}:
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-\enquote{Eine Mannigfaltigkeit mit Rand ist mathematisches Objekt aus der Differentialgeometrie. Es handelt sich hierbei nicht um einen Spezialfall einer Mannigfaltigkeit, sondern ganz im Gegenteil um eine Verallgemeinerung.}
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-\todo[inline]{Ist die Aussage auf Wikipedia korrekt? Für mich sieht das so aus, also ob folgende Definition auch richtig wäre:}
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-\begin{definition}\xindex{Mannigfaltigkeit!mit Rand}%
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- Sei $X$ eine Mannigfaltigkeit mit Atlas $\atlas$ und
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- \[\mdr_{+,0}^n := \Set{(x_1, \dots, x_n) \in \mdr^n | x_m \geq 0}\]
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- $X$ heißt \textbf{Mannigfaltigkeit mit Rand}, wenn gilt:
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- \[\forall (U, \varphi) \in \atlas: \varphi(U) \subseteq \mdr_{+,0}^n\]
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-\end{definition}
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-\section*{11.) Produkttopologie}
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-\begin{definition}\xindex{Produkttopologie}%
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- Seien $X_1, X_2$ topologische Räume.\\
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- $U \subseteq X_1 \times X_2$ sei offen, wenn es zu jedem $x = (x_1, x_2) \in U$
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- Umgebungen $U_i$ um $x_i$ mit $i=1,2$ gibt, sodass $U_1 \times U_2 \subseteq U$
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- gilt.
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-
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- $\fT = \Set{U \subseteq X_1 \times X_2 | U \text{ offen}}$
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- ist eine Topologie auf $X_1 \times X_2$. Sie heißt \textbf{Produkttopologie}.
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- $\fB = \Set{U_1 \times U_2 | U_i \text{ offen in } X_i, i=1,2}$
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- ist eine Basis von $\fT$.
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-\end{definition}
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-\todo[inline]{Gibt es ein Beispiel, das zegit, dass nicht $\fB = \fT$ gilt?}
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-\section*{15.) Existenz der Parallelen}
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-\begin{definition}%
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- \begin{enumerate}[label=§\arabic*),ref=§\arabic*,start=5]
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- \item \label{axiom:5}\textbf{Parallelenaxiom}\xindex{Parallele}:
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- Für jedes $g \in G$ und jedes
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- $P \in X \setminus g$ gibt es höchstens ein $h \in G$ mit
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- $h \cap g = \emptyset$. $h$ heißt \textbf{Parallele zu $g$ durch $P$}.
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- \end{enumerate}
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-\end{definition}
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-\todo[inline]{Wie beweist man, dass es genau eine gibt? (Verschiebung der Geraden in den entsprechenden Punkt mit der Isometrie, die die Halbebenen gleich lässt)}
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\section*{17.) Simpliziale Abbildungen}
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Wenn man Simpliziale Abbildungen wie folgt definiert
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@@ -219,51 +130,6 @@ Da $x \in U$ beliebig gewählt war gilt: $\fT|_A \subseteq \fT'$
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\todo[inline]{Wenn $G$ eine topologische Gruppe ist, dann ist $\circ$ doch auf jeden Fall stetig! Was soll die Definition? Des Weiteren verstehe ich $g \circ h := g \cdot h$ nicht. Was ist $\cdot$?}
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-\section*{20.) Hyperbolische Metrik und Geraden}
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-\begin{definition}\xindex{Gerade!hyperbolische}%
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- Sei
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- \[\mdh:= \Set{z \in \mdc | \Im(z) > 0} = \Set{(x,y) \in \mdr^2 | y > 0}\]
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- die obere Halbebene bzw. Poincaré-Halbebene und $G = G_1 \cup G_2$
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- mit
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- \begin{align*}
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- G_1 &= \Set{g_1 \subseteq \mdh | \exists m \in \mdr, r \in \mdr_{>0}: g_1 = \Set{z \in \mdh : |z-m|=r}}\\
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- G_2 &= \Set{g_2 \subseteq \mdh | \exists x \in \mdr: g_2 = \Set{z \in \mdh: \Re(z) = x}}
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- \end{align*}
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- Die Elemente von $\mdh$ heißen \textbf{hyperbolische Geraden}.
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-\end{definition}
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-\begin{definition}\xindex{Metrik!hyperbolische}%
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- Für $z_1, z_2 \in \mdh$ sei $g_{z_1, z_2}$ die eindeutige hyperbolische
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- Gerade durch $z_1$ und $z_2$ und $a_1, a_2$ die
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- \enquote{Schnittpunkte} von $g_{z_1, z_2}$ mit $\mdr \cup \Set{\infty}$.
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- Dann sei $d(z_1, z_2) := \frac{1}{2} \ln |\DV(a_1, z_4, a_2, z_2) |$
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- und heiße \textbf{hyperbolische Metrik}.
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-\end{definition}
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-\todo[inline]{Wir haben hyperbolische Geraden mit der euklidischen Metrik beschrieben. Kann man hyperbolische Geraden auch mit der hyperbolischen Metrik beschreiben? Wie?}
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-vgl. Beweis von Bemerkung 68 b)
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-\section*{21.) Defintion Normalenvektor}
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-\begin{definition}%In Vorlesung: Definition 16.2
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- Sei $\gamma: I \rightarrow \mdr^2$ eine durch Bogenlänge
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- parametrisierte Kurve.
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- \begin{defenum}
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- \item Für $t \in I$ sei $n(t)$ \textbf{Normalenvektor}\xindex{Normalenvektor}
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- an $\gamma$ in $t$, d.~h.
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- \[\langle n(t), \gamma'(t) \rangle = 0, \;\;\; \|n(t)\|=1 \]
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- und $\det((\gamma_1(t), n(t))) = +1$.
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- \item Nach \cref{bem:16.1d} sind $n(t)$ und $\gamma''(t)$ linear
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- abhängig, d.~h. es gibt $\kappa(t) \in \mdr$ mit
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- \[\gamma''(t) = \kappa(t) \cdot n(t)\]
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- $\kappa(t)$ heißt \textbf{Krümmung}\xindex{Krümmung}
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- von $\gamma$ in $t$.
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- \end{defenum}
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-\end{definition}
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-\todo[inline]{Sollte es in a) $\det((\gamma_1{\color{red}'}(t), n(t))) = +1$ sein?}
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\section*{22.) MF-Beispiel}
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$\praum^n(\mdr) = (\mdr^{n+1} \setminus \Set{0})/_\sim = S^n /_\sim$ und $\praum^n(\mdc)$ sind Mannigfaltigkeiten
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der Dimension $n$ bzw. $2n$, da gilt:
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@@ -331,14 +197,6 @@ $\Rightarrow$ Widerspruch
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\todo[inline]{TODO}
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\end{beweis}
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-\section*{24) Tangentialebene}
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-Erinnerung Sie sich an \cref{def:8.5} \enquote{reguläre Fläche}.
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-Äquivalent dazu ist: $S$ ist lokal von der Form
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-\[V(f) = \Set{x \in \mdr^3 | f(x) = 0 }\]
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-für eine $C^\infty$-Funktion $f: \mdr^\infty \rightarrow \mdr$.\todo{Wirklich $\mdr^\infty$?}
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\section*{25.) Fragen}
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\begin{enumerate}
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\item Kapitel II:
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Martin Thoma