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@@ -709,11 +709,11 @@ $p|V_j: V_j \rightarrow U$ Homöomorphismus.
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nur von $[\gamma] \in \pi_1(X,x_0)$ ab.
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Es gilt:
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- \begin{align}
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+ \begin{align*}
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\tilde{\gamma_0}(1) &= \tilde{\gamma_1}(1)\\
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\Leftrightarrow [\tilde{\gamma_0} * \tilde{\gamma_1}^{-1}] &\in \pi_1(Y, y_0)\\
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\Leftrightarrow [\gamma_0 * \gamma_1^{-1}] &\in p_* (\pi_1(Y,y_0))
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- \end{align}
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+ \end{align*}
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Zu $i \in \Set{0, \dots, d-1}$ gibt es Weg $\delta_i$ in
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$Y$ mit $\delta_i(0) = y_0$ und $\sigma_i(1) = y_i$\\
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$\Rightarrow p * \delta_i$ ist geschlossener Weg in
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@@ -1005,5 +1005,160 @@ und der Fundamentalgruppe herstellen:
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Nach Satz~\ref{thm:12.15} also $\pi_1(S^1) \cong \Deck(\mdr/S^1) \cong \mdz$
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\end{beispiel}
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\index{Ueberlagerung@""Uberlagerung|)}
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+
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+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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+% Lea's Mitschrieb vom 07.01.2014 %
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+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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+\section{Gruppenaktionen}\index{Gruppenaktion|(}
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+\begin{definition}\xindex{Gruppenaktion}% in Vorlesung: Definition 13.1
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+ Sei $(G, \cdot)$ eine Gruppe und $X$ eine Menge.
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+
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+ Eine \textbf{Gruppenaktion} oder kurz \textbf{Aktion} von $G$ auf
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+ $X$ ist eine Abbildung $\circ$:
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+
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+ \[ \circ: G \times X \rightarrow X, (g,x) \mapsto g \cdot x,\]
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+
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+ für die gilt:
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+ \begin{enumerate}[label=(\roman*),ref=\theplaindefinition.\roman*]
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+ \item $1_G \circ x = x \;\;\; \forall x \in X$\label{def:gruppenaktion.1}
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+ \item $(g \cdot h) \circ x = g \circ (h \circ x) \;\;\; \forall g,h \in G \forall x \in X$\label{def:gruppenaktion.2}
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+ \end{enumerate}
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+\end{definition}
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+
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+\begin{beispiel}
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+ \begin{enumerate}[label=\arabic*),ref=\thebeispiel.\arabic*]
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+ \item $G = (\mdz, +), X = \mdr, nx = x + n$\label{bsp:gruppenaktion1}
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+ \item $G$ operiert auf $X = G$ durch $g \circ h := g \cdot h$
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+ \item $G$ operatiert auf $X = G$ durch $g \circ h := g \cdot h \cdot g^{-1}$, denn
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+ \begin{enumerate}[label=\roman*)]
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+ \item $1_G \circ h = 1_G \cdot h \cdot 1_G^{-1} = h$
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+ \item \begin{align*}
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+ (g_1 \cdot g_2) \circ h &= (g_1 \cdot g_2) \cdot h \cdot (g \cdot g_2)^{-1}\\
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+ &= g_1 \cdot (g_2 \cdot h \cdot g_2^{-1}) \cdot g_1^{-1}\\
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+ &= g_1 \circ (g_2 \circ h)
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+ \end{align*}
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+ \end{enumerate}
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+ \end{enumerate}
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+\end{beispiel}
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+
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+\begin{definition}
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+ Sei $G$ eine Gruppe, $X$ ein topologischer Raum und
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+ $\circ: G \times X \rightarrow X$ eine Gruppenaktion.
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+
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+ \begin{enumerate}[label=\alph*)]
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+ \item $G$ operiert durch Homomorphismen, wenn für jedes $g \in G$
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+ die Abbildung
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+ \[m_g: X \rightarrow X, x \mapsto g \cdot X\]
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+ ein Homöomorphismus ist.
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+ \item Ist $G$ eine topologische Gruppe, so heißt die Aktin $\circ$
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+ \textbf{stetig}\xindex{Gruppenaktion!stetige}, wenn
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+ $\circ: G \times X \rightarrow X$ stetig ist.
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+ \end{enumerate}
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+\end{definition}
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+
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+\begin{korollar}%In Vorlesung: Bemerkung 13.2
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+ Jede stetige Aktion ist eine Aktion durch Homöomorphismen.
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+\end{korollar}
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+\begin{beweis}
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+ Nach Voraussetzung ist $\circ |_{\Set{g} \times X} : X \rightarrow X, x \mapsto g \circ x$ stetig.
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+
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+ Die Umkehrabbildung zu $m_g$ ist $m_{g^{-1}}$:
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+ \begin{align*}
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+ (m_{g^{-1}} \circ m_g)(x) &= m_{g^{-1}} (m_g (x))\\
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+ &= m_{g^{-1}} (g \circ x)\\
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+ &= g^{-1} \circ (g \circ x)\\
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+ &\stackrel{\ref{def:gruppenaktion.2}}{=} (g^{-1} \cdot g) \circ x\\
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+ &= 1_G \circ x\\
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+ &\stackrel{\ref{def:gruppenaktion.1}}{=} x
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+ \end{align*}
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+\end{beweis}
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+
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+\begin{beispiel}
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+ In Beispiel~\ref{bsp:gruppenaktion1} operiert $\mdz$ durch Homöomorphismen.
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+\end{beispiel}
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+
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+\begin{korollar}\label{kor:13.3}%In Vorlesung: Bemerkung 13.3
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+ Sei $G$ eine Gruppe und $X$ eine Menge.
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+
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+ \begin{enumerate}[label=\alph*)]
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+ \item Die Gruppenaktion von $G$ auf $X$ entsprechen bijektiv
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+ den Gruppenhomomorphismen $\varrho: G \rightarrow \Perm(X) = \Sym(X) = \Set{f: X \rightarrow X | f \text{ ist bijektiv}}$
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+ \item Ist $X$ ein topologischer Raum, so entsprechen dabei
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+ die Aktionen durch Homöomorphismus den Gruppenhomomorphismen
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+ $G \rightarrow \Homoo(X)$
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+ \end{enumerate}
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+\end{korollar}
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+
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+\begin{beweis}
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+ \item Sei $\circ: G \times X \rightarrow X$ eine Aktion von $G$
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+ auf $X$. Dann sei $\varrho: G \rightarrow \Perm(X)$ definiert
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+ durch $\varrho(g)(X) = g \cdot x \;\;\; \forall g \in G, x \in X$,
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+ also $\varrho(g) = m_g$.
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+
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+ $\varrho$ ist Homomorphismus: $\varrho(g_1 \cdot g_2) = m_{g_1 \cdot g_2} = m_{g_1} \circ m_{g_2} = \varrho(g_1) \circ \varrho(g_2)$,
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+ denn für $x \in X: \varrho(g_1 \cdot g_2) (x) = (g_1 \cdot g_2) \circ x = g_1 \circ (g_2 \circ x) = \varrho(g_1) (\varrho(g_2)(x)) = (\varrho(g_1) \circ \varrho (g_2)) (x)$
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+
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+ Umgekehrt: Sei $\varrho: G \rightarrow \Perm(X)$ Gruppenhomomorphismus. Definiere $\circ: G \times X \rightarrow X$ durch $g \circ x = \varrho (g)(x)$.
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+
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+ z.~Z. \ref{def:gruppenaktion.2}:
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+ \begin{align*}
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+ g_1 \circ (g_2 \circ x) &= \varrho (g_1) (g_2 \circ x)\\
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+ &= \varrho(g_1) (\varrho(g_2)(x))\\
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+ &= (\varrho(g_1) \circ \varrho(g_2))(x)\\
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+ &\stackrel{\varrho \text {ist Hom.}}{=} \varrho(g_1 \cdot g_2) (x)\\
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+ &= (g_1 \cdot g_2) \circ x
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+ \end{align*}
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+
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+ z.~Z. \ref{def:gruppenaktion.1}:
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+ $1_G \cdot x = \varrho(1_G)(x) = \id_X(x) = x$, weil $\varrho$ Homomorphismus ist.
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+\end{beweis}
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+
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+\begin{beispiel}\label{bsp:13.4}%In Vorlesung: Beispiel 13.4
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+ Sei $X$ ein wegzusammenhängender topologischer Raum, $p: \tilde{X} \rightarrow X$
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+ eine universelle Überlagerung, $x_0 \in X$, $\tilde{x_0} \in \tilde{X}$ mit
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+ $p(\tilde{x_0}) = x_0$.
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+
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+ Dann operiert $\pi_1(X, x_0)$ auf $\tilde{X}$ durch Homöomorphismen wie folgt:
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+
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+ Für $[\gamma] \in \pi_1(X, x_0)$ und $\tilde{x} \in \tilde{X}$ sei
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+ $[\gamma] \circ \tilde{x} = \tilde{\gamma * \varrho} (1)$ wobei
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+ $\tilde{\gamma}$ ein Weg von $\tilde{x_0}$ nach $\tilde{x}$ in
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+ $\tilde{X}$ sei, $\varrho := p(\tilde{\delta}) = p \circ \delta$.
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+
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+ Also: $\delta$ ist ein Weg in $X$ von $x_0$ nach $x=p(\tilde{x})$
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+ und $\rtilde{\gamma * \delta}$ die Liftung von $\gamma * \delta$
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+ mit Anfangspunkt $\tilde{x_0}$.
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+
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+ $[\gamma] \cdot \tilde{x}$ hängt nicht von der Wahl von $\tilde{\gamma}$
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+ ab; ist $\tilde{\gamma}'$ ein anderer Weg von $\tilde{x_0}$ nach
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+ $\tilde{x}$, so sind $\tilde{\delta}$ und $\tilde{\delta}'$ homotop,
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+ also auch $\rtilde{\gamma * \delta}$ und $\rtilde{\gamma * \delta'}$
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+ homotop.
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+
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+ Gruppenaktion, denn:
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+ \begin{enumerate}[label=\roman*)]
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+ \item $[e] \circ \tilde{x} = \rtilde{e * \delta} = \tilde{x}$
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+ \item $\rtilde{\gamma_1 * \gamma_2 * \delta}(1) = [\gamma_1 * \gamma_2] \circ \tilde{x} = ([\gamma_1] * [\gamma_2]) \circ \tilde{x}$\\
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+ $\gamma_1 * \gamma_2 * \delta(1) = [\gamma_1] \circ (\tilde{\gamma_2 * \delta})(1) = [\gamma_1] \circ ([\gamma_2] \circ \tilde{x})$
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+ \end{enumerate}
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+\end{beispiel}
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+
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+\textbf{Erinnerung}:% In Vorlesung: Erinnerung 13.5
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+Die Konstruktion aus Korollar~\ref{kor:13.3} induziert zu der Aktion
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+$\pi_1(X, x_0)$ aus Beispiel~\ref{bsp:13.4} einen Gruppenhomomorphismus
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+$\varrho: \pi_1(X, x_0) \rightarrow \Homoo(X)$. Nach Satz~\ref{thm:12.15}
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+ist $\varrho(\pi_1(X, x_0)) = \Deck(\tilde{X} / X) = \Set{f: \tilde{X} \rightarrow \tilde{X} \text{ Homöomorphismus} | p \circ f = p}$
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+
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+\begin{beispiel}% In Vorlesung: Beispiel 13.6
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+ Sei $X := S^2 \subseteq \mdr^3$ und $\tau$ die Drehung um die $z$-Achse
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+ um $180^\circ$.
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+
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+ $g = \langle \tau \rangle = \Set{\id, \tau}$ operiert auf $S^2$
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+ durch Homöomorphismen.
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+
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+ Frage: Was ist $S^2 / G$? Ist $S^2 / G$ eine Mannigfaltigkeit?
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+\end{beispiel}
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+
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+\index{Gruppenaktion|)}
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% Die Übungsaufgaben sollen ganz am Ende des Kapitels sein.
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\input{Kapitel3-UB}
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Martin Thoma