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@@ -102,5 +102,152 @@ U_i = \Set{(x_0: \dots : x_n) \in \mdp^n(\mdr) | x_i \neq 0} &\rightarrow \mdr^n
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\end{enumerate}
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\end{beispiel}
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+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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+% Mitschrieb vom 14.11.2013 %
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+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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+\begin{definition}\xindex{Verklebung}
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+ Seien $X, Y$ $n$-dimensionale Mannigfaltigkeiten, $U \subseteq X$
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+ und $V \subseteq Y$ offen, $\Phi: U \rightarrow V$ ein Homöomorphismus
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+ $Z = (X \dcup Y) /_\sim$ mit der von $u \sim \Phi(u) \forall{u \in U}$
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+ erzeugten Äquivalenzrelation und der von $\sim$ induzierten
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+ Quotiententopologie.
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+
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+ $Z$ heißt \textbf{Verklebung} von $X$ und $Y$ längs $U$ und $V$.
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+ $Z$ besitzt einen Atlas aus $n$-dimensionalen Karten.
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+ Falls $Z$ hausdoffsch ist, ist $Z$ eine $n$-dimensionale
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+ Mannigfaltigkeit.
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+\end{definition}
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+
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+\todo[inline]{Bilder mit Verklebung einfügen}
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+
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+\begin{korollar}
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+ Sind $X, Y$ Mannigfaltigkeiten der Dimension $n$ bzw. $m$, so ist
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+ $X \times Y$ eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n+m$.
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+\end{korollar}
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+
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+\begin{beweis}
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+ Produkte von Karten sind Karten. $\qed$
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+\end{beweis}
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+
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+\begin{beispiel}
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+ Mannigfaltigkeiten mit Dimension 1:
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+ \begin{enumerate}[label=\arabic*)]
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+ \item Offene Intervalle, $\mdr$, $(0,1)$ sind alle homöomorph
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+ \item $S^1$
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+ \end{enumerate}
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+
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+ Mannigfaltigkeiten mit Dimension 2:
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+ \begin{enumerate}[label=\arabic*)]
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+ \item $\mdr^2$
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+ \item $S^2$ (0 Henkel)
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+ \item $T^2$ (1 Henkel)
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+ \item oder mehr Henkel, wie z.B. der Zweifachtorus in Abb. \ref{fig:double-torus}
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+ \end{enumerate}
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+
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+ \begin{figure}
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+ \centering
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+ \includegraphics[width=0.2\linewidth, keepaspectratio]{figures/Double-torus-illustration.png}
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+ \caption{Zweifachtorus}
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+ \label{fig:double-torus}
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+ \end{figure}
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+\end{beispiel}
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+
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+\begin{korollar}
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+ Sei $n \in \mdn, F:\mdr^n \rightarrow \mdr$ stetig differenzierbar
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+ und $X = V(F) := \Set{x \in \mdr^n | F(x) = 0}$ das \enquote{vanishing set}.
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+
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+ Dann gilt:
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+ \begin{enumerate}[label=\alph*)]
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+ \item $X$ ist abgeschlossen in $\mdr^n$
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+ \item Ist $\text{grad}(F)(X) \neq 0 \forall{x \in X}$, so ist
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+ $X$ eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$. \label{Mannigfaltigkeitskriterium}
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+ \end{enumerate}
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+\end{korollar}
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+
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+\begin{beweis}
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+ \begin{enumerate}[label=\alph*),ref=\theplaindefinition.\alph*]
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+ \item Sei $y \in \mdr^n \setminus V(F)$. Weil $F$ stetig ist,
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+ gibt es $\delta > 0$, sodass $F(\fB_\delta(y)) \subseteq \fB_\varepsilon(F(y))$
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+ mit $\varepsilon = \frac{1}{2} \|F(y)\|$. Folgt
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+ $\fB_\delta(y) \cap V(F) = \emptyset \Rightarrow \mdr^n \setminus V(F)$
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+ ist offen.
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+ \item Sei $x \in X$ mit $\text{grad}(F)(x) \neq 0$, also
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+ \obda $\frac{\partial F}{\partial X_1} (x) \neq 0$,
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+ $x = (x_1, \dots, x_n)$, $x' := (x_2, \dots, x_n) \in \mdr^{n-1}$.
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+ Der Satz von der impliziten Funktion liefert nun:
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+ Es gibt Umgebungen $U$ von $x'$ und differenzierbare
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+ Funktionen $g: U \rightarrow \mdr$, sodass
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+ $G: U \rightarrow \mdr^n, \; u \mapsto (g(u), u)$
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+ eine stetige Abbildung auf eine offene Umgebung $V$ von
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+ $x$ in $X$ ist.
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+ \end{enumerate}
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+ $\qed$
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+\end{beweis}
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+
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+\begin{beispiel}\xindex{Neilsche Parabel}
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+ \begin{enumerate}[label=\alph*)]
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+ \item $F: \mdr^3 \rightarrow \mdr,\;\;\; (x, y, z) \mapsto x^2 + y^2 + z^2 - 1$,
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+ $V(F) = S^2$, $\text{grad}(F) = (2x, 2y, 2z) \xRightarrow{\ref{Mannigfaltigkeitskriterium}} S^n$
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+ ist $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit in $\mdr^{n+1}$
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+ \item $F: \mdr^2 \rightarrow \mdr, \;\;\; (x,y) \mapsto y^2 - x^3$
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+ \begin{figure}[ht]
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+ \centering
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+ \subfloat[$F(x,y) = y^2 - x^3$]{
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+ \input{figures/3d-function-semicubical-parabola.tex}
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+ \label{fig:semicubical-parabola-2d}
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+ }%
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+ \subfloat[$y^2 - ax^3 = 0$]{
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+ \input{figures/2d-semicubical-parabola.tex}
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+ \label{fig:semicubical-parabola-3d}
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+ }%
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+ \label{Neilsche-Parabel}
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+ \caption{Rechts ist die Neilsche Parabel für verschiedene Parameter $a$.}
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+ \end{figure}
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+ Es gilt: $\text{grad}(F) = (-3x^2, 2y)$. Also: $\text{grad}(0,0) = (0,0)$.
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+ Daher ist Korollar \label{Mannigfaltigkeitskriterium}
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+ nicht anwendbar, aber $V(F)$ ist trotzdem
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+ eine 1-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit.
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+ \end{enumerate}
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+\end{beispiel}
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+
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+\begin{definition}\textbf{Mannigfaltigkeit!mit Rand}
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+ Sei $X$ ein Hausdorffraum mit abzählbarer Basis der Topologie.
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+ $X$ heißt $n$-dimensionale \textbf{Mannigfaltigkeit mit Rand},
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+ wenn es einen Atlas $(U_i, \varphi_i)$ gibt, wobei $U_i \subseteq X_i$
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+ offen und $\varphi_i$ ein Homöomorphismus auf eine offene
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+ Teilmenge von
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+ \[R_{+,0}^n := \Set{(x_1, \dots, x_n) \in \mdr^n | x_m \geq 0}\]
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+ ist. $R_{+,0}^n$ ist ein \enquote{Halbraum}.
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+\end{definition}
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+
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+\begin{beispiel}
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+ \todo[inline]{Viele Bilder: Pair of pants, sphere with a hole, halbraum...}
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+\end{beispiel}
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+
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+\begin{definition}\xindex{Rand}
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+ Sei $X$ eine $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit mit Rand und
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+ Atlas $(U_i, \varphi_i)$. Dann heißt
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+ \[\partial X := \bigcup_{i\in I} \Set{x \in U_i | \varphi_i (x)_n = 0}\]
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+ \textbf{Rand} von $X$.
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+\end{definition}
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+
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+$\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
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+
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+\begin{definition}\xindex{Kartenwechsel}\xindex{bergangsfunktion}
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+ Sei $X$ eine $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit mit Atlas
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+ $(U_i, \varphi_i)_{i \in I}$
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+
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+ \begin{enumerate}[label=\alph*)]
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+ \item Für $i, j \in I$ mit $U_i, U_j \neq \emptyset$ heißt
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+ \begin{align*}
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+ \varphi_{ij} &:= \varphi_j \circ \varphi_i^{-1}\\
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+ \varphi_i (U_i \cap U_j) &\rightarrow \varphi_j (U_i \cap U_j)
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+ \end{align*}
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+ \textbf{Kartenwechsel} oder \textbf{Übergangsfunktion}.
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+ \end{enumerate}
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+\end{definition}
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+
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+\todo[inline]{Bilder mit Verklebung einfügen}
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+
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% Die Übungsaufgaben sollen ganz am Ende des Kapitels sein.
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\input{Kapitel2-UB}
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