Vorgeplänkel hinzugefügt

documents/GeoTopo/GeoTopo.tex

@@ -10,6 +10,11 @@
 \usepackage{braket} % needed for \Set
 \usepackage{csquotes}
 \usepackage{parskip}
+\usepackage{tikz}
+\usetikzlibrary{3d,calc,intersections,er}
+\newcommand{\inputTikZ}[2]{%  
+     \scalebox{#1}{\input{#2}}  
+}
 
 \usepackage{shortcuts}
 

documents/GeoTopo/Kapitel1.tex

@@ -1,4 +1,14 @@
 \chapter{Topologische Grundbegriffe}
+\section{Vorgeplänkel}
+    \begin{tabular}{lllll}
+    Die Kugeloberfläche $S^2$: &  lässt sich zu:          & oder:& verformen: \\
+    \input{figures/s2.tex}     & \input{figures/cube.tex} & TODO & \input{figures/pyramid.tex}
+    \end{tabular}
+
+    aber nicht zum $\mdr^2$ oder zu einem Rhombus
+
+    \input{figures/torus.tex}
+
 \section{Topologische Räume}
 \begin{definition} \index{Topologischer Raum} \index{offen} \index{abgeschlossen}
     Ein \textbf{topologischer Raum} ist ein Paar $(X, \fT)$ bestehend
@@ -18,7 +28,7 @@
 
 Es gibt auch Mengen, die weder abgeschlossen, noch offen sind.
 
-\begin{beispieleX}
+\begin{beispiel}
     \begin{enumerate}[1)]
         \item $X = \mdr^n$ mit der euklidischen Metrik.\\
               $U \subseteq \mdr^n$ offen $\gdw$ für jedes $x \in U$ 
@@ -32,7 +42,7 @@ Es gibt auch Mengen, die weder abgeschlossen, noch offen sind.
         \item $X = \Set{0,1}, \fT = \Set{\emptyset, \Set{0,1}, \Set{0}}$\\
               abgeschlossene Mengen: $\emptyset, \Set{0,1}, \Set{1}$
     \end{enumerate}
-\end{beispieleX}
+\end{beispiel}
 
 \begin{definition} \index{Umgebung}
     Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum, $x \in X$.
@@ -50,3 +60,44 @@ Es gibt auch Mengen, die weder abgeschlossen, noch offen sind.
         \item $M$ heißt \textbf{dicht} in $X$, wenn $\overline{M} = X$ ist. \index{dicht}
     \end{enumerate}
 \end{definition}
+
+\begin{beispiel}
+    \begin{enumerate}[1)]
+        \item $X = \mdr$ mit endlicher Topologie\\
+              $M = \mdq \Rightarrow \overline{M} = \mdr, \;\;\; M^\circ = \emptyset$
+        \item $X = \mdr$, $M=(a,b) \Rightarrow \overline{M} = [a,b]$
+        \item $X = \mdr, \fT = \fT_Z$\\
+              $M = (a,b) \Rightarrow \overline{M} = \mdr$
+    \end{enumerate}
+\end{beispiel}
+
+\begin{definition} \index{Basis} \index{Subbasis}
+    Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum.
+    \begin{enumerate}[a)]
+        \item $B \subseteq \fT$ heißt \textbf{Basis} der Topologie $\fT$,
+              wenn jedes $U \in \fT$ Vereinigung von Elementen aus $B$
+              ist.
+        \item $B \subseteq \fT$ heißt \textbf{Subbasis}, wenn jedes
+              $U \in \fT$ Vereinigung von endlich vielen Durchschnitten
+              von Elementen aus $B$ ist.
+    \end{enumerate}
+\end{definition}
+
+\begin{beispiel}
+    $X = \mdr^n$ heißt euklidische Topologie und
+    \[B = \Set{B_r(x) | r \in \mdq_{> 0}, x \in \mdq^n}\]
+    ist eine Basis.
+\end{beispiel}
+
+\begin{bemerkung}
+    Sei $X$ eine Menge und $B \subseteq \powerset{X}$. Dann gibt es
+    genau eine Topologie $\fT$ auf $X$, für die $B$ Subbasis ist.
+\end{bemerkung}
+
+\begin{definition} \index{Spurtopologie} \index{Teilraum}
+    Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum, $Y \subseteq X$.\\
+    $\fT_Y := \Set{U \cap Y | U \in \fT}$ ist eine Topologie auf $Y$.
+
+    $\fT$ heiß \textbf{Spurtopologie} und $(Y, \fT_Y)$ heißt ein 
+    \textbf{Teilraum} von $(X, \fT)$
+\end{definition}

documents/GeoTopo/Readme.md

@@ -0,0 +1,3 @@
+Verbesserungsvorschläge bitte entweder direkt selbst umsetzen
+und einen pull request machen oder mir per Email (info@martin-thoma.de)
+schicken.

documents/GeoTopo/figures/cube.tex

@@ -0,0 +1,51 @@
+% Source: http://tex.stackexchange.com/a/12069/5645
+\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
+   \clip (-3,-3) rectangle (3,3);
+   \coordinate (tf) at (0,0);
+   \coordinate (bf) at (0,-3);
+   \coordinate (tr) at (15:2.5cm);
+   \coordinate (tl) at (165:2.5cm);
+
+   % You can change the perspective by playing with the 5, 5, 15:
+   \coordinate (fr) at ($ (tf)!5!(tr) $);
+   \coordinate (fl) at ($ (tf)!5!(tl) $);
+   \coordinate (fb) at ($ (tf)!15!(bf) $);
+
+   \path[name path=brpath] (bf) -- (fr);
+   \path[name path=rbpath] (tr) -- (fb);
+   \path[name path=blpath] (bf) -- (fl);
+   \path[name path=lbpath] (tl) -- (fb);
+   \path[name path=trpath] (tl) -- (fr);
+   \path[name path=tlpath] (tr) -- (fl);
+
+   \draw[name intersections={of=brpath and rbpath}] (intersection-1)coordinate (br){}; 
+   \draw[name intersections={of=blpath and lbpath}] (intersection-1)coordinate (bl){}; 
+   \draw[name intersections={of=trpath and tlpath}] (intersection-1)coordinate (tb){}; 
+
+   \shade[right color=gray!10, left color=black!50, shading angle=105] (tf) -- (bf) -- (bl) -- (tl) -- cycle;
+   \shade[left color=gray!10, right color=black!50, shading angle=75] (tf) -- (bf) -- (br) -- (tr) -- cycle;
+
+   \begin{scope}
+      \clip (tf) -- (tr) -- (tb) -- (tl) -- cycle;
+      \shade[inner color = gray!5, outer color=black!50, shading=radial] (tf) ellipse (3cm and 1.5cm);
+   \end{scope}
+
+   \draw (tf) -- (bf);
+   \draw (tf) -- (tr);
+   \draw (tf) -- (tl);
+   \draw (tr) -- (br);
+   \draw (bf) -- (br);
+   \draw (tl) -- (bl);
+   \draw (bf) -- (bl);
+   \draw (tb) -- (tr);
+   \draw (tb) -- (tl);
+
+   %set the sizes of the little cubes:
+   \def\tone{.4}\def\ttwo{.75}\def\fone{.36}\def\ftwo{.70}
+   \draw ($ (bf)!\tone!(br) $) -- ($ (tf)!\tone!(tr) $) -- ($ (tl)!\tone!(tb) $);
+   \draw ($ (bf)!\ttwo!(br) $) -- ($ (tf)!\ttwo!(tr) $) -- ($ (tl)!\ttwo!(tb) $);
+   \draw ($ (bf)!\tone!(bl) $) -- ($ (tf)!\tone!(tl) $) -- ($ (tr)!\tone!(tb) $);
+   \draw ($ (bf)!\ttwo!(bl) $) -- ($ (tf)!\ttwo!(tl) $) -- ($ (tr)!\ttwo!(tb) $);
+   \draw ($ (tl)!\fone!(bl) $) -- ($ (tf)!\fone!(bf) $) -- ($ (tr)!\fone!(br) $);
+   \draw ($ (tl)!\ftwo!(bl) $) -- ($ (tf)!\ftwo!(bf) $) -- ($ (tr)!\ftwo!(br) $);
+\end{tikzpicture}

documents/GeoTopo/figures/pyramid.tex

@@ -0,0 +1,7 @@
+\begin{tikzpicture}[scale=.5, z={(.707,.3)}]
+    \draw (2,3,2) -- (0,0,0) -- (4,0,0) -- (4,0,4) -- (2,3,2) 
+      -- (4,0,0);
+    \draw[color=gray, style=dashed] (2,3,2) -- (0,0,4) 
+      -- (0,0,0);
+    \draw[color=gray, style=dashed] (0,0,4) -- (4,0,4);
+  \end{tikzpicture}

documents/GeoTopo/figures/s2.tex

@@ -0,0 +1,9 @@
+% Source: http://tex.stackexchange.com/a/42865/5645
+\begin{tikzpicture}
+    \draw (-1,0) arc (180:360:1cm and 0.5cm);
+    \draw[dashed] (-1,0) arc (180:0:1cm and 0.5cm);
+    \draw (0,1) arc (90:270:0.5cm and 1cm);
+    \draw[dashed] (0,1) arc (90:-90:0.5cm and 1cm);
+    \draw (0,0) circle (1cm);
+    \shade[ball color=blue!10!white,opacity=0.20] (0,0) circle (1cm);
+\end{tikzpicture}

documents/GeoTopo/figures/torus.tex

@@ -0,0 +1,11 @@
+\begin{tikzpicture}
+\draw (-3.5,0) .. controls (-3.5,2) and (-1.5,2.5) .. (0,2.5);
+\draw[xscale=-1] (-3.5,0) .. controls (-3.5,2) and (-1.5,2.5) .. (0,2.5);
+\draw[rotate=180] (-3.5,0) .. controls (-3.5,2) and (-1.5,2.5) .. (0,2.5);
+\draw[yscale=-1] (-3.5,0) .. controls (-3.5,2) and (-1.5,2.5) .. (0,2.5);
+
+\draw (-2,.2) .. controls (-1.5,-0.3) and (-1,-0.5) .. (0,-.5) .. controls (1,-0.5) and (1.5,-0.3) .. (2,0.2);
+
+\draw (-1.75,0) .. controls (-1.5,0.3) and (-1,0.5) .. (0,.5) .. controls (1,0.5) and (1.5,0.3) .. (1.75,0);
+
+\end{tikzpicture}

documents/GeoTopo/shortcuts.sty

@@ -9,11 +9,10 @@
 \newenvironment{definition}{\begin{plaindefinition}}{\end{plaindefinition}}
 \newenvironment{definition*}{\begin{plaindefinition*}}{\end{plaindefinition*}}
 \newtheorem{beispiel}{Beispiel}
-\newtheorem{beispieleX}{Beispiele}
-\newenvironment{beispiele}{\begin{beispieleX}\begin{liste}}{\end{liste}\end{beispieleX}}
 \newtheorem{bemerkung}{Bemerkung}
 
 \def\fT{\mathfrak{T}}
 \newcommand{\powerset}[1]{\mathcal{P}(#1)}
 \def\mdr{\ensuremath{\mathbb{R}}}
+\def\mdq{\ensuremath{\mathbb{Q}}}
 \def\gdw{\ensuremath{\Leftrightarrow}}