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Aktuelle Aufgaben hinzugefügt.

documents/Numerik/Klausur2/Aufgabe2.tex

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 \section*{Aufgabe 2}
-\textbf{Bemerkung:}  Das ist Aufgabe 20, Übungsblatt 7.
+
+\subsection*{Lösungsalternative 1:}
 
 \textbf{Voraussetzung:} 
 Gegeben sei eine Funktion $F$:
@@ -67,3 +68,33 @@ Banachsche Fixpunktsatz. Es folgt direkt, dass auch für alle $x \in [0,1]$
 die Folge $(x)_k$ gegen den einzigen Fixpunkt $x^*$ konvergiert.
 
 \end{proof}
+
+\subsection*{Lösungsalternative 2:}
+
+\textbf{Behauptung:} Für $x \in \mathbb{R}$ gilt, dass $cos(x_k) = x_{k+1}$ gegen den einzigen Fixpunkt $x^{*} = cos(x^{*})$ konvergiert.
+
+\textbf{Beweis:} 
+Sei $ D := [-1, 1]$.\\
+Trivial: $D$ ist abgeschlossen.
+
+Sei $ x \in D$, so gilt:
+\begin{align*}
+	0 < cos(x) \leq 1
+\end{align*}
+Also: $cos(x) \in D$.\\ Wenn $x \not\in D$, so gilt $y := cos(x)$ und $cos(y) \in D$. D.h. bereits nach einem Iterationschritt wäre $cos(x) \in D$ für $x \in \mathbb{R}$! Dies ist wichtig, da damit gezeigt ist, dass $cos(x_k) = x_{k+1}$ für jedes $x \in \mathbb{R}$ konvergiert! Es kommt nur dieser einzige Iteratationsschritt für $x \not\in \mathbb{R}$ hinzu.
+
+Nun gilt mit $ x, y \in D, x < y, \xi \in (x,y) $ und dem Mittelwert der Differentialrechnung:
+\begin{align*}
+	\frac{cos(x) - cos(y)}{x - y} = cos'(\xi) \\
+	\Leftrightarrow cos(x) - cos(y) =  cos'(\xi) * (x - y)  \\
+	\Leftrightarrow | cos(x) - cos(y) | = | cos'(\xi) * (x - y) | \leq | cos'(\xi) | * | (x - y) | 
+\end{align*}
+Da $ \xi \in (0, 1) $ gilt:
+\begin{align*}
+	0 \leq | cos'(\xi) | = | sin(\xi) | < 1 
+\end{align*}
+Damit ist gezeigt, dass $cos(x) : D \rightarrow D$ Kontraktion auf $D$.
+
+Damit sind alle Voraussetzung des Banachschen Fixpunktsatzes erfüllt.
+
+Nach dem Banachschen Fixpunktsatz folgt die Aussage.

documents/Numerik/Klausur2/Aufgabe5.tex

@@ -40,5 +40,5 @@ Dann gilt: $C$ ist invertierbar und $b = C^{-1} \cdot
 $.
 
 Es gibt genau eine symmetrische QF in der Familie. Begründung: \\
-Aus $c_1 = 0 $ folgt, dass $c_3 = 0$ ist. Außerdem muss $c_2 = \frac{1}{2} $ sein. Also sind die Knoten festgelegt. Da wir die Ordnung $\ge s = 3$ fordern, sind auch die Gewichte eindeutig. \\
+Aus $c_1 = 0 $ folgt, dass $c_3 = 1$ ist. Außerdem muss $c_2 = \frac{1}{2} $ sein. Also sind die Knoten festgelegt. Da wir die Ordnung $\ge s = 3$ fordern, sind auch die Gewichte eindeutig. \\
 Es handelt sich um die aus der Vorlesung bekannte Simpsonregel.

documents/Numerik/Klausur2/Klausur2.tex

@@ -27,7 +27,7 @@
 \makeatletter
 \AtBeginDocument{
 	\hypersetup{ 
-	  pdfauthor   = {Felix Benz-Baldas, Martin Thoma, Peter},
+	  pdfauthor   = {Felix Benz-Baldas, Martin Thoma, Peter Merkert},
 	  pdfkeywords = {Numerik, KIT, Klausur}, 
 	  pdftitle    = {\@title} 
   	}

documents/Numerik/Klausur3/Aufgabe4.tex

@@ -1,2 +1,5 @@
 \section*{Aufgabe 4}
-TODO
+
+\begin{align*}
+	I = \int_0^1 \frac{1}{1+4x} dx = \int_0^{0.5} \frac{1}{1+4x} dx +\int_{0.5}^{1} \frac{1}{1+4x} dx = \\ (0.5 - 0) * \frac{f(0) + f(0.5)}{2} + (1 - 0.5) * \frac{f(1) + f(0.5)}{2} = \frac{7}{15}
+\end{align*}

documents/Numerik/Klausur3/Aufgabe5.tex

@@ -1,2 +1,17 @@
 \section*{Aufgabe 5}
-TODO
+\subsection*{Teilaufgabe a}
+Eine Quadraturformel $(b_i, c_i)_{i=1, \dots, s}$ hat die Ordnung
+$p$, falls sie exakte Lösungen für alle Polynome vom Grad $\leq p -1$
+liefert.
+
+\subsection*{Teilaufgabe b}
+Für die ersten 3. Ordnungsbedingungen gilt:
+
+\begin{align*}
+	1 = \sum_{i = 0}^{s} b_i \\
+ 	\frac{1}{2} = \sum_{i = 0}^{s} b_i * c_i \\
+ 	\frac{1}{3} = \sum_{i = 0}^{s} b_i * c_i^2
+\end{align*}
+
+\subsection*{Teilaufgabe c}
+Da die Ordnung 4 gewünscht ist müssen nach VL die Knoten der QF symmetrisch sein. Damit folgt sofort $c_2 = \frac{1}{2}$. Sind die Knoten gewählt, so sind die Gewichte eindeutig bestimmt. Die Berechnung erfolgt mit den Lagrangepolynomen. Es gilt $b_0 = b_2 = \frac{1}{6}, b_1 = \frac{4}{6}$. Entweder man setzt alles in die 4. Ordnungsbedingung ein oder aber argumentiert, dass es sich hierbei um die Simpson-Regel handelt und diese die Ordnung 4 hat.

documents/Numerik/Klausur3/Klausur3.tex

@@ -26,7 +26,7 @@
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