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@@ -648,21 +648,21 @@ Wenn $\pi_1(X,x) = \Set{e}$ für ein $x \in X$ gilt, dann wegen
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\end{beweis}
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\begin{bemerkung}[Eindeutigkeit des Überlagerungsgrades]\label{kor:12.4}%Bemerkung 12.4 der Vorlesung
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- Sei $p: Y \rightarrow X$ Überlagerung, $x_1, x_2 \in X$.
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+ Sei $p: Y \rightarrow X$ Überlagerung. Dann gilt:
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- Dann ist $|p^{-1} (x_1)| = |p^{-1}(x_2)|$.
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+ \[\forall x_1, x_2 \in X: |p^{-1} (x_1)| = |p^{-1}(x_2)|\]
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\end{bemerkung}
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\underline{Hinweis:} $|p^{-1} (x_1)| = \infty$ ist erlaubt!
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\begin{beweis}
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Sei $U$ Umgebung von $x_1$ wie in \cref{def:12.1}, $x \in U$.
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- Dann enthält jedes $V_j, j \in I_X$ genau ein Element von
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- $p^{-1}(x)$
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+ Dann enthält jedes $V_j$ mit $j \in I$ genau ein Element von
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+ $p^{-1}(x)$.
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- $\Rightarrow |p^{-1} (x)|$ ist konstant auf $U$
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+ $\Rightarrow |p^{-1} (x)|$ ist konstant für $x \in U$
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- $\xRightarrow{X \text{zhgd.}} |p^{-1}(x)|$ ist konstant auf $X$
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+ $\xRightarrow{X \text{ zhgd.}} |p^{-1}(x)|$ ist konstant für $x \in X$.
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\end{beweis}
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\begin{definition}\xindex{Liftung}%
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@@ -1045,6 +1045,7 @@ der folgende Satz:
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$f \in \Deck(Y/X)$ mit $f(y_0) = y_1$, denn ist
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$f(y_0) = g(y_0)$, so ist $(g^{-1} \circ f)(y_0) = y_0$,
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also nach \cref{kor:12.14c} $g^{-1} \circ f = \id_Y$.
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+ \item Wenn jemand den Beweis macht, bitte an info@martin-thoma.de schicken.%TODO
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\end{enumerate}
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\end{beweis}
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