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Vorlesung vom 14.11.2013 digitalisiert

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二进制
documents/GeoTopo/GeoTopo.pdf


+ 147 - 0
documents/GeoTopo/Kapitel2.tex

@@ -102,5 +102,152 @@ U_i = \Set{(x_0: \dots : x_n) \in \mdp^n(\mdr) | x_i \neq 0} &\rightarrow \mdr^n
     \end{enumerate}
 \end{beispiel}
 
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+% Mitschrieb vom 14.11.2013                                         %
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\begin{definition}\xindex{Verklebung}
+    Seien $X, Y$ $n$-dimensionale Mannigfaltigkeiten, $U \subseteq X$
+    und $V \subseteq Y$ offen, $\Phi: U \rightarrow V$ ein Homöomorphismus
+    $Z = (X \dcup Y) /_\sim$ mit der von $u \sim \Phi(u) \forall{u \in U}$
+    erzeugten Äquivalenzrelation und der von $\sim$ induzierten 
+    Quotiententopologie.
+
+    $Z$ heißt \textbf{Verklebung} von $X$ und $Y$ längs $U$ und $V$.
+    $Z$ besitzt einen Atlas aus $n$-dimensionalen Karten.
+    Falls $Z$ hausdoffsch ist, ist $Z$ eine $n$-dimensionale 
+    Mannigfaltigkeit.
+\end{definition}
+
+\todo[inline]{Bilder mit Verklebung einfügen}
+
+\begin{korollar}
+    Sind $X, Y$ Mannigfaltigkeiten der Dimension $n$ bzw. $m$, so ist
+    $X \times Y$ eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n+m$.
+\end{korollar}
+
+\begin{beweis}
+    Produkte von Karten sind Karten. $\qed$
+\end{beweis}
+
+\begin{beispiel}
+    Mannigfaltigkeiten mit Dimension 1:
+    \begin{enumerate}[label=\arabic*)]
+        \item Offene Intervalle, $\mdr$, $(0,1)$ sind alle homöomorph
+        \item $S^1$
+    \end{enumerate}
+
+    Mannigfaltigkeiten mit Dimension 2:
+    \begin{enumerate}[label=\arabic*)]
+        \item $\mdr^2$
+        \item $S^2$ (0 Henkel)
+        \item $T^2$ (1 Henkel)
+        \item oder mehr Henkel, wie z.B. der Zweifachtorus in Abb. \ref{fig:double-torus}
+    \end{enumerate}
+
+    \begin{figure}
+        \centering
+        \includegraphics[width=0.2\linewidth, keepaspectratio]{figures/Double-torus-illustration.png}
+        \caption{Zweifachtorus}
+        \label{fig:double-torus}
+    \end{figure}
+\end{beispiel}
+
+\begin{korollar}
+    Sei $n \in \mdn, F:\mdr^n \rightarrow \mdr$ stetig differenzierbar
+    und $X = V(F) := \Set{x \in \mdr^n | F(x) = 0}$ das \enquote{vanishing set}.
+
+    Dann gilt:
+    \begin{enumerate}[label=\alph*)]
+        \item $X$ ist abgeschlossen in $\mdr^n$
+        \item Ist $\text{grad}(F)(X) \neq 0 \forall{x \in X}$, so ist
+              $X$ eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.  \label{Mannigfaltigkeitskriterium}
+    \end{enumerate}
+\end{korollar}
+
+\begin{beweis}
+    \begin{enumerate}[label=\alph*),ref=\theplaindefinition.\alph*]
+        \item Sei $y \in \mdr^n \setminus V(F)$. Weil $F$ stetig ist,
+              gibt es $\delta > 0$, sodass $F(\fB_\delta(y)) \subseteq \fB_\varepsilon(F(y))$
+              mit $\varepsilon = \frac{1}{2} \|F(y)\|$. Folgt
+              $\fB_\delta(y) \cap V(F) = \emptyset \Rightarrow \mdr^n \setminus V(F)$
+              ist offen.
+        \item Sei $x \in X$ mit $\text{grad}(F)(x) \neq 0$, also
+              \obda $\frac{\partial F}{\partial X_1} (x) \neq 0$,
+              $x = (x_1, \dots, x_n)$, $x' := (x_2, \dots, x_n) \in \mdr^{n-1}$.
+              Der Satz von der impliziten Funktion liefert nun:
+              Es gibt Umgebungen $U$ von $x'$ und differenzierbare
+              Funktionen $g: U \rightarrow \mdr$, sodass
+              $G: U \rightarrow \mdr^n, \; u \mapsto (g(u), u)$
+              eine stetige Abbildung auf eine offene Umgebung $V$ von
+              $x$ in $X$ ist.
+    \end{enumerate}  
+    $\qed$
+\end{beweis}
+
+\begin{beispiel}\xindex{Neilsche Parabel}
+    \begin{enumerate}[label=\alph*)]
+        \item $F: \mdr^3 \rightarrow \mdr,\;\;\; (x, y, z) \mapsto x^2 + y^2 + z^2 - 1$,
+              $V(F) = S^2$, $\text{grad}(F) = (2x, 2y, 2z) \xRightarrow{\ref{Mannigfaltigkeitskriterium}} S^n$
+              ist $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit in $\mdr^{n+1}$
+        \item $F: \mdr^2 \rightarrow \mdr, \;\;\; (x,y) \mapsto y^2 - x^3$
+            \begin{figure}[ht]
+                \centering
+                \subfloat[$F(x,y) = y^2 - x^3$]{
+                    \input{figures/3d-function-semicubical-parabola.tex}
+                    \label{fig:semicubical-parabola-2d}
+                }%
+                \subfloat[$y^2 - ax^3 = 0$]{
+                    \input{figures/2d-semicubical-parabola.tex}
+                    \label{fig:semicubical-parabola-3d}
+                }%
+                \label{Neilsche-Parabel}
+                \caption{Rechts ist die Neilsche Parabel für verschiedene Parameter $a$.}
+            \end{figure}
+              Es gilt: $\text{grad}(F) = (-3x^2, 2y)$. Also: $\text{grad}(0,0) = (0,0)$.
+              Daher ist Korollar \label{Mannigfaltigkeitskriterium}
+              nicht anwendbar, aber $V(F)$ ist trotzdem
+              eine 1-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit.
+    \end{enumerate}
+\end{beispiel}
+
+\begin{definition}\textbf{Mannigfaltigkeit!mit Rand}
+    Sei $X$ ein Hausdorffraum mit abzählbarer Basis der Topologie.
+    $X$ heißt $n$-dimensionale \textbf{Mannigfaltigkeit mit Rand},
+    wenn es einen Atlas $(U_i, \varphi_i)$ gibt, wobei $U_i \subseteq X_i$
+    offen und $\varphi_i$ ein Homöomorphismus auf eine offene 
+    Teilmenge von 
+    \[R_{+,0}^n := \Set{(x_1, \dots, x_n) \in \mdr^n | x_m \geq 0}\]
+    ist. $R_{+,0}^n$ ist ein \enquote{Halbraum}.
+\end{definition}
+
+\begin{beispiel}
+    \todo[inline]{Viele Bilder: Pair of pants, sphere with a hole, halbraum...}
+\end{beispiel}
+
+\begin{definition}\xindex{Rand}
+    Sei $X$ eine $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit mit Rand und
+    Atlas $(U_i, \varphi_i)$. Dann heißt 
+    \[\partial X := \bigcup_{i\in I} \Set{x \in U_i | \varphi_i (x)_n = 0}\]
+    \textbf{Rand} von $X$.
+\end{definition}
+
+$\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
+
+\begin{definition}\xindex{Kartenwechsel}\xindex{bergangsfunktion}
+    Sei $X$ eine $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit mit Atlas
+    $(U_i, \varphi_i)_{i \in I}$
+
+    \begin{enumerate}[label=\alph*)]
+        \item Für $i, j \in I$ mit $U_i, U_j \neq \emptyset$ heißt
+              \begin{align*}
+                \varphi_{ij} &:= \varphi_j \circ \varphi_i^{-1}\\
+                \varphi_i (U_i \cap U_j) &\rightarrow \varphi_j (U_i \cap U_j)
+              \end{align*}
+              \textbf{Kartenwechsel} oder \textbf{Übergangsfunktion}.
+    \end{enumerate}
+\end{definition}
+
+\todo[inline]{Bilder mit Verklebung einfügen}
+
 % Die Übungsaufgaben sollen ganz am Ende des Kapitels sein.
 \input{Kapitel2-UB}

+ 21 - 0
documents/GeoTopo/Symbolverzeichnis.tex

@@ -65,6 +65,27 @@
   sort=MengenoperationNSetminus
 }
 
+\newglossaryentry{cup}
+{
+  name={\ensuremath{A \cup B}},
+  description={Vereinigung},
+  sort=MengenoperationOCup
+}
+
+\newglossaryentry{dcup}
+{
+  name={\ensuremath{A \dcup B}},
+  description={Disjunkte Vereinigung},
+  sort=MengenoperationOCupD
+}
+
+\newglossaryentry{cap}
+{
+  name={\ensuremath{A \cap B}},
+  description={Schnitt},
+  sort=MengenoperationOCap
+}
+
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 % Zahlenmengen                                                      %
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

+ 32 - 0
documents/GeoTopo/figures/2d-semicubical-parabola.tex

@@ -0,0 +1,32 @@
+\begin{tikzpicture}
+    \begin{axis}[
+        legend pos=south east,
+        axis x line=middle,
+        axis y line=middle,
+        grid = major,
+        %width=9cm,
+        %height=4.5cm,
+        grid style={dashed, gray!30},
+        xmin= 0,     % start the diagram at this x-coordinate
+        xmax= 12,    % end   the diagram at this x-coordinate
+        ymin=-10,     % start the diagram at this y-coordinate
+        ymax= 10,   % end   the diagram at this y-coordinate
+        %axis background/.style={fill=white},
+        xlabel=$x$,
+        ylabel=$y$,
+        %xticklabels={-2,-1.6,...,7},
+        tick align=outside,
+        %minor tick num=-3,
+        enlargelimits=true]
+      \addplot[domain=0:12, red, thick,samples=500] {1/3*x^1.5}; 
+      \addplot[domain=0:12, orange, thick,samples=500] {1*x^1.5}; 
+      \addplot[domain=0:12, blue, thick,samples=500] {2*x^1.5}; 
+
+      \addplot[domain=0:12, red, thick,samples=500] {-1/3*x^1.5}; 
+      \addplot[domain=0:12, orange, thick,samples=500] {-1*x^1.5}; 
+      \addplot[domain=0:12, blue, thick,samples=500] {-2*x^1.5}; 
+      \addlegendentry{$a=\frac{1}{3}$}
+      \addlegendentry{$a=1$}
+      \addlegendentry{$a=2$}
+    \end{axis} 
+\end{tikzpicture}

+ 31 - 0
documents/GeoTopo/figures/3d-function-semicubical-parabola.tex

@@ -0,0 +1,31 @@
+\pgfplotsset{
+    colormap={whitered}{
+        color(0cm)=(white);
+        color(1cm)=(orange!75!red)
+    }
+}
+\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
+    \begin{axis}[
+    colormap name=whitered,
+    width=15cm,
+    view={155}{45},
+    enlargelimits=false,
+    grid=major,
+    domain=-5:5,
+    y domain=-5:5,
+    samples=56, %57 : TeX capacity exceeded, sorry [main memory size=3000000].
+                % see also http://tex.stackexchange.com/a/7954/5645
+    xlabel=$x$,
+    ylabel=$y$,
+    zlabel={$z$},
+    colorbar,
+    colorbar style={
+        at={(-0.1,0)},
+        anchor=south west,
+        height=0.25*\pgfkeysvalueof{/pgfplots/parent axis height},
+        title={$f(x,y)$}
+    }
+    ]
+      \addplot3[surf] {y*y-x*x*x};
+    \end{axis} 
+\end{tikzpicture}

二进制
documents/GeoTopo/figures/Double-torus-illustration.png


+ 3 - 0
documents/GeoTopo/shortcuts.sty

@@ -62,4 +62,7 @@
 
 \def\GL{\ensuremath{\mathrm{GL}}}
 \newcommand\mapsfrom{\mathrel{\reflectbox{\ensuremath{\mapsto}}}}
+\newcommand\dcup{\mathbin{\dot{\cup}}}
+\newcommand\obda{o.~B.~d.~A.}
+
 

+ 39 - 0
tikz/3d-function-semicubical-parabola/2d-semicubical-parabola.tex

@@ -0,0 +1,39 @@
+\documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone}
+
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{tikz}
+
+\begin{document}
+\begin{tikzpicture}
+    \begin{axis}[
+        legend pos=south east,
+        axis x line=middle,
+        axis y line=middle,
+        grid = major,
+        %width=9cm,
+        %height=4.5cm,
+        grid style={dashed, gray!30},
+        xmin= 0,     % start the diagram at this x-coordinate
+        xmax= 12,    % end   the diagram at this x-coordinate
+        ymin=-10,     % start the diagram at this y-coordinate
+        ymax= 10,   % end   the diagram at this y-coordinate
+        %axis background/.style={fill=white},
+        xlabel=$x$,
+        ylabel=$y$,
+        %xticklabels={-2,-1.6,...,7},
+        tick align=outside,
+        %minor tick num=-3,
+        enlargelimits=true]
+      \addplot[domain=0:12, red, thick,samples=500] {1/3*x^1.5}; 
+      \addplot[domain=0:12, orange, thick,samples=500] {1*x^1.5}; 
+      \addplot[domain=0:12, blue, thick,samples=500] {2*x^1.5}; 
+
+      \addplot[domain=0:12, red, thick,samples=500] {-1/3*x^1.5}; 
+      \addplot[domain=0:12, orange, thick,samples=500] {-1*x^1.5}; 
+      \addplot[domain=0:12, blue, thick,samples=500] {-2*x^1.5}; 
+      \addlegendentry{$a=\frac{1}{3}$}
+      \addlegendentry{$a=1$}
+      \addlegendentry{$a=2$}
+    \end{axis} 
+\end{tikzpicture}
+\end{document}

二进制
tikz/3d-function-semicubical-parabola/3d-function-semicubical-parabola.png


+ 41 - 0
tikz/3d-function-semicubical-parabola/3d-function-semicubical-parabola.tex

@@ -0,0 +1,41 @@
+\documentclass{article}
+\usepackage[pdftex,active,tightpage]{preview}
+\setlength\PreviewBorder{2mm}
+\usepackage{pgfplots}
+\pgfplotsset{compat=1.9}
+
+\begin{document}
+\begin{preview}
+\pgfplotsset{
+    colormap={whitered}{
+        color(0cm)=(white);
+        color(1cm)=(orange!75!red)
+    }
+}
+\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
+    \begin{axis}[
+    colormap name=whitered,
+    width=6cm,
+    view={155}{45},
+    enlargelimits=false,
+    grid=major,
+    domain=-5:5,
+    y domain=-5:5,
+    samples=56, %57 : TeX capacity exceeded, sorry [main memory size=3000000].
+                % see also http://tex.stackexchange.com/a/7954/5645
+    xlabel=$x$,
+    ylabel=$y$,
+    zlabel={$z$},
+    colorbar,
+    colorbar style={
+        at={(-0.1,0)},
+        anchor=south west,
+        height=0.25*\pgfkeysvalueof{/pgfplots/parent axis height},
+        title={$f(x,y)$}
+    }
+    ]
+      \addplot3[surf] {y*y-x*x*x};
+    \end{axis} 
+\end{tikzpicture}
+\end{preview}
+\end{document}

+ 35 - 0
tikz/3d-function-semicubical-parabola/Makefile

@@ -0,0 +1,35 @@
+SOURCE = 3d-function-semicubical-parabola
+DELAY = 80
+DENSITY = 300
+WIDTH = 512
+
+make:
+	pdflatex $(SOURCE).tex -output-format=pdf
+	make clean
+
+clean:
+	rm -rf  $(TARGET) *.class *.html *.log *.aux *.data *.gnuplot
+
+gif:
+	pdfcrop $(SOURCE).pdf
+	convert -verbose -delay $(DELAY) -loop 0 -density $(DENSITY) $(SOURCE)-crop.pdf $(SOURCE).gif
+	make clean
+
+png:
+	make
+	make svg
+	inkscape $(SOURCE).svg -w $(WIDTH) --export-png=$(SOURCE).png
+
+transparentGif:
+	convert $(SOURCE).pdf -transparent white result.gif
+	make clean
+
+svg:
+	make
+	#inkscape $(SOURCE).pdf --export-plain-svg=$(SOURCE).svg
+	pdf2svg $(SOURCE).pdf $(SOURCE).svg
+	# Necessary, as pdf2svg does not always create valid svgs:
+	inkscape $(SOURCE).svg --export-plain-svg=$(SOURCE).svg
+	rsvg-convert -a -w $(WIDTH) -f svg $(SOURCE).svg -o $(SOURCE)2.svg
+	inkscape $(SOURCE)2.svg --export-plain-svg=$(SOURCE).svg
+	rm $(SOURCE)2.svg

+ 3 - 0
tikz/3d-function-semicubical-parabola/Readme.md

@@ -0,0 +1,3 @@
+Compiled example
+----------------
+![Example](3d-function-semicubical-parabola.png)