Lösung hinzugefügt

documents/GeoTopo/Abkuerzungen.tex

@@ -3,6 +3,7 @@
 \begin{acronym}
     \acro{Beh.}{Behauptung}
     \acro{Bew.}{Beweis}
+    \acro{bzgl.}{bezüglich}
     \acro{bzw.}{beziehungsweise}
     \acro{ca.}{circa}
     \acro{d. h.}{das heißt}

documents/GeoTopo/Kapitel4.tex

@@ -505,12 +505,13 @@ schneiden sich.
 \end{beweis}
 
 \begin{folgerung}\label{folgerung:14.10}%In Vorlesung: Folgerung 14.10
-    Die Summe zweier Innenwinkel in einem Dreieck ist kleiner als
-    $\pi$, d.~h. es gibt eine Isometrie $\varphi$ mit $\varphi(Q) = P$
-    und $\varphi(QP^+) = PR^+$, sodass $\varphi(R)$ in der gleichen
-    Halbebene bzgl. $PQ$ liegt wie $R$.
+    Die Summe zweier Innenwinkel in einem Dreieck ist kleiner als $\pi$.
 \end{folgerung}
 
+D.~h. es gibt eine Isometrie $\varphi$ mit $\varphi(Q) = P$
+und $\varphi(QP^+) = PR^+$, sodass $\varphi(R)$ in der gleichen
+Halbebene bzgl. $PQ$ liegt wie $R$.
+
 \begin{beweis}
     Die Summe eines Innenwinkels mit den anliegenden Außenwinkeln ist
     $\pi$, d.~h. die beiden Halbgeraden bilden eine Gerade.

documents/GeoTopo/Loesungen.tex

@@ -1,3 +1,4 @@
+%!TEX root = GeoTopo.tex
 \chapter*{Lösungen der Übungsaufgaben\markboth{Lösungen der Übungsaufgaben}{Lösungen der Übungsaufgaben}}
 \addcontentsline{toc}{chapter}{Lösungen der Übungsaufgaben}
 \begin{solution}[\ref{ub1:aufg1}]
@@ -275,7 +276,27 @@
               an $g$. $\varphi$ vertauscht die beiden Halbebenen bzgl.
               $g$.\\
               $\Rightarrow \varphi(P)P$ schneidet $g$ in $F$.
-              \todo[inline]{Noch ca. eine halbe Seite}
+
+              %Nach ÜB 10 A4(a):
+              Es gibt eine Geradenspiegelung $\varphi$ an $g$.
+              $\varphi$ vertauscht die beiden Halbebenen bzgl. $g$
+              $\Rightarrow \varphi(P)P$ schneidet $g$ in $F$.
+
+              Sei $A \in g \setminus \Set{F}$. Dann gilt $\varphi(\angle AFP) = \angle AF \varphi(P) = \pi$
+              $\Rightarrow \angle AFP$ ist rechter Winkel.
+
+              Gäbe es nun $G \in g \setminus \Set{F}$, so dass $PG$ weiteres Lot von $P$ auf $g$ ist,
+              wäre $\triangle PFG$ ein Dreieck mit zwei rechten Innenwinkeln (vgl. \cref{fig:two-perpendiculars}).
+
+              \begin{figure}[htp]
+                  \centering
+                  \input{figures/two-perpendiculars.tex}
+                  \caption{Zwei Lote zu einer Geraden $g$ durch einen Punkt $P$}
+                  \label{fig:two-perpendiculars}
+              \end{figure}
+
+              Nach \cref{folgerung:14.10} ist die Summe von zwei Innenwinkeln immer $< \pi$\\
+              $\Rightarrow G$ gibt es nicht. $\qed$
     \end{enumerate}
 \end{solution}
 
@@ -305,4 +326,4 @@
     Da $d(A',C') = d(A,C) = d(\varphi(A), \varphi(C)) = d(A', \varphi(C))$
     und $d(B', C') = d(B', \varphi(C))$
     \todo[inline]{Da fehlt was.}
-\end{solution}
+\end{solution}

documents/GeoTopo/figures/two-perpendiculars.tex

@@ -0,0 +1,27 @@
+\begin{tikzpicture}
+    \tkzSetUpPoint[shape=circle,size=10,color=black,fill=black]
+    \tkzSetUpLine[line width=1]
+    \tkzDefPoints{0/3/A, 4/0/B, 3/3/P, 3/0.75/G}
+    \tkzDefLine[perpendicular=through P,/tikz/overlay](A,B)\tkzGetPoint{x}
+    \tkzInterLL(A,B)(P,x) \tkzGetPoint{F}
+
+    \tkzMarkAngle[arc=l,size=0.4cm,color=red,fill=red!20](B,F,P)
+    \tkzLabelAngle[pos = 0.2](B,F,P){$\cdot$}
+
+    \tkzMarkAngle[arc=l,size=0.4cm,color=red,fill=red!20](P,G,A)
+    \tkzLabelAngle[pos = 0.2](P,G,A){$\cdot$}
+
+    \tkzDrawPoints(A,F,P,G)
+
+
+    \tkzDrawSegments(A,B)
+    \tkzDrawLines(A,B)
+    \tkzDrawLine[dashed,color=orange,add=0.5 and 0.2](F,P)
+    \tkzDrawLine[dashed,color=blue,add=0.5 and 0.2](G,P)
+    % 
+    \tkzLabelPoint[below left](A){$A$}
+    \tkzLabelPoint[below left](G){$G$}
+    \tkzLabelPoint[above left](P){$P$}
+    \tkzLabelPoint[left](F){$F$}
+    \tkzLabelLine[below,pos=1](A,B){$g$}
+\end{tikzpicture}

tikz/two-perpendiculars/Makefile

@@ -0,0 +1,31 @@
+SOURCE  = two-perpendiculars
+DELAY   = 80
+DENSITY = 300
+WIDTH   = 512
+
+make:
+	pdflatex $(SOURCE).tex -output-format=pdf
+	make clean
+
+clean:
+	rm -rf  $(TARGET) *.class *.html *.log *.aux *.data *.gnuplot
+
+gif:
+	pdfcrop $(SOURCE).pdf
+	convert -verbose -delay $(DELAY) -loop 0 -density $(DENSITY) $(SOURCE)-crop.pdf $(SOURCE).gif
+	make clean
+
+png:
+	make
+	make svg
+	inkscape $(SOURCE).svg -w $(WIDTH) --export-png=$(SOURCE).png
+
+transparentGif:
+	convert $(SOURCE).pdf -transparent white result.gif
+	make clean
+
+svg:
+	#inkscape $(SOURCE).pdf --export-plain-svg=$(SOURCE).svg
+	pdf2svg $(SOURCE).pdf $(SOURCE).svg
+	# Necessary, as pdf2svg does not always create valid svgs:
+	inkscape $(SOURCE).svg --export-plain-svg=$(SOURCE).svg

tikz/two-perpendiculars/Readme.md

@@ -0,0 +1,3 @@
+Compiled example
+----------------
+![Example](two-perpendiculars.png)

tikz/two-perpendiculars/two-perpendiculars.tex

@@ -0,0 +1,33 @@
+\documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone}
+\usepackage{tkz-euclide}
+
+\begin{document}
+\usetkzobj{all}
+\begin{tikzpicture}
+    \tkzSetUpPoint[shape=circle,size=10,color=black,fill=black]
+    \tkzSetUpLine[line width=1]
+    \tkzDefPoints{0/3/A, 4/0/B, 3/3/P, 3/0.75/G}
+    \tkzDefLine[perpendicular=through P,/tikz/overlay](A,B)\tkzGetPoint{x}
+    \tkzInterLL(A,B)(P,x) \tkzGetPoint{F}
+
+    \tkzMarkAngle[arc=l,size=0.4cm,color=red,fill=red!20](B,F,P)
+    \tkzLabelAngle[pos = 0.2](B,F,P){$\cdot$}
+
+    \tkzMarkAngle[arc=l,size=0.4cm,color=red,fill=red!20](P,G,A)
+    \tkzLabelAngle[pos = 0.2](P,G,A){$\cdot$}
+
+    \tkzDrawPoints(A,F,P,G)
+
+
+    \tkzDrawSegments(A,B)
+    \tkzDrawLines(A,B)
+    \tkzDrawLine[dashed,color=orange,add=0.5 and 0.2](F,P)
+    \tkzDrawLine[dashed,color=blue,add=0.5 and 0.2](G,P)
+    % 
+    \tkzLabelPoint[below left](A){$A$}
+    \tkzLabelPoint[below left](G){$G$}
+    \tkzLabelPoint[above left](P){$P$}
+    \tkzLabelPoint[left](F){$F$}
+    \tkzLabelLine[below,pos=1](A,B){$g$}
+\end{tikzpicture}
+\end{document}