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@@ -47,10 +47,10 @@ aufgestellt.
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\begin{enumerate}[label=§\arabic*),ref=§\arabic*]
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\item \textbf{Inzidenzaxiome}\xindex{Inzidenzaxiome}:\label{axiom:1}
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\begin{enumerate}[label=(\roman*),ref=\theenumi{} (\roman*)]
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- \item Zu $P \neq Q \in X$ gibt es genau ein $g \in G$ mit
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+ \item \label{axiom:1.1} Zu $P \neq Q \in X$ gibt es genau ein $g \in G$ mit
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$\Set{P, Q} \subseteq g$.
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- \item $|g| \geq 2 \;\;\; \forall g \in G$
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- \item $X \notin G$
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+ \item \label{axiom:1.2} $|g| \geq 2 \;\;\; \forall g \in G$
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+ \item \label{axiom:1.3} $X \notin G$
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\end{enumerate}
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\item \textbf{Abstandsaxiom}\xindex{Abstandsaxiom}: Zu $P, Q, R \in X$ gibt es \label{axiom:2}
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genau dann ein $g \in G$ mit $\Set{P, Q, R} \subseteq g$,
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@@ -121,8 +121,8 @@ aufgestellt.
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\begin{definition}
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\begin{enumerate}[label=§\arabic*),ref=§\arabic*,start=3]
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- \item \textbf{Anordnungsaxiome}\xindex{Anordnungsaxiome}\label{axiom:3}
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- \begin{enumerate}[label=(\roman*),ref=§\theenumi{} (\roman*)]
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+ \item \label{axiom:3}\textbf{Anordnungsaxiome}\xindex{Anordnungsaxiome}
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+ \begin{enumerate}[label=(\roman*),ref=\theenumi{} (\roman*)]
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\item \label{axiom:3.1} Zu jedem $P \in X$ jeder
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Halbgerade $H$ mit Anfangspunkt $P$ und jedem
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$r \in \mdr_{\geq 0}$ gibt es genau ein
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@@ -137,13 +137,13 @@ aufgestellt.
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\textbf{Halbebenen}\xindex{Halbebene} bzgl.
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$g$.
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\end{enumerate}
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- \item \textbf{Bewegungsaxiom}\xindex{Bewegungsaxiom}: Zu $P, Q, P', Q' \in X$\label{axiom:4}
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+ \item \label{axiom:4}\textbf{Bewegungsaxiom}\xindex{Bewegungsaxiom}: Zu $P, Q, P', Q' \in X$
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mit $d(P,Q) = d(P', Q')$. Isometrien $\varphi_1, \varphi_2$
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mit $\varphi_i (P) = P'$ und $\varphi_i(Q) = Q', i=1,2$
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(Spiegelung an der Gerade durch $P$ und $Q$ ist nach
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Identifizierung von $P \cong P'$ und $Q \cong Q'$ eine
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weitere Isometrie.)
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- \item \textbf{Parallelenaxiom}: Für jedes $g \in G$ und jedes
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+ \item \label{axiom:5}\textbf{Parallelenaxiom}: Für jedes $g \in G$ und jedes
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$P \in X \setminus g$ gibt es höchstens ein $h \in G$ mit
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$h \cap g = \emptyset$.\footnote{$h$ heißt \enquote{Parallele zu $g$ durch $P$}.}
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\end{enumerate}
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@@ -748,5 +748,94 @@ $\overset{\text{Strahlensatz}}{\Rightarrow} \frac{a}{h_c} = \frac{c}{h_a} \right
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\end{beweis}
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\end{enumerate}
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\end{beweis}
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+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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+% Mitschrieb vom 23.01.2014 %
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+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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+\section{Hyperbolische Geometrie}
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+\begin{definition}
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+ Sei
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+ \[\mdh:= \Set{z \in \mdc | \Im(z) > 0} = \Set{(x,y) \in \mdr^2 | y > 0}\]
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+ die obere Halbebene bzw. Poincaré-Halbebene und $G = G_1 \cup G_2$
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+ mit
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+ \begin{align*}
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+ G_1 &= \Set{g_1 \subseteq \mdh | \exists m \in \mdr, r \in \mdr_{>0}: g_1 \in \mdc: g_1 = \Set{|z-m|=r}}\\
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+ G_2 &= \Set{g_2 \subseteq \mdh | \exists x \in \mdr: g_2 = \Set{z \in \mdc: \Re{z} = x} \cap \mdh}
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+ \end{align*}
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+
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+ Die Elemente von $\mdh$ heißen \textbf{hyperbolische Geraden}\xindex{Gerade!hyperbolische}
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+\end{definition}
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+
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+\begin{bemerkung}[Eigenschaften der hyperbolischen Geraden]
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+ Die hyperbolischen Geraden erfüllen\dots
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+ \begin{enumerate}[label=\alph*)]
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+ \item \dots die Inzidenzaxiome \ref{axiom:1}
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+ \item \dots das Anordnungsaxiom \ref{axiom:3.2}
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+ \item \dots nicht das Parallelenaxiom \ref{axiom:5}
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+ \end{enumerate}
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+\end{bemerkung}
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+
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+\begin{beweis}\leavevmode
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+ \begin{enumerate}[label=\alph*)]
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+ \item Offensichtlich sind \ref{axiom:1.3} und \ref{axiom:1.2}
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+ erfüllt. Für \ref{axiom:1.1} gilt:\\
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+ Gegeben $z_1, z_2 \in \mdh$\\
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+ \textbf{Existenz:} $\Re(z_1) = \Re(z_2)$
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+ $\Rightarrow z_1$ und $z_2$ liegen auf
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+ \[g = \Set{z \in \mdc | \Re(z) = \Re{z_1} \land \mdh}\]
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+ \item TODO
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+ \item Siehe \cref{fig:hyperbolische-halbebene-axiom-5}.
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+ \begin{figure}[htp]
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+ \centering
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+ \input{figures/hyperbolic-geometry-not-parallel.tex}
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+ \caption{Hyperbolische Geraden erfüllen \ref{axiom:5} nicht.}
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+ \label{fig:hyperbolische-halbebene-axiom-5}
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+ \end{figure}
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+ \end{enumerate}
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+\end{beweis}
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+
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+\begin{proposition}%In Vorlesung: Proposition 15.2
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+ \begin{enumerate}[label=\alph*)]
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+ \item Die Gruppe $\SL_2(\mdr)$ operiert auf $\mdh$ durch
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+ \[\sigma(z):= \begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix} \circ z := \frac{az + b}{cz + d}\]
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+ \item Es ist $\sigma(z) = (-\sigma)(z)$ für alle $\sigma \in \SL_2(\mdr)$
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+ und $z \in \mdh$. Daher operiert $\PSL_2(\mdr) = \SL_2(\mdr) /_{(\pm I)}$
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+ auf $\mdh$.
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+ \item $\PSL_2(\mdr)$ operiert auf $\mdr \cup \Set{\infty}$.
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+ Diese Gruppenoperation ist 3-fach transitiv, d.~h. zu
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+ $x_0 < x_1 < x_\infty \in \mdr$ gibt es genau ein
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+ $\sigma \in \PSL_2(\mdr)$ mit $\sigma(x_0) = 0$,
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+ $\sigma(x_1) = 1$, $\sigma(x_\infty) = \infty$
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+ \item \label{prop:15.2d} $\SL_2(\mdr)$ wird von den Matrizen
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+ \[\begin{pmatrix}\lambda & 0\\ 0 & \lambda^-1\end{pmatrix}, \lambda \in \mdr\]
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+ \[\begin{pmatrix}1 & a\\ 0 & 1\end{pmatrix}, a \in \mdr\]
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+ \[\begin{pmatrix}0 & 1\\-1 & 0\end{pmatrix}\]
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+ erzeugt
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+ \item $\PSL_2(\mdr)$ operiert auf $G$
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+ \end{enumerate}
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+\end{proposition}
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|
+
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+\begin{beweis}\leavevmode
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+ \begin{enumerate}[label=\alph*)]
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+ \item Sei $z = x + iy \in \mdh$, d.~h. $y>0$ und
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+ $\sigma=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \in \SL_2(\mdr)$
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+ \begin{align}
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+ \Rightarrow \sigma(z) &= \frac{ax + aiy + b}{cx + ciy +d}\\
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+ &= \frac{ax + aiy + b}{cx + ciy +d} \cdot \frac{cx+d-iy}{cx+d-iy}\\
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+ &= \frac{\Re(...) + i(aycx + ayd - ciyax - cyb)}{(cx+d)^2 + (cy)^2}\\
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+ &= \frac{\Re(...) + i(ad-bc)y}{(cx+d)^2 + (cy)^2}
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+ &\overset{\mathclap{\SL_2(\mdr)}}{=} \frac{\Re(...) + iy}{(cx+d)^2 + (cy)^2}
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+ \end{align}
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+ $\Rightarrow \Im(\sigma(z)) = \frac{y}{(cx+d)^2 + (cy)^2} > 0$
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+ \item TODO b)
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+ \item TODO c)
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+ \item TODO d)
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+ \item Es genügt die Aussage für Matrizen aus \cref{prop:15.2d}
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+ zu zeigen.
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+ \begin{itemize}
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+ \item $\sigma = \begin{pmatrix}\lambda & 0\\ 0 & \lambda^{-1}\end{pmatrix}$, also $\sigma(z) = \lambda^2 z$
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+ \end{itemize}
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+ \end{enumerate}
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+\end{beweis}
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+
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% Die Übungsaufgaben sollen ganz am Ende des Kapitels sein.
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\input{Kapitel4-UB}
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Martin Thoma
