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@@ -1,7 +1,7 @@
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% Henriekes Mitschrieb vom 07.11.2013 %
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-\chapter{Mannigfaltigkeiten und Simpizidkomplexe}
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+\chapter{Mannigfaltigkeiten und Simplizialkomplexe}
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\section{Topologische Mannigfaltigkeiten}
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\begin{definition}
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Sei $X$ ein topologischer Raum und $n \in \mdn$.
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@@ -120,7 +120,7 @@
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$Z$ heißt \textbf{Verklebung} von $X$ und $Y$ längs $U$ und $V$.
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$Z$ besitzt einen Atlas aus $n$-dimensionalen Karten.
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- Falls $Z$ hausdoffsch ist, ist $Z$ eine $n$-dimensionale
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+ Falls $Z$ hausdorffsch ist, ist $Z$ eine $n$-dimensionale
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Mannigfaltigkeit.
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\end{definition}
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@@ -352,14 +352,14 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
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\begin{beispiel}
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$f: \mdr \rightarrow \mdr, \;\;\; x \mapsto x^3$ ist kein
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- Diffeomorphismis, aber Homöomorphismus, da mit $g(x) := \sqrt[3]{x}$
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+ Diffeomorphismus, aber Homöomorphismus, da mit $g(x) := \sqrt[3]{x}$
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gilt: $f \circ g = \id_\mdr, \;\;\; g \circ f = \id_\text{\mdr}$
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\end{beispiel}
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\begin{bemerkung}
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Sei $X$ eine glatte Mannigfaltigkeit. Dann ist
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- \[\text{Diffeo}(X) := \Set{f:X \rightarrow X | f \text{ ist Diffeomorphismus}}\]
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- eine Untergruppe von $\text{Homöo}(X)$.
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+ \[\Diffeo(X) := \Set{f:X \rightarrow X | f \text{ ist Diffeomorphismus}}\]
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+ eine Untergruppe von $\Homoo(X)$.
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\end{bemerkung}
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\begin{definition}
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@@ -390,7 +390,7 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
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\begin{figure}
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\centering
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- \subfloat[Kugelkooridnaten]{
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+ \subfloat[Kugelkoordinaten]{
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\includegraphics[width=0.45\linewidth, keepaspectratio]{figures/spherical-coordinates.pdf}
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\label{fig:spherical-coordinates}
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}%
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@@ -399,7 +399,7 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
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\label{fig:solid-of-revolution}
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}%
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- \subfloat[Sinus und Cosinus haben keine gemeinsamme Nullstelle]{
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+ \subfloat[Sinus und Kosinus haben keine gemeinsame Nullstelle]{
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\includegraphics[width=0.8\linewidth, keepaspectratio]{figures/sin-cos.pdf}
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\label{fig:sin-cos}
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}%
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@@ -445,7 +445,7 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
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\end{korollar}
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\begin{beweis}
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- \todo{Hier muss ich nochmals drüberlesen.}
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+ \todo{Hier muss ich nochmals drüber lesen.}
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\underline{z.Z.:} $F_j^{-1} \circ F_i$ ist Diffeomorphismus
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\begin{figure}[htp]
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@@ -526,11 +526,11 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
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a_{n1} & \dots & a_{nn}
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\end{pmatrix} \in \mdr^{(n-1) \times (n-1)}\]
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- ist diffbar.
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+ ist differenzierbar.
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$\det A_{ij}$ kann $0$ werden, da:
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\[\begin{pmatrix}1 & 1\\-1&0\end{pmatrix}\]
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- \item $\SL_n(\mdr) = \Set{A \in \GL_n(\mdr) | \text{det}(A) = 1} $ \todo{Besser strukturieren}
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+ \item $\SL_n(\mdr) = \Set{A \in \GL_n(\mdr) | \det(A) = 1} $ \todo{Besser strukturieren}
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$\grad(\det-1)(A) = 0$?
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@@ -557,23 +557,23 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
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\item $v_0, \dots, v_k$ sind \textbf{in allgemeiner Lage} $\gdw$ es gibt keinen $(k-1)$-dimensionalen
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affinen Untervektorraum, der $v_0, \dots, v_k$ enthält
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\gdw $v_1 - v_0, \dots, v_k - v_0$ sind linear abhängig.
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- \item $\text{conv}(v_0, \dots, v_k) = \Set{\sum_{i=0}^k \lambda_i v_i | \lambda_i \geq 0, \sum_{i=0}^k \lambda_i = 1} $
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+ \item $\conv(v_0, \dots, v_k) = \Set{\sum_{i=0}^k \lambda_i v_i | \lambda_i \geq 0, \sum_{i=0}^k \lambda_i = 1} $
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\end{enumerate}
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\end{definition}
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\begin{definition}
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\begin{enumerate}[label=\alph*),ref=\theplaindefinition.\alph*]
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- \item Sei $\Delta^k = \text{conv}(e_0, \dots, e_k) \subseteq \mdr^{n+1}$
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+ \item Sei $\Delta^k = \conv(e_0, \dots, e_k) \subseteq \mdr^{n+1}$
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die konvexe Hülle der Standard-Basisvektoren $e_0, \dots, e_k$.
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Dann heißt $\Delta^k$ \textbf{Standard-Simplex}\xindex{Standard-Simplex}
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und $k$ die Dimension des Simplex.
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\item Für Punkte $v_0, \dots, v_k$ im $\mdr^n$ in allgemeiner
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- Lage heißt $\delta (v_0, \dots, v_k) = \text{conv}(v_0, \dots, v_k)$
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+ Lage heißt $\delta (v_0, \dots, v_k) = \conv(v_0, \dots, v_k)$
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ein \textbf{$k$-Simplex}\xindex{Simplex} in $\mdr^n$.
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\item Ist $\Delta (v_0, \dots, v_k)$ ein $k$-Simplex und
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$I = \Set{i_0, \dots, i_r} \subseteq \Set{0, \dots, k}$,
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- so heißt $s_{i_0, \dots, i_r} := \text{conv}(v_{i_0}, \dots, v_{i_r})$
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+ so heißt $s_{i_0, \dots, i_r} := \conv(v_{i_0}, \dots, v_{i_r})$
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\textbf{Teilsimplex}\xindex{Teilsimplex} oder \textbf{Seite}\xindex{Seite}
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von $\Delta$.
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@@ -613,15 +613,15 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
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\item Eine endliche Menge $K$ von Simplizes im $\mdr^n$
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heißt (endlicher) \textbf{Simplizialkomplex}\xindex{Simplizialkomplex},
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wenn gilt:
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- \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
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+ \begin{enumerate}[label=(\roman*),ref=\theenumii.\roman*]
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\item Für $\Delta \in K$ und $S \subseteq \Delta$ Teilsimplex
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ist $S \in K$
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\item Für $\Delta_1, \Delta_2 \in K$ ist
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- $\Delta_1 \cap \Delta_2$ leer
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- oder ein Teilsimplex von $\Delta_1$ und von
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- $\Delta_2$
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+ $\Delta_1 \cap \Delta_2$ leer oder ein
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+ Teilsimplex von $\Delta_1$ und von
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+ $\Delta_2$ \label{def:simplizialkomplex.ii}
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\end{enumerate}
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- \item $|K| := \bigcup_{\Delta \in K} \Delta$ (mit Spurtoplogie)
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+ \item $|K| := \bigcup_{\Delta \in K} \Delta$ (mit Spurtopologie)
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heißt \textbf{geometrische Realisierung}\xindex{Realisierung!geometrische}
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von $K$.
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\item Ist $d = \max \Set{ k | K \text{ enthält } k-\text{Simplex}}$,
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@@ -655,7 +655,7 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
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\label{fig:simplizialkomplex-cube-divided}
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}
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- \subfloat[$P$ ist kein Teilsimplex, da Eigenschaft (ii) verletzt ist]{
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+ \subfloat[$P$ ist kein Teilsimplex, da Eigenschaft \ref{def:simplizialkomplex.ii} verletzt ist]{
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\parbox[c][4cm]{5cm}{\centering\input{figures/topology-triangle-no-simplicial-complex.tex}}
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\label{fig:no-simplizialkomplex-triangles}
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}%
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@@ -852,7 +852,7 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
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\end{beweis}
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\begin{korollar}[Der Rand vom Rand ist 0]\label{kor:9.11}
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- Sei $K$ ein \todo{Warum in Klammern?}{(endlicher)} Simplizialkomplex mit Eckenmenge $V$
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+ Sei $K$ ein \todo{Warum in Klammern?}{(endlicher)} Simplizialkomplex mit Knotenmenge $V$
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und $<$ eine Totalordnung auf $V$.
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Sei $A_n$ die Menge der $n$-Simplizes in $K$, d.~h.
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