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documents/facharbeit-rsa/Kapitel-2.tex

@@ -16,4 +16,4 @@ Primfaktoren. Falls es keinen besseren Algorithmus zur Faktorisierung
 als zur Multiplikation gibt, ist diese Annahme korrekt. Nach dem 
 Stand von 2009 ist dies der Fall.
 
-Weitere Hinweise zur Sicherheit des RSA-Kryptosystems sind in Kapitel 7.4 zu finden. % TODO link zu kapitel 7.4
+Weitere Hinweise zur Sicherheit des RSA-Kryptosystems sind in \cref{sec:Security} zu finden.

documents/facharbeit-rsa/Kapitel-4.tex

@@ -1,4 +1,4 @@
-\section{Eulersche $\varphi$-Funktion}
+\section{Eulersche $\varphi$-Funktion}\label{sec:Eulersche-Phi-Funktion}
 Die Eulersche $\varphi$-Funktion gibt für jede natürliche Zahl $n$ an, 
 wie viele positive ganze Zahlen $a \leq n $ zu ihr relativ prim sind\footnote{[Brill], S. 148}.
 $a$ ist zu $n$ relativ prim, wenn $ggT(a,n) = 1$ gilt, also wenn $a$ 
@@ -6,7 +6,7 @@ und $n$ keinen größeren gemeinsamen Teiler als $1$ haben. Man sagt
 auch "`a und b sind teilerfremd"'.
 
 $\varphi(n)$ ist zugleich die Ordnung der multiplikativen Gruppe $(\mathbb{Z}/n \mathbb{Z})^*$. 
-$\varphi(n)$ gibt also an, wie viele Zahlen im Restklassenring modulo $n$ ein multiplikativ Inverses haben. Mehr dazu in Kapitel 6.	% TODO
+$\varphi(n)$ gibt also an, wie viele Zahlen im Restklassenring modulo $n$ ein multiplikativ Inverses haben. Mehr dazu in \cref{sec:Multiplikativ-Inverses}
 
 Für Primzahlen gilt $\varphi(p) = p - 1$ , da eine Primzahl nur 
 durch sich und eins teilbar ist. Sei $A$ die multiplikative Gruppe 

documents/facharbeit-rsa/Kapitel-5.tex

@@ -18,13 +18,14 @@ Seien $m_1, m_2, ..., m_n$ paarweise teilerfremde natürliche Zahlen und
 $a_1, a_2, \dots, a_n$ ganze Zahlen.
 
 Dann ist das System linearer Kongruenzen
+\vspace{-0.4cm}
 \[x \equiv a_1 \imod{m_1},\;\;\; x \equiv a_2 \imod{m_2},\;\;\;\dots,\;\;\; x \equiv a_n \imod{m_n}\]
 lösbar. Alle Lösungen des Systems liegen in einer gemeinsamen
  Restklasse modulo $M=\prod_{i = 1}^n m_i$
 \end{mdframed}
 
 \textbf{Beweis nach [Reiss], S. 221f:}
-\begin{enumerate}[label=(\Roman{*}),labelsep=2em]
+\begin{enumerate}[label=(\Roman{*}),labelsep=0.5em,noitemsep]
     \item $M_j = \frac{M}{m_j}$ für $j = 1, \dots, n$
     \item $y_j \cdot M_j \equiv 1 \imod{m_j}$, $y_j$ mit dem erweitertem Euklidischem Algorithmus bestimmen
     \item $a_j \cdot y_j \cdot M_j \equiv a_j \imod{m_j}$ für $j = 1, \dots, n$\\

documents/facharbeit-rsa/Kapitel-6.tex

@@ -1,4 +1,4 @@
-\section{Multiplikativ inverses Element}
+\section{Multiplikativ inverses Element}\label{sec:Multiplikativ-Inverses}
 \subsection{Definition und Beispiele}
 Das multiplikativ inverse Element $d$ von $e$ ergibt bei der 
 Multiplikation mit $e$ das neutrale Element der Multiplikation, also 
@@ -46,7 +46,7 @@ Gesucht ist das multiplikativ Inverse $b \in \mathbb{Z} / a \mathbb{Z}$ von $x \
 
 \begin{tabular}{lll}
 \textbf{Schritt 1}: euklidischer Algorithmus & & \textbf{Schritt 2}: nach Rest auflösen\\
-$91=1 \cdot 71 + 21$    & $\rightarrow$     & $21 = 92 - 71$\\
+$91=1 \cdot 71 + 21$ \myDownArrow & $\rightarrow$     & $21 = 92 - 71$ \myUpArrow\\
 $71=3 \cdot 21 + 8$     & $\rightarrow$     & $8 = 71 - 3 \cdot 21$\\
 $21=2 \cdot 8 + 5$      & $\rightarrow$     & $5 = 21 - 2 \cdot 8$\\
 $ 8=1 \cdot 5 + 3$      & $\rightarrow$     & $3 =  8 - 1 \cdot 5$\\

documents/facharbeit-rsa/Kapitel-7.tex

@@ -1,4 +1,4 @@
-\section{RSA-Verfahren}
+\section{RSA-Verfahren}\label{sec:RSA-Verfahren}
 Das RSA-Verfahren ist ein asymmetrisches Kryptosystem, das von 
 Ronald Linn \textbf{R}ivest, Adi \textbf{S}hamir und Leonard 
 \textbf{A}dleman entwickelt und im August 1977 veröffentlicht wurde\footnote{[msri], S. 2}.
@@ -16,13 +16,13 @@ kann, in An-lehnung an [wiki-RSA], in fünf Schritte unterteilt werden:
     \item[Schritt 1:] Als erstes werden zwei große Primzahlen  gewählt. 
                       Je größer diese Primzahlen sind, desto sicherer 
                       ist die Verschlüsselung.
-                     (vgl. Kapitel 7.4 "`Sicherheit des RSA-Verfahrens"')
+                     (vgl. \cref{sec:Security})
     \item[Schritt 2:] In diesem Schritt wird RSA-Modul $N = p \cdot q$ 
                       berechnet, das ein Teil des öffentlichen 
                       Schlüssels ist.
     \item[Schritt 3:] Schritt 3: Nun wird der Wert der Eulerschen 
                       $\varphi$-Funktion bei $N$ berechnet. Da $p$ 
-                      und $q$ Primzahlen sind, gilt $\varphi(N) = (p-1) \cdot (q-1)$ (vgl. Kapitel 4) % TODO
+                      und $q$ Primzahlen sind, gilt $\varphi(N) = (p-1) \cdot (q-1)$ (vgl. \cref{sec:Eulersche-Phi-Funktion})
     \item[Schritt 4:] Nachdem $\varphi(N)$ ermittelt wurde, kann der 
                       zweite Teil des öffentlichen Schlüssel, der 
                       Verschlüsselungsexponent $e$, ermittelt werden. 
@@ -59,8 +59,8 @@ Um ein $d$ zu finden, das diese Kongruenz erfüllt, wird der
 erweiterte euklidische Algorithmus angewendet:
 
 \begin{tabular}{lll}
-\textbf{Schritt 1}: euklidischer Algorithmus & & \textbf{Schritt 2}: nach Rest auflösen\\
-$130788 = 149 \cdot 877 + 115$    & $\rightarrow$     & $115 = 130788 - 149 \cdot 877$\\
+\textbf{Schritt 1}: euklidischer Algorithmus  & & \textbf{Schritt 2}: nach Rest auflösen\\
+$130788 = 149 \cdot 877 + 115$    \myDownArrowB & $\rightarrow$     & $115 = 130788 - 149 \cdot 877$ \myUpArrowB\\
 $877= 7  \cdot 115 + 72$     & $\rightarrow$     & $72 = 877 - 7 \cdot 115$\\
 $115= 1 \cdot 72 + 43$      & $\rightarrow$     & $43 = 115 - 72$\\
 $72= 1 \cdot 43 + 29$      & $\rightarrow$     & $29 = 72 - 43$\\
@@ -98,7 +98,7 @@ G &\equiv 27077 \cdot 95706^{9} \equiv 27077 \cdot 9189^{3} \equiv 27077 \cdot 5
 G &\equiv 29467 \imod{131513}
 \end{align*}
 
-\subsection{Entschlüsselung mit dem privaten Schlüssel}
+\subsection{Entschlüsselung mit dem privaten Schlüssel}\label{sec:Decryption}
 \subsubsection{Entschlüsselung ohne den Chinesischen Restsatz}
 Der Geheimtext wird entschlüsselt, indem man ihn mit $d$ potenziert 
 und dann denn kleinsten positiven Repräsentanten der Restklasse $N$ 
@@ -193,15 +193,15 @@ $\varphi(N)$ und $d$ nicht bekannt. Um $\varphi(N)$ zu berechnen,
 werden die Primfaktoren $p$ und $q$, aus denen $N$ besteht, benötigt. 
 $N$ muss also faktorisiert werden. Sobald ein Faktor von $N$ bekannt 
 ist, kann man $N$ durch diesen Faktor teilen und man erhält den 
-zweiten Faktor. Dann kann man wie in Kapitel 7 vorgehen und $d$ % TODO link to kapitel
-berechnen. Mit $d$ kann man wie in Kapitel 7.2 beschrieben die  % TODO link to kapitel
+zweiten Faktor. Dann kann man wie in \cref{sec:RSA-Verfahren} vorgehen und $d$
+berechnen. Mit $d$ kann man wie in \cref{sec:Decryption} beschrieben die
 Geheimbotschaft entschlüsseln.
 
 Wird das Aribas-Skript im Anhang ausgeführt, das diese Schritte 
 ausführt, erhält man den Klartext "`\textbf{RSAribas}"'.
 
 
-\subsection{Sicherheit des RSA-Algorithmus}
+\subsection{Sicherheit des RSA-Algorithmus}\label{sec:Security}
 Der RSA-Algorithmus kann, wie oben beschrieben, "`geknackt"' werden, 
 indem der öffentliche Schlüssel faktorisiert wird. Allerdings ist das 
 bei großen Zahlen nahezu unmöglich, da die Algorithmen sehr lange 

documents/facharbeit-rsa/Literatur.tex

@@ -32,3 +32,20 @@ Königswinter, Tandem Verlag GmbH, 2006.
 \subsection*{Internetadressen}
 
 TODO
+\begin{tabular}{ll}
+[Berendt] & 
+Berendt, Gerhard. 
+Seminar über Zahlentheorie/Kryptographie. 			10.04.2008
+URL:  http://userpage.fu-berlin.de/~berendt/lehre2008\_neu.html 
+[Stand: 09.01.2010] \\
+a[Birthälmer] &
+Birthälmer, Melita.
+Kryptografie  							13.04.2008
+URL: http://www.birthaelmer.com/fileadmin/birthaelmer/portfolio/Kryptografie\_web.pdf
+[Stand: 09.01.2010] \\
+a[msri] &
+SIAM News. 
+Still Guarding Secrets after Years of Attacks, RSA Earns Accolades for its Founders. 									17.06.2003
+URL: http://www.msri.org/people/members/sara/articles/rsa.pdf 
+[Stand: 09.01.2010]
+\end{tabular}

documents/facharbeit-rsa/facharbeit-rsa.tex

@@ -11,6 +11,7 @@
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   pdfauthor   = {Martin Thoma}, 
   pdfkeywords = {Asymmetrische Verschlüsselungsverfahren; RSA-Kryptosystems}, 
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